(S4) Matrizes e Álgebra Matricial

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PROBLEMÁTICA
1) Dada as matrizes abaixo calcule as seguintes matrizes, quando for possível.
(a) A + 2B	 (b) 4D – 3CT	(c) EG	 (d) AE
(e) ATG (f) (7C – D) + B (g) BBT.
 
 
 
 
 
 
Solução: a) 
	 b) 
 c) 
	 d) 
	e) 
	f) Impossível		g) 
2) Sem realizar o produto das matrizes F e G do problema 1, encontre:
a) (FG)23	b) (GF)21	c) O 1o vetor-linha de FG.	 d) O 2o vetor-coluna de FG. 
Solução: a) 0		b) 4		c) (9 8 19)		d) (8 0 9)
 3) Considerando as matrizes C, D, F e G do problema 1, encontre:
	a) tr(F)	b) tr(D)	c) tr(CD) d) tr(GF)
e) tr(FG) – tr(F)tr(G) f) tr(FT).
Solução: a) 5		b) 4		c) 1		d) 34		e) –16		f) 5. 
4) Dada a matriz M abaixo, encontre os valores de x, y, z e w para que esta matriz seja simétrica.
	
Solução: x = 2	y = 1		z = 3		w = –6. 
5) Se u e v são vetores-coluna com entradas (3, –4, 5) e (2, 7, 0), respectivamente, encontre:
	a) O produto interno matricial de u com v.
	b) O produto externo matricial de u com v.
Solução: a) –22	b) 
 
6) Sejam C, D e E as matrizes usadas no problema 1. Usando o menor número possível de operações, encontre a entrada na linha 2 e coluna 3 da matriz produto C(DE).
Solução: Precisamos multiplicar somente a linha 2 de C com a coluna 3 de (DE)
	Então: [C(DE)]2(3 = (3, -1) . [(1, 1) . (2, 5), (–3, 3) . (2, 5)]
		[C(DE)]2(3 = (3, -1) . [7, 9] = 12
7) Encontre a matriz A = [aij] de tamanho 4(4 cujas entradas satisfazem a condição:
a) aij = i + j
aij = (-1)i+j	
	c) aij = 1 se |i – j| > 1 e aij = -1 se |i – j| < 1.
Solução: a) 
	 b) 
	c) 
8) Encontre uma matriz A não nula de tamanho 2(2 tal que a matriz-produto AA tem todas as entradas nulas.
Solução: 
9) Sabendo-se que o produto AB é uma matriz 6(8, o que pode ser dito sobre os tamanhos de A e B.
Solução: A é 6(p e B é p(8
10) Determine se a matriz dada abaixo é ou não elementar.
	
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
Solução: a) Sim	b) Não		c) Sim		d) Não
11) Para as matrizes do problema 10 que forem elementares, encontre uma operação elementar sobre as linhas que retorne a matriz identidade.
Solução: a) Multiplicar a 1ª linha por 5 e somar com a 2ª 
	 c) Permutar a 1ª linha com a 3ª.
12) Dada as matrizes abaixo, encontre uma matriz elementar E que satisfaz a equação:
a) EA = B		b) EB = A		c) EA = C		 d) EC = A.
	
 
 
Solução: a) 
		b) 
	c) 
		d) 
13) Encontre a inversa, se houver das matrizes C, D e G do problema 1.
Solução: 
	
	
14) Considere a matriz 
	a) Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que E2E1A = I.
	b) Escreva A-1 como um produto de duas matrizes elementares
	c) Escreva A como um produto de duas matrizes elementares.
Solução: a) 
	b) Partindo da equação E2E1 = A encontramos: A-1 = E2E1 = 
	c) Partindo da equação E2E1A = I podemos escrever: A = E1-1E2-1. 
15) Considere que (r(s) denota as dimensões de uma matriz. Determine o tamanho dos seguintes produtos, quando for possível.
	a) (2(3)(3(4)	b) (4(1)(1(2)	c) (4(4)(3(3)	
d) (1(2)(3(1)	e) (5(2)(2(3).
Solução: a) (2(4)	b) (4(2) c) impossível	 d) Impossível	e) (5(3) 
16) Seja a matriz 
	a) Calcule um vetor coluna não nulo u = (x,y)T tal que 
Au = 3u.
	b) Descreva todos os vetores coluna como o acima. 
Solução: a) 
. Resolvendo este sistema temos:
	
	b) 
 17) Mostre que as matrizes 
 e 
 são inversas uma da outra.
Solução: 
18) Calcule a inversa, se possível, de cada matriz a seguir:
	
	
	 
Solução: 
		
	Não existe C-1.
19) Calcule a inversa da matriz 
Solução: 
20) Sejam as matrizes A = diag(2, 3, 5) e B = diag(7, 0, –4). Calcule:
	a) AB, A2, B2		b) A-1 e B-1.
Solução: a) AB = diag(14, 0, –20)	A2 = diag(4, 9, 25)	B2 = diag(49, 0, 16)
	b) A-1 = diag(1/2, 1/3, 1/5)		B-1 não existe
21) Determine uma matriz A(2(2) tal que A2 é diagonal, mas A não.
Solução: Seja 
		
Para A2 ser diagonal: ab + bd = 0 e AC + cd = 0, donde tiramos
	a = –d e b ( 0 ou c ( 0. 
	Por exemplo: 
 
22) Determine uma matriz triangular superior A tal que
Solução: 
		
Então: 19x = –57		x = –3		
 
23) Calcule x e B sabendo que 
 é simétrica.
Solução: x + 2 = 2x – 3	x = 5		
24) Calcule uma matriz ortogonal 2(2 cuja primeira linha é um múltiplo positivo de (3,4).
Solução: 
	Aplicando as condições de que os vetores linha e vetores coluna sejam unitários e ortogonais dois a dois, encontramos
	x = (1/5	y = (4/5	z = (3/5.
Entretanto, para satisfazer a condição: 3y/5 + 4z/5 = 0, y e z não podem ter o mesmo sinal. Exemplos de matrizes ortogonais seriam
	
25) Calcule uma matriz ortogonal 3(3 cujas duas primeiras linhas são múltiplos de u1 = (1, 1, 1) e 
u2 = (0,-1,1), respectivamente.
Solução: 
		Procedendo como no problema 24 temos
	x = 1/(3	y = 1/(2	a = (2/(3	b = 1/(6	c = 1/(6
26) Calcule AB usando a multiplicação por bloco, onde:
	 
Solução: 
27) Seja M = diag(A, B, C) onde 
, 
, 
. Calcule M2.
Solução: 
	
28) Dada a matriz 
 encontre a inversa da matriz diagonal em blocos usando a equação (4-12).
Solução: 
	
29) Use a equação (4-12) para encontrar a inversa da matriz triangular superior em blocos A dada por
	
Solução: 
	
30) Use a decomposição LU dada para resolver o sistema Ax = b por substituição para frente seguida de retrosubstituição.
	
Solução: O sistema Ly = b nos dá: y1 = 1		y2 = 5		y3 = 11.
	O sistema Ux = y nos dá: x1 = 125/14	x2 = 37/14	x3 = 11/14.
31) Encontre uma decomposição LU da matriz de coeficientes A para resolver o sistema Ax = b.
	
Solução: 
De Ly = b		y1 = 0		y2 = 1		y3 = 0.
De Ux = y		x1 = –1		x2 = 1		x3 = 0. 
32) Usando a decomposição LU do problema 30, encontre a inversa de A resolvendo três sistemas lineares apropriados.
Solução: Seja A-1 = [x1 x2 x3], onde x1, x2 e x3 são os vetores colunas
Resolvemos os sistemas: Ax1 = e1		Ax2 = e2		Ax3 = e3.
Encontramos: 
33) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x,y) ( R2 | y = 2x}. Verificar se W é um subespaço de V.
Solução: tomando u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2), verifica-se que W é fechado na soma e no produto por um escalar. Logo W é um subespaço de V
34) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x,y) ( R2 | y = 4 – 2x}. Verificar se W é um subespaço de V.
Solução: procedendo como no prob. 33 verifica-se que W não é subespaço de V.
35) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x,y) ( R2 | y = |x|}. Verificar se W é um subespaço de V.
Solução: não é um subespaço.
36) Verificar se o conjunto A = {v1 = (1, 2), v2 = (3, 5)} gera o R2.
Solução: Para que o conjunto A gere o R2 é necessário que qualquer vetor v = (x, y) ( R2 seja combinação linear de v1 e v2, isto é, devem existir números reais k1 e k2 tais que:
	v = k1v1 + k2v2.
	(x, y) = k1(1, 2) + k2(3, 5), donde montamos o sistema
	k1 + 3k2 = x
	2k1 + 5k2 = y
que resolvido nos dá: k1 = –5x + 3y	e	k2 = 2x – y.
Assim, para qualquer x e y existirão k1 e k2 para gerarem v.
37) Verificar se o conjunto A = {v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), 
v3 = (7, 4)} gera o R2.
Solução: Procedendo como no prob. 36 verifica-se que A gera o R2.
Observação: Os prob. 36 e 37 mostram que um espaço vetorial pode ser gerado por um número variável de vetores, mas existe um número mínimo de vetores que gera o espaço e esse número mínimo deve formar um conjunto LI.
38) Verificar se os vetores v1 = (6, 2, 3) e v2 = (0, 5, 3) são LI ou LD.
Solução: Como os dois vetores não são colineares, então são LI
39) Para cada um dos itensa seguir use as propriedades de fechamento de subespaço para determinar se o conjunto dado é um subespaço do R3. Se não é um subespaço, indique qual propriedade falha. 
Todos os vetores da forma (a, 0, 0).
Todos os vetores com componentes inteiros.
Todos os vetores (a, b, c) para os quais b = a + c.
Todos os vetores (a, b, c) para os quais a + b + c = 1.
Solução: a) É um subespaço
	 b) Não. Falha no produto por um escalar
	 c) É um subespaço
	 d) Não. Falha na soma e no produto por um escalar
40) A tabela a seguir mostra as notas de sete estudantes em três testes. Considere as colunas no corpo da tabela como vetores c1, c2 e c3 no R7 e considere as linhas como vetores r1, r2, ..., r7 no R3.
Encontre os escalares k1, k2 e k3 tais que os componentes do vetor x = k1c1 + k2c2 + k3c3 são as médias aritméticas dos três testes para cada estudante.
Encontre os escalares k1, k2 e k7 tais que os componentes do vetor x = k1r1 + k2r2 + ... + k7r7 são as notas médias de todos estudantes em cada teste.
Dê uma interpretação do vetor x = c1/4 + c2/4 + c3/2.
	
	Teste 1
	Teste 2
	Teste 3
	João
	90
	75
	60
	Carlos
	54
	92
	70
	Romeu
	63
	70
	81
	José
	70
	71
	72
	Samuel
	46
	90
	63
	Ricardo
	87
	72
	69
	Silvio
	50
	77
	83
Solução: a) k1 = k2 = k3 = 1/3.
	b) k1 = k2 = ... = k7 = 1/7.
	c) Representa uma média ponderada dos três testes para cada estudante, onde o peso do 3º teste é o dobro dos outros dois.
41) Encontre o valor de k na equação:
	
 
Solução: 
	k2 + 2k + 1 = 0	k = –1 
42) Encontre a matriz A sabendo que sua inversa é 
Solução: det(A-1) = 13	
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