resolução do Portifólio 2 geometria analitica ufc virtual ead

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Portifólio 2
Geometria Analítica
Tutor.: Prof. Me. Breno Sampaio
1. - (18) Determine 5A e −3B em cada um dos casos:
(a) A = (1,−3), B = (−2, 5)
(b) A = (0, 7), B = (1, 6)
(c) A = (−2, 5), B = (4, 3)
Solução: 1 :
Para o item (a) temos: 5A = (5,−15) e −3B = (6,−15).
Para o item (b) temos: 5A = (0, 35) e −3B = (−3,−18).
Para o item (c) temos: 5A = (−10, 25) e −3B = (−12,−9).
2. - (19) Sejam u = (2,−4, 6), v = (−3, 12,−4) e w = (6, 3,−1). Determine o vetor x tal
que:
(a) x = u + v
(b) x = 3u + 2w
(c) x = 2u − v
(d) x = 2(u + v) + 3w
Solução: 2 :
Para o item (a) temos: x = u + v = (−1, 8, 2).
Para o item (b) temos: x = 3u + 2w = (6,−12, 18) + (12, 6,−2) = (18,−6, 16).
Para o item (c) temos: x = 2u − v = (4,−8, 12) − (−3, 12,−4) = (7,−20, 16).
Para o item (d) temos: x = 2(u + v) + 3w = (−2, 16, 4) + (18, 9,−3) = (16, 25, 1).
3. - (23) São ortogonais os vetores u = (2, 4, 1) e v = (1, 0,−2)?
Solução: 3 :
Sabendo que os veotres u e v são ortogonais se |u + v| = |u − v|. Tendo u + v =
(3, 4,−1) e u − v = (1, 4, 3), segue que |u + v| = √32 + 42 + (−1)2 = √9 + 16 + 1 =√
26 e |u − v| = √12 + 42 + 32 = √1 + 16 + 9 = √26. Portanto temos que |u + v| =
|u − v| = √26 e assim os vetores u e v são ortogonais.
Uma outra solução, segue do fato de dois vetores u = (u1, ...,un) e v = (v1, ..., vn)
seremortogonais se u1v1+u2v2+· · · unvn = 0. Como 2·1+4·0+1·(−2) = 2+0−2 = 0
segue que os vetores u e v são ortogonais.
1
4. - (25) Determinar α para que o vetor u =
( √
11
4
,−1
2
α
)
seja unitário.
Solução: 4 :
Como o vetor u deve ser unitário, então
|u| = 1⇔
√
11
16
+
α2
4
= 1
⇔ 11
16
+
4α2
16
= 1
⇔ 11 + 4α2 = 16
⇔ 4α2 = 5⇔ α =
√
5
2
.
5. - (30) Sendo |u| = 4, |v| = 5 e uv = 120o, calcular: |u + v|
Solução: 5 :
Como |u + v|2 = |u|2 + 2u • v + |v|2 e u • v = |u||v| cos(θ) segue que |u + v|2 =
|u|2 + 2|u||v| cos(θ) + |v|2.
Daí,
|u + v|2 = |u|2 + 2|u||v| cos(θ) + |v|2
= 42 + 2 · 4 · 5 · cos(120o) + 52
= 16 + 40 ·
(
−1
2
)
+ 25 = 21
Portanto, |u + v| = √21.
2