Exercícios de Física - Campos Magnéticos

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Lista de exercı´cios 8 – Capı´tulo 28 Tipler & Mosca
1. Um campo magne´tico de 1,2T e´ perpendicular a uma espira quadrada de 14 voltas. O comprimento de
cada lado da espira e´ de 5cm. (a) Encontre o fluxo magne´tico atrave´s da espira. (b) Determine o fluxo
magne´tico atrave´s da espira se o campo magne´tico faz um aˆngulo de 60◦ com a normal ao plano da
espira.
2. Uma espira circular de 15 voltas e raio 4cm esta´ em um campo magne´tico de 0,4T na direc¸a˜o x positiva.
Determine o fluxo atrave´s da espira quando o vetor unita´rio perpendicular ao plano da espira for (a)
nˆ= iˆ, (b) nˆ= jˆ, (c) nˆ= 1√
2
(
iˆ+ jˆ
)
, (d) nˆ= kˆ, e (e) nˆ= 0,6iˆ+0,8 jˆ.
3. Um fio retilı´neo e longo transporta uma corrente I. Uma espira
retangular com os lados maiores paralelos ao fio possui lados a
e b, com seu lado mais pro´ximo a uma distaˆncia d do fio, como
mostrado na figura. (a) Calcule o fluxo magne´tico atrave´s da
espira (sugesta˜o: calcule o fluxo atrave´s da faixa de a´rea dA=
bdx e integre de d ate´ d + a). (b) Avalie sua resposta para
a= 5cm, b= 10cm, d = 2cm e I = 20A.
4. Um longo cilindro condutor de raio R transporta uma corrente
I que esta´ uniformemente distribuı´da sobre sua a´rea de sec¸a˜o
reta. Encontre o fluxo magne´tico atrave´s da a´rea indicada na
figura abaixo (sugesta˜o: calcule o fluxo atrave´s da faixa de a´rea
dA= Ldr e integre de 0 ate´ R).
5. Uma espira retangular no plano da pa´gina tem dimenso˜es a e
b. Um longo fio que transporta uma corrente I e´ colocado dire-
tamente sobre a espira, como mostrado na figura. (a) Obtenha
uma expressa˜o para o fluxo magne´tico atrave´s da espira como
uma func¸a˜o de x para 0 ≤ x ≤ 2b. (b) Para qual valor de x o
fluxo atrave´s da espira e´ ma´ximo? Para qual valor de x o fluxo
atrave´s da espira e´ mı´nimo?
6. Um campo magne´tico uniforme ~B e´ estabelecido perpendicularmente ao plano de um espira circular de
raio 5cm, resisteˆncia de 0,4Ω e auto-indutaˆncia desprezı´vel. O mo´dulo de ~B esta´ aumentando a uma
taxa de 40mT/s. Encontre (a) a fem induzida na espira, (b) a corrente induzida na espira, e (c) a taxa de
aquecimento da espira em joules.
7. O fluxo atrae´s de uma espira e´ dado porΦm=
(
t2−4t)×10−1Wb, onde t esta´ em segundos. (a) Encontre
a fem induzida como func¸a˜o do tempo. (b) Determine Φm e Eind para t = 0s, t = 2s, t = 4s e t = 6s.
1
8. Considere o sistema mostrado na figura abaixo, em que um semi-cı´rculo de raio r = 20cm e treˆs sec¸o˜es
retas. O semi-cı´rculo esta´ numa regia˜o de campo magne´tico uniforme orientado para fora da pa´gina; a
magnitude do campo e´ dada por B = 4t2 + 2t+ 3, com Bem tesla e t em segundos. Uma bateria ideal
com fem E = 2V e´ conectada ao circuito. A resisteˆncia do fio e´ 2Ω. (a) Qual e´ a magnitude da fem
induzida pelo campo ~B em torno do circuito em t = 10s? (b) Qual e´ a magnitude e sentido da corrente
no circuito em t = 10s?
9. Considere a espira retangular imersa numa regia˜o de campo
magne´tico na˜o-uniforme e varia´vel, cuja orientac¸a˜o e´ para den-
tro da pa´gina, como mostra a figura. A magnitude do campo e´
dada por B = 4t2x2, com B em tesla, t em segundos e x em
metros. (Note que ela e´ uma func¸a˜o tanto do tempo como
da posic¸a˜o.) O circuito tem as seguintes dimenso˜es: largura
W = 3m e altura H = 2m. Quais sa˜o a magnitude e direc¸a˜o da
fem induzida no circuito em t = 0,1s?
10. Como visto na figura abaixo, uma espira quadrada tem lados
2,0cm. Um campo magne´tico orientado para fora da pa´gina,
sua magnitude e´ B = 4t2y com B em tesla, t em segundos e
x em metros. Em t = 2,5s, quais sa˜o (a) magnitude da fem
induzida e (b) o sentido da corrente induzida na espira?
11. Um soleno´ide de comprimento 25cm e raio de 0,8cm, com 400 voltas, esta´ em um campo magne´tico
externo de 600G que faz um aˆngulo de 50◦com o eixo do soleno´ide. (a) Determine o fluxo magne´tico
atrave´s do soleno´ide. (b) Determine o mo´dulo da fem induzida no soleno´ide se o campo magne´tico
externo e´ reduzido para zero em 1,4s.
12. Um enrolamento circular de 100 voltas possui um diaˆmetro de 2cm e resisteˆncia 50Ω. O plano do
enrolamento e´ perpendicular a um campo magne´tico uniforme de mo´dulo 1T . A direc¸a˜o do campo e´
subitamente invertida. (a) Determine a carga total que passa atrave´s do enrolamento. Se a reversa˜o leva
0,1s, encontre (b) a corrente me´dia no enrolamento e (c) a fem me´dia no enrolamento.
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13. Um enrolamento circular de 300 voltas e raio de 5cm esta´ conectado com um integrador de corrente.
A resisteˆncia total do circuito e´ 20Ω. O plano do enrolamento esta´ originalmente alinhado de modo
perpendicular ao campo magne´tico da Terra em algum ponto. Quando o enrolamento e´ girado de 90◦, a
carga que passa atrave´s do integrador de corrente e´ medida como sendo 9,4µC. Determine o mo´dulo do
campo magne´tico da Terra naquele ponto.
14. A espira retangular mostrada na figura abaixo possui 80 vol-
tas, tem largura a = 25cm e comprimento b = 30cm, e esta´
localizada em um campo magne´tico uniforme B = 1,4T dire-
cionado para fora da pa´gina. A resisteˆncia da espira e´ de 24Ω.
Determine o mo´dulo e sentido da corrente induzida se a espira
e´ deslocada com uma velocidade de 2m/s (a) para a direita, (b)
para cima, (c) para a esquerda, e (d) para baixo.
15. No sistema mostrado na figura abaixo, seja B = 0,8T , v =
10m/s, ` = 20cm e R = 2Ω. Determine (a) a fem induzida
no circuito, (b) a corrente no circuito, e (c) a forc¸a necessa´ria
para mover a haste com velocidade constante, assumindo um
atrito desprezı´vel. Determine (d) a poteˆncia de etnrada devida
a` forc¸a do item (c) e (e) a taxa de efeito Joule I2R.
16. No sistema mostrado na figura abaixo, a haste tem resisteˆncia
R, os trilhos sa˜o horizontais e apresentam resisteˆncia des-
prezı´vel. Uma bateria ideal de fem E esta´ conectada entre os
pontos a e b de tal modo que a corrente na haste esteja para
baixo. A haste esta´ em repouso em t = 0. (a) Encontre a forc¸a
sobre a haste como uma func¸a˜o da velocidade v e escreva a
segunda lei de Newton para a haste quando ela apresenta uma
velocidade v. (b) Mostre que a haste se move como uma ve-
locidade terminal e encontre uma expressa˜o para esta veloci-
dade. (c) Qual e´ a corrente quando a haste se aproxima de sua
velocidade terminal?
17. No sistema mostrado na figura abaixo, uma haste condutora
de massa m e resisteˆncia despresı´vel e´ livre para deslizar sem
atrito ao longo de dois trilhos paralelos de resisteˆncia des-
prezı´vel separados por uma distaˆncia ` e conectados por uma
resisteˆncia R . Os trilhos esta˜o montados em um plano incli-
nado que faz um aˆngulo θ com a horizontal. Existe um campo
magne´tico ~B orientado para cima. (a) Mostre que existe uma
forc¸a de retardo direcionada para cima do plano inclinado dada
por F =
(
B2`2vcos2θ
)
/R. (b) Mostre que a velocidade termi-
nal da haste e´ vt = (mgRsinθ)/
(
B2`2 cos2θ
)
.
3
18. Considere a situac¸a˜o do exercı´cio anterior, mas seja θ = 30◦, m = 0,4kg, ` = 15m e R = 2Ω. A haste
parte do repouso no topo do plano inclinado em t = 0. Os trilhos possuem resisteˆncia desprezı´vel. Existe
um campo magne´tico constante direcionado verticalmente de mo´dulo B = 1,2T . (a) Determina a fem
induzida na haste como func¸a˜o da sua velocidade para baixo nos trilhos. (b) Escreva a lei de Newton do
movimento para a haste; mostre que a haste ira´ atingir uma velocidade terminal e determine seu valor.
19. A figura abaixo mostra duas espiras circulares paralelas a um
eixo comum. A espira menor (de raio r) esta´ acima da es-
pira maior (raio R) a uma distaˆncia x � R. Desta forma,
o campo magne´tico devido a uma corrente I (sentido anti-
hora´rio) da espira maior e´ praticamente uniforme atrave´s da
espira menor. Suponha que x esta´ aumentando a uma taxa
constante v= dx/dt. (a) Determine uma expressa˜o para o fluxo
magne´tico atrave´s da a´rea da espira menorcomo uma func¸a˜o
de x. Na espira menor, determine (b) uma expressa˜o para a
fem induzida E e (c) a direc¸a˜o da corrente induzida.
20. Considere uma espira retangular com dimenso˜es a = 2,2cm e
b = 0,8cm, e resisteˆncia R = 0,4mΩ, e´ colocada pro´xima a
um fio infinitamente longo transportando corrente I = 4,7A.
A espira e´ enta˜o afastada do fio a uma rapidez v = dr/dt =
3,2mm/s Quando o centro da espira esta´ a uma distaˆncia r =
1,5b, quais sa˜o (a) a magnitude do fluxo magne´tico atrave´s da
espira e (b) a corrente induzida na espira?
21. Um soleno´ide com indutaˆncia de 6,3µH e´ conectado em se´rie com um resistor de resisteˆncia 1,2kΩ.
(a) Se uma fonte de fem 14V e´ conectada no circuito, quando tempo demorara´ para que a corrente no
resistor chegue a 80% de seu valor final? (b) Qual e´ a corrente atrave´s do resistor no tempo t = τ?
22. Dado o circuito da figura abaixo, admita que a chave S es-
teja fechada por um longo tempo, de tal modo que exista uma
corrente em regime permanente no indutor e que o indutor L
possua uma resisteˆncia desprezı´vel. (a) Encontre a corrente
da bateria, a corrente no resistor de 100Ω e a corrente atrave´s
do indutor. (b) Encontre a tensa˜o inicial no indutor quando a
chave S e´ aberta.
23. Para o circuito mostrado ao lado, (a) Determine a taxa de
variac¸a˜o da corrente em cada indutor e no resistor alogo apo´s
a chave ser fechada. (b) Qual e´ a corrente final?
4
24. Para um circuito RL, seja E = 12V , R= 3Ω e L = 0,6H. A chave e´ fechada no instante t = 0. A partir
do instante t = 0 ate´ t = τ , encontre (a) a energia total fornecida pela bateria, (b) a energia total que e´
dissipada no resistor, e (c) a energia que e´ armazenada no indutor. (Sugesta˜o: determina as taxas como
func¸eo˜s do tempo e integre.)
25. Para um circuito RL, considere que E = 10V , R = 6,7Ω e L = 5,5H. A bateria ideal e´ conectada no
tempo t = 0. (a) Quanta energia e´ fornecida pela bateria durante os primeiros 2s? (b) Quanta desta
energia e´ armazenada no campo magne´tico do indutor? (c) Quanta desta energia e´ dissipada no resistor?
26. Considere o circuito mostrado abaixo, a bateria ideal 10V ,
R1 = 5Ω, R2 = 10Ω, e L= 5H. A chave S e´ fechada no tempo
t = 0. No instante em que a chave e´ fechada, quais sa˜o (a) I1,
I2 e I, (b) a ddp atrave´s do indutor e do resistor R2. Apo´s um
longo tempo, quais sa˜o (c) I1, I2 e I, (d) as ddps no resistor R2
e no indutor?
27. Considere o circuito mostrado abaixo, uma bateria ideal 40V ,
R1 = 20kΩ, R2 = 20kΩ, e L = 50mH. A chave e´ fechada em
t = 0, neste instante quais sa˜o (a) a corrente na bateria, e (b) a
taxa dIbat/dt? No instante t = 3µs, quais sa˜o (c) a corrente na
bateria, e (d) a taxa dIbat/dt? Apo´s um longo tempo, quais sa˜o
(e) a corrente na bateria, e (f) a taxa dIbat/dt?
28. Um cabo coaxial consiste em dois cilindros condutores de espes-
suras finas e raios r1 e r2. A corrente I segue em sentidos opostos
nos cilindros. (a) Use a lei de Ampe`re para determinar B, e mostre
que B = 0, exceto na regia˜o entre os condutores. (b) Mostre que a
densidade de energia magne´tica do campo magne´tico na regia˜o en-
tre os cilindros e´ um =
µ0I2
8pi2r2 . (c) Entre a energia magne´tica em um
elemento de volume na forma da casca esfe´rica de comprimento ` e
volume dV = `2pirdr, e integre o resultado para mostrar que a ener-
gia magne´tica total no volume de comprimento ` e´ Um =
µ0I2`
4pi ln
r2
r1
.
(d) Use o resultado do item (c) e Um = LI
2
2 para mostrar que a auto-
indutaˆncia por unidade de comprimento e´ L` =
µ0
2pi ln
r2
r1
.
Respostas
1. (a) Φm = 42mWb e (a) Φm = 21mWb.
2. (a) Φm = 30,2mWb, (b) Φm = 0, (c) Φm = 21,3mWb, (d) Φm = 0, (e) Φm = 18,1mWb
3. (a)Φm = µ0Ib2pi ln
(
1+ da
)
(b) 0,5µWb.
4. dΦm = µ0IL2piR2 rdr e
Φm
L =
µ0I
4pi .
5. (a)
|Φm|=
µ0Ia
2pi ln
( x
b−x
)
, se 0≤ x≤ b
|Φm|= µ0Ia2pi ln
( x
x−b
)
, se x≥ b
, (b) xmax = 0 e xmin = b2 .
5
6. (a) |Eind |= 314µV , (b) Iind = 785µA, (c) P= I2R= 247nW .
7. (a) Eind = −(0,2t−0,4)V , (b)
Φm = 0Eind = 0,4V t = 0s,
Φm =−0,4WbEind = 0 t = 2s
Φm = 0Eind =−0,4V t = 4s ,Φm = 1,2WbEind =−0,8V t = 6s .
8. (a) Eind = pir2 (4t+1) = 5,15V , (b) I = Eind−ER = 1,58A.
9. Φm = 72t2, Eind = 144t ≈ 14V .
10. (a) Φm = 2t2`3, Eind = 4t`3 ≈ 8×10−5V , (b) o sentido da corrente e´ hora´rio.
11. (a) Φm = NBAcosθ = 3,1mWb e (b) Eind = 2,2mV .
12. (a) ∆Q=−NBpid22R =−1,26mC, (b) 12,6mA e (c) 630mV .
13. B= ∆QRNpir2 = 80µT .
14. (a,c) Iind = 0, (b) Iind = BavR = 2,3A e estara´ no sentido hora´rio, (d) Iind = 2,3A e estara´ no sentido anti-hora´rio.
15. (a) Eind = B`v= 1,6V , (b) 0,8A, (c) F = Fm = BI`= 0,13N, (d) P= Fv= 1,3W , (e) 1,3W .
16. (a) a= dvdt =
B`
mR (E−B`v), (b) vt = EB` , (c) I = 0.
18. (a) Eind = B`vcosθ (b) vt = mgRsinθB2`2 cos2 θ = 1,6cm/s.
19. (a) Φm = µ0pir
2R2I
2x3 , (b) E = 32 µ0pir
2R2I
x4 v, (c) Quando a espira menor movimenta-se para cima, o fluxo diminui, logo
o campo induzido estara´ no mesmo sentido do campo da espira maior, logo, a corrente induzida Iind estara´ no sentido
antihora´rio (assim como I).
20. (a) Φm = µ0Ia2pi ln
(
r+b/2
r−b/2
)
= 1,4×10−8Wb, (b) |Iind |= µ0Iabv
2piR
(
r2− b24
) = 10µA.
21. (a) t = 1,609τ = 8,5ns, (b) I = 7,4mA.
22. (a) I10 = IL = 1A e I100 = 0, (b) 100V .
23. (a) dIRdt =
E
Leq
= 9kA/s, dI4dt = 6kA/s,
dI8
dt = 3kA/s, (b) I =
E
R = 1,6A.
24. (a) Ubat =
∫ τ
0 Pbatdt =
E2L
R2e = 3,5J, (b) Ures =
∫ τ
0 Presdt =
E2L
R2
(2
e − 12 − 12e2
)
= 1,6J, (c) Uind = 12LI
2 (τ) = 1,9J,
e pela conservac¸a˜o Ubat =Ures+Uind .
25. (a) Ubat == E
2
R
[
t+ LR
(
e−
t
τ −1
)]2
0
= 18,7J, (b) Uind = 12LI
2 (t = 2) = 5,10J, (c) Ures =Ubat −Uind = 13,6J.
26. (a) I1 = 2A, I2 = 0 e I = 2A, (b) VL = E e V2 = E−VL = 0, (c) I1 = 2A, I2 = 1A e I = 3A, (b) VL = 0 e V2 = E .
27. (a) Como o indutor serve como uma condic¸a˜o inicial para a corrente no circuito, a corrente na bateria em t = 0 e´
zero. (b) dIbatdt =
E
L = 8,0×102A/s. (c) Ibat (3µs) = 1,8mA e (d) E− IbatR−EL = 0 e dIbatdt = E−IbatRL = 4,4×102A/s. (e)
Ibat (∞) = ER = 4,0mA e (f)
dIbat
dt = 0.
6