AP2 MD1 2018.1

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AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 1/2018
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais:
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF,
o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada
pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por-
tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸a˜o espec´ıfica:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 27/05/2018
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 3 a seguir.)
Na cidade onde Joa˜o mora, o prec¸o da conta de ga´s de um determinado meˆs e´ composta por uma
assinatura, no valor fixo de R$50,00 e mais um valor de R$2,50 por m3 consumido.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Determine o prec¸o total P da conta mensal em func¸a˜o do volume v de ga´s
consumido.
Soluc¸a˜o: A conta e´ composta de um valor fixo de 50 reais e mais 2,50 por m3 consumido, isto e´,
uma parte constante, igual a 50, mais uma parte varia´vel de 2, 50 · v. Assim, o prec¸o P da conta
sera´ dado por
P (v) = 50 + 2, 50 · v.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Denotando por v o volume de ga´s que Joa˜o consumiu no meˆs passado, ele
observou que, se tivesse consumido o triplo do volume de ga´s, isto e´, 3v, o valor de sua conta teria
dobrado. Qual foi o valor da conta de Joa˜o no meˆs passado?
Soluc¸a˜o: Com o consumo de 3v o valor da conta P (3v) e´ o dobro do valor da conte P (v),
correspondente ao consumo v. Assim,
P (3v) = 2 · P (v),
logo
50 + 2, 50 · 3v = 2(50 + 2, 50 · v).
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Com isso,
50 + 7, 5 · v = 100 + 5v,
logo
7, 5 · v − 5 · v = 100− 50
e, portanto,
2.5v = 50.
Assim, temos v = 20.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Astolfo, que mora na mesma cidade de Joa˜o, disse que se tivesse consumido
o dobro de ga´s que consumiu no meˆs anterior, o valor de sua conta de ga´s teria quadruplicado. O
que Astolfo disse pode estar correto?
Soluc¸a˜o: Se a informac¸a˜o de Astolfo estivesse correta, ter´ıamos, como na questa˜o acima,
P (2v) = 4 · P (v),
logo
50 + 2, 5 · 2v = 4(50 + 2, 5 · v),
e enta˜o
50 + 5v = 200 + 10v.
Com isso,
5v − 10v = 200− 50,
logo
−5v = 150.
Isto nos da´ v = −30, o que e´ imposs´ıvel para um valor de consumo.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 a 7 e a seguir.)
Um fabricante de telefones mo´veis pretende lanc¸ar o modelo Strag-ADO, e esta´ estudando o melhor
prec¸o que deve ser praticado. Uma pesquisa de mercado indica que o fabricante consegue vender
100.000 unidades do produto a R$500,00 e que, a cada R$100,00 de aumento no prec¸o de venda, o
numero de aparelhos vendidos diminuira´ 50.000 unidades. O custo de fabricac¸a˜o deste telefone e´ de
R$100,00 por unidade.
Questa˜o 4 (1.0 pt) Acreditando que a demanda D deste produto e´ uma func¸a˜o afim do prec¸o P
e que os dados apontados pela pesquisa estejam corretos, determine a func¸a˜o demanda D(P ).
Soluc¸a˜o: Se a func¸a˜o demanda D e´ afim, temos
D(P ) = aP + b.
A pesquisa de mercado indica que para P = 500, temos D(P ) = 100.000, assim,
100.000 = a · 500 + b,
logo
b = 100.000− 500 a.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
A pesquisa de mercado tambe´m informa que, se o prec¸o aumentar em 100 reais, o volume de vendas
diminui em 50.000, logo, para o prec¸o de 500 + 100 = 600 reais, teremos um volume de venda de
100.000− 50.000 = 50.000 unidades. Com isso,
50.000 = a · 600 + b,
logo
b = 50.000− 600 a.
Temos enta˜o
100.000− 500 a = 50.000− 600 a,
logo
600 a− 500 a = 50.000− 100.000,
logo
100a = −50.000,
e enta˜o a = −50.000100 = −500. Com isso,
b = 100.000− 500 a = 100.000− 500 · (−500) = 100.000 + 250.000 = 350.000.
Assim,
D(P ) = −500P + 350.000.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Qual o prec¸o ma´ximo deste produto, isto e´, o valor acima do qual na˜o ha´
demanda?
Soluc¸a˜o: Considerando a expressa˜o da func¸a˜o D obtida na questa˜o anterior,
D(P ) = 0⇔ −500P + 350.000 = 0⇔ −500P = −350.000⇔ P = 350.000500 = 700.
Assim, o prec¸o ma´ximo e´ de R$ 700,00.
Soluc¸a˜o alternativa: Sem utilizar a func¸a˜o demanda encontrada na Questa˜o 4, tambe´m e´ poss´ıvel
concluir que o prec¸o ma´ximo e´ de R$700, pois, seguindo o enunciado, se o fabricante consegue vender
100.000 unidades a R$ 500,00 e a cada R$ 100,00 de aumento no prec¸o de venda, o nu´mero de
aparelhos vendidos diminuira´ 50.000, partindo-se do valor de R$ 500,00, aumentado-se R$ 100,00,
temos uma diminuic¸a˜o de 50.000, resultando em 100.000− 50.000 = 50.000 e com outro aumento
deR$ 100,00, temos uma diminuic¸a˜o de 50.000, resultando em 50.000− 50.000 = 0. Desta forma,
com dois aumentos consecutivos de R$ 100,00, a demanda caira´ a zero. Dois aumentos consecutivos
de R$ 100,00 partindo-se do valor de R$ 500,00, resultam em um prec¸o final de R$ 700,00.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o L(P ) do lucro L obtido com a venda de todos os aparelhos
Strag-ADO, em func¸a˜o do prec¸o de venda P , supondo que toda a quantidade estimada pela func¸a˜o
demanda seja vendida.
Soluc¸a˜o: A receita obtida com a venda de D(P ) aparelhos ao prec¸o unita´rio P e´ de
R(P ) = P ·D(P ) = P · (−500P + 350.000) = −500P 2 + 350.000P.
Cada aparelho custa ao fabricante 100 reais, logo, o custo sera´ de
C(P ) = 100 ·D(P ) = 100 · (−500P + 350.000) = −50.000P + 35.000.000.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Com isso, o lucro sera´ de
L(P ) = R(P )− C(P ) = −500P 2 + 350.000P − (−50.000P + 35.000.000) =
= −500P 2 + 400.000P − 35.000.000.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Para que valor de P o lucro obtido com a venda dos telefones Strag-ADO,
calculado na questa˜o 6 e´ ma´ximo?
Soluc¸a˜o: Queremos o valor de P para o qual L(P ) = −500P 2 + 300.000P − 35.000.000 atinge
seu valor ma´ximo. Isto ocorre quando
P = − b2a = −
400.000
2 · (−500) =
400.000
1.000 = 400.
Questa˜o 8 (1.5 pt) Ao longo de uma rodovia, ha´ um posto da Pol´ıcia Rodovia´ria no quiloˆmetro
30, e uma sa´ıda para a cidade de Estrado´polis no quiloˆmetro 55. Um posto de peda´gio deve ser
instalado nesta rodovia de forma que sua distaˆncia ao posto policial seja inferior a 20 quiloˆmetros, e
sua distaˆncia a` sa´ıda para Estrado´polis na˜o seja menor do que 20 quiloˆmetros. Determine, na forma
de intervalo, em que posic¸a˜o, ou seja, em que quiloˆmetros, o posto de peda´gio pode ser instalado.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de x a posic¸a˜o do posto de peda´gio, ao longo da rodovia. Como a distaˆncia
do posto a` Pol´ıcia, que esta´ no quiloˆmetro 30, deve ser inferior a 20, temos
|x− 30| < 20.
Por outro lado, a distaˆncia do posto a` sa´ıda para Estrado´polis, que esta´ no quiloˆmetro 55, na˜o deve
ser menor que 20, logo
|x− 55| > 20.
A primeira desigualdade nos da´
−20 < x− 30 < 20 ∴ −20 + 30 < x < 20 + 30 ∴ 10 < x < 50.
A segunda desigualdade nos da´
x− 55 > 20 ou x− 55 6 −20 ∴ x > 20 + 55 ou x 6 −20 + 55 ∴ x > 75 ou x 6 35.
Esboc¸ando o conjunto correspondente a cada uma das duas condic¸o˜es, temos
Como ambas devem ser satisfeitas simultaneamente, teremos
Com isso, a posic¸a˜o x do posto de peda´gio deve satisfazer
x ∈ (10, 35].
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Questa˜o 9 (1.5 pt) Esboce o conjunto que satisfaz
{
1 6 y 6 3
2x+ y = 1
Soluc¸a˜o: A condic¸a˜o 1 6 y 6 3 e´ satisfeita pelo conjunto
A equac¸a˜o 2x+ y = 1 representa uma reta. Para esboc¸a´-la, vamos descobrir dois de seus pontos.
Para y = 1, temos 2x+ 1 = 1, logo x = 0. Assim, o ponto (0, 1) pertence a esta reta.
Para y = 3, temos 2x+ 3 = 1, logo 2x = −2, e assim x = −1. Assim, o ponto (3,−1) pertence a
esta reta.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
Esboc¸ando a reta, temos
Para que as duas sejam satisfeitas simultaneamente, precisamos considerar a intersec¸a˜o entre os
conjuntos, esboc¸ada abaixo:
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RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.