Estatística - Lista 2

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1 
 
ECO 1721 - Introdução à Estatística Econômica 
2a. Lista de Exercícios – 2014.2 
Professores: Thadeu Keller e Juarez Figueiredo 
 
2.1 Um dado equilibrado é lançado, observando-se o número de pontos eventualmente 
obtido na face voltada para cima. Determine a função de probabilidade dessa variá-
vel aleatória. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.2 Uma máquina produz peças de determinado tipo. Cada peça que é fabricada tem 
uma probabilidade igual a 10% de ser defeituosa. Uma peça é selecionada ao acaso 
da produção da máquina e a seguir é examinada para verificar se é defeituosa. Seja 
X a variável aleatória definida a seguir: 
 0 , se a peça não é defeituosa
X =
1 , se a peça é defeituosa



 
 Determine a função de probabilidade de X. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.3 Considere-se a máquina do exercício anterior. Suponha-se agora que foram escolhi-
das ao acaso 3 peças da produção dessa máquina, as quais foram submetidas a 
exame de qualidade para verificação da presença de defeitos. Seja X a variável 
aleatória que representa o número eventual de peças defeituosas encontradas. De-
termine a função de probabilidade de X. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.4 Os clientes de uma locadora de filmes podem efetuar o pagamento do aluguel dos 
mesmos no dia ou posteriormente, no prazo de até três dias depois da data do au-
guel. Considerando-se apenas os clientes que não pagam no dia mas que efetuam o 
pagamento nos dias posteriores (sem atraso), seja X a variável aleatória que repre-
senta o número de dias decorridos desde a data do aluguel até a data de pagamento. 
Admita-se que a função de probabilidade de X é 
 
x
p(x)= , para x 1, 2, 3
6

 
Determinar P(X=2 | X > 1) 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.5 Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade expressa por 
 
x
p(x)= , para x 1, 2, 3, 4, 5
c

; onde c é uma constante 
2 
 
 Determinar: 
a) O valor da constante c; 
b) 
 P X 2
; 
c) 
 P X 2|X< 4
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.6 Determine a função de distribuição acumulada relativa à variável aleatória corres-
pondente ao exercício 2.4. Em seguida, verifique que a partir do conhecimento da 
função de distribuição é possível determinar a função de probabilidade. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.7 Determine a função de distribuição acumulada relativa à variável aleatória corres-
pondente ao exercício 2.3. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.8 Determine a função de distribuição acumulada relativa à variável aleatória corres-
pondente ao exercício 2.5. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.9 Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade expressa por 
 
x
1
p(x) = , para x 1,2,3,....
2

 
Determinar: 
a) 
 P X 5
 
b) a probabilidade de X ser par 
c) a probabilidade de X ser divisível por 3 
d) 
 P X x
. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.10 Certa loja possui em estoque cinco eixos defeituosos e três perfeitos. Foram ven-
didos dois eixos, escolhidos ao acaso do estoque. Determinar a função de probabi-
lidade do número de eixos defeituosos que foram vendidos. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.11 Uma urna contém três bolas vermelhas e duas brancas. Serão retiradas duas bolas 
da urna, ao acaso e sem reposição. Cada bola vermelha retirada vale dois pontos e 
cada bola branca retirada vale cinco pontos. 
 Determinar: 
 a) a função de probabilidade do número de pontos obtidos: 
Juliana
Realce
Juliana
Realce
3 
 
 b) a função de distribuição do número de pontos obtidos; 
 c) a probabilidade de que o número de pontos obtidos seja menor do que oito. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.12 Dois atiradores, A e B, atiram em um alvo. Cada atirador dispara uma única vez. 
A probabilidade de que A acerte o alvo é 1/6 e de que B acerte é 1/2. Seja X o 
número de vezes que o alvo é atingido. 
 Determinar: 
 a) a função de probabilidade de X; 
 b) a função de distribuição de X. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.13 Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição: 
  X
0 x 2
0,1 2 x 4
F x
0,6 4 x 7
1 x 7

  
 
 
 
 
 Determinar a função de probabilidade de X. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.14 Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade 
expressa por 
 f(x) = 1 , para 0 < x < 1 
 Determinar a probabilidade do evento X < 1/2. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.15 Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade 
expressa por 
 f(x) = 2x , para 0 < x < 1 
Determinar: 
a) a probabilidade do evento X < 1/2; 
b) a probabilidade do evento 
X 1/2
sabendo-se que ocorreu 
1/3 X 2/3 
. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.16 Seja Y uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade 
expressa por 
 f(y) = c(1 – y) , para 0 < y < 1 , onde c é uma constante real 
Determinar: 
a) o valor da constante c; 
4 
 
b) 
 P Y <1/2
. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.17 A demanda mensal de certo produto, expressa em milhares de unidades, é uma 
variável aleatória X que tem a seguinte função de densidade de probabilidade 
3
a
f(x)= , para x 1
x

 
a) Determinar o valor da constante a; 
b) Calcular a probabilidade de que a demanda seja superior a 10.000 unidades. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.18 Determinar a função de distribuição acumulada da variável aleatória considerada 
no exercício 2.14. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.19 Considerando a variável aleatória referente ao exercício 2.15, pede-se: 
 a) determinar a sua função de distribuição acumulada; 
 b) calcular as probabilidades dos seguintes eventos: 
 i) 
 P X 0,2
 
 ii) 
 P 0,3 < X 0,9
 
 iii) 
 P X 0,7
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.20 Seja X uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte densidade de pro-
babilidade:  3f x x / 20
 
1 x 3 
 
 Determinar: 
 a) a probabilidade de que X seja superior a 1,3, dado que X é menor que 1,5; 
 b) a função de distribuição de X. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.21 Uma bomba de gasolina é abastecida uma única vez em cada semana, às segun-
das-feiras, antes do inicio do expediente. O volume da demanda semanal de gaso-
lina no posto possui a seguinte densidade de probabilidade, expressa em dezena 
de milhares de litros: 
 
   
4
f x 5 1 x 
 
0 x 1 
 
 Qual deve ser a capacidade de armazenamento da gasolina para que o posto possa 
atender à demanda semanal, com probabilidade 0,99? 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
Juliana
Realce
5 
 
2.22 Seja X uma variável aleatória do tipo discreto com a seguinte função de probabi-
lidade: 
 
x p(x) 
-1 1/3 
0 1/3 
1 1/3 
Total 1 
 
Seja Y uma variável aleatória definida como função de X por Y = 2 X+1. Deter-
minar a distribuição de probabilidade de Y. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.23 Um comerciante adquire para revenda 4 unidades de certo produto. O custo de 
aquisição de cada unidade é R$ 10,00 e o seu preço de venda é R$ 30,00. Cada 
unidade que não é vendida em certo período de tempo T deve ser descartada, com 
prejuízo integral. Não há possibilidade de reposição de estoque durante esse perí-
odo T. Suponha que a demanda do produto durante esse tempo é uma variável 
aleatória X com a seguinte função de probabilidade 
 
x 0 1 2 3 4 5 
Xp (x)
 0,10 0,15 0,20 0,30 0,15 0,10 
 
Pede-se: 
a) determinar a função de probabilidade da variável aleatória que representa a 
venda eventual desse produto pelo comerciante durante o período T; 
b) expressar o lucro eventual com a venda do produto em função da venda; 
c) determinar a função de probabilidade do lucro do comerciante; 
d) calcular a probabilidade do comerciante ter lucro. 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.24 Seja X uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte densidade de pro-
babilidade: 
 
 
1
f x x , para 0 < x < 4
8

 
Seja Y função de X definida por Y = 2 X + 8. Determinar a função de densidade 
de Y. 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.25 Seja X uma variável aleatória do tipo contínuo com a seguinte densidade de pro-
babilidade: 
Juliana
Realce
Juliana
Realce
6 
 
 
 
1
f x
2 x

 
0 x 1 
 
 Determinar a função de distribuição de X. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.26 A função de distribuição de X tem por expressão: 
 
   F x 1 1/ x 
 
x 1
 
 Determinar: 
 a) a função de densidade de X; 
 b) a probabilidade de X ser maior que 5; 
 c) a probabilidade de X ser superior a 5, na hipótese de ser maior que 3. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 2.27 A precipitação pluviométrica anual em certa localidade possui a seguinte densida-
de de probabilidade, medida em milímetros: 
 
  1,991f x 0,991x
 
x 1
 
 Determinar a probabilidade de que 
a) a precipitação anual seja superior a 40 mm; 
b) a precipitação anual seja inferior a 100 mm, na hipótese de ser superior a 50 
mm. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 2.28 A demanda semanal de determinado produto fabricado por certa empresa, medido 
em milhares de unidades, possui a seguinte densidade de probabilidade:
  6f x 5 x 1x 
 
 Sabe-se que para a próxima semana existem encomendas no total de 4 000 unida-
des do produto e que o estoque disponível no início da semana é de 12 000 unida-
des. Qual é a probabilidade de que o estoque existente possa atender à demanda 
naquela semana? 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 2.29 A função de densidade de X tem expressão: 
 
  3f x k x 1 x 3  
 
 Determinar o valor de k. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.30 Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade 
expressa por 
 
 
1
f x , para 0 x 2
2
  
 
 Determinar a função de distribuição de X. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
7 
 
2.31 Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade 
expressa por 
 
 
1
f x , para 1 x 3
2
  
 
 Seja Y = 3 X + 4, função de X. Determinar a função de densidade de Y. 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.32 Considere-se variável aleatória X do exercício anterior. Seja agora 
XY h(X) e 
. 
Determine a distribuição de probabilidade de Y. 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
============================================================== 
S O L U Ç Õ E S 
============================================================== 
2.1 Como o dado é equilibrado, tem-se: 
1
p(x) = , para x 1,2,3, ...,6
6

 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.2 0,9 , se x =0
p(x) =
0,1 , se x =1



 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.3 
   
x 3-xx
3p(x) C 0,1 0,9 , para x =0,1,2,3
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.4 
 A expressão analítica da função de probabilidade de X é 
 
x
p(x) = , para x 1, 2, 3
6

 
 
 Na forma de tabela, tem-se: 
x
 
p(x)
 
1 1/6 
2 2/6 
3 3/6 
Total 1 
 
 Portanto, segue 
8 
 
  
 
 
 
 
 
   
2
P X = 2 P X = 2 P X = 2 26P X 2|X >1
2 3P X 1 P X 2 P X = 2 P X =3 5
6 6
     
  

 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.5 
a) c = 15 e 
x
p(x)= , para x 1, 2, 3, 4, 5
15

 
 
b) 
     
1 2 3 1
P X 2 P X =1 P X = 2 p(1)+p(2)=
15 15 15 5
      
 
 
c)  
 
 
 
 
3
P X 2 P X 2 3 115P X 2|X < 4
6P X < 4 P X 3 6 2
15
 
     

 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
2.6 função de distribuição (a partir da função de probabilidade): 
 
0, para x <1
1
, para1 x < 2
6
F(x) = 3 1
, para 2 x < 3
6 2
6
1, para 3 x 
6


 



 

  

 
 e função de probabilidade (a partir da função de distribuição): 
 
 
t 1 
1 1
p(1)= F(1)- lim F(t)= 0
6 6 
 
 
 
t 2
3 1 2 1
p(2)=F(2)- lim F(t)=
6 6 6 3 
  
 
 
t 3
3 6 3 3 1
p(3) F(3)- lim F(t) 1
6 6 6 6 2 
      
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.7 
 
 
 
0 , para x < 0
0,7290 , para 0 x <1
F(x) = 0,9720 , para 1 x < 2
0,9990 , para 2 x <3
1 , para x 3

 


 


 
9 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
2.8 
 
 
0, para x <1
i (i +1)
F(x) = , para i x < i +1 , com i =1,2,3,4
30
1, para 5 x 



 


 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
2.9 
 a) 
1
16
 b) 
1
3
 c) 
1
7
 d) 
 
x
1
P X x 1
2
  
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
2.10 
 p x x
CxC
C
x
 

5 3
2
8
2
012, ,
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.11 a)  
3 10 4
6 10 7
1 10 10
x
p x x
x


 
 
 b)  F x
x
x
x
x


 
 








0 4
3 10 4 7
9 10 7 10
1 10
 
 c) 
 
3 6 9
P X 8
10 10 10
   
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.12 
 a)  p x
x
x
x









5 12 0
6 12 1
1 12 2
 b)  F x
x
x
x
x


 
 








0 0
5 12 0 1
11 12 1 2
1 2
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.13 
 
     X X Xp 2 F 2 F 2 0,1 0,0 0,1    
 
      X X Xp 4 F 4 F 4 0,6 0,1 0,5    
 
      X X Xp 7 F 7 F 7 1,0 0,6 0,4    
 
 Em resumo, 
10 
 
 
 X
0,1 x 2
p x 0,5 x 4
0,4 x 7


 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.14 
 
1/ 2
1/ 2
0
0
1 1
P X <1/2 1dx = x 0 0,5
2 2
    
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.15 
 a) 
 
1/ 2
1/ 2
2
0
0
1 1
P X <1/2 2x dx = x 0 0,25
4 4
    
 
 b) 
  
 
 
1/2
1/ 2
2
1/3 1/3
2/3 2/3
2
1/3
1/3
1 1 9 4 52 x dx
xP 1/3 X 1/2 54 9 36 36P X <1/2|1/3 X 2/3
4 1 4 1 3P 1/3 X 2/3 12x2 x dx
9 9 9 9

 
        
 



 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.16 
 a) 1 1
1 0
2 2
0 1
0 0
1 1 1
c(1- y)dy c (1 y)dy=c (1 y) c (1 y) c (1 0) 1
2 2 2
 
         
 
 
 
 donde c = 2. 
 b) 
 
1/ 2
1/ 2 0
2 2
0 1/ 2
0
1 3
P Y <1/2 2(1 y)dy (1 y) (1 y) 1 0,75
4 4
         
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.17 
 a) a = 2 
 b) p = 0,01 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.18 
 
 
0 ,para x 0
F(x) = x ,para 0 x <1
1 ,para x 1



 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.19 
a) 
 2
0 ,para x 0
F(x) = x ,para 0 x <1
1 ,para x 1



 
 
11 
 
b) 
b-i) 
 P X 0,2 F(0,2) 0,04  
 
b-ii) 
 P 0,3 < X 0,9 F(0,9) - F(0,3) 0,72  
 
b-iii) 
   P X 0,7 1 P X 0,7 1 F(0,7) 1 0,49 0,51        
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.20 
a)  
 
 
 
 
1 5
3
1 3
1 5
3
1
1 20
1 3 1 5
1 3 1 5
1 5
1 20
,
,
,
/ x dx
P , X ,
P X , / X ,
P X ,
/ x dx
 
    


 
 
 
4
4
1 5
2 20641 3
0 5431
1 5 4 0625
1 0
,
x
,,
,
, ,
x
,
 
 
  
 
 
 
 b) 
      3 4 4
1
1 20 1 20 4 1 80
1
1 1 3
x x
/ x dx / x / / x x     
 
 
 F x
x
x x
x
( ) ( )

  






0 1
1 80 1 3
1 3
4 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.21 
 
4
0
0 99 5 1
A
, x dx    
1
54 5
1
1
5 5 5 1 1
1
A
u du u / A
A

    
  
 
 
  
1 5
1 0 01 0 6019
/
A , ,  
 Resposta: 6019 litros 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
2.22 
 A função de probabilidade de Y é 
 
y p(x) 
-1 1/3 
 1 1/3 
 3 1/3 
Total 1 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
12 
 
2.23 
a) a função de probabilidade de Y é 
y 0 1 2 3 4 
Yp (y)
 0,10 0,15 0,20 0,30 0,25 
 
b) a expressão do lucro em função da venda é 
W 30,00Y 40,00 
 
 
c) A função de probabilidade do lucro, W, é 
w - 40,00 - 10,00 20,00 50,00 80,00 
Wp (w)
 0,10 0,15 0,20 0,30 0,25 
 
d) A probabilidade do comerciante ter lucro é 0,75 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.24 A função de densidade de probabilidade de Y é 
 
Y
1 y 8 1 (y 8)
f (y) . , para 8 y 16
8 2 2 32
  
    
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.25 
0 x 1 
 
 XF x
 = 
  0 5
0
1 2
x
,/ x dx
 = 
  0 51 2 0 5
0
, x/ x / , 
 
 = 
0 5,x x
 
 
 XF x
 = 
0 0
0 1
1 1
x
x x
x


 
 

 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.26 
 a) 
   f x
d
dx
F x
x
x  
1
1
2
 
 b) 
     5 1 5 1 5 1 5P X P X F /      
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
5 1 5 1 5
5 3 3 5
3 1 3 1 3
P X F /
P X / X /
P X F /
 
     
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.27 a ) 
  1 991
40
40 0 991 ,P X , x dx

   0 991 0 9910 991 40, ,, x /

   
 
 
 
0 99140 0 0258, , 
 
13 
 
 b) 
 
 
 
50 100
100 50
50
P X
P X / X
P X
 
  

100
1 991
50
1 991
50
0 991
0 991
,
,
, x dx
, x dx



 


 
 
0 991
0 991
100
50
50
,
,
x
x


 
 
 

 
 
0 991 0 991
0 991
0 991
50 100
1 2 0 496950
, ,
,
,
,
 



  
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.28 
X
X
-5 -6dF (x) df (x) = (1- x ) = 5x x > 1
dx dx

 
  
 
 
-5
12
-6
-5 -5
4
-5-5
-6
4
12x
55x dx 4-5P 4 < X < 12 4 -12
P X 12 / X 4 = = = =
P X > 4 4x5x dx 5
4-5

 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
51 3 0,9959  
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.29 (i) 
3
Xf (x) 0 k x 0 para 1 x 3 k 0      
 
 (ii) 43
3
X
1
3x
f (x)dx 1 k x dx 1 k 20k 1 k 1/ 20
14


 
        
  
 
 
 (iii) de (i) e (ii), tem-se: 
k 1/ 20
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.30 
 
0 ,para x 0
1
F(x) = x ,para 0 x < 2
2
1 ,para x 2






 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.31 
 
X
1
f (x) , para 7 x 13
6
  
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.32 
 
3
X
1
f (x) , para x
2 y
e e  
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------