Relatório - Arquimedes

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO/PR 
2014 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
MATHEUS ALLAN MAIOR 
MATHEUS PIASECKI 
PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO/PR 
2014 
Relatório entregue como requisito 
parcial de avaliação da disciplina de 
Física Geral e Experimental II do curso 
de Engenharia Química da 
Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná – Campus Toledo. 
 
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-
Quiñones. 
 
1. RESUMO. 
 
Segundo o princípio de Arquimedes o empuxo é a ação de uma força 
contrária à força peso para um corpo imerso em um fluido. Para a verificação 
deste princípio, mediu-se por meio de um dinamômetro o peso de um cilindro 
de nylon imergido dentro de uma proveta com dois fluidos diferentes, água e 
álcool, variando-se dez vezes a altura imersa do cilindro, o que causava uma 
variação no volume deslocado do fluido. Tendo os valores de altura imersa, 
volume deslocado e peso aparente do cilindro determinou-se a densidade dos 
fluidos por meio de gráficos relacionando as três grandezas e balanço de 
forças. Também determinou-se a densidade do nylon a partir das densidades 
determinadas anteriormente, permitindo verificar-se qual dos dois métodos 
empregados é o mais preciso. Analisando-se os resultados, pode-se concluir 
que o método de determinação por meio da altura imersa do cilindro é o mais 
preciso, determinando-se as densidades com discrepância de 
aproximadamente 1%, verificando-se a aplicação do princípio de Arquimedes. 
 
 
1. INTRODUÇÃO. 
 
 Um fluido é uma substância que pode escoar e assumir a forma do 
recipiente em que se encontra. A característica mais notada dos fluidos é que 
estes não podem resistir a uma força paralela à sua superfície, pois os mesmos 
escorrem e alteram sua forma (BIRD et al., 2004). Dentre os princípios e 
equações desenvolvidas durante o estudo do comportamento dos fluidos, um 
dos que se destaca é o Princípio de Arquimedes (LIVI, 2004). 
Consideremos um corpo cilíndrico de área da base A e altura h, 
totalmente imerso num fluido em equilíbrio, cuja densidade é ρ (Figura 1). Por 
simetria, as forças laterais se cancelam aos pares, enquanto as forças 
aplicadas nas bases superior e inferior geram uma diferença de pressão, onde 
na parte inferior é maior que na parte superior, que pode ser obtido da Lei de 
Stevin: 
 
Figura 1: Balanço de forças em um corpo submerso em um fluido. 
(ESPINOZA-QUIÑONES, 2005) 
 
 ( ) (1) 
 ( ) (2) 
 
Logo, a diferença de pressão é dada pela equação (3). 
 
 ( ) ( ) ( ) (3) 
 
Essa diferença de pressão cria uma força superficial resultante exercida 
pelo fluido sobre o cilindro, indicada pela equação (4), na qual o vetor área é 
definido pela equação (4a) 
 
 ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ (4) 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ̂ (4a) 
 
Portanto, o fluido exerce uma força vertical direcionada pra cima, 
conhecida como empuxo (HALLIDAY, 2012). Assim, pode-se determinar o 
empuxo em termos de densidade e altura do objeto imerso pela equação (5). 
 
 ⃗⃗ ̂ (5) 
 
Uma vez que o volume deslocado é igual a área superficial vezes a 
altura imersa do corpo, também pode-se determinar o empuxo por meio da 
equação (5a). 
 
 ⃗⃗ ̂ (5a) 
 
Por outro lado, tem-se a atuação da força peso, que é determinada pela 
equação (6). Manipulando-se a equação (6), sabendo-se que a densidade é 
igual a razão entre massa e volume total do corpo, tem-se a força peso 
determinada pela equação (6a). 
 
 ⃗⃗ ̂ (6) 
 ⃗⃗ ̂ (6a) 
 
Por balanço de forças, quando o corpo está em equilíbrio e totalmente 
submerso, tem-se 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗ (7) 
 
Quando o corpo não está totalmente submerso, as duas grandezas não 
são equivalentes, o que gera uma grandeza chamada de peso aparente, 
determinada pela equação (8). 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (8) 
 
A prática laboratorial tem como objetivo verificar o princípio de 
Arquimedes por meio da determinação da densidade de dois fluidos e do corpo 
sólido partindo de tal princípio. 
 
 
2. MATERIAIS E MÉTODOS. 
 
2.1. Materiais empregados. 
 
 Em um tripé, posicionou-se uma garra com um dinamômetro de 2N, 
prendendo-se em sua parte inferior, por meio de um gancho, um cilindro de 
nylon com uma escala graduada em milímetros fixada em sua superfície lateral. 
Utilizou-se uma proveta de 1000 mL para a imersão do cilindro, primeiramente 
contendo 700 mL de água, e por segundo, 700 mL de álcool comercial 
92,8ºINPM. 
 
2.2. Metodologia aplicada. 
 
 Inicialmente, prendeu-se o dinamômetro no tripé por meio de uma garra 
metálica e ajustou o mesmo, conforme a Figura 2. Notou-se que a garra que 
prendia o dinamômetro era irregular, tendo-se que fazer alguns reparos 
provisórios. Com o cilindro pendurado no dinamômetro, anotou-se o valor do 
peso real medido. Depois de transferir-se 700 mL de água (parte 1) ou álcool 
(parte 2) na proveta, inseriu-se o sistema dinamômetro-cilindro, soltando a 
garra lentamente até que o cilindro ficasse imerso no nível de água desejado. 
Foi-se variando a altura imersa do cilindro de 10 em 10 mm, tomando-se nota 
da altura do cilindro, do volume total marcado na proveta e do peso indicado 
pelo dinamômetro. 
 
 
(a) (b) 
Figura 2: Módulo experimental contendo o cilindro anexado ao dinamômetro (a) 
e o cilindro sendo imerso na proveta contendo o fluido (b). (ESPINOZA-
QUIÑONES, 2005) 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO. 
 
3.1. Dados experimentais para o cilindro de nylon. 
 
 Mediu-se a massa e as dimensões do cilindro de nylon utilizado, bem 
como a massa do gancho utilizado para prender o cilindro no dinamômetro, 
expondo-se os dados na Tabela 1. Determinou-se o peso do cilindro utilizando-
se a equação (6), na qual g é a aceleração da gravidade e vale 9,81 m/s², com 
o erro propagado determinado pela equação (A) do Anexo I. 
 
Tabela 1: Massa e dimensões do cilindro de nylon. 
Grandeza Valor 
Diâmetro do cilindro 4,0 ± 0,05 cm 
Altura do cilindro 11,0 ± 0,05 cm 
Massa do cilindro 158,06 ± 0,005 g 
Massa do gancho 2,40 ± 0,005 g 
Peso do cilindro 1,57 ± 0,05 N 
 
3.2. Determinação da densidade da água. 
 
 A Tabela 2 foi montada com os valores de peso aparente do cilindro de 
nylon, medida pelo dinamômetro, altura do cilindro imersa na água, medida 
pelo papel milimetrado anexado ao cilindro, e volume total de água na proveta, 
medida na própria vidraria, além de valores de volume deslocado de água e de 
empuxo da água (determinado pela equação (8)). 
 
Tabela 2: Dados de peso e volume determinados para o sistema nylon-água. 
Altura do 
cilindro 
submersa (± 
0,005 cm) 
Peso 
aparente do 
cilindro (± 
0,05 N) 
Empuxo da 
água (± 0,05 
N) 
Volume total 
de água (± 
0,5 mL) 
Volume 
deslocado de 
água (± 0,5 
mL) 
0,0 1,60 0,00 700,0 0,0 
1,0 1,48 0,12 710,0 10,0 
2,0 1,34 0,26 725,0 25,0 
3,0 1,22 0,38 735,0 35,0 
4,0 1,11 0,49 750,0 50,05,0 0,98 0,62 760,0 60,0 
6,0 0,84 0,76 775,0 75,0 
7,0 0,72 0,88 788,0 88,0 
8,0 0,58 1,02 800,0 100,0 
9,0 0,48 1,12 815,0 115,0 
10,0 0,36 1,24 828,0 128,0 
 
 Analisando-se a Tabela 2, percebe-se que o peso real do cilindro de 
nylon medido pelo dinamômetro está de acordo com o peso estipulado a partir 
da massa do conjunto cilindro-gancho, com discrepância de 1,8% entre os 
valores. Esta pequena discrepância pode estar relacionada ao mal 
posicionamento do dinamômetro, que não estava totalmente centralizado 
devido a irregularidade do suporte. 
 A partir dos dados da Tabela 2, montou-se os gráficos demonstrados 
nas Figuras 3 e 4, relacionando o peso aparente do clindro com o comprimento 
imerso do cilindro e com o volume deslocado de água na proveta. 
 
 
Figura 3: Peso aparente do cilindro em função da altura imersa do cilindro. 
 
 
Figura 4: Peso aparente do cilindro em função do volume deslocado de água. 
 
 A Tabela 3 expressa as equações da reta dos gráficos expostos 
anteriormente, assim como os valores do coeficiente de determinação de cada 
ajuste. 
 
Tabela 3: Equação da reta e R² dos gráficos representados nas figuras X e Y. 
Figura Equação da reta R² 
X y = (1,598 ± 0,007) – (0,1250 ± 0,0011)x 0,99921 
Y y = (1,569 ± 0,012) – (0,0096 ± 0,0001)x 0,99761 
 
 Analisando-se a Tabela e os gráficos, percebe-se que a curva de peso 
aparente em função da altura imersa do cilindro fornecerá um resultado mais 
preciso para a densidade do nylon, uma vez que possui um R² mais próximo de 
1 do que a curva que relaciona peso aparente e volume deslocado. A escolha 
pela curva da Figura 3 ainda é reforçada pelo fato do coeficiente linear da reta, 
que indica o peso real do cilindro de nylon, estar mais próximo do peso real 
medido pelo dinamômetro, além do fato da medida de altura do cilindro ser 
mais precisa do que a medida de volume. 
 A partir da equação da reta, determina-se a altura h0 do cilindro tal que o 
peso aparente seja zero, ou seja, . Resolvendo-se 
o limite, encontra-se que h0 = 12,78 ± 0,06 cm. Nessa altura, o balanço de 
forças da equação (7) se torna 
 
 
 
 Quando o peso aparente tende a zero, o empuxo tende ao valor do peso 
real, o que permite calcular a densidade do fluido a partir do peso real, da 
altura imersa e da área da secção transversal do corpo imerso. Sendo o erro 
propagado na densidade determinado pela equação (B) do Anexo I, tem-se 
 
 ( 
 ) 
 
 
 
 
 Para fins de comparação, determinou-se a densidade da água pelo 
volume deslocado, determinando-se o volume deslocado tal que o peso 
aparente é zero, ou seja, – , encontrando-se o valor 
V0 = 163,61 ± 1,20 mL. Aplicando-se no balanço de forças anterior, no qual V0 
= h0 · A, com o erro determinado pela equação (C) do Anexo I, tem-se 
 
 
 
 
 
 A Tabela 4 indica os dois valores determinados para a densidade da 
água, juntamente com o valor de densidade encontrado na literatura (LIVI, 
2004). Ambos os três valores foram medidos para a temperatura ambiente do 
experimento, de 25ºC. 
 
Tabela 4: Valores de densidade da água determinados experimentalmente e 
encontrado na literatura. 
Método utilizado Valor (kg/m³) 
Determinação pela altura imersa 1013,98 ± 32,11 
Determinação pelo volume deslocado 979,35 ± 30,32 
Dado encontrado na literatura 997,04 
 
 Percebe-se, analisando a Tabela 4, que a densidade determinada pelo 
método da altura imersa do cilindro é mais precisa, apresentando uma 
discrepância de 1,7%, enquanto que o método pelo volume deslocado 
apresenta uma discrepância de 1,8%. 
 
3.3. Determinação da densidade do álcool. 
 
 Utilizando-se o mesmo método aplicado anteriormente, determinou-se a 
densidade do álcool por meio de curvas de peso aparente em função da altura 
imersa do cilindro e do volume deslocado de álcool. A Tabela 5 indica os 
valores experimentais utilizados na construção dos gráficos. 
 
Tabela 5: Dados de peso e volume determinados para o sistema nylon-álcool. 
Altura do 
cilindro 
submersa (± 
0,005 cm) 
Peso 
aparente do 
cilindro (± 
0,05 N) 
Empuxo do 
álcool (± 0,05 
N) 
Volume total 
de álcool (± 
0,5 mL) 
Volume 
deslocado de 
álcool (± 0,5 
mL) 
0,0 1,60 0,00 700,0 0,0 
1,0 1,49 0,11 715,0 15,0 
2,0 1,38 0,22 728,0 28,0 
3,0 1,29 0,31 739,0 39,0 
4,0 1,17 0,43 750,0 50,0 
5,0 1,06 0,54 766,0 66,0 
6,0 0,96 0,64 778,0 78,0 
7,0 0,84 0,76 790,0 90,0 
8,0 0,74 0,86 800,0 100,0 
9,0 0,64 0,96 812,0 112,0 
10,0 0,53 1,07 828,0 128,0 
 
 Utilizando-se os dados de altura imersa do cilindro, peso aparente do 
cilindro e volume deslocado de álcool, montou-se os gráficos expressos nas 
Figuras 5 e 6. A Tabela 6 indica as equações das retas e os respectivos 
coeficientes de determinação para o ajuste linear. 
 
 
Figura 5: Peso aparente do cilindro em função da altura imersa do cilindro. 
 
Figura 6: Peso aparente do cilindro em função do volume deslocado de álcool. 
 
Tabela 6: Equação da reta e R² dos gráficos representados nas figuras X e Y. 
Figura Equação da reta R² 
X y = (1,599 ± 0,004) – (0,1070 ± 0,0007)x 0,99962 
Y y = (1,620 ± 0,009) – (0,0086 ± 0,0001)x 0,99839 
 
 Novamente, a equação da reta utilizada para a determinação da 
densidade é a equação da Figura 5, peso aparente em função da altura imersa 
do cilindro, por possuir um R² mais próximo de 1, além de um coeficiente linear 
mais próximo do valor do peso real. 
 Determinou-se a altura do cilindro tal que o peso aparente é zero, 
encontrando-se o valor h0 = 14,94 ± 0,06 cm. O erro é determinado pela 
equação (B) do Anexo I. Aplicando-se o balanço de forças nesse ponto, tem-se 
 
 
 ( 
 ) 
 
 
 De modo análogo, determinou-se o volume deslocado para que o peso 
aparente tenda a zero, encontrando-se o valor de V0 = 188,37 ± 0,90 mL. 
Aplicando no mesmo balanço de forças, substituindo h0·A por V0, com o erro 
determinado pela equação (C) do Anexo I, tem-se 
 
 
 
 
 
 Com os valores determinados e o valor da densidade do álcool 
encontrado na literatura (Da Ilha, 2014), montou-se a Tabela 7. Todos os 
valores foram medidos à 25ºC. 
 
Tabela 7: Valores de densidade da água determinados experimentalmente e 
encontrado na literatura. 
Método utilizado Valor (kg/m³) 
Determinação pela altura imersa 868,20 ± 27,38 
Determinação pelo volume deslocado 876,67 ± 26,73 
Dado encontrado na literatura 810,0 
 
 Novamente, o método da altura imersa do cilindro foi mais precisa na 
determinação da densidade. Entretanto, observa-se uma certa discrepância 
entre os valores de densidade determinados e o valor da literatura, 
discrepância que chega a 7,6%. Uma das possíveis causas para essa 
diferença é o fato do álcool já ter sido utilizado antes da prática, além de ficar 
muito tempo exposto à pressão atmosférica, uma vez que o álcool é uma 
substância volátil, evaporando, aumentando a fração mássica da água na 
mistura, logo, aumentando a densidade da mistura, lembrando que o álcool 
utilizado é uma mistura de 92,8% de álcool e 7,2% de água. 
 
 Determinação da densidade do nylon. 
 
 Novamente, aplica-se o balanço de forças utilizado anteriormente, para a 
situação em que o peso aparente do cilindro é zero. Utilizando-se a equação(6a), manipula-se o balanço de forças, chegando-se na relação 
 
 
 
na qual H representa a altura do cilindro de nylon. Para a determinação a partir 
do volume deslocado, faz-se a substituição H·A = V. Assim, pode-se 
determinar a densidade do nylon a partir da densidade da água e do álcool, 
cada uma utilizando o método da altura imersa e do volume deslocado. 
 Sendo H = 11,0 cm, g = 9,81 m/s² e A = 1,256 x10-3 m², a Tabela 8 
indica os valores de h0 e das densidades determinadas para o álcool e a água, 
e o valor da densidade do nylon determinada para o método da altura imersa. A 
Tabela 9 expõe os valores de V0 e das densidades determinadas 
anteriormente, e o valor determinado da densidade do nylon para o método do 
volume deslocado. Os erros são determinados pelas equações (D) e (E) do 
Anexo I, respectivamente. 
 
Tabela 8: Valores de densidade do nylon determinados a partir da altura imersa 
em água e álcool. 
Fluido h0 (cm) 
Densidade do fluido 
(kg/m³) 
Densidade do nylon 
(kg/m³) 
Água 12,78 ± 0,06 1013,98 ± 32,11 1178,06 ± 37,71 
Álcool 14,94 ± 0,06 868,20 ± 27,38 1179,17 ± 37,48 
 
Tabela 9: Valores de densidade do nylon determinados a partir do volume 
deslocado de água e álcool. 
Fluido V0 (mL) 
Densidade do fluido 
(kg/m³) 
Densidade do nylon 
(kg/m³) 
Água 163,61 ± 1,20 979,35 ± 30,32 1159,16 ± 36,88 
Álcool 188,37 ± 0,90 876,67 ± 26,73 1194,66 ± 36,87 
 
 A fim de se comparar os valores encontrados com valores da literatura 
(INCOMPLAST, 2014), montou-se a Tabela 10, com todos os valores de 
densidade medidos para a temperatura ambiente na hora do experimento, 
25ºC. 
 
Tabela 10: Valores determinados e encontrados na literatura de densidade do 
nylon. 
Método utilizado Valor (kg/m³) 
Determinação pela altura imersa em água 1178,06 ± 37,71 
Determinação pela altura imersa em álcool 1179,17 ± 37,48 
Determinação pelo volume deslocado de água 1159,16 ± 36,88 
Determinação pelo volume deslocado de álcool 1194,66 ± 36,87 
Dado encontrado na literatura 1140,0 
 
 Analisando-se a Tabela 10, percebe-se que o método do volume 
deslocado em água foi o que apresentou menor discrepância em relação ao 
valor encontrado na literatura, cerca de 1,6%, enquanto que o método do 
volume deslocado em álcool apresentou a maior diferença, 4,5%. Observa-se, 
todavia, que o valor encontrado em literatura está no intervalo de erro das três 
primeiras medidas, indicando a validade do método. 
 Também pode-se perceber que o método de determinação pela altura 
imersa em água é mais precisa, fornecendo resultados próximos utilizando 
água e álcool, enquanto que a determinação por volume deslocado obteve 
resultados dispares entre os dois fluidos. Isso pode se dever ao erro associado 
à medida do volume ser maior do que o erro para a medida da altura do cilindro 
imersa. 
 
3.4. Discussão dos resultados. 
 
 Pode-se perceber que, para as três densidades, encontrou-se 
discrepâncias entre o valor encontrado na literatura e os valores determinados 
pelos métodos. Tais discrepâncias podem estar associadas a falhas na 
instrumentação, uma vez que o suporte do dinamômetro apresentava defeito 
que, na medida do possível, tentou-se minimizá-lo. Entretanto, uma vez que as 
discrepâncias foram pequenas (sempre menores que 5%), pode-se considerar 
os resultados satisfatórios. 
 
 
4. CONCLUSÃO. 
 
 A partir dos dados coletados, dos valores determinados e dos resultados 
discutidos, pode-se concluir que a prática atingiu seus objetivos, 
reconhecendo-se o princípio de Arquimedes no experimento por meio da 
determinação das densidades da água, álcool e nylon. 
 Percebeu-se que o método de determinação da densidade por meio da 
altura imersa do cilindro é o mais preciso, atingindo resultados com 
discrepâncias sempre menores que 2% entre os valores determinados e os 
encontrados na literatura. Isso se deve ao menor erro associado a medida de 
altura em relação as medidas de volume na proveta. 
 Apesar da discrepância encontrada, considerado-a desprezível, pode-se 
considerar os resultados satisfatórios, fornecendo uma visualização clara do 
sistema físico aprendido em sala de aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Álcool etílico hidratado 92,8ºINPM – Da Ilha. Disponível em 
<http://www.alcooldailha.net/site/index.php?route=product/product&path=69
&product_id=94>. Acesso em 21 mai 2014. 
 
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. D. Fenômenos de 
transporte. 2ª edição. LTC Editora, 2004. 
 
ESPINOZA-QUIÑONES, F.R. Apostila de aulas práticas V – Princípio de 
Arquimedes, Toledo, 2005. 
 
HALLIDAY, D. Fundamentos da Física, 9ª edição, Vol. 1, LTC, Rio de Janeiro, 
2012. 
 
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para 
cursos básicos. 4ª edição, Sub-Reitoria de Ensino de Graduação e Corpo 
Discente, UFRJ, 2004. 
 
NYLON – INCOMPLAST. Disponível em < 
http://www.incomplast.com.br/materiais/nylon.htm>. Acesso em 21 mai 
2014. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS 
 
Anexo I – Equações aplicadas para resultados e discussão. 
 
 (A) 
 √(
 
 
)
 
 (
 
 ( ) 
 )
 
 
(B) 
 √(
 
 
)
 
 (
 
 ( ) 
 )
 
 
(C) 
 √( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
(D) 
 √( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
(E)