PROVA DE MATEMÁTICA AFA 2018 2019 RESOLVIDA

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PROVA DE MATEMÁTICA 
ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2018/2019 
ENUNCIADOS 
 
1) Em uma turma de 5 alunos, as notas de um teste de matemática são números inteiros 
tais que a média aritmética e a mediana são iguais a 5, e nenhum aluno errou todas as 
questões. 
Sabendo que esse conjunto de notas é unimodal, com moda igual a 8, então a diferença 
entre a maior e a menor nota é um número que é divisor de 
a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 
 
2) Seja a equação trigonométrica 
3 2tg x 2 tg x tg x 2 0,   
 com 
    3x 0,2 , .
2 2
 
  
 
Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto solução dessa equação, é correto 
afirmar que são, exatamente, 
a) três. b) quatro. c) cinco. d) seis. 
 
3) Sobre a inequação 2
33x 2x x ,
x


 considerando o conjunto universo 
U ,
 é 
INCORRETO afirmar que possui conjunto solução 
a) unitário se 
 *U x | x 0 e x 2k, k .    
 
b) vazio se 
 U 2, . 
 
c) com infinitas soluções se 
 U x | x 2k 1, k .    
 
d) com infinitas soluções se 
 *U x | x 2 .  
 
 
4) Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B, sendo 
A x 2i, 
 
x
 e 
B 1 i. 
 
Se no produto 
A B
 tem-se 
   Re A B Im A B ,  
 então, sobre todos os números 
complexos A, é correto afirmar que 
a) seus afixos formam uma reta. 
b) nenhum deles é imaginário puro. 
c) o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal. 
d) existe A tal que 
A B .
 
 
5) O domínio mais amplo da função real f definida por 
   2
af x log x 3 , 
 em que 
 a 0,1 ,
 é 
a) 
 2,2
 b) 
 2,2
 
c) 
   , 2 2,   
 d) 
   2, 3 3,2  
 
 
 
 
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6) Considere no plano cartesiano os pontos 
 A 2,0
 e 
 B 6, 4
 que são simétricos em 
relação à reta r. Se essa reta r determina na circunferência 
2 2x y 12x 4y 32 0    
 
uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo 
a) 
 4,5
 b) 
 3,4
 c) 
 2,3
 d) 
 1,2
 
 
7) Considere, no plano cartesiano, a figura abaixo, em que os segmentos horizontais são 
paralelos ao eixo 
Ox
 e os segmentos verticais são paralelos ao eixo 
Oy.
 
 
Sabe-se que: 
• os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 
 O 0,0
 e termina em Q, formam uma progressão aritmética decrescente de razão r e 
primeiro termo 
1a ,
 em que 
 1 r 0 ;
15
  
 
• dois segmentos consecutivos da poligonal são sempre perpendiculares; 
• 
1OA a ,
 
2AB a ,
 
3BC a ,
 e, assim sucessivamente, até 
16PQ a .
 
Suponha que uma formiga parta da origem 
 O 0,0 ,
 e percorra a trajetória descrita pela 
poligonal até chegar ao ponto Q. 
Com base nas informações acima, analise as proposições abaixo. 
I. Se 
1a 1
 e 
1
r ,
16
 
 então a distância d percorrida pela formiga até chegar ao ponto 
Q é tal que 
1
17
d a .
2

 
II. Quando a formiga estiver na posição do ponto 
 L x, y ,
 então 
x 6r. 
 
III. Se 
1a 1,
 então de A até C, a formiga percorrerá a distância 
d 2 3r. 
 
Quanto à veracidade das proposições, tem-se 
a) apenas uma delas é verdadeira. 
b) apenas duas são verdadeiras. 
c) todas são verdadeiras. 
d) nenhuma delas é verdadeira. 
 
 
 
 
 
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8) Para angariar fundos para a formatura, os alunos do 3º ano do CPCAR vendem 
bombons no horário do intervalo das aulas. 
Inicialmente, começaram vendendo cada bombom por R$ 4,00. Assim, perceberam que 
vendiam, em média, 50 bombons por dia. 
A partir dos conhecimentos que os alunos tinham sobre função, estimaram que para 
cada 5 centavos de desconto no preço de cada bombom (não podendo conceder mais 
que 70 descontos), seria possível vender 5 bombons a mais por dia. 
Considera: 
• p o preço de cada bombom; 
• n o número de bombons vendidos, em média, por dia; 
• 
x
 o número de reduções de 5 centavos concedidas no preço unitário de cada 
bombom; e 
• y a arrecadação diária com a venda dos bombons. 
Com base nessas informações, analise as proposições abaixo. 
(02) O gráfico que expressa n em função de p está contido no segmento 
AB
 do gráfico 
abaixo. 
 
(04) A maior arrecadação diária possível com a venda dos bombons, considerando os 
descontos de 5 centavos, ocorre quando concederem 35 descontos de 5 centavos. 
(08) Se forem concedidos 20 descontos de 5 centavos, serão vendidos mais de 100 
bombons por dia. 
A soma das proposições verdadeiras é igual a 
a) 6 b) 10 c) 12 d) 14 
 
9) Considere 
a 
 e os polinômios 
  6 3
a
P x x 26x 27
2
  
 e 
  2A x 2x 4x a,  
 tais que seus gráficos se intersectam em um único ponto de 
ordenada nula. Sabendo também que, graficamente, 
 A x
 tangencia o eixo 
Ox,
 
analise as afirmativas abaixo e escreva V para verdadeira e F para falsa. 
 
 O gráfico de 
 P x
 corta o eixo 
Ox
 em dois pontos. 
 
 Os afixos das raízes de 
 P x
 que possuem menor módulo formam um triângulo 
cujo perímetro mede 
3 3
 unidades de comprimento. 
 
 A soma das raízes imaginárias de 
 P x
 é igual a 
2.
 
A sequência correta é 
a) V – V – V b) V – F – F c) F – V – F d) F – V – V 
 
 
 
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10) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de 
Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). 
Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3° esquadrão, 9 do 2° 
esquadrão e 2 do 1° esquadrão. 
Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3° esquadrão, 4 do 2° 
esquadrão e 2 do 1° esquadrão. 
Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela 
Nascentv em uma rede social. 
Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram 
agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de 
uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila: 
• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2° esquadrão que 
receberam medalha; 
• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e 
• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do 
outro. 
Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que 
poderiam ter sido feitas. 
a) 
 72 9!
 b) 
 144 9!
 c) 
 288 9!
 d) 
 864 9!
 
 
11) Considere o sistema abaixo. 2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2 1
9
a b c
2 1 1
3
a b c
3 1 2
4
a b c

  



  


   

 
Sabendo-se que a, b e c são números reais não nulos, é INCORRETO afirmar que 
a) 
 a b c   
 
b) 2 2 2a b c 2   
c) O determinante da matriz 
2
2
2
a 1 3
0 b 4
0 0 c
 
 
 
 
 
 é igual a 
1
.
6
 
d) 
2 2 2
1 1 1
a b c
 
 é par. 
 
12) No plano cartesiano, os focos 
1F
 e 
2F
 da elipse 2 2x y
: 1
36 32
  
 são pontos 
diametralmente opostos da circunferência 

 e coincidem com as extremidades do eixo 
real de uma hipérbole equilátera 
.
 É INCORRETO afirmar que 
a) 
   
 
b) 1 2F ,F 
 
c) 
 A,B,C,D , 
 sendo A, B, C, D pontos distintos. 
d) 
  
 
 
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13) Considere as matrizes 
sen x 1
A
1 sen x
 
   
 e 
sen x sen x
B .
1 3
 
   
 Se o 
determinante do produto matricial 
AB
 é um número real positivo ou nulo, então os 
valores de x, no ciclo trigonométrico, que satisfazem essa condição estão representados 
em 
 
 
14) Considere, no plano cartesiano abaixo, representadas as funções reais 
 f : m, m 
 e 
   g : m, m v .  
 
 
 
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Nas afirmativas abaixo, escreva V para verdadeira e F para falsa. 
 
 O conjunto imagem da função g é dado por 
   Im g p, m . 
 
 
 A função h definida por 
     h x f x g x 
 assume valores não negativos 
somente se 
   x t,b r,0 . 
 
 
 A função j definida por 
   j x g x p 
 é maior que zero para todo 
    x m, m v .  
 
A sequência correta é 
a) F – F – V b) F – V – V c) V – V – F d) V – F – F 
 
15) Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais 
jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam 
os que vão ter sorte. Esses jogos têm por condição de existência que, na diferença entre 
as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar. 
Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em 
festas populares Brasil afora. 
Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma 
rampa, levemente inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6. 
Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para que o jogador ganhe um 
prêmio. 
Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, 
lançar a bolinha três vezes sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja 
observado que a soma dos números das casinhas é igual a 12. 
Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é 
a) menor que 3%. 
b) maior que 8% e menor que 10%. 
c) maior que 11% e menor que 13%. 
d) superior a 13%. 
 
16) Um objeto de decoração foi elaborado a partir de sólidos utilizados na rotina de 
estudos de um estudante de matemática. 
Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume igual a 
319683 cm .
 
Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de material, um sólido formado por dois 
troncos de pirâmide idênticos e um prisma reto, como mostra o esquema da figura a 
seguir. 
 
 
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Sabe-se que: 
• as bases maiores dos troncos estão contidas em faces opostas do cubo; 
• as bases dos troncos são quadradas; 
• a diagonal da base maior de cada tronco está contida na diagonal da face do cubo que 
a contém e mede a sua terça parte; 
• a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior 
do tronco; e 
• os troncos e o prisma têm alturas iguais. 
Assim, o volume do objeto de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o 
volume do sólido esquematizado na figura acima, em 
3cm ,
 é um número do intervalo 
a) 
 17200,17800
 b) 
 17800,18400
 
c) 
 18400,19000
 d) 
 19000,19600
 
 
 
 
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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
 
1) a (Estatística – medidas de tendência central) 
2) d (Equações trigonométrica) 
3) b (Inequação produto-quociente e polinômios) 
4) c (Números complexos) 
5) d (Logaritmo) 
6) a (Geometria analítica – circunferência e reta) 
7) c (Progressão aritmética) 
8) d (Função quadrática e afim) 
9) a (Polinômios e números complexos) 
10) d (Análise combinatória) 
11) b (Sistemas lineares) 
12) d (Geometria analítica – cônicas) 
13) d (Inequação trigonométrica e determinantes) 
14) a (Função) 
15) c (Probabilidade) 
16) c (Geometria espacial – tronco de pirâmide) 
 
 
 
 
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ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES 
 
 
1) Em uma turma de 5 alunos, as notas de um teste de matemática são números inteiros 
tais que a média aritmética e a mediana são iguais a 5, e nenhum aluno errou todas as 
questões. 
Sabendo que esse conjunto de notas é unimodal, com moda igual a 8, então a diferença 
entre a maior e a menor nota é um número que é divisor de 
a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 
 
RESOLUÇÃO: a 
Sejam 
a b c d e 0    
 as 5 notas ordenadas, então a mediana é 
c 5.
 
Se a média aritmética das notas é 5, então 
a b 5 d e
5 a b d e 20.
5
   
     
 
Para que o conjunto seja unimodal de moda 8, devemos ter 
a b 8. 
 
Assim, temos: 
8 8 d e 20 d e 4.      
 
Como o sistema é unimodal, então 
d e,
 o que implica 
d 3
 e 
e 1.
 
Portanto, a diferença entre a maior e a menor nota é 
8 1 7, 
 que é divisor de 14. 
 
 
2) Seja a equação trigonométrica 
3 2tg x 2 tg x tg x 2 0,   
 com 
    3x 0,2 , .
2 2
 
  
 
Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto solução dessa equação, é correto 
afirmar que são, exatamente, 
a) três. b) quatro. c) cinco. d) seis. 
 
RESOLUÇÃO: d 
   
      
3 2 2
2
tg x 2 tg x tg x 2 0 tg x tg x 2 tg x 2 0
tg x 2 tg x 1 0 tg x 2 tg x 1 tg x 1 0
        
        
 
tg x 2 tg x 1 tg x 1      
 
Cada uma das duas desigualdades tem duas soluções na primeira volta, então o número 
de elementos do conjunto solução é 6. 
Não é necessário explicitar as soluções para resolver esse problema, mas a seguir 
apresentamos as seis soluções. 
   tg x 2 x arctg 2 x arctg 2      
 
5
tg x 1 x x
4 4 4
  
       
 
3 3 7
tg x 1 x x
4 4 4
  
        
 
 
 
 
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3) Sobre a inequação 2
33x 2x x ,
x


 considerando o conjunto universo 
U ,
 é 
INCORRETO afirmar que possui conjunto solução 
a) unitário se 
 *U x | x 0 e x 2k, k .    
 
b) vazio se 
 U 2, . 
 
c) com infinitas soluções se 
 U x | x 2k 1, k .    
 
d) com infinitas soluções se 
 *U x | x 2 .  
 
 
RESOLUÇÃO: b 
 2
3 3 33x 2x x 3x 2x x 0 3x 2 x 0 x 0
x x
  
         
 
Por inspeção, observamos que 
x 1 
 é raiz de 3x 3x 2 0.    Aplicando o 
algoritmo de Briott-Rufinni, temos: 
 
1
 
1
 0 3 2 
 
1
 1 2 0 
 
          23 2x 3x 2 x 1 x x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2                
 
A inequação original é equivalente a 
     
 
2
x 1 x 2 0 x 0 x 1 x 2 0 x 0
x 2 x 0
             
   
 
Se 
U ,
 o conjunto solução é 
 *S x | x 2  
 
a) CORRETO, pois, nesse caso, 
 S 2 .
 
b) INCORRETO, pois, nesse caso, 
 S 2 .
 
c) CORRETO, pois nesse caso, S tem como elementos todos os números ímpares 
negativos e o 1. 
d) CORRETO, pois, nesse caso, U é igual ao próprio conjunto solução. 
 
 
4) Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B, sendo 
A x 2i,
 
x
 e 
B 1 i. 
 
Se no produto 
A B
 tem-se 
   Re A B Im A B ,  
 então, sobre todos os números 
complexos A, é correto afirmar que 
a) seus afixos formam uma reta. 
b) nenhum deles é imaginário puro. 
c) o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal. 
d) existe A tal que 
A B .
 
 
RESOLUÇÃO: c 
A x 2i x A x 2i      
 
B 1 i B 1 i    
 
       2A B x 2i 1 i x xi 2i 2i x 2 2 x i            
 
   Re A B Im A B x 2 2 x x 0        
 
 
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Assim, 
A x 2i, 
 onde 
*x .
 Vamos representar esses números complexos no 
plano de Argand-Gauss. 
 
a) INCORRETO, pois os afixos de A formam uma semirreta. 
b) INCORRETO, pois 
2i
 é um possível valor de A e é imaginário puro. 
c) CORRETO, pois o que possui menor módulo é 
2i
 que possui argumento principal 
.
2

 Note que os argumentos principais dos possíveis valores de A pertencem ao 
intervalo 
0, .
2
 
  
 
d) INCORRETO, pois 2 2 2A x 2 x 4 2     e  22B 1 1 2,    
então 
A B
 para qualquer valor de x. 
 
 
5) O domínio mais amplo da função real f definida por 
   2
af x log x 3 , 
 em que 
 a 0,1 ,
 é 
a) 
 2,2
 b) 
 2,2
 
c) 
   , 2 2,   
 d) 
   2, 3 3,2  
 
 
RESOLUÇÃO: d 
Para que a função 
   2
af x log x 3 
 esteja definida, o radicando da raiz quadrada 
deve ser maior ou igual a zero e o logaritmando no logaritmo deve ser positivo. A base 
 a 0,1
 já tende a condição de existência. Assim, temos: 
2x 3 0 x 3 ou x 3     
 
 2 2 0 2
alog x 3 0 x 3 a 1 x 4 0 2 x 2            
 
Fazendo a interseção dos resultados de cada uma das condições, obtemos o domínio 
mais amplo de f: 
   fD 2, 3 3,2 .   
 
 
 
 
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6) Considere no plano cartesiano os pontos 
 A 2,0
 e 
 B 6, 4
 que são simétricos em 
relação à reta r. Se essa reta r determina na circunferência 
2 2x y 12x 4y 32 0    
 
uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo 
a) 
 4,5
 b) 
 3,4
 c) 
 2,3
 d) 
 1,2
 
 
RESOLUÇÃO: a 
Se os pontos 
 A 2,0
 e 
 B 6, 4
 são simétricos em relação à reta r, então o ponto 
médio de A e B está sobre r e a reta r é perpendicular à reta que passa por A e B. 
O ponto médio de 
 A 2,0
 e 
 B 6, 4
 é 
    2 6 0 4M , 4, 2 .
2 2
  
  
 
O coeficiente angular da reta que passa por A e B é 
AB
4 0
m 1.
6 2
 
  

 Como a reta r 
é perpendicular a essa reta, então seus coeficientes angulares devem ter produto 
1,
 o 
que implica que o coeficiente deve ser 
rm 1.
 
Vamos obter a equação da reta r de coeficiente angular 
rm 1
 e que passa pelo ponto 
 M 4, 2 .
 
 y 2
1 y x 6 x y 6 0
x 4
 
       

 
Vamos identificar as características da circunferência 
2 2x y 12x 4y 32 0.    
 
     
2 2 2 2 2 2 2 2
222
x y 12x 4y 32 0 x 2 6 x 6 y 2 2 y 2 32 6 2
x 6 y 2 2 2
                  
    
 
Assim, conclui-se que a circunferência tem centro 
 O 6,2
 e raio 
R 2 2.
 
A distância do centro da circunferência à reta r é 
 
 
O,r
22
6 2 6 2
d 2.
21 1
 
  
 
 
 
 
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A figura anterior apresenta as informações obtidas até aqui. Aplicando o teorema de 
Pitágoras no triângulo retângulo DOE, temos: 
   2 22 2DE 2 2 2 DE 6 DE 6.     
 
Portanto, a medida da corda é 
 n CD 2 DE 2 6 4,5 .    
 
Alternativamente, poderíamos obter o comprimento da corda CD, fazendo a interseção 
da reta r com a circunferência, como segue: 
r : y x 6 
 
        22 2 2 2x 6 y 2 8 x 6 x 6 2 8 x 14x 46 0             
 
14 12
x 7 3
2

   
 
C C Cx 7 3 y x 6 1 3      
 
D D Dx 7 3 y x 6 1 3      
 
O comprimento da corda CD pode ser calculado agora usando a expressão da distância 
entre pontos. 
         
   
2 2
2 2
n CD 7 3 7 3 1 3 1 3
2 3 2 3 2 6.
         
  
 
 
 
7) Considere, no plano cartesiano, a figura abaixo, em que os segmentos horizontais são 
paralelos ao eixo 
Ox
 e os segmentos verticais são paralelos ao eixo 
Oy.
 
 
Sabe-se que: 
• os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 
 O 0,0
 e termina em Q, formam uma progressão aritmética decrescente de razão r e 
primeiro termo 
1a ,
 em que 
 1 r 0 ;
15
  
 
• dois segmentos consecutivos da poligonal são sempre perpendiculares; 
• 
1OA a ,
 
2AB a ,
 
3BC a ,
 e, assim sucessivamente, até 
16PQ a .
 
Suponha que uma formiga parta da origem 
 O 0,0 ,
 e percorra a trajetória descrita pela 
poligonal até chegar ao ponto Q. 
Com base nas informações acima, analise as proposições abaixo. 
 
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I. Se 
1a 1
 e 
1
r ,
16
 
 então a distância d percorrida pela formiga até chegar ao ponto 
Q é tal que 
1
17
d a .
2

 
II. Quando a formiga estiver na posição do ponto 
 L x, y ,
 então 
x 6r. 
 
III. Se 
1a 1,
 então de A até C, a formiga percorrerá a distância 
d 2 3r. 
 
Quanto à veracidade das proposições, tem-se 
a) apenas uma delas é verdadeira. 
b) apenas duas são verdadeiras. 
c) todas são verdadeiras. 
d) nenhuma delas é verdadeira. 
 
RESOLUÇÃO: c 
I. VERDADEIRA 
A distância d percorrida pela formiga de O até Q é a soma dos termos da progressão 
aritmética, então 
 
 1 1616 1
a a 16
d S 8 2a 15r .
2
 
    
 
Se 
1a 1
 e 
1
r ,
16
 
 então 
   11 17 17d 8 2 1 15 a .
16 2 2
        
 
II. VERDADEIRA 
L 1 3 5 7 9 11
2r 2r 2r
x OA OB DE GF HI KJ a a a a a a 6r.
  
             
 
III. VERDADEIRA 
A distância d percorrida pela formiga de A até C é 
   2 3 1 1 1d AB BC a a a r a 2r 2a 3r.         
 
Se 
1a 1,
 então 
d 2 1 3r 2 3r.    
 
 
 
8) Para angariar fundos para a formatura, os alunos do 3º ano do CPCAR vendem 
bombons no horário do intervalo das aulas. 
Inicialmente, começaram vendendo cada bombom por R$ 4,00. Assim, perceberam que 
vendiam, em média, 50 bombons por dia. 
A partir dos conhecimentos que os alunos tinham sobre função, estimaram que para 
cada 5 centavos de desconto no preço de cada bombom (não podendo conceder mais 
que 70 descontos), seria possível vender 5 bombons a mais por dia. 
Considera: 
• p o preço de cada bombom; 
• n o número de bombons vendidos, em média, por dia; 
• 
x
 o número de reduções de 5 centavos concedidas no preço unitário de cada 
bombom; e 
• y a arrecadação diária com a venda dos bombons. 
Com base nessas informações, analise as proposições abaixo. 
(02) O gráfico que expressa n em função de p está contido no segmento 
AB
 do gráfico 
abaixo. 
 
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(04) A maior arrecadação diária possível com a venda dos bombons, considerando osdescontos de 5 centavos, ocorre quando concederem 35 descontos de 5 centavos. 
(08) Se forem concedidos 20 descontos de 5 centavos, serão vendidos mais de 100 
bombons por dia. 
A soma das proposições verdadeiras é igual a 
a) 6 b) 10 c) 12 d) 14 
 
RESOLUÇÃO: d 
Quando são concedidos 
x
 descontos, são vendidos, em média, 
n 50 5x 
 
bombons por dia ao preço de 
p 4,00 0,05 x.  
 A arrecadação diária com a venda de 
bombons é 
   y n p 50 5x 4,00 0,05x .     
 
(02) VERDADEIRA 
n 50
n 50 5x x
5

   
 
x
p 4,00 0,05x 4 p x 80 20p
20
       
 
n 50
80 20p n 100p 450
5

      
 
p 0,5 n 100 0,5 450 400      
 
p 4 n 100 4 450 50      
 
Logo, o gráfico de n em função de p é um segmento de reta que contém os pontos A e B 
e, portanto, coincide com o segmento 
AB.
 
Note que 
p 4
 é o preço inicial e 
p 0,5 4,00 0,05 70   
 é o preço após 70 
reduções. 
(04) VERDADEIRA 
A maior arrecadação diária ocorre no vértice do trinômio o 2º grau
    2y n p 50 5x 4,00 0,05x 0,25x 17,5x 200,         
 ou seja, ocorre 
quando 
 V
17,5
x x 35.
2 0,25

  
 
 
(08) VERDADEIRA 
x 20 n 50 5 20 150 100.      
 
A soma das proposições verdadeiras é 
2 4 8 14.  
 
 
 
 
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9) Considere 
a 
 e os polinômios 
  6 3
a
P x x 26x 27
2
  
 e 
  2A x 2x 4x a,  
 tais que seus gráficos se intersectam em um único ponto de 
ordenada nula. Sabendo também que, graficamente, 
 A x
 tangencia o eixo 
Ox,
 
analise as afirmativas abaixo e escreva V para verdadeira e F para falsa. 
 
 O gráfico de 
 P x
 corta o eixo 
Ox
 em dois pontos. 
 
 Os afixos das raízes de 
 P x
 que possuem menor módulo formam um triângulo 
cujo perímetro mede 
3 3
 unidades de comprimento. 
 
 A soma das raízes imaginárias de 
 P x
 é igual a 
2.
 
A sequência correta é 
a) V – V – V b) V – F – F c) F – V – F d) F – V – V 
 
RESOLUÇÃO: a 
Se a função quadrática 
 A x
 tangencia o eixo 
Ox,
 então seu discriminante é nulo. 
24 4 2 a 0 a 2       
 
Assim, temos: 
    
    
6 3 3 3
2 2
P x x 26x 27 x 27 x 1
x 3 x 3x 9 x 1 x x 1
      
      
 
     22 2A x 2x 4x 2 2 x 2x 1 2 x 1        
Observem que 
 P x
 e 
 A x
 possuem uma raiz 
x 1 
 em comum, o que é coerente 
com o fato de seus gráficos se intersectarem em um único ponto de ordenada nula. 
Vamos analisar as afirmativas. 
 V
 O gráfico de 
 P x
 corta o eixo 
Ox
 em dois pontos. 
      2 2P x x 3 x 3x 9 x 1 x x 1      
 
A equação 2x 3x 9 0   tem discriminante 33 4 1 9 27 0        e a equação 
2x x 1 0  
 tem discriminante 
 21 4 1 1 3 0,        
 então as duas equações 
não possuem raízes reais. 
Logo, o gráfico de 
 P x
 corta o eixo 
Ox
 em 
x 3
 e 
x 1, 
 ou seja, dois pontos. 
 V
 Os afixos das raízes de 
 P x
 que possuem menor módulo formam um triângulo 
cujo perímetro mede 
3 3
 unidades de comprimento. 
As raízes de 
 P x
 são 
1,
 3, 
3 3 3 i 1 3
3 i
2 2 2
    
    
 
 e 
1 3 i 1 3
1 i .
2 2 2
   
   
 
 
As raízes de menor módulo são 
1,
 
1 3
i 1cis
2 2 3

 
 e 
1 3 5
i 1cis ,
2 2 3

 
 que são 
raízes cúbicas de 
1
 e, portanto, formam um triângulo equilátero de lado 
3 3
3
2 2
 
 e perímetro 
2p 3 3. 
 
 V
 A soma das raízes imaginárias de 
 P x
 é igual a 
2.
 
 
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A soma das raízes imaginárias de 
 P x
 é 
 3 1
2.
1 1
  
  
 
 
 
10) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de 
Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). 
Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3° esquadrão, 9 do 2° 
esquadrão e 2 do 1° esquadrão. 
Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3° esquadrão, 4 do 2° 
esquadrão e 2 do 1° esquadrão. 
Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela 
Nascentv em uma rede social. 
Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram 
agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de 
uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila: 
• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2° esquadrão que 
receberam medalha; 
• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e 
• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do 
outro. 
Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que 
poderiam ter sido feitas. 
a) 
 72 9!
 b) 
 144 9!
 c) 
 288 9!
 d) 
 864 9!
 
 
RESOLUÇÃO: d 
Devemos contar o número de posições possíveis para os 8 alunos medalhistas. 
1°) O número de maneiras de posicionar os dois alunos do 1° esquadrão que ficarão nas 
duas extremidades é 
9 8.
 . 
2°) Como os alunos do 1° e 3° esquadrões devem ficar juntos, então o número de 
maneiras de posicionar esses dois esquadrões e os 7 alunos restantes do 2º esquadrão é 
 1 1 7 ! 9!  
 (note que o 1º esquadrão e o 3º esquadrão foi cada um considerado um 
grupo único). 
3°) Os 2 alunos do 1° esquadrão devem ser permutados entre si (2! possibilidades), 
assim como os 3 alunos do 3° esquadrão (3! possibilidades). 
Portanto, pelo princípio multiplicativo, o número de fotografias distintas possíveis é 
     9 8 9! 2! 3! 864 9!.     
 
 
 
 
11) Considere o sistema abaixo. 2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2 1
9
a b c
2 1 1
3
a b c
3 1 2
4
a b c

  



  


   

 
Sabendo-se que a, b e c são números reais não nulos, é INCORRETO afirmar que 
 
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a) 
 a b c   
 
b) 2 2 2a b c 2   
c) O determinante da matriz 
2
2
2
a 1 3
0 b 4
0 0 c
 
 
 
 
 
 é igual a 
1
.
6
 
d) 
2 2 2
1 1 1
a b c
 
 é par. 
 
RESOLUÇÃO: b 
Sejam 
2
1
A,
a

 
2
1
B
b

 e 
2
1
C,
c

 então o sistema 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2 1
9
a b c
2 1 1
3
a b c
3 1 2
4
a b c

  



  


   

 é equivalente 
a 
A 2B C 9
2A B C 3 .
3A B 2C 4
  

  
    
 
Vamos escalonar no novo sistema.  
 L2 L2 2 L1 L2 L2 3
L3 L3 3 L1 L3 L3 1
L3 L3 7 L2
A 2B C 9 A 2B C 9
2A B C 3 ~ 3B 3C 15 ~
3A B 2C 4 7B 5C 31
A 2B C 9 A 2B C 9
B C 5 ~ B C 5
7B 5C 31 2C 4
    
     
  
      
 
       
         
      
 
    
      
 
C 2
B 5 C 5 2 3
A 9 2B C 9 2 3 2 1


     
        
 
Retornando a substituição de variáveis feita inicialmente, temos: 
2
2
1
A 1 a 1 a 1
a
      
 
2
2
1 1 1
B 3 b b
3 3b
      
 
2
2
1 1 1
C 2 c c
2 2c
      
 
a) CORRETO 
1 1 1 1
a b c 1 1
3 2 3 2
          
 que é irracional 
b) INCORRETO2 2 2 1 1 11a b c 1 2
3 2 6
      
 
 
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c) CORRETO 
2
2
2
a 1 3 1 1 3
1
det 0 b 4 0 1 3 4
6
0 0 1 20 0 c
 
 
  
 
 
 
Note que a matriz é uma matriz triangular superior e por isso seu determinante é igual 
ao produto dos elementos da diagonal principal. 
d) CORRETO 
2 2 2
1 1 1
1 3 2 6
a b c
     
 que é par. 
 
12) No plano cartesiano, os focos 
1F
 e 
2F
 da elipse 2 2x y
: 1
36 32
  
 são pontos 
diametralmente opostos da circunferência 

 e coincidem com as extremidades do eixo 
real de uma hipérbole equilátera 
.
 É INCORRETO afirmar que 
a) 
   
 
b) 
 1 2F ,F 
 
c) 
 A,B,C,D , 
 sendo A, B, C, D pontos distintos. 
d) 
  
 
 
RESOLUÇÃO: d 
A elipse 2 2x y
: 1
36 32
  
 tem centro na origem, eixo focal horizontal, 2a 36 a 6   
e 2b 32 b 4 2.   
A semidistância focal é dada por 2 2 2c a b 36 32 4 c 2.       
Os focos da elipse são, a menos da ordem, 
 1F 2,0 
 e 
 F 2,0 .
 
Se 
 1F 2,0 
 e 
 F 2,0
 são pontos diametralmente opostos da circunferência 
,
 
então 

 tem centro na origem e raio 
r 2.
 
Como o raio 
r 2
 da circunferência é menor que o eixo menor da elipse 
b 4 2,
 
então 
.  
 
Se 
 1F 2,0 
 e 
 F 2,0
 coincidem com as extremidades do eixo real de uma 
hipérbole equilátera 
,
 então a hipérbole tem centro na origem, eixo real horizontal, 
semieixos real e imaginário 
a ' b ' 2. 
 
Como, os vértices 
1F
 e 
2F
 da hipérbole estão no interior da elipse, então a interseção da 
elipse e da hipérbole possui 4 pontos distintos. 
Além disso, 
1F
 e 
2F
 são os pontos de interseção da hipérbole e da circunferência 
.
 
A figura a seguir apresenta um esboço das três curvas. 
 
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Vamos analisar as alternativas. 
a) CORRETO, pois 
.  
 
b) CORRETO, vide figura. 
c) CORRETO, vide figura. 
d) INCORRETO, pois 
.  
 
 
 
Bizu: Hipérbole equilátera 
A hipérbole equilátera e aquela que possui eixos real e imaginário de mesmo tamanho, 
ou seja, 
a b.
 Isso implica que suas assíntotas têm inclinação de 
45 
 e são 
perpendiculares entre si. 
 
 
13) Considere as matrizes 
sen x 1
A
1 sen x
 
   
 e 
sen x sen x
B .
1 3
 
   
 Se o 
determinante do produto matricial 
AB
 é um número real positivo ou nulo, então os 
valores de x, no ciclo trigonométrico, que satisfazem essa condição estão representados 
em 
 
 
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RESOLUÇÃO: d 
Pelo teorema de Binet, temos: 
 
     2 2
sen x 1 sen x sen x
det AB det A det B
1 sen x 1 3
sen x 1 3sen x sen x 4sen x sen x 1

    
 
      
 
Mas o determinante de 
AB
 deve ser real positivo ou nulo, então 
 24sen x sen x 1 0 sen x 1 sen x 0      
 
Note que usamos que 21 sen x 1 sen x 1 0.      
Os valores acima, representados no ciclo trigonométrico, correspondem ao ponto 
 0,1
 
e a todos os pontos do 3° e 4° quadrantes, incluindo suas extremidades, conforme figura 
a seguir. 
 
 
 
14) Considere, no plano cartesiano abaixo, representadas as funções reais 
 f : m, m 
 e 
   g : m, m v .  
 
 
 
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Nas afirmativas abaixo, escreva V para verdadeira e F para falsa. 
 
 O conjunto imagem da função g é dado por 
   Im g p, m . 
 
 
 A função h definida por 
     h x f x g x 
 assume valores não negativos 
somente se 
   x t,b r,0 . 
 
 
 A função j definida por 
   j x g x p 
 é maior que zero para todo 
    x m, m v .  
 
A sequência correta é 
a) F – F – V b) F – V – V c) V – V – F d) V – F – F 
 
RESOLUÇÃO: a 
Vamos analisar cada uma das afirmativas. 
 F
 O conjunto imagem da função g é dado por 
   Im g p, m . 
 
A abscissa 
x v
 não está no domínio de g. Isso resulta no ponto aberto 
 v, j .
 No 
gráfico de g não há nenhum ponto de ordenada j. Portanto, a imagem da função g é 
   p, m j . 
 
A bola fechada que aparece na ordenada j corresponde a 
 f m j. 
 
 F
 A função h definida por 
     h x f x g x 
 assume valores não negativos 
somente se 
   x t,b r,0 . 
 
Para que tenhamos 
     h x f x g x 0,  
 devemos identificar os intervalos no 
gráfico em que f e g possuem o mesmo sinal ou são nulas. Assim, 
           h x f x g x 0 x t,b r,0 n,v .       
 
 V
 A função j definida por 
   j x g x p 
 é maior que zero para todo 
    x m, m v .  
 
Para todo x em seu domínio, temos 
 g x p,
 então 
   j x g x p 0.  
 
 
 
15) Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais 
jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam 
os que vão ter sorte. Esses jogos têm por condição de existência que, na diferença entre 
as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar. 
Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em 
festas populares Brasil afora. 
Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma 
rampa, levemente inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6. 
Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para que o jogador ganhe um 
prêmio. 
Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, 
lançar a bolinha três vezes sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja 
observado que a soma dos números das casinhas é igual a 12. 
Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é 
a) menor que 3%. 
b) maior que 8% e menor que 10%. 
c) maior que 11% e menor que 13%. 
d) superior a 13%. 
 
 
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RESOLUÇÃO: c 
O número de resultados possíveis para os três lançamentos é 
 # 6 6 6 216.    
 
Os resultados em que a soma é 12 são 
 1,5,6 ;
 
 2,5,5 ;
 
 2,4,6 ;
 
 3,4,5 ;
 
 3,3,6 ;
 
 4,4,4 .
 
Entretanto, a lista anterior desconsidera a ordem. Os resultados 
 1,5,6 ;
 
 2,4,6
 e 
 3,4,5 ,
com três valores distintos, podem ser obtidos de 
3P 3! 6 
 maneiras 
diferentes. Os resultados 
 2,5,5
 e 
 3,3,6 ,
 com 2 valores distintos, podem ser 
obtidos de 
1,2
3
3!
P 3
1!2!
 
 maneiras diferentes. O resultado 
 4,4,4 ,
 com apenas um 
valor, só tem uma forma de ser obtido. 
Assim, o número de casos favoráveis é 
 # A 3 6 2 3 1 1 25.      
 
Portanto, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é 
 
 
 
# A 25
P A 11,6%,
# 216
  

 
maior que 11% e menor que 13%. 
 
 
16) Um objeto de decoração foi elaborado a partir de sólidos utilizados na rotina de 
estudos de um estudante de matemática. 
Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume igual a 
319683 cm .
 
Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de material, um sólido formado por dois 
troncos de pirâmide idênticose um prisma reto, como mostra o esquema da figura a 
seguir. 
 
Sabe-se que: 
• as bases maiores dos troncos estão contidas em faces opostas do cubo; 
• as bases dos troncos são quadradas; 
• a diagonal da base maior de cada tronco está contida na diagonal da face do cubo que 
a contém e mede a sua terça parte; 
• a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior 
do tronco; e 
• os troncos e o prisma têm alturas iguais. 
Assim, o volume do objeto de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o 
volume do sólido esquematizado na figura acima, em 
3cm ,
 é um número do intervalo 
a) 
 17200,17800
 b) 
 17800,18400
 
c) 
 18400,19000
 d) 
 19000,19600
 
 
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RESOLUÇÃO: c 
Seja x a aresta do cubo original, então seu volume é 3V x 19683 x 27.    
Se a base maior do tronco de pirâmide é quadrada e sua diagonal é um terço da diagonal 
de face do cubo, então a aresta B da base maior do tronco é um terço da aresta do cubo, 
ou seja, 
27
B 9.
3
 
 
A diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior 
do tronco, então a aresta b da base menor é um terço da aresta da base maior, ou seja, 
B 9
b 3.
3 3
  
 
Como os troncos e o prisma têm alturas iguais, então a altura de cada um deles é um 
terço da aresta do cubo, ou seja, 
27
9.
3

 
O volume do sólido da figura é a soma do dobro do volume do tronco de pirâmide com 
o volume do prisma. 
O volume do tronco de pirâmide de bases quadradas de arestas 9 e 3 e altura 9 é 
     2 2 2 2
tronco
H 9
V B Bb b 9 9 3 3 3 81 27 9 351.
3 3
            
 
O volume de um prisma de bases quadradas de aresta 3 e altura 9 é 
2
prismaV b H 3 9 81.    
 
O volume do sólido da figura é 
3
fig. tronco prismaV 2 V V 2 351 81 783 cm      
 e o 
volume do sólido de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o volume 
do sólido da figura é 
 V 19683 783 18900 18400,19000 .   
 
 
 
Bizu: Volume do tronco de pirâmide de bases paralelas 
Sejam B e b, respectivamente, as áreas das bases maior e menor de um tronco de 
pirâmide de bases paralelas e altura H. 
 
 
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As pirâmides de vértice V e bases b e B, respectivamente, são sólidos semelhantes e a 
razão de semelhança é k tal que 
2 bk .
B

 
Seja h a altura da pirâmide de vértice V e base b, então a altura da pirâmide de vértice V 
e base B será 
h H.
 Considerando que as duas pirâmides são sólidos semelhantes, 
temos: 
b
h k bBk h H H H.
H h 1 k b B b
1
B
    
  

 
O volume do tronco é a diferença dos volumes das duas pirâmides, então 
    
    
tronco V B V b
1 b 1 b
V V V B H H b H
3 3B b B b
H b H b
B B b B B b B b
3 3B b B b
H H
B b B b B Bb b
3 3
 
 
          
  
   
            
    
      