Apostila Instrumentação e Controle de Processos II

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2. – Elementos Básicos da Análise Dinâmica de Processos 
 2.1 – Introdução 
 Como já definido anteriormente, as variáveis de entrada de um processo são aquelas 
capazes de estimular o processo e induzir mudanças nas condições internas do mesmo. As 
mudanças nas condições internas do processo são geralmente aparentes a partir das 
mudanças observadas nas variáveis de saída. 
Em quanto e de qual maneira o processo responderá a uma mudança na variável de 
entrada, dependerá da natureza desta mudança e da natureza intrínseca do processo. 
 Para qualquer mudança na entrada, a resposta do processo apresenta informação 
sobre a natureza intrínseca do processo em questão. Nesta mesma linha, se a natureza 
intrínseca é conhecida e caracterizada de forma adequada, então a resposta do processo a 
qualquer tipo de mudança na variável de entrada pode ser predita. É através da análise 
dinâmica de processos que se busca caracterizar a natureza intrínseca dos processos. 
 Análise Dinâmica de Processos – está concentrada na análise do comportamento 
dinâmico (dependente do tempo) de um processo em resposta a vários tipos de entradas. É 
através de tais estudos que uma ampla variedade de processos reais pode ser caracterizada 
num número relativamente pequeno de categorias bem definidas. Portanto, o principal 
objetivo da análise dinâmica é investigar e caracterizar o comportamento do sistema 
quando um processo é submetido a vários tipos de mudanças na entrada. Esta investigação 
pode ser realizada de duas formas: 
 (i) Na prática, em problemas físicos reais, onde é possível fazer mudanças em 
algumas variáveis de entrada de um processo real e gravar as respostas correspondentes das 
variáveis de saída para subseqüente análise. Esta abordagem de análise dinâmica apresenta 
duas grandes restrições: 
 a) O processo físico pode não existir. Deseja-se fazer uma análise dinâmica 
de um processo ainda na fase de projeto, antes mesmo da construção real da planta. 
 b) O processo físico existe, porém é caro e demanda tempo realizar uma 
análise dinâmica numa planta em operação. Em geral, os processos químicos reais 
apresentam grandes capacidades e, uma vez perturbados, é necessário um tempo 
considerável para que os mesmos voltem à condição original. Tais experimentos 
investigativos, além de consumirem muito tempo de operação, podem levar o processo a 
uma condição indesejada de suspensão de operação, o que implicaria sérios prejuízos 
financeiros. 
 (ii) Teoricamente, com o auxílio de alguma forma de representação matemática do 
processo real. Nesta análise teórica, obtém-se o conhecimento idealizado sobre o 
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comportamento do processo. A abordagem teórica é mais utilizada que a abordagem 
prática, devido às dificuldades já mencionadas para a abordagem prática. 
Toda análise dinâmica teórica apresenta como requisitos principais: 
a) Uma representação matemática ou modelo matemático do processo. 
b) Funções bem caracterizadas que representem as mudanças (perturbações) das 
variáveis de entrada. 
c) Técnicas ou métodos de resolução das equações matemáticas e ferramentas de 
análise. 
Nas seções seguintes, será apresentada inicialmente uma ferramenta matemática 
bastante utilizada no estudo de controle de processos, depois serão apresentadas funções de 
perturbações ideais utilizadas como funções de mudanças das variáveis de entrada e, em 
seguida, será realizada uma revisão de modelagem matemática com aplicação de problemas 
físicos da engenharia química, abordando os três requisitos teóricos da análise dinâmica de 
processos. 
 2.2 – Ferramentas matemáticas 
 Os modelos dos processos são geralmente equações diferenciais lineares e não-
lineares, ordinárias e parciais. A familiarização com tais equações, especialmente como elas 
são resolvidas, é muito importante para a análise dinâmica dos processos. 
 É sempre útil, e freqüentemente essencial, analisar a capacidade de desempenho e 
estabilidade de um sistema proposto antes dele ser construído e implementado. Muitas 
técnicas fazem uso da transformação de variáveis para facilitar o tratamento matemático do 
problema. Na análise dos sistemas dinâmicos no domínio do tempo contínuo, o uso da 
Transformada de Laplace (TL) é predominante. Com esta técnica, é possível converter 
tanto equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares em equações algébricas como 
converter equações diferenciais parciais (EDPs) em EDOs relativamente mais fáceis de 
manusear. Entretanto, a contribuição mais importante da teoria da TL para a análise 
dinâmica é que a mesma é responsável pelo desenvolvimento da forma de modelo do tipo 
função de transferência, que é ainda a forma de modelo mais amplamente usada nos 
estudos de controle de processos. Cabe salientar que a TL é só utilizada em problemas 
tipicamente lineares, sendo uma ferramenta limitada para problemas de maior 
complexidade. Mesmo assim, a TL é uma das mais importantes ferramentas usadas na 
análise dinâmica dos processos. 
 Quando os modelos de processo são não-lineares, a análise requer o uso de métodos 
numéricos adequados para resolução e análise dinâmica do comportamento do processo. Se 
a ênfase está na simplicidade ao invés da precisão, as equações não lineares podem ser 
linearizadas e o comportamento do processo pode ser estudado pela aproximação linear 
com base na TL. 
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 Os processos que apresentam múltiplas variáveis de entrada e saída, ou seja, 
sistemas multivariáveis, são modelados por várias equações ou por um sistema de equações 
e serão apresentados na seção seguinte. O uso da abordagem de matrizes em conjunto com 
a TL, para tais sistemas de equações, reduz significativamente a complexidade de resolução 
do problema. 
A Transformada de Laplace (TL) 
 Aplicar transformada de Laplace é como usar logaritmos para simplificar certos 
tipos de manipulações e soluções matemáticas. Por exemplo, quando os logaritmos são 
aplicados numa equação, os números são transformados numa potência (de 10 ou de 
alguma outra base) de tal modo que multiplicações e divisões são transformadas em somas 
e subtrações, levando a uma simplificação da estrutura da equação. Similarmente, a 
aplicação da transformada de Laplace na análise de sistemas descritos por EDOs, por 
exemplo, é feita com o propósito de superar algumas dificuldades na resolução de tais 
equações no domínio do tempo. Logo, a TL é usada para converter as equações no domínio 
do tempo “t” em equações expressadas em termos do operador de Laplace “s” ou domínio 
de Laplace. 
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por: 
{ } s t
0
L f (t) f (s) e f (t) dt
∞
− ⋅= = ⋅ ⋅∫� , (2.1) 
sendo L{ } o operador que denota a transformação, ‘s’ o domínio de Laplace e f (s)� a 
função no domínio da TL. 
Alguns exemplos aplicando a definição da transformada de Laplace: 
a) f (t) 1= 
{ } s t
0
L f (t) f (s) e f (t) dt
∞
− ⋅= = ⋅ ⋅∫� 
{ } s ts t
0 0
eL 1 f (s) e 1 dt f (s)
s
∞∞ − ⋅− ⋅ ⎡ ⎤= = ⋅ ⋅ ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫� � 
{ } 1L 1 f (s)
s
= =� 
 
 20
b) a tf (t) e− ⋅= 
{ } s t
0
L f (t) f (s) e f (t) dt
∞
− ⋅= = ⋅ ⋅∫� 
{ } (s a) ta t s t a t
0 0
eL e f (s) e e dt f (s)
s
∞∞ − + ⋅− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⎡ ⎤= = ⋅ ⋅ ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫� � 
{ } 1L 1 f (s)
s a
= = +
� 
Propriedades básicas da transformada de Laplace: 
A Transformada de Laplace possui algumas propriedades que, em geral, ajudam a 
simplificar o cálculo da transformada sem ter que aplicar diretamente a definição dada pela 
Equação 2.1. Tais propriedades são: 
1) Nem todas as funções f(t) possuem TL. 
2) Todas as funções de interesse para o estudo de controle e dinâmica de processos 
possuem TL. 
3) A TL não contém informação sobre o comportamento de f(t) para t < 0, já que pela 
definição da TL a integração é feita no domínio positivo de 0 a ∞.4) A função f(t) e sua correspondente transformada f (s)� são ditas para formar um par de 
transformadas que é único. 
5) A operação de TL é uma operação linear, logo: 
{ } { } { }1 1 2 2 1 1 2 2L c f (t) c f (t) L c f (t) L c f (t)⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ . 
6) A TL de derivadas é dada por: 
• df (t)L s f (s) f (0)
dt
⎧ ⎫ = ⋅ −⎨ ⎬⎩ ⎭
� 
• 
2
2 '
2
d f (t)L s f (s) s f (0) f (0)
dt
⎧ ⎫⎪ ⎪ = ⋅ − ⋅ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
� 
 21
• 
3
3 2 ' ''
3
d f (t)L s f (s) s f (0) s f (0) f (0)
dt
⎧ ⎫⎪ ⎪ = ⋅ − ⋅ − ⋅ −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
� 
• 
n n 1
n n 1 n 2 '
n n 1
t 0
d f (t) d f (t)L s f (s) s f (0) s f (0) ...
dt dt
−− −
−
=
⎧ ⎫⎪ ⎪ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
� 
6) A TL de integral: 
 { }t0 1L f ( ) d f (s)sτ ⋅ τ = ⋅∫ � 
7) Se { }L f (t) f (s)= � , então: 
 { }a tL e f (t) f (s a)⋅ ⋅ = −� e { }1 a tL f (s a) e f (t)− ⋅− = ⋅� 
8) Alternância de tempo: 
 { } a sL f (t a) e f (s)− ⋅− = ⋅ � 
9) O teorema do valor final: 
 ( ) ( )
t s 0
lim f (t) lim s f (s)→∞ →= ⋅
� 
10) O teorema do valor inicial: 
 ( ) ( )
t 0 s
lim f (t) lim s f (s)→ →∞= ⋅
� 
Transformada inversa: 
 De acordo com a propriedade 4 apresentada anteriormente, a transformada de 
Laplace e sua respectiva função no tempo estão relacionadas de forma biunívoca. Para 
retornar do domínio da transformada de Laplace (s) para o domínio do tempo contínuo (t), 
faz-se necessário o uso da transformada inversa de Laplace. A forma mais fácil e rápida de 
se obter a transformação inversa é usando uma tabela de pares de transformação, onde é 
possível encontrar a transformada de Laplace das funções mais comuns e, por conseguinte, 
o par de inversões. A Tabela 2.1 mostra os pares de transformação mais usuais. Embora tais 
tabelas sejam bastante úteis, é impraticável ter uma tabela que contemple o par de 
transformações de todas funções possíveis. Desta forma, uma maneira de se obter uma 
transformada inversa quando a tabela não contempla um par de transformações desejado, é 
através do método de expansão por frações parciais, como será descrito na seção seguinte. 
 22
Tabela 2.1 - Pares de transformada de Laplace comumente utilizados. 
f(t) L[f(t)] = f (s)� 
1 Impulso = A·δ(t) A 
2 Degrau = A 
A
s
 
3 Rampa = A·t 2
A
s
 
4 Pulso Retangular = A com duração 0 < t < b ( )b sA 1 es − ⋅⋅ − 
5 tn n 1
n!
s +
 
6 ( )
n 1t
n 1 !
−
− n
1
s
 
7 a te− ⋅ 
1
s a+ 
8 ( ) n 1 a t
1 t e
n 1 !
− − ⋅⋅ ⋅− ( )n
1
s a+ 
9 sen(ω·t) 2 2s
ω
+ω 
10 senh(ω·t) 2 2s
ω
−ω 
11 cos(ω·t) 2 2
s
s +ω 
12 cosh(ω·t) 2 2
s
s −ω 
13 ( )a te sen t− ⋅ ⋅ ω⋅ ( )2 2s a
ω
+ +ω 
14 ( )a te cos t− ⋅ ⋅ ω⋅ ( )2 2
s a
s a
+
+ +ω 
15 ( ) ( )a t ae cos t sen t− ⋅ ⎡ ⎤⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅⎢ ⎥ω⎣ ⎦ ( )2 2
s
s a+ +ω 
16 a te f (t)− ⋅ ⋅ F(s+a) 
17 f(t - b); com f(t) = 0 para t < 0 ( )b se F s− ⋅ ⋅ 
 
 23
Método de expansão por frações parciais: 
 Este procedimento expressa uma função racional f (s)� na forma de uma soma de 
frações, admitindo que as raízes (r1, r2, r3, ..., rn) do polinômio do denominador da função 
f (s)� são conhecidas. A idéia principal da expansão em frações parciais é fazer com que 
cada termo da expansão possa ser facilmente invertido para o domínio do tempo com o 
auxílio da tabela. As relações a seguir são exemplos de frações parciais bem comuns de 
serem obtidas: 
ir t1 i
i
i
aL a e
s r
− ⋅− ⎧ ⎫ = ⋅⎨ ⎬−⎩ ⎭
 
1 i
i
aL a
s
− ⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭ 
As raízes (r1, r2, r3, ..., rn) do polinômio do denominador da função f (s)� 
caracterizam três casos distintos de desenvolvimento da expansão em frações parciais: 
 (i) Todas as raízes são reais e distintas – neste caso o procedimento da expansão 
parte da função f (s)� , dada como a razão: 
1 2 n
D(s) D(s)f (s)
N(s) (s r ) (s r ) ... (s r )
= = − ⋅ − ⋅ ⋅ −
� 
cujas frações parciais são escritas na forma: 
1 2 n
1 2 n 1 2 2
a a aD(s)f (s) ...
(s r ) (s r ) ... (s r ) (s r ) (s r ) (s r )
= = + + +− ⋅ − ⋅ ⋅ − − − −
� . 
 Com o desenvolvimento algébrico da equação, os coeficientes (a1, a2, ..., an) são 
determinados satisfazendo a igualdade da expressão. Como já mencionado, a transformada 
inversa de cada fração para obter a expressão no domínio do tempo pode ser realizada 
facilmente. 
 (ii) Raízes reais repetidas – neste caso o procedimento para a expansão das frações 
parciais é feito da seguinte maneira: 
1 2 n 1 n
n n n 1 2
i i i i i
a a a aD(s)f (s) ...
(s r ) (s r ) (s r ) (s r ) (s r )
−
−= = + + +− − − − −
� . 
 Novamente, os coeficientes (a1, a2, ..., an) podem ser determinados satisfazendo a 
igualdade da expressão e a transformada inversa de cada fração pode ser encontrada 
facilmente com o auxílio de uma tabela. 
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 (iii) Raízes complexas – neste caso as raízes formam um complexo conjugado e a 
expansão das frações parciais fica na forma: 
1 2
*
a aD(s)f (s) R(s)
Q(s) (s r) (s r )
= = + +− −
� 
onde r e r* são as raízes que formam o complexo conjugado (a ± b·j) e R(s) é a parte 
restante de f (s)� . Os coeficientes (a1 e a2) podem ser obtidos normalmente, como 
mencionado anteriormente, e a transformada inversa pode ser obtida com o auxílio de uma 
tabela. 
Exemplo – Resolver a equação diferencial abaixo aplicando transformada de Laplace. 
2
2
d y(t) dy(t)5 6 y(t) f (t)
dtdt
+ ⋅ + ⋅ = , sendo as condições: f (t) 1 , y(0) 1 , y '(0) 0= = = . 
Resolução: 
• Aplicando a TL na equação: 
{ } { }2 2d y(t) dy(t)L 5 L 6 L y(t) L f (t)dtdt
⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫+ ⋅ + ⋅ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
 
�2s y(s) s y(0) y '(0)⋅ − ⋅ − � � 15 s y(s) y(0) 6 y(s)
s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ ⋅ − + ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
� � � �2 21 1s y(s) s 5 s y(s) 1 6 y(s) y(s) s 5 s 6 s 5
s s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + = + +⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
� ( )( ) � ( )( ) ( )2
1 s s 5 1 s s 5
y(s) y(s)
s s 2 s 3s s 5 s 6
+ ⋅ + + ⋅ += ⇒ = ⋅ + ⋅ +⋅ + ⋅ + 
• Desenvolvendo em frações parciais: 
� ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 s s 5 a b cy(s)
s s 2 s 3 s s 2 s 3
+ ⋅ += = + +⋅ + ⋅ + + + 
obtém-se: 1 5 5a b c
6 2 3
= = = − 
� ( ) ( ) ( ) ( )
a b c 1 1 5 1 5 1y(s)
s s 2 s 3 6 s 2 s 2 3 s 3
= + + = ⋅ + ⋅ − ⋅+ + + + 
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• Aplicando a transformada inversa (com o auxílio da tabela de Laplace): 
�{ } ( ) ( )1 1 1 11 1 5 1 5 1L y(s) L L L6 s 2 s 2 3 s 3− − − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ ⎫= ⋅ + ⋅ − ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ +⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ` 
2 t 3 t1 5 5y(t) 1 e e
6 2 3
− ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ − ⋅ 
 2.3 – Funções de perturbação ideais 
 Conforme já mencionado, a análise teórica do comportamento dinâmico de um 
processo é realizada pela investigação da resposta do processo quando certas funções bem 
caracterizadas são admitidas nas variáveis de entrada como fonte de perturbação do 
processo. A seguir, são apresentadas as funções idealizadas mais utilizadas no estudo da 
análise dinâmica: 
(i) Função Degrau – A função degrau de magnitude A, como ilustrado na Figura 2.1, é 
uma função cujo valor permanece em zero até assumir o valor de A instantaneamente no 
tempo inicial da perturbação, que é assumido aqui para ser t = 0. Esta função é representada 
matematicamente como: 
0, t 0
u(t)
A, t 0
<⎧= ⎨ ≥⎩ , (2.2) 
ou ainda em termos de um degrau unitário (A = 1) que é chamada de função Heaviside 
H(t): 
0, 0
( )
1, 0
<⎧= ⎨ ≥⎩
t
H t
t
. (2.3) 
 Logo, a função degrau u(t) pode ser escrita como: 
( ) ( )= ⋅u t A H t , (2.4) 
sendo a transformada de Laplace dada por: 
{ } � A L u(t) u(s)
s
= = . (2.5) 
Um exemplo prático de como ocorre uma perturbação do tipo degrau é a mudança 
repentina da posição do atuador de uma válvula de controle. Com tal mudança, a vazão de 
 26
um fluído é alterada numa magnitude A, correspondendo a uma perturbação de intensidade 
A na variável de entrada.A função degrau aqui representada é uma idealização e não pode ser, em geral, 
exatamente observada na prática. 
 
Figura 2.1 – Representação de uma função degrau ideal. 
(ii) Função Pulso Retangular – A função pulso retangular ideal de magnitude A e duração 
b é ilustrada na Figura 2.2. É uma função cujo valor permanece em zero até uma mudança 
repentina para o valor A no tempo inicial t =0, permanecendo neste valor por um tempo b e 
retornando em seguida para o seu valor inicial. Matematicamente, esta função é 
representada como: 
0, t 0
u(t) A, 0 t b
0, t b
<⎧⎪= < <⎨⎪ ≥⎩
 (2.6) 
 Esta função pode ser interpretada como uma combinação de duas funções degraus 
(Heavisides), um degrau positivo começando no tempo zero e um outro degrau negativo 
começando no tempo b. A diferença dos dois degraus resulta a função pulso retangular, ou 
seja: 
[ ]u(t) A H(t) H(t b)= ⋅ − − (2.7) 
Sendo a transformada de Laplace dada por: 
{ } � b sAL u(t) u(s) 1 e
s
− ⋅⎡ ⎤= = −⎣ ⎦ (2.8) 
 Da mesma forma que a função degrau, a implementação prática da função pulso 
retangular ideal é difícil de ser observada perfeitamente na realidade. Um exemplo de um 
procedimento para a sua realização consiste na mudança instantânea da posição do atuador 
 27
de uma válvula de controle, mantendo esta mudança por um período de tempo previamente 
especificado (b) e depois retornando o atuador para a posição inicial. Esta prática é uma 
aproximação da perturbação pulso retangular ideal que pode ser aplicada numa variável de 
entrada do processo. 
 
Figura 2.2 – Representação de uma função pulso retangular ideal. 
(iii) Função Impulso – A função impulso ideal de magnitude A é uma função representada 
matematicamente como: 
u(t) A (t)= ⋅δ , (2.9) 
onde δ(t) é chamada de função Delta de Dirac e é dada como: 
, t 0
(t)
0, t 0
∞ =⎧δ = ⎨ ≠⎩ . (2.10)
 A função impulso de área A (Figura 2.3) tem como transformada de Laplace: 
{ } � { } �L u(t) u(s) A L (t) u(s) A 1= = ⋅ δ ⇒ = ⋅ . (2.11)
 A implementação em processos físicos da função impulso exata é impossível. 
Entretanto, uma função pulso implementada num curto intervalo de tempo constitui uma 
boa aproximação, especialmente para processos com dinâmica lenta. 
 28
 
Figura 2.3 – Representação de uma função impulso ideal. 
(iv) Função Rampa – A função rampa ideal, como mostra a Figura 2.4, é uma função cujo 
valor é zero no tempo inicial (t = 0) e aumenta linearmente com uma inclinação constante 
A. Matematicamente, esta função é representada por: 
0, t 0
u(t)
A t, t 0
<⎧= ⎨ ⋅ ≥⎩ (2.12)
cuja transformada de Laplace é dada por: 
{ } � 2AL u(t) u(s) s= = (2.13)
 
Figura 2.4 – Representação de uma função rampa ideal. 
(v) Função Senoidal – A função senoidal de amplitude A e freqüência ω está ilustrada na 
Figura 2.5 e é representada matematicamente como: 
0, t 0
u(t)
A sen( t), t 0
<⎧= ⎨ ⋅ ω⋅ ≥⎩ (2.14)
 29
A transformada de Laplace da função de perturbação senoidal é dada por: 
{ } � 2 2AL u(t) u(s) s
⋅ω= = +ω (2.15)
 Na prática, a implementação de uma entrada do tipo senoidal é bastante difícil. 
Entretanto, o estudo teórico da resposta de um processo a uma perturbação senoidal fornece 
informações importantes não só para analisar a dinâmica do processo, mas também para 
projetar controladores efetivos. 
 
Figura 2.5 – Representação de uma função senoidal. 
 2.4 – Modelo de processo 
Como visto anteriormente, o projeto de controladores é significativamente facilitado 
através de um entendimento apropriado da dinâmica de processo. Este entendimento, por 
sua vez, é dependente da disponibilidade de um modelo de processos. Desta forma, é 
possível dizer que a primeira etapa na análise e/ou projeto de um sistema de controle é o 
desenvolvimento de um modelo matemático apropriado. 
 O modelo matemático é, em princípio, uma coleção de relações matemáticas entre 
as variáveis de processo para descrever o comportamento de um sistema físico. 
 Nesta discussão, cabe mencionar que todas as variáveis do processo (tais como: 
variáveis de estado, saída, entrada manipulada e distúrbio) são dependentes do tempo e/ou 
da posição espacial. Por esta razão, elas são consideradas “variáveis dependentes”. As 
variáveis tempo e coordenada espacial são as “variáveis independentes”. 
 Quando o modelo matemático é formulado e a equação (ou sistema de equações) 
apresenta apenas termos lineares, é dito que este modelo forma um sistema linear. Por outro 
lado, quando a equação (ou sistema de equações) apresenta termos não-lineares, diz-se que 
o modelo é representado por um sistema não-linear. A maioria dos processos químicos reais 
é descrita por modelos matemáticos com estruturas não-lineares. No entanto, alguns dos 
comportamentos não-lineares podem ser efetivamente aproximados por termos lineares 
 30
obtidos por linearização, o que resulta uma simplificação considerável do tratamento 
matemático do problema. 
⇒ Formas de representação dos modelos de processo 
Os modelos matemáticos de processo podem ser desenvolvidos numa das seguintes 
formas de representação: 
(1) State-space 
 Para os processos contínuos no tempo, ou seja, aqueles cujas variáveis não são 
amostradas em pontos discretos no tempo, os modelos matemáticos formulados segundo os 
princípios básicos apresentam-se na forma de equações diferenciais. Estas equações 
diferenciais relacionam as variáveis de estado com as variáveis de entrada e saída. Tais 
modelos, cujas variáveis estão explícitas na forma original com que foi formulado, são 
chamados de modelos “state space”. 
Como as equações são formuladas com o tempo como variável independente, os 
modelos na forma state-space são muito úteis para obter a descrição do comportamento 
tempo-real dos processos, sendo bastante usado principalmente na análise do 
comportamento de sistemas não lineares. 
O modelo na forma “state-space” forma diferentes classes de sistemas, podendo ser: 
a) Sistemas a parâmetros concentrados 
 Existem processos, descritos por sistemas lineares ou não-lineares, na qual as 
variáveis dependentes podem ser consideradas uniformes no sistema, variando apenas com 
o tempo. Os modelos para tais sistemas ocorrem naturalmente como equações diferenciais 
ordinárias (EDOs), sendo o tempo a única variável independente. Tais sistemas 
dependentes unicamente do tempo são chamados de sistemas a parâmetros concentrados. 
 Quando o sistema apresenta uma única variável de entrada u(t) e uma única variável 
de saída y(t), o sistema é dito SISO (single input single output) e pode ser modelado, por 
exemplo, na forma: 
dy(t) a y(t) b u(t)
dt
= ⋅ + ⋅ (2.16)
 A equação 2.16 é uma equação SISO linear, já que os termos do lado direito da 
equação são lineares. No entanto, o sistema poderia ser SISO não-linear se a função do lado 
direito da equação apresentasse termos não-lineares. 
 Quando o sistema apresenta múltiplas variáveis de entrada (u1(t), u2(t)..., un(t)) e 
múltiplas variáveis de saída (y1(t), y2(t)..., yn(t)), o sistema é dito MIMO (multiple input 
multiple output) e pode ser modelado, por exemplo, na seguinte forma matricial: 
 31
dy(t)
A y(t) B u(t)
dt
= ⋅ + ⋅ (2.17)
onde A e B são matrizes do sistema, y(t) é o vetor das variáveis de saída (y1(t), y2(t)..., 
yn(t)) e u(t) é o vetor das variáveis de entrada (u1(t), u2(t)..., un(t)). 
 A equação 2.17 é um exemplo de um sistema MIMO linear, já que os temos do lado 
direito das equações são lineares. Porém, se os termos fossem não lineares o sistema seria 
dito MIMO não-linear. 
b) Sistemas a parâmetros distribuídos 
 Quando as variáveis do processo variam ponto a ponto dentro de um sistema, além 
da variação com o tempo, a descrição matemática toma a forma de equações diferenciais 
parciais (EDPs),sendo o tempo e o espaço as variáveis independentes. Tais sistemas 
dependentes do tempo e da posição espacial são chamados de sistemas a parâmetros 
concentrados. Um exemplo de um sistema de parâmetros distribuídos é o trocado de calor 
casco tubo, cuja equação resulta em: 
( )sT(t, x) T(t, x)v T T(t, x)t x
∂ ∂+ ⋅ = β⋅ −∂ ∂ (2.18)
 Da mesma forma que nos sistemas a parâmetros concentrados, os sistemas a 
parâmetros distribuídos podem ser SISO (como na equação 2.18) ou MIMO, linear ou não-
linear. 
(2) Domínio da transformada 
Os modelos matemáticos que relacionam apenas as variáveis de entrada e saída 
podem ocorrer na forma de uma relação de função de transferência nos domínios da 
transformada de Laplace e da transformada Z, diferentemente dos modelos state-space que 
ocorrem no domínio do tempo ou no domínio do tempo e do espaço. A representação no 
domínio da transformada relaciona as entradas do processo (variáveis manipulada e de 
distúrbio) com as saídas, segundo uma equação algébrica, como mostra a Equação 2.19 no 
domínio da transforma de Lapalace: 
dy(s) G(s) u(s) G (s) d(s)= ⋅ + ⋅ (2.19)
onde G(s) e Gd(s) são as funções de transferência do processo e do distúrbio, 
respectivamente, no domínio da transformada de Laplace. 
 Quando o problema apresenta múltiplas entradas e saídas, é possível fazer uma 
representação matricial, na forma: 
 32
dy(s) G(s) u(s) G (s) d(s)= ⋅ + ⋅ (2.20)
sendo G(s) e dG (s) matrizes das funções de transferência, y(s) o vetor das variáveis de 
saída e u(s) e d(s) os vetores das variáveis de entrada manipuladas e distúrbios. 
(3) Domínio da resposta de freqüência 
Outra forma de representação dos modelos tipo entrada e saída é a do domínio da 
resposta de freqüência. Esta representação é similar à representação no domínio da 
transformada. Para obter o modelo na representação do domínio da resposta de freqüência 
basta substituir a variável “s” na representação do domínio da transformada de Laplace por 
“ω·j”, onde ω é a freqüência e j é o número complexo 1− . Desta forma, o modelo nesta 
representação é dado por: 
dy( j) G( j) u( j) G ( j) d( j)ω⋅ = ω⋅ ⋅ ω⋅ + ω⋅ ⋅ ω⋅ (2.21)
onde G(ω·j) e Gd(ω·j) são as funções de transferência da resposta de freqüência, compostas 
por uma parte real e uma parte imaginária. 
 No caso dos sistemas multivariáveis, os modelos de resposta de freqüência ficam na 
forma matricial e vetorial, como: 
dy( j) G( j) u( j) G ( j) d( j)ω⋅ = ω⋅ ⋅ ω⋅ + ω⋅ ⋅ ω⋅ (2.22)
(4) Resposta ao impulso ou integral de convolução 
Considerando a situação na qual o processo tem sua entrada na forma de uma 
função impulso, o modelo pode ser representado também como um modelo entrada e saída, 
sendo a resposta chamada resposta ao impulso. O teorema da convolução da transformada 
de Laplace diz que a transforma inversa de uma multiplicação de funções f(s)·g(s) pode ser 
obtida por uma integral, chamada de integral de convolução. Desta forma, a aplicação deste 
teorema no modelo do domínio da transformada resulta na representação do modelo da 
resposta ao impulso e é dado pelas integrais de convolução, como sendo: 
t t
d0 0
y(t) G(t ) u( ) d G (t ) d( ) d= −σ ⋅ σ ⋅ σ + −σ ⋅ σ ⋅ σ∫ ∫ (2.23)
 Para os sistemas multivariáveis, o modelo de resposta ao impulso é dado como: 
t
d0
y(t) G(t ) u( ) d G (t ) d( ) d= −σ ⋅ σ ⋅ σ + −σ ⋅ σ ⋅ σ∫ ∫ (2.24)
 33
Em geral, as representações dos modelos entrada e saída ocorrem como resultado de 
transformações apropriadas da forma state-space. 
(5) Sistemas discretos no tempo 
 Há situações nas quais as variáveis de saída são deliberadamente amostradas em 
intervalos de tempo. Nesta situação, o tempo não constitui uma variável contínua e, por ser 
representada em intervalos, é considerado como uma variável discreta. As variáveis de 
processo, neste caso, mudam em espaçamentos constantes em relação ao tempo discreto. 
Tais processos são modelados por equações de diferenças e são chamados de sistemas de 
tempo discreto. 
⇒ Formulando os modelos de processo 
 A base teórica para todo modelo de processo é o princípio geral da conservação, que 
essencialmente estabelece: 
 “O que é acumulado dentro dos contornos de um sistema é a diferença do que foi 
adicionado pelo o que foi retirado do sistema, mais o que foi gerado internamente”. 
 ACÚMULO = ENTRA - SAI + GERAÇÃO INTERNA 
 Apesar da existência de uma grande variedade de processos químicos, as 
quantidades fundamentais que estão sendo conservadas em todos os casos são: massa, 
energia e momento, ou a combinação deles. 
• O balanço de massa – pode ser formulado em relação à massa dos componentes 
individuais na mistura ou em relação à massa total. 
• O balanço de momento – é uma generalização da lei de Newton, que estabelece que 
a força é o produto da massa pela aceleração. O balanço de momento pode ser 
considerado como uma equação de balanço de forças do sistema. 
• O balanço de energia – é reconhecido facilmente como o princípio da conservação 
de energia da 1a Lei da Termodinâmica. 
Além do princípio de conservação aplicado à massa, energia e momento, a 
formulação matemática para descrever o comportamento do processo envolve a introdução 
de expressões explícitas para as taxas que aparecem nas equações de balanço. Estas 
expressões são chamadas de equações constitutivas e estão baseadas em leis físicas e 
químicas que incluem: 
• Equações de propriedades da matéria – definições básicas de propriedades físicas, 
tais como: densidade, viscosidade, capacidade específica de calor, etc. 
• Equações de taxas de transporte – encontradas na lei de Fourier para condução de 
calor, na lei de Fick para transferência de massa, na lei de Newton da viscosidade. 
 34
• Equações de taxas de reação química – baseadas na lei da ação das massas e na 
expressão de Arrhenius para representar a dependência das constantes cinéticas com 
a temperatura. 
• Equações termodinâmicas – baseadas em equações de estado e em equações de 
equilíbrio químico e de fases. 
Para melhor entender as formas de representação dos modelos e buscando uma 
discussão mais detalhada sobre modelos matemáticos, dois estudos de casos são 
considerados como exemplo: 
⇒ Estudo de caso 1 – Um tanque de aquecimento 
O estudo de modelagem neste caso é de um processo constituído por um tanque de 
mistura com aquecimento, sendo alimentado e descarregado continuamente, como mostra a 
Figura 2.6. O líquido que alimenta o tanque, a uma temperatura Ti e com vazão volumétrica 
F, é misturado e aquecido por uma serpentina que passa vapor a uma taxa Q (massa/tempo). 
O líquido aquecido é retirado pelo fundo do tanque na temperatura T e mesma vazão da 
entrada (F). O tanque possui volume V; o líquido tem densidade ρ e calor específico cp; e o 
vapor possui calor latente de vaporização λ. Alem disso, considera-se neste processo,que: 
- A mistura é perfeita de modo que a temperatura do líquido dentro do tanque é 
igual à temperatura do líquido na corrente de saída. 
- As propriedades físicas do líquido e do vapor (tais como: ρ, cp e λ) não variam 
significativamente com a temperatura. 
- Todo calor fornecido pelo vapor (através da condensação na serpentina) é recebido 
pelo líquido no tanque. Nenhum calor do vapor é acumulado na serpentina. 
- O sistema é bem isolado e as perdas de calor são desprezíveis. 
 
Figura 2.6 – Representação de um processo de tanque de mistura com aquecimento. 
 35
ƒ Fazendo o balanço de massa global do processo: 
( )d V F F
dt
ρ⋅ = ρ⋅ −ρ⋅ (2.25)
( )d V F F
dt
ρ⋅ = ρ⋅ −ρ⋅ (2.26)
ρ dV
dt
⋅ = ρ F⋅ − ρ dVF 0 V constante
dt
⋅ ⇒ = ⇒ = . (2.27)
É possível concluir que o balanço de massa não forneceu nenhuma informação 
adicional sobre o processo, demonstrando apenas que o volume é constante. 
ƒ Fazendo o balanço de energia do processoe admitindo T* como sendo a temperatura 
de referência na qual a entalpia específica é zero, tem-se: 
( )* * *
p p i p
Entra SaiAcumula
d V (T T )
c F c (T T ) Q F c (T T )
dt
⋅ −ρ ⋅ ⋅ = ρ⋅ ⋅ ⋅ − + λ ⋅ −ρ⋅ ⋅ ⋅ −�����	����
 ���	��
����	���
 (2.28)
p p i
dTV c F c (T T) Q
dt
ρ⋅ ⋅ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ ⋅ − + λ ⋅ (2.29)
i
p
dT F Q(T T)
dt V V c
λ ⋅= ⋅ − + ρ⋅ ⋅ (2.30)
Substituindo a definição de tempo de residência V
F
⎛ ⎞τ =⎜ ⎟⎝ ⎠ no balanço, tem-se que: 
i
dT 1 (T T) Q
dt
= ⋅ − +β⋅τ (2.31)
onde β é o agrupamento de constantes dado por: 
pV c
λβ = ρ⋅ ⋅ . 
 É possível observar que o modelo apresentado pela Equação 2.31 é linear e a 
parâmetro concentrado e está representado na sua forma original ou state-space. 
 Em aplicações de controle de processos é comum escrever o modelo em termos das 
variáveis desvios. Portanto, para obter o modelo em termos das variáveis desvios, primeiro 
 36
é necessário obter o modelo nas condições de estado estacionário, que neste caso é obtido 
como: 
is s s
10 (T T ) Q= ⋅ − +β⋅τ (2.32)
 Subtraindo a Equação 2.31 da Equação 2.32, é possível obter: 
( )s i is s sd(T T ) 1 (T T ) (T T ) (Q Q )dt
− = ⋅ − − − +β⋅ −τ . (2.33)
 Definindo as variáveis desvio: 
 y = T – Ts u = Q – Qs d = Ti – Tis 
e substituído na Equação 2.33, tem-se o modelo em termos das variáveis desvios na forma 
state-space, como: 
( )dy(t) 1 d(t) y(t) u(t)
dt
= ⋅ − +β⋅τ (2.34)
Uma das vantagens de escrever o modelo matemático em termos das variáveis de 
desvio é a consideração de que o processo está em estado estacionário inicialmente, ou seja, 
as condições iniciais das variáveis de desvio ficam zero, o que facilita na aplicação da 
transformada de Lapalace para mudança de domínio. Neste caso, a condição inicial deste 
problema pode ser dada por y(0) = 0 se T(0) = Ts. 
Para representar o modelo do processo em questão na forma do domínio da 
transformada, basta aplicar a TL na Equação 2.34: 
{ } { }( ) { }dy(t) 1L L d(t) L y(t) L u(t)
dt
⎧ ⎫ = ⋅ − +β⋅⎨ ⎬ τ⎩ ⎭ (2.35)
�s y(s) y(0)⋅ − � �( ) �1 d(s) y(s) u(s)= ⋅ − +β⋅τ (2.36)
ou rearranjando na forma: 
� � � �1 1s y(s) y(s) d(s) u(s)⋅ + ⋅ = ⋅ +β⋅τ τ (2.37)
 37
� � �1 1s y(s) d(s) u(s)⎛ ⎞+ ⋅ = ⋅ +β⋅⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠ (2.38)
� � �1y(s) d(s) u(s)
s 1 s 1
β⋅ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ ⋅ + τ ⋅ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (2.39)
 As funções de transferência podem ser facilmente identificadas como: 
d
1G (s) e G(s)
s 1 s 1
β⋅ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ ⋅ + τ ⋅ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.40)
de modo que a Equação 2.39 pode ser dada pela representação geral do modelo de 
transferência, na forma: 
� � �
dy(s) G (s) d(s) G(s) u(s)= ⋅ + ⋅ . (2.41)
Para representar o modelo do processo na forma da resposta de freqüência, só é 
preciso fazer a mudança de variável s = ω·j. Neste caso, o modelo fica: 
� � �
dy( j) G ( j) d( j) G( j) u( j)ω⋅ = ω⋅ ⋅ ω⋅ + ω⋅ ⋅ ω⋅ (2.42)
com as funções de transferência dadas por: 
d
1G ( j) e G( j)
( j) 1 ( j) 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞β⋅ τω⋅ = ω⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ ⋅ ω⋅ + τ ⋅ ω⋅ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (2.43)
 Conforme já visto, a aplicação do teorema da convolução no modelo do domínio da 
transformada (Equação 2.41) resulta na representação do modelo da resposta ao impulso 
dado pelas integrais de convolução: 
t t
d0 0
y(t) G (t ) d( ) d G(t ) u( ) d= −σ ⋅ σ ⋅ σ + −σ ⋅ σ ⋅ σ∫ ∫ . (2.44)
 Em síntese, no estudo de caso do tanque de aquecimento, foi desenvolvido um 
modelo matemático para o processo com base nas equações fundamentais de conservação. 
O modelo desenvolvido foi escrito nas várias formas de representação, buscando-se um 
entendimento de como obter tais representações do modelo. 
 
 38
⇒ Estudo de caso 2 – Um reator CSTR não isotérmico 
O processo em estudo aqui é um reator CSTR não isotérmico conduzindo uma 
reação de primeira ordem irreversível e elementar, conforme mostra a Figura 2.7. A 
alimentação do reator é feita sob vazão volumétrica F e temperatura Ti, sendo constituída 
pelo reagente A na concentração CAi (mol/volume). O produto é retirado do reator sob 
mesma vazão F. A mistura é admitida perfeita, garantindo a homogeneidade do material 
dentro do reator, o que significa que a composição e a temperatura são uniformes no 
interior do reator e são iguais a temperatura T e a composição CA na saída do reator. Por 
dentro do reator passa uma serpentina que permite uma troca térmica com taxa de 
transferência de calor Qc. 
 
Figura 2.7 – Representação de um processo – reator CSTR não isotérmico. 
ƒ Fazendo o balanço de massa global do processo, é possível concluir apenas que o 
volume é constante, da mesma forma que no estudo de caso anterior. 
ƒ Fazendo um balanço do componente A (em base molar): 
É conhecido que a reação química A→B é elementar. Logo, a taxa de reação pode 
ser expressa na forma: 
A Ar k C= − ⋅ . (2.45)
 Desta forma, o balanço molar do componente A pode ser dado, como: 
( )
N N
A
Ai A A
Sai GeraEntra
Acumula
d V C
F C F C r V
dt
⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅�	
��	�
 (2.46)
A
Ai A A
dCV F C F C k C V
dt
⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ (2.47)
 39
A
Ai A
dC F FC k C
dt V V
⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.48)
Introduzindo a definição de tempo de residência, tem-se: 
A
Ai A
dC 1 1C k C
dt
⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅⎜ ⎟τ τ⎝ ⎠ (2.49)
ƒ Fazendo um balanço de energia no processo e admitindo T* como referência, tem-se: 
( )* * *
p p i p c Ä
GeraEntra SaiAcumula
d V (T T )
c F c (T T ) F c (T T ) Q ( H) k C
dt
⋅ −ρ ⋅ ⋅ = ρ⋅ ⋅ ⋅ − −ρ⋅ ⋅ ⋅ − − + −∆ ⋅ ⋅���	��
���	��
 ����	���
����	���
 (2.50)
c
i A
p p
QdT F ( H) k(T T) C
dt V V c c
−∆ ⋅= ⋅ − − + ⋅ρ ⋅ ⋅ ρ ⋅ (2.51)
i A
dT 1 (T T) k C
dt
= ⋅ − − γ + φ⋅ ⋅τ (2.52)
onde as constantes foram grupadas na forma: 
c
p p
Q ( H) e 
V c c
−∆γ = φ =ρ⋅ ⋅ ρ ⋅ . 
 Introduzindo a expressão de Arrhenius para a constante cinética da reação, ou seja: 
0
Ek k exp
R T
⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ , (2.53)
as Equações 2.49 e 2.52 passam a formar o sistema de equações do modelo matemático do 
processo, dado por: 
A
Ai 0 A
i 0 A
dC 1 1 EC k exp C
dt R T
dT 1 E(T T) k exp C
dt R T
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ − ⋅⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ ⋅⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪ = ⋅ − − γ + φ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎪ τ ⋅⎝ ⎠⎩
 (2.54)
 40
 É possível notar com as equações do modelo matemático que: 
 - ambas equações possuem funções não-lineares de T e CA; 
 - as equações estão acopladas, não sendo possível resolvê-las independentemente; 
 - como resultado das não linearidades, não é possível tomar a transformada de 
Laplace destas equações e, portanto, não é possível expressar o modelo em outras formas 
de representação, apenas na representação state-space. Além disso, é impossível obter uma 
solução analítica destas equações. 
 Este estudo de caso foi desenvolvido com o objetivo de mostrar que somente 
quando o modelo de equação diferencial é linear com coeficientes constantes é possível 
obter outras formas de representação, tais como no domínio da transformada de Laplace. 
Além disso, apenas quando soluções analíticas são possíveis é que a forma da resposta ao 
impulso pode ser derivada.