Lista de Exercícios r1 Unidade II 2017.2

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO - UFERSA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS, TECNOLÓGICAS E 
HUMANAS - DCETH 
AAM0006 - RESISTENCIA DOS MATERIAIS I 
PROFESSOR: Me. KLAUS ANDRÉ DE S. MEDEIROS 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – UNIDADE II 
 
 
 
1) Explique os procedimentos para cálculo dos esforços normais. 
 
2) Explique o procedimento do traçado do Diagrama de Esforço Normal. 
 
3) Defina Módulo de Rigidez Axial. 
 
4) Como se dá a influência do peso próprio nas estruturas? 
 
5) Explique a classificação das estruturas quanto a estaticidade. 
 
6) Comente sobre o efeito da variação da temperatura em peças estruturais. 
 
7) Defina Torção. 
 
8) Explique a convenção de sinais adotada para o esforço torsor. 
 
9) Quais as etapas de procedimento para traçado do DMT (Diagrama de Momento Torsor). 
 
10) Diferencie Torção Simples de Torção Composta. 
 
11) O que é empenamento de uma seção reta submetida a torção? 
 
12) Defina Centro de Torção e Eixo de Torção. 
 
13) Diferencie a Teoria Geral de Torção da Teoria Elementar de Torção. 
 
14) Porque seções transversais de barras não circulares são distorcidas quando submetidas a torção? 
 
15) Defina, conceitualmente e matematicamente, Módulo de Rigidez a Torção e Módulo de Resistência a 
Torção. 
 
16) Explique conceitualmente (somente com palavras, sem fórmulas) o procedimento para obtenção das 
reações em elementos estruturais hiperestáticos submetidos a torção. 
 
 
17) A barra prismática da figura abaixo tem seção retangular de 1 in x 1,5 in, é constituída de latão com 
modulo de elasticidade longitudinal E = 13 x 106 lb/in² e está submetida as forças axiais que se 
indicam. Para ela, pede-se determinar: 
 
a) O esforço normal nas seções A, B, C e D. 
Resposta: Nae=0; Nad=10000 lb; Nbe=10000 lb; Nbd=-5000 lb; Nce=-5000 lb; 
Ncd=-1000 lb; Nde=-1000 lb; Ndd=0. 
b) A deformação total da peça. 
Resposta: δtotal= 0,00061in. 
 
18) Uma barra está carregada e apoiada como mostra a figura. 
Determine as forças axiais transmitidas pelas seções transversais 
nos intervalos AB, BC e CD da barra e desenhe o Diagrama de 
Esforço Normal. 
Resposta: NCD = 10 kN; NBC = 60 kN e NAB= -20 kN 
 
 
19) Três cargas axiais estão aplicadas a uma barra de aço como 
mostra a figura. Determine os esforços normais desenvolvidos 
nas seções AB, BC e CD da barra e desenhe o Diagrama de 
Esforço Normal. 
Resposta: NCD = - 50 kN NBC = 50 kN NAB= - 25 kN 
 
 
 
20) Para os exercícios anteriores (18 e 19), determinar os diâmetros das seções, mantida as condições de 
segurança da estrutura, sabendo que o aço empregado tem uma tensão admissível σadm = 174 MPa 
tanto na tração quanto na compressão. 
 
 Caso da questão 32: Caso da questão 33: 
 Resposta: dAB = 12,1 mm Resposta: dAB = 13,52 mm 
 Resposta: dBC = 0,2 mm Resposta: dBC = 19,1 mm 
 Resposta: dCD = 8,5 mm Resposta: dCD = 19,1 mm 
 
21) Uma barra de aço uniforme, colocada sobre um plano horizontal, mede 5m. Calcular seu alongamento 
quando suspensa verticalmente por uma extremidade. (Considerar E = 21000 kgf/mm² e peso 
específico igual a 8gf/cm³). Resposta: δ = 0,00476mm 
 
22) A barra da figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal 
média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado. 
 
 
Resposta: σmáx = 85,7 MPa 
 
23) A haste plástica é feita de Kevlar 49 e tem diâmetro de 10 mm. Supondo que seja aplicada uma carga 
axial de 80 kN, determinar as mudanças em seu comprimento e em seu diâmetro. Dados: E = 131 GPa 
e ν = 0,34. 
Resposta: Lfinal 100,77751 mm e dfinal = 9,97356 mm 
 
24) Uma barra de aço (E = 210 GPa) apresenta as 
dimensões mostradas na figura abaixo. Supondo que 
uma força axial P = 80 kN seja aplicada à barra, 
determinar as mudanças em seu comprimento e nas 
dimensões de sua seção transversal. O material 
comporta-se elasticamente. 
 
Resposta: δx= 2,56 μm δy= -1,28 μm 
 
 
 
25) Aplica-se à extremidade C da barra de aço ABC uma carga 
de P = 66,7 kN. Determinar o diâmetro "d" da parte BC para 
que a tensão seja a mesma do trecho AB, caso seja aplicada 
uma carga de 30 kN em sentido contrário a P na Seção B. 
 
Resposta: d= 40,44 mm 
 
 
 
26) A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes AB e CD. A haste AB é de alumínio (E = 70 GPa) com 
área de seção transversal de 500 mm²; a haste CD é de aço (E = 200 GPa) com área de seção transversal 
de 600 mm². Para a força de 30 kN, determine: 
 
a) O deslocamento de B; 
 Resposta = 0,514mm p/ cima 
b) O deslocamento de D; 
Resposta = 0,300mm p/ baixo 
c) O deslocamento de E. 
Resposta = 1,928mm p/ baixo 
 
 
 
27) A haste ABCD da figura é feita de alumínio com E = 70 GPa. 
Desprezando o peso próprio, determine para as cargas indicadas: 
c) O deslocamento do ponto B; 
Resposta: δb = 0,78125 mm 
d) O deslocamento do ponto D. 
Resposta: δd = 5,71 mm 
 
 
 
 
28) Duas barras prismáticas, rigidamente ligadas entre si, suportam a carga 
axial de 45 kN. A barra superior é de aço, tem comprimento de 10 m e 
seção transversal de 65 cm² de área. A barra inferior é de latão, tem 
comprimento de 6 m e A = 52 cm². Determine as tensões normais e as 
deformações máximas em cada material. Obs.: Considerar o peso 
próprio. 
Dados: Aço: γ = 78 kN/m3 ; E = 210 GPa 
 Latão: γ = 83 kN/m3 ; E = 90 GPa 
 
 Resposta: σmáx(aço) = 8,1 MPa; 
 σmáx(latão) = 9,1 MPa; δAB = 0,37 mm; δBC = 0,594 mm; δtotal = 0,96 mm 
 
 
29) A viga rígida está apoiada por um pino em A e pelos arames 
BD e CE. Se a deformação normal admissível máxima em 
cada arame for Ԑmax = 0,002 mm/mm, qual será o 
deslocamento vertical máximo provocado pela carga P nos 
arames? O que acontecerá? 
 δBD = 0,0048 m e δCE = 0,008 m 
 
 
 
30) Os arames de aço BE e DF com 25 mm de diâmetro 
(Ea = 200 GPa) estão esticados na ocasião da 
aplicação da força de 2000 N em C. Considerando 
rígida a barra AD, determinar: 
a) A tensão em cada arame; 
Resposta: σEB = 0,994 MPa e σFD = 2,38 MPa 
b) O deslocamento do ponto C. 
Resposta: δC = 3,976x10
-6mm 
 
 
31) Uma barra de comprimento L e área de seção transversal 
A1 e módulo de elasticidade E1 foi colocada dentro de um 
tubo de mesmo comprimento L, área A2 e módulo de 
elasticidade E2. Qual a variação de comprimento da barra e 
do tubo, quando uma força P é aplicada por meio de uma 
placa rígida? 
 
32) Uma barra de alumínio de 25 cm de comprimento e seção transversal quadrada, de lado igual a 5 cm, 
está submetida a uma força axial de tração. Experimentalmente determinou-se a deformação 
longitudinal Ԑ = 0,001. Sabendo-se que ν = 0,33, qual o volume final da barra? 
Resposta: V = 624,152 cm³ 
 
 
33) Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB e BC 
é engastada em ambas as extremidades. A porção AB é de 
aço (E = 200GPa; α = 11,7x10-6/°C) e a porção BC é de 
latão (E = 105GPa; α = 20,9x10-6/°C). Sabendo-se que a 
barra está inicialmente sem tensão, determinar: 
c) As tensões normais induzidas nas porções AB e BC, 
por uma temperatura de 50°C; 
Resposta: σAB = -202 MPa e σBC = -72,6 MPa 
d) A correspondente deflexão no ponto B. 
 cima 
 
34) Os arames de aço AB e AC suportam a massa de 200 kg. Supondo que a 
tensão normal admissível para eles seja 130 MPa, determinar o 
diâmetro requerido para cada arame. Além disso, qual será o novo 
comprimento do arame AB depois que a carga for aplicada? Suporo 
comprimento sem deformação de AB como sendo 750 mm. Eaço 
= 200 GPa. 
Resposta: dAB= 3,54 mm; dAC= 3,23 mm; LAB = 750,488 mm 
 
 
 
35) A coluna de concreto é reforçada com quatro barras de aço, cada uma 
com diâmetro de 18 mm. Determinar a tensão média do concreto e do aço se a 
coluna é submetida a uma carga axial de 800 kN. Eaço = 200 GPa e Ec = 25 
GPa. 
 
 
Resposta: σconcreto = 8,24 MPa e σaço = 65,9 MPa 
 
 
 
 
36) A barra de aço é presa a dois apoios fixos A e B. Determine as 
reações desses apoios quando se aplica o carregamento indicado. 
Eaço = 200 GPa. 
 
 
Respostas: RA=323 kN e RB =577kN 
 
 
 
37) A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede 
fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm 
entre a parede B’ e a haste. Determine as reações em A e B’ 
se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. 
Despreze o tamanho do colar em C. (Eaço = 200 GPa) 
 
Resposta: RA= 16,6 kN e RB= 3,39 kN 
38) A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos 
quando a temperatura é de + 25°C. Determine as tensões 
atuantes nas partes AC e CB da barra para a temperatura 
de -50°C. Dados: E =200GPa e α = 12x10-6/Cº. 
Resposta: σAC= 240 MPa σCB= 120 MPa 
 
 
39) Uma barra prismática, rigidamente presa nas extremidades 
é submetida a um aumento de temperatura de 20ºC, ao 
mesmo tempo em que recebe uma carga P = 30 kN. 
Determinar as reações de apoio. Dados: A = 1,5 cm²; E = 
20.000 kN/cm² ; α = 11,7×10-6 ºC-1; ∆T = +20ºC 
 
Respostas: RA = −7,02 + 21,43 =14,41 kN e RB = 7,02 + 8,57 =15,59 kN 
 
40) Traçar o Diagrama de Momento Torsor 
 
 
 
 
41) Determine as reações dos apoios A e B da barra de aço 
mostrada na figura abaixo e depois esboce o diagrama real 
de momentos torsores. 
 Resposta: TB = 645 N∙m e TA = - 345 N∙m 
 
 
42) Para a barra de aço com diâmetro de 50 mm, determine as 
tensões de cisalhamento máximas nos trechos AC e CB. 
 Resposta: τCB = 4,07 MPa e τAC = 8,15 MPa 
 
43) Uma barra de aço sólida de seção transversal circular tem diâmetro d = 1,5 in, comprimento L = 54in 
e módulo de elasticidade transversal G = 11,5x106 psi. A barra está submetida a torques T agindo nas 
extremidades. 
 
a) Se os torques têm magnitude T = 250 lb∙ft, qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra? Qual 
é o ângulo de torção entre as extremidades? Resposta: τmax = 4350 psi ; φ = 1,62º 
b) Se a tensão admissível é 6000 psi e o ângulo de torção admissível é 2,5º, qual é o torque máximo 
permitido? Resposta: Tmax = 331 lb ∙ft 
 
 
44) Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular sólida ou com um tubo circular vazado. O 
eixo deve transmitir um torque de 1200 N∙m sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 
40 MPa nem uma razão de torção de 0,75º /m. (O módulo de elasticidade de cisalhamento do aço é de 
78 GPa) 
a) Determine o diâmetro necessário do eixo sólido. 
 Resposta: do = 58,8 mm 
b) Determine o diâmetro externo necessário d2 do eixo 
vazado se a espessura t do eixo está especificada em 
um décimo do diâmetro externo. 
Resposta: d2 = 67,1 mm 
c) Determine a razão dos diâmetros (isto é, a razão 
d2/do) e a razão dos pesos dos eixos sólido e vazado. 
 Resposta: d2 / do = 1,14 ; Wvazado / Wsólido = 0,47 
 
 
 
45) Um eixo vazado e um eixo sólido construídos do mesmo material têm o mesmo comprimento e o 
mesmo raio externo R, o raio interno do eixo vazado é 0,6R. 
a) Assumindo que ambos os eixos estão submetidos ao mesmo torque, compare suas tensões de 
cisalhamento, ângulos de torção e pesos. 
b) Determine as razões de peso-resistência para ambos os eixos. 
 
 
 
 
H-vazado, S-Sólido 
 Resposta: A razão para o eixo 
vazado é 36 % maior que do eixo 
sólido, mostrando a eficiência do 
eixo vazado. 
 
 
 
 
 
46) Um eixo está submetido a um torque T. Comparar a eficácia do 
tubo mostrado na figura com a de um eixo de seção maciça de raio 
c. Para isso, calcular a porcentagem de aumento na tensão de 
torção e no ângulo de torção por unidade de comprimento do tubo 
em relação aos valores do eixo de seção maciça. 
 Resposta: As eficiências de tensão de torção e ângulo de torção 
são iguais e valem um aumento de 6,67% do eixo vazado em 
relação ao eixo maciço. 
 
47) Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento 
admissível de τadm = 12 ksi. Supondo que o diâmetro do eixo seja de 
1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. 
Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1 pol de 
diâmetro ao longo do eixo? Traçar o gráfico da distribuição 
cisalhamento-tensão ao longo de uma reta radial em cada caso. 
 
Resposta: As tensões de cisalhamento T e T’ são, respectivamente, 7952,16 lbf.pol e 6381,36 lbf.pol. 
 
48) Uma barra engastada de comprimento 10 m e R=50 mm está submetido à 
seguinte distribuição de cisalhamento. Calcule o torque total agindo sobre a 
barra. 
 Resposta: T= 10995,572 N.m 11 kN.m 
 
49) Uma barra em torção tem diâmetro d1=50 mm ao longo de metade de seu comprimento e diâmetro 
d2=75 mm ao longo da outra metade, conforme figura a seguir. Qual é o torque permissível, T, se o 
ângulo de torção φ não deve exceder 0,01 radianos? (Admitir G=8,4x10³ kgf/mm²) 
 
Resposta: T = 34,43∙10³ kgf.mm 
 
50) Uma barra AB de seção reta circular é engastada na extremidade esquerda (ver figura abaixo) e sujeita 
a um torque distribuído, de intensidade constante mt. Deduzir uma fórmula para o ângulo de rotação φ 
na extremidade B da barra. 
 
Resposta: φ = (mt.L²)/2.G.J 
 
51) O conjunto consiste de dois segmentos de tubos de aço 
galvanizado acoplados por uma redução em B. O tubo menor tem 
diâmetro externo de 0,75 pol e diâmetro interno de 0,68 pol, 
enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 1 pol e diâmetro 
interno de 0,86 pol. Supondo que o tubo esteja firmemente preso 
à parede em C, determinar a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado 
mostrado é aplicado ao cabo da chave. 
 Resposta: τAB = 7,82 ksi e τBC = 2,36 ksi 
 
 
 
52) Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Obs.: Ip é constante. 
 Resposta: τmax = 16,3 Mpa 
 
 
 
53) O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com 
diâmetro de 0,5in e CB, com diâmetro de 1in. Se estiver 
preso em suas extremidades A e B e for submetido a um 
torque de 500lb.ft, determine a tensão de cisalhamento 
máxima no eixo. Gaço=10,8∙103ksi. 
 Resposta: τmax = 29,3 ksi 
 
 
 
 
 
mt 
A B 
 
54) Qual será o torque na região central da barra circular com as extremidades engastadas, mostrada na 
figura a seguir, se T1 = 2.T2 , a = c = l/4 e b = l/2? 
Resposta: T1/8 
 
 
 
 
 a b c 
 
 
55) Uma barra ABC engastada em ambas as extremidades é 
sujeita a um torque T na seção B como se vê ao lado. A barra 
é circular com diâmetro d1, de A a B e diâmetro externo d2 
e interno d1, de B a C. Deduzir uma expressão para a razão 
a/l de maneira que os torques reativos em A e C sejam 
numericamente iguais. 
 
56) Um eixo de comprimento 10 m e R = 10 cm está submetida a T = 80 kN∙m. Calcule τmax e a potência 
transmitida a 5000 rpm em cada uma das configurações abaixo: 
 
 
 τmax = 50,92 Mpa τmax = 54,42 Mpa 
P = 41,8 MW P = 41,8 MW 
 
57) Um eixo tubular com diâmetro interno de30 mm e diâmetro externo de 42 mm será usado para 
transmitir 90 kW de potência. Determine a frequência de rotação do eixo de modo que a tensão de 
cisalhamento não ultrapasse 50 MPa. Resposta: f = 26,6 Hz 
 
58) Um navio tem um eixo de transmissão da hélice que gira a 1.500 rev/minuto quando está desenvolvendo 
1.500 kW. Se o eixo tiver 2,4 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, determine a tensão de 
cisalhamento máxima no eixo causada por torção. τmax = 48,6MPa 
 
59) O moto-redutor de 2,5 kW pode girar a 330 rev/minuto. Se a tensão de cisalhamento admissível para o 
eixo for τadm = 56 MPa, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro do eixo 
que pode ser usado. D=19,34mm 
 
60) Um motor de engrenagens desenvolve 1/10 hp quando gira a 300 rev/min. Supondo que o eixo tenha 
diâmetro de ½ pol, determinar a tensão de cisalhamento máxima nele desenvolvida. 
 Resposta: τ = 856 psi. 
T 1 T 2