Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matema´tica MTM122 - CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Lista de Exerc´ıcios 21 1. Mostre, utilizando a definic¸a˜o formal, que os limites abaixo existem e sa˜o iguais ao valor dado. (a) lim x→3 (4x− 5) = 7. (b) lim x→−2 x2 − 4 x+ 2 = −4. 2. Sabendo que lim x→1 f(x) = 0, lim x→1 g(x) = 2 e lim x→1 h(x) = −1, determine os limites abaixo, caso existam: (a) lim x→1 [f(x) + 3h(x)− 2g(x)] (b) lim x→1 [h(x)(g(x))3] (c) lim x→1 h(x) (g(x))2 Respostas: (a) −7; (b) −8; (c) −1 4 3. Calcule os limites abaixo: (a) lim x→−1 (−x5 + 6x4 + 2). (b) lim x→−1 [(x+ 4)3 · (x+ 2)−1]. (c) lim x→0 [(x− 2)10 · (x+ 4)]. (d) lim t→2 t+ 3 t+ 2 . (e) lim t→2 t2 − 5t+ 6 t− 2 . (f) lim x→4 3 √ 6x+ 3. (g) lim x→7 (3x+ 2)2/3. (h) lim x→pi/2 [2 sen(x)− cos(x) + cotg(x)]. (i) lim x→4 (ex + 4x). Respostas: (a) 9; (b) 27; (c) 4096; (d) 5 4 ; (e) −1; (f) 3; (g) 3 √ 529; (h) 2; (i) e4 + 16 4. Considere a seguinte func¸a˜o: f(x) = | cos(x)|, se x 6 −pi 2 2 pi x+ 1, se − pi 2 < x < 0 −x2 + x+ 1, se 0 6 x < 1 ex, se x > 1. (a) Esboce o gra´fico de f(x). (b) Pelo gra´fico, o que podemos afirmar sobre lim x→−pi2 f(x)? E lim x→0 f(x)? E lim x→1 f(x)? Respostas: (b) 0; 1; na˜o existe 5. Seja f(x) = x, se x < 1 6, se x = 1 2− 3x2, se 1 < x 6 2 x− 3, se x > 2. Calcule: 1Esta lista foi elaborada em parceria com a professora Monique Rafaella Anunciac¸a˜o de Oliveira - DEMAT/UFOP (a) lim x→1− f(x) (b) lim x→1 f(x) (c) f(1) (d) lim x→2− f(x) (e) lim x→2+ f(x) (f) lim x→2 f(x) Respostas: (a) 1; (b) Na˜o existe; (c) 6; (d) −10; (e) −1; (f) Na˜o existe 6. Calcule lim x→0 x4 cos ( 2 x ) . Resposta: 0 7. Dada f(x) = |x|+ x x , existe lim x→0 f(x)? Resposta: Na˜o 8. Sabendo-se que as desigualdades 1− x 2 6 < x sen(x) 2− 2 cos(x) < 1 valem para todos os valores de x pro´ximos de zero, calcule lim x→0 x sen(x) 2− 2 cos(x) . Resposta: 1 9. Calcule, caso exista, o limite: (a) lim x→2 x2 + x− 6 x− 2 (b) lim x→4 x2 − 4x x2 − 3x− 4 (c) lim t→−3 t2 − 9 2t2 + 7t+ 3 (d) lim x→7 √ x+ 2− 3 x− 7 (e) lim x→4 5 + √ x√ 5 + x (f) lim x→−2 2− |x| 2 + x (g) lim x→0 |x| x (h) lim x→0 4−√12x+ 16 x (i) lim x→1 x− 1√ x− 1 (j) lim x→1 √ x− 1√ 2x+ 3−√x (k) lim x→2 x− 2√ 4− x2 (l) lim x→3 x3 − 3x− 3 x2 − 1 (m) lim x→3 (x2 − 4x+ 3) [ cos ( 1 x− 3 ) + cos ( ex x− 3 ) + 1 ] (n) lim x→1 f(x), onde f(x) = ln(|cos(x+ ex)|) se x < −1 x− 1 se −1 ≤ x < 1 x2 − 2x+ 1 se 1 ≤ x. Respostas: (a) 5; (b) 4 5 ; (c) 12 5 ; (d) 1 6 ; (e) 7 3 ; (f) 1; (g) @; (h) −3 2 ; (i) 0; (j) 0; (k) 0; (l) 15 8 ; (m) 0; (n) 0. 10. Calcule lim h→0 f(x0 + h)− f(x0) h em cada caso a seguir: (a) f(x) = x3. (b) f(x) = x4. (c) f(x) = xn. (d) f(x) = ax+ b. (e) f(x) = ax2 + bx+ c. (f) f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d. (g) f(x) = √ x Respostas: (a) 3x20; (b) 4x 3 0; (c) nx n−1 0 ; (d) a; (e) 2ax0 + b; (f) 3ax 2 0 + 2bx0 + c; (g) 1 2 √ x0 11. Calcule, caso exista, o limite: (a) lim x→1 2− x (x− 1)2 (b) lim x→−1 x2 − 4x x2 − 3x− 4 (c) lim t→0 [ 1 t √ 1 + t − 1 t ] (d) lim x→+∞ √ 12x3 − 5x+ 2 1 + 4x2 + 3x3 . (e) lim x→+∞ x3 − x x2 − 6x+ 5. (f) lim x→−∞ √ 9x6 − x x3 + 1 . (g) lim x→+∞ [√ 9x2 + x− 3x ] . (h) lim x→−∞ [ x+ √ x2 + 2x ] . (i) lim x→+∞ e −2x cos(x). (j) lim x→+∞ 2ex ex − 5 . (k) lim x→2 x2 + x x2 − x− 2 (l) lim x→5+ 7 x− 5 (m) lim x→1+ [ 2 x− 1 ] (n) lim x→1− [ 2 x− 1 ] (o) lim x→+∞ x3 − x+ 1 x4 − 12 (p) lim x→−∞ x3 − x+ 1 x4 − 12 (q) lim x→+∞ −2x4 − x2 − 3x− 5 −5x4 − x3 + x2 − x+ 1 (r) lim x→−∞ −2x4 − x2 − 3x− 5 −5x4 − x3 + x2 − x+ 1 (s) lim x→+∞ x5 − 5 x3 + x2 + x+ 1 (t) lim x→−∞ x5 − 5 x3 + x2 + x+ 1 (u) lim x→+∞ x6 − x x3 + x2 (v) lim x→−∞ x6 − x x3 + x2 (w) lim x→0 1 x Respostas: (a) +∞; (b) Na˜o existe; (c) −1 2 ; (d) 2; (e) +∞; (f) −3; (g) 1 6 ; (h) −1; (i) 0; (j) 2; (k) Na˜o existe; (l) +∞; (m) +∞; (n) −∞; (o) 0; (p) 0; (q) 2 5 ; (r) 2 5 ; (s) +∞; (t) +∞; (u) +∞; (v) −∞; (w) ; 12. Sejam p(x) um polinoˆmio de grau a e q(x) um polinoˆmio de grau b. De acordo com as possibilidades para a e b, o que pode acontecer com o limite lim x→+∞ p(x) q(x) ? Resposta: ±∞ se a > b; 0 se a < b; um nu´mero inteiro se a = b 13. Verifique se alguma das func¸o˜es abaixo possui ass´ıntota vertical ou horizontal. Em caso positivo, determine-as. (a) f(x) = 2 x− 4 (b) g(x) = 5 x2 + 8x+ 15 (c) h(x) = 3x+ 4√ 2x2 − 5 (d) j(x) = 4− 3x x+ 1 (e) l(x) = 5x+ 2 Respostas: (a) x = 4; y = 0; (b) x = −5, x = −3; y = 0; (c) x = ± √ 5 2 ; y = ± 3√ 2 ; (d) x = −1; y = −3; (e) Na˜o possui 14. Se existe lim x→2 f(x), enta˜o e´ verdade que lim x→2 f(x) = f(2)? Justifique sua resposta. Resposta: Na˜o 15. Considere a func¸a˜o f(x) = ln(x). (a) Utilizando uma calculadora (e propriedades da func¸a˜o logar´ıtmica), calcule os valores de f(x) para x = 0, 1, x = 0, 01 = 10−2, x = 10−4, x = 10−9, x = 10−14, x = 10−51. (b) Esboc¸e o gra´fico de f(x). (c) Baseado nos itens anteriores, o que voceˆ pode dizer sobre lim x→0+ f(x)? Respostas: (a) −2, 3;−4, 6;−9, 2;−20, 7;−32, 2;−117, 3; (c) −∞ 16. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es. Determine onde elas sa˜o continuas: (a) f(x) = cos(x) (b) f(x) = sex( 1 x ) (c) f(x) = x√ x2 − 4 (d) f(x) = tg2( √ 2x+ 1) (e) f(x) = 5x+ 2 se x < 0 2 se x = 0 2cos(x) se x > 0 (f) f(x) = { x2 − 1 se x ≤ 0 −x2 − 1 se x > 0 Respostas: (a) D(f) = R, Cont´ınua em R; (b) D(f) = R− {0}, Descont´ınua em x = 0; (c) D(f) = R− {−2, 2}, Descont´ınua em x = −2 e x = 2; (d) D(f) = ⋃ k∈Z ( 1 2 [( pi 2 + kpi)2 − 1], 1 2 [( pi 2 + (k + 1)pi)2 − 1]), Descont´ınua em x = 1 2 [( pi 2 + kpi)2 − 1], onde k ∈ Z; (e) D(f) = R, Cont´ınua em R; (f) D(f) = R, Cont´ınua em R. 17. Calcule, caso exista, o limite: (a) lim x→1 (x3 − 3) (b) lim x→pi− cossec(x) (c) lim x→pi cossec(x) (d) lim h→5 h√ 5 + h−√h (e) lim h→0 √ 3h+ 3−√3 h (f) lim x→−3 (x2 − 9) (g) lim t→0 √ a2 + bt− a t (h) lim x→0 √|x| x2 (i) lim t→9 9− t 3−√t (j) lim x→2 arctg ( x2 − 4 3x2 − 6x ) . (k) lim x→0 cos(x)− 1 x . (l) lim x→0 tg(3x) tg(5x) . (m) lim x→0 sen ( 1 x ) (n) lim x→0+ ln(x2) (o) lim x→0− ln(−x) (p) lim x→3 x3 − 3x− 3 x2 − 1 (q) lim x→1+ [ 2 x− 1 ] (r) lim x→0 √ 1 + x− 1 x (s) lim x→0 e− 1 x2 (t) lim x→0 3tg(x) x2 (u) lim x→0 xcos( 1 x ) (v) lim x→0 x2sen( 1 3 √ x ) (w) lim x→0 sen(4x) x (x) lim x→0 2 sen(3x) (y) lim x→0 1− cos(x) sen(x) (z) lim x→2 xsen( 1 x ) (aa) lim x→0 xsen( 1 x ) (ab) lim x→0 e− 1 x2 (sen2(x) + 3 cos(x)− pi) Respostas: (a) −2; (b) +∞; (c) Na˜o existe; (d) 5√ 10−√5 ; (e) √ 3 2 ; (f) 0; (g) b 2a se a > 0; na˜o existe se a < 0; (h) +∞; (i) 6; (j) arctg ( 2 3 ) ; (k) 0; (l) 3 5 ; (m) Na˜o existe; (n) −∞; (o) −∞; (p) 15 8 ; (q) +∞; (r) 1 2 ; (s) 0; (t) ∞; (u) 0; (v) 0; (w) 4; (x) ∞; (y) 0; (z) 0; (aa) 2sen(1 2 ); (ab) 0 18. Seja f a func¸a˜o definida por: f(x) = { x2 − 9, se x 6= −3 4, se x = −3 (a) Esboce o gra´fico de f(x). (b) Calcule lim x→−3 f(x).(c) A func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua em x = −3? Justifique. Respostas: (b) 0; (c) Na˜o 19. Mostre que lim x→+∞ sen(x) x = 0. 20. Nos casos abaixo encontre os pontos nos quais a func¸a˜o f e´ descont´ınua, e esboce o gra´fico. (a) f(x) = 1 + x2, se x 6 0 2− x, se 0 < x 6 2 (x− 2), se x > 2. (b) f(x) = x+ 1, se x 6 1 1 x , se 1 < x 6 3√ (x− 3), se x > 3. (c) f(x) = x+ 2, se x < 0 ex, se 0 6 x < 1 2− x, se x > 1. Respostas: (a) 0; (b) 1; 3; (c) 0; 1 21. Determine, se poss´ıvel, os valores das constantes a, b e c que tornam a func¸a˜o f cont´ınua em (−∞,+∞) nos seguintes casos: (a) f(x) = { 7x− 2, se x 6 1 ax2, se x > 1. (b) f(x) = { bx2, se x 6 2 2x+ b, se x > 2. (c) f(x) = { cx2 + 2x, se x < 2 x3 − cx, se x > 2. (d) f(x) = x2 − 4 x− 2 , se x < 2 ax2 − bx+ 3, se 2 6 x < 3 2x− a+ b, se x > 3. (e) f(x) = x2 + 5, se x > 2 a(x+ 1) + b, se − 1 < x 6 2 2x3 + x+ 7, se x 6 −1. Respostas: (a) a = 5; (b) b = 4 3 ; (c) c = 2 3 ; (d) a = b = 1 2 ; (e) a = 5 3 , b = 4 22. Deˆ exemplo de duas func¸o˜es f e g descont´ınuas em um certo ponto x = c tal que f +g seja cont´ınua neste ponto. 23. E´ verdade que uma func¸a˜o cont´ınua que nunca e´ zero em um intervalo I nunca muda de sinal em I? Justifique sua resposta. Resposta: Sim 24. Determine constantes a, b e L para que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua em R: f(x) = x2 + ax+ 3 x− 1 , para x < 1 L, para x = 1 bx+ 4, para x > 1 Resposta: a = −4, b = −6 e L = −2. 25. Mostre que a func¸a˜o f(x) = xsen ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 e´ cont´ınua em x = 0. 26. Mostre que a equac¸a˜o x6 − 4x2 + x+ 1 = 0 possu´ı pelo menos duas ra´ızes reais. 27. Utilize o Teorema do Valor Intermedia´rio para mostrar que a equac¸a˜o x3 − x2 − 2x + 1 = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o no intervalo [−1, 1]. 28. Mostre que, se p(x) e´ um polinoˆmio de grau ı´mpar, enta˜o a equac¸a˜o p(x) = 0 possui pelo menos uma soluc¸a˜o real.
Compartilhar