AD1 2020 2 - Álgebra Linear GABARITO

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Gabarito
Álgebra Linear: AD1 - CEDERJ
Mauro Rincon & Márcia Fampa - 2020.2
Tutores: André Ricardo & Dionísio Martins
1.(2.0) Determine o valor de β para que o o sistema possua infinitas soluções?
SOLUÇÃO: A matriz ampliada do sistema é dada por:
 1 2 | 12 (β2 − 5) | β − 1

L2 ← L2 − 2L1  1 2 | 10 (β2 − 9) | β − 3

Reescrevendo o sistema: x1 +2x2 = 1 I(β2 − 9)x2 = β − 3 II (1)
Analisando a equação II, para que o sistema tenha infinitas soluções é
necessário que β2 − 9 = 0 e β − 3 = 0, a condição para que isso ocorra
é β = 3.
1
2.(2.0) Determine para que valores de x , a matriz A é singular?
A =
 x 1 01 x 1
0 1 x

SOLUÇÃO; Quereos determinar o valor de x para que o determinante
da matriz seja igual a zero.
Com efeito:
det(A) = x3 − 2x = 0⇐⇒ x(x2 − 2) = 0
Logo as raizes são x = 0, x = −
√
2, x =
√
2.
Assim a matriz A é sigular se x = {0,−
√
2, ,
√
2}
3.(2.0) Calcule AB sabendo que
A =
 −1 2 01 0 −1
0 1 1
 , B =
 0 1 01 0 1
1 1 1

SOLUÇÃO;
A.B =

−1 2 0
1 0 −1
0 1 1
 .

0 1 0
1 0 1
1 1 1
 =

0 + 2 + 0 −1 + 0 + 0 0 + 2 + 0
0 + 0− 1 1 + 0− 1 0 + 0− 1
0 + 1 + 1 0 + 0 + 1 0 + 1 + 1

A.B =

2 −1 2
−1 0 −1
2 1 2

4.(2.0) Sejam os vetores u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0) , u3 = (1, 1, 1),
u4 = (−1, 0, 1) , u5 = (0, 0, 0) .
Classifique, justificando as afirmações abaixo:
(a) {u1, u2, u3, u4} é um conjunto LI?
(b) {u1, u2, u3} é um conjunto LI?
2
(c) {u1, u2, u5} é um conjunto LI?
SOLUÇÃO
a) Temos que:
a(u1) + b(u2) + c(u3) + d(u4) = (0, 0, 0)⇐⇒
a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) + d(−1, 0, 1) = (0, 0, 0)⇐⇒
(a, 0, 0) + (b, b, 0) + (c, c, c) + (−d, 0, d) = (0, 0, 0)⇐⇒
(a+ b+ c− d, b+ c, c+ d) = (0, 0, 0)⇐⇒
a+ b+ c− d = 0
b+ c = 0
c+ d = 0
Logo: b = −c = d. Consequentemente a = −c. Ou seja {a, b, c, d} =
{−c,−c, c,−c} = c{−1,−1, 1,−1}.
Neste caso temos infinitas solução diferentes da solução nula, o que
significa que o conjunto de vetores são Linearmente Dependentes.
b) Analogamente temos:
a(u1) + b(u2) + c(u3) = (0, 0, 0)⇐⇒
a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (0, 0, 0)⇐⇒
(a, 0, 0) + (b, b, 0) + (c, c, c) = (0, 0, 0)⇐⇒
(a+ b+ c, b+ c, c) = (0, 0, 0)⇐⇒
a+ b+ c = 0
b+ c = 0
c = 0
Logo a única solução possível é a solução trivial {a, b, c} = {0, 0, 0} e
portanto o conjunto de vetores é Linearmente Independente.
c) Analogamente temos:
a(u1) + b(u2) + c(u5) = (0, 0, 0)⇐⇒
a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(0, 0, 0) = (0, 0, 0)⇐⇒
(a+ b, b, 0) = (0, 0, 0)⇐⇒ 
a+ b = 0
b = −a
c = 0
3
Logo a única solução possível é a solução trivial {a, b, c} = {0, 0, 0} e
portanto o conjunto de vetores é Linearmente Independente.
5.(2.0) Sejam os vetores u1 = (1,−1, 2), u2 = (2, 1,−1) , u3 = (−4,−5, 7).
(a) Descreva o espaço gerado por S = [u1, u2, u3]
(b) Determine St(espaço vetorial ortogonal a S) e uma base ortonor-
mal de St.
SOLUÇÃO Note que os vetores S = [u1, u2, u3] são LD. De fato:
a) a(u1) + b(u2) + c(u3) = (0, 0, 0)⇐⇒
a(1,−1, 2) + b(2, 1,−1) + c(−4,−5, 7) = (0, 0, 0)⇐⇒
(a,−a, 2a) + (2b, b,−b) + (−4c,−5c, 7c) = (0, 0, 0)⇐⇒
Assim temos o seguinte sistema linear, que na forma aumentada pode
ser reescrita por:  1 2 −4 |0−1 1 −5 |0
2 −1 7 |0

Vamos resolver o sistema pelo Método de Eliminação de Gauss:
L2 ← L1 + L2 e L3 ← L3 + 2L1
 1 2 −4 |00 3 −9 |0
0 −5 15 |0

L3 ← L3 + (5/3)L2
 1 2 −4 |00 3 −9 |0
0 0 0 |0

Note que a matriz do sistema é singular, logo os vetores são Linearmente
dependentes. Logo o vetor u3 pode ser escrito como combinação linear
de {u1, u2}. Assim basta o encontrar o espaço gerado por {u1, u2}.
Com efeito
a(u1) + b(u2) + c(u3) = (a,−a, 2a) + (2b, b,−b) = (x, y, z) Daí temos o
sistema linear:
4

a+ 2b = x
−a+ b = y
2a− b = z
Resolvendo o sistema, temos obtemos que Assim
S = {(x, y, z) ∈ IR3; z = 1
3
x− 5
3
y}
b) Espaço Ortogonal. Precisamos determinar uma base ortogonal. Se-
jam os vatores que geram o espaço S = [u1 = (1,−1, 2), u2 = (2, 1,−1)]
Entáo vamos determinar o vetores ortogonais:
u1 = (1,−1, 2)
u2 = (2, 1,−1)
w1 = u1 = (1,−1, 2)
w2 = (2, 1,−1)−
(
(2,1,−1)(1,−1,2)
(1,−1,2)(1,−1,2))
)
(1,−1, 2)
w2 = (2, 1,−1)− (−1
6
, 1
6
, −1
3
) = 1
6
(13, 5, −4)
Note que (w1, w2) = 0 , ou seja são ortogonais. Portanto St = [w1. w2].
A base é ortonormal se os vetores são ortonormais. Para isso basta
dividirmo os vetores ortogonais peor suas normas , ou seja:
‖w1‖ =
(
12 + (−1)2 + 22
)1/2
=
√
6
‖w2‖ = 16
(
132 + 52 + (−4)2
)1/2
=
√
(105/32)
Logo os vetores ortonormais são:
v1 = w1/‖w1‖ = (1,−1,2)√6
v2 = w2/‖w2‖ =
1
6
(13, 5, −4)√
(105/32)
= (2, 93; 1, 13,−0, 90)
St = {(x, y, z) ∈ IR3; z = 1
3
x− 5
3
y}
5