Relatório - Superfícies equipotenciais

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO/PR 
2014 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
MATHEUS PIASECKI 
PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA 
 
 
 
 
 
 
SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO/PR 
2014 
Relatório entregue como requisito 
parcial de avaliação da disciplina de 
Física Geral e Experimental II do curso 
de Engenharia Química da 
Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná – Campus Toledo. 
 
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-
Quiñones. 
 
1. RESUMO 
 
 A prática teve como objetivo determinar-se algumas superfícies 
equipotenciais em três sistemas de eletrodos, relacionando-os com o campo 
elétrico formado pelos mesmos. Para isso, em uma cuba, adicionou-se uma 
solução de cloreto de sódio, montou-se três sistemas de eletrodos diferentes 
(dois cilindros, duas placas paralelas, e duas placas mais um anel 
descarregado), gerou-se uma diferença de potencial entre os mesmos e 
determinou-se alguns pontos os quais possuíssem um mesmo potencial 
elétrico. Com os pontos, plotou-se em papel milimetrado algumas superfícies 
equipotenciais. Encontrou-se que, para o sistema com dois eletrodos 
cilíndricos, as superfícies equipotenciais são circunferências em torno dos 
eletrodos, com o centro alinhado ao centro dos dois eletrodos, com as esferas 
aumentando de tamanho até que, na metade das distâncias entre os eletrodos, 
formou-se uma linha perpendicular aos centros dos eletrodos. No sistema com 
duas placas paralelas, as superfícies equipotenciais são todas retas paralelas 
aos dois eletrodos, e para o sistema com duas placas e o anel, percebeu-se 
que, próxima do anel, a superfície equipotencial fazia uma curva no formato do 
anel, curva que ficava mais acentuada próxima do anel. Percebeu-se que todas 
as superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo elétrico 
formadas no sistema. Percebeu-se, ainda, que à medida que se passava a 
prática, a diferença de potencial ia diminuindo pelo fato do eletrólito adicionado 
ter atingido as superfícies dos eletrodos. Concluiu-se, então, que os objetivos 
foram atingidos, determinando-se superfícies equipotenciais condizentes com a 
teoria. 
 
 
2. INTRODUÇÃO 
 
 Uma superfície escolhida de modo a que todos os pontos tenham o 
mesmo potencial é chamada superfície equipotencial. Uma linha de tal 
superfície é conhecida como linha equipotencial. Superfícies equipotenciais são 
sempre perpendiculares às linhas de força. Com efeito, o trabalho da força 
eletrostática é definido como o produto escalar da força pelo deslocamento, 
como mostra a Equação 01 (HALLIDAY, 1996). 
 
 ⃗⃗⃗ (01) 
 
2.1. Energia Potencial Eletrostática. 
 
 Visto o caráter conservativo do campo ou força elétrica, é então possível 
associar o trabalho feito por forças conservativas como sendo a variação da 
função energia potencial eletrostática que só depende das coordenadas inicial 
e final da trajetória percorrida pela carga pontual. Quando o corpo esta no 
ponto 1, a energia potencial terá o valor U1, e quando ele está no ponto 2, o 
valor de sua energia será U2. O trabalho sobre o corpo durante o deslocamento 
de 1 para 2 é dado pelas equações 02 e 03 (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). 
 
 ( ) ( ) (02) 
 
 ∫ ( ) ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (03) 
 
A existência de uma função potencial elétrico permite também calcular, 
indiretamente, o campo elétrico, porém de uma abordagem escalar, isto é, 
através do operador Gradiente. 
 
2.2. Potencial Eletrostático. 
 
A energia potencial eletrostática corresponde ao trabalho feito sobre 
uma carga de prova unitária ou por unidade de carga. A própria força elétrica é 
o agente deste tipo de trabalho, ou seja, o campo elétrico (ESPINOZA-
QUIÑONES, 2010). Partindo dessa consideração, obtém-se a Equação 04. 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 ∫ ⃗ 
 
 
 
 
 (04) 
 
Esta nova grandeza, diferença de energia potencial eletrostática por 
unidade de carga, é chamada de diferença de potencial eletrostático, que 
define-se como o trabalho realizado pelo campo elétrico para trazer uma 
partícula de carga unitária desde uma distância r0 até r, como mostrado pelas 
equações 05 e 06. 
 
 ( ) ( ) (05) 
 
 
 
 
 ∫ ⃗ 
 
 
 (06) 
 
2.3. Relação entre o potencial e o campo elétrico. 
 
O campo elétrico E e o Potencial V, numa região do espaço, podem ser 
encarados como funções das coordenadas do ponto em consideração. Uma 
forma diferente relaciona as componentes de E com as derivadas de V 
(ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). 
As derivadas de é a taxa de variação de V para um deslocamento 
na direção de dl. Se dl for paralelo ao eixo x, então a componente de E paralela 
a dl é simplesmente a componente x de E, isto é, Ex. 
As componentes y e z de E são relacionadas às derivadas 
correspondentes de V da mesma forma, como mostra as equações 07, 08 e 09. 
 
 
 
 
 (07) 
 
 
 
 (08) 
 
 
 
 (09) 
 
Em termos de vetores unitários, E pode ser denotado como mostra a 
equação 10. 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
) (10) 
 
Na notação vetorial, a equação 10 é chamada de gradiente e é denotada 
pelo símbolo ∇. Assim em notação vetorial, ela pode ser resumida de forma 
compacta, na forma da equação 11. 
 
 ∇ (11) 
 
2.4. Linhas de campo elétrico 
 
As linhas de campo são linhas traçadas de tal maneira que a tangente 
em cada ponto dessas linhas se dá a direção do vetor campo elétrico resultante 
nestes pontos (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). 
As linhas de campo são uma ferramenta útil, permitindo inferir 
qualitativamente a intensidade do campo via o número de linhas de campo que 
atravessam uma dada superfície ou comumente chamado de fluxo do campo 
elétrico, a partir da equação 12. 
 
  dAEE .
 (12) 
 
As linhas de campo permitem inferir qualitativamente a intensidade do 
campo via o numero de linhas de campo que atravessam uma dada superfície. 
Quanto maior a densidade de linhas, mais intenso é o campo elétrico. 
 
 
 
2.5. Superfícies equipotenciais. 
 
Uma forma simples de analisar o deslocamento de partículas imerso 
num campo elétrico é usando o conceito das superfícies equipotenciais; isto é, 
aqueles pontos no espaço que possuem o mesmo potencial eletrostático 
(HALLIDAY, 1996). 
Uma superfície conformada por pontos que se encontram ao mesmo 
potencial (V) é chamada de superfície equipotencial. Assim por exemplo para 
cargas pontuais, as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas, cujos 
potenciais diminuem com o inverso da distância à fonte do campo. A direção do 
aumento do potencial é dado pelo ∇ e as linhas de campo elétrico é em 
sentido oposto ao do ∇ . Para qualquer deslocamento sobre a superfície 
equipotencial não haverá variação do potencial e o operador ∇ sempre lhe 
será um vetor normal à superfície, como mostra a equação 13 (ESPINOZA-
QUIÑONES, 2010). 
 
 ∇ (13) 
 
Isto quer dizer que as linhas de campo são perpendiculares às 
superfícies equipotenciais. Portanto,as superfícies equipotenciais devem ser 
de tal forma que as linhas de campo elétrico lhes sejam sempre 
perpendiculares, como mostrado na Figura 1. 
 
 
Figura 1: Superfícies equipotenciais em uma carga puntiforme 
(FERRARO et al., 2007). 
 
Os objetivos dessa prática foram: produzir campos elétricos num tanque 
eletrolítico, identificar e descrever o campo elétrico e as linhas de força, 
identificar os pontos que se encontram no mesmo potencial elétrico, analisar as 
linhas de campo elétrico ao redor de elétrodos sobre uma diferença de 
potencial e traçar as configurações de linhas de campo e das superfícies 
equipotenciais entre diversos conjuntos de eletrodos. 
 
 
3. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
3.1. Materiais empregados. 
 
 Os materiais empregados estão listados a seguir: 
 
• Fonte de tensão 20 V AC; 
• Cuba acrílica retangular sem emendas; 
• Papel milimetrado; 
• Eletrodos de variados formatos; 
• Ponta de prova; 
• Voltímetro de 0 a 30V AC; 
• Fios e jacarés; 
• Solução eletrolítica: aproximadamente três colheres de NaCI 
dissolvidas em 500 mL de água de torneira. 
 
3.2. Metodologia aplicada. 
 
i. Utilizou-se a saída de tensão alternada da fonte (parte traseira do 
instrumento); 
ii. Conectou-se o voltímetro em paralelo com os trechos onde havia de se 
medir a tensão; 
iii. Tomou-se cuidado de não levar ao curto circuito e queimar o fusível da 
fonte; 
iv. Utilizaram-se dois eletrodos cilíndricos e colocou-os dentro da cuba, 
demarcando a posição dos mesmos; 
v. Colocou-se a solução eletrolítica na cuba, de modo que as partes 
metálicas dos eletrodos estivessem ligeiramente mergulhadas; 
vi. Manteve-se a fonte desligada e montou-se as conexões elétricas de 
modo que os eletrodos dentro da cuba estivessem a mesma diferença 
de potencial gerada pela fonte (20 V AC); 
vii. Utilizou-se como guia a folha de papel milimetrado que estava por baixo 
da cuba, anotou-se as posições e dimensões dos eletrodos. 
 
Figura 2: Esquema das conexões elétricas e dos eletrodos (ESPINOZA-
QUIÑONES, 2010). 
 
viii. Mantendo o circuito aberto com a chave liga-desliga (proteção para 
evitar danos à fonte e/ou operador), ligou-se a fonte de alimentação do 
circuito: 20 Volts AC; 
ix. A ponta de prova, fio conectado a uns dos terminais do voltímetro, 
permitirá medir a diferença de potencial que há entre um ponto na 
solução e um dos eletrodos (aquele conectado ao outro terminal do 
voltímetro); 
x. Mediram-se os potenciais nos eletrodos, encostando a ponta de prova 
neles e observando a leitura no voltímetro; 
xi. Identificou-se o eletrodo de potencial mínimo (zero) e o outro de 
potencial máximo (aproximadamente 20 Volts); 
xii. Inserindo verticalmente a ponta de prova e em contato com a solução, 
observou-se como varia o potencial quando a ponta de prova desloca-se 
entre os eletrodos; 
xiii. Usando a ponta de prova em contato com a solução, fez-se uma 
varredura de 360o sobre cada eletrodo e buscou-se determinar pelo 
menos 3 pontos que estariam no potencial de 10 V e registre as 
posições (x,y) dos mesmos na tabela abaixo; 
xiv. Repetindo o procedimento anterior, obtiveram-se as superfícies 
equipotenciais correspondentes aos potenciais de 2, 6, 13 e 15 V. 
 
Figura 3: Superfícies equipotenciais circulares (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). 
 
xv. Obtiveram-se algumas superfícies equipotenciais (1, 6 e 15 V) quando 
os eletrodos utilizados foram duas placas paralelas, fazendo com a 
ponta de prova a varredura a da área entre os eletrodos. 
 
 
Figura 4: Superfícies equipotenciais em linhas retas paralelas aos eletrodos 
(ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). 
xvi. Obtiveram-se os novos formatos das superfícies equipotenciais quando 
introduzido entre os eletrodos um anel metálico no centro da cuba. 
Procurou-se pelo menos duas superfícies equipotenciais entre o anel e 
os eletrodos. 
 
Figura 5: Coordenadas para superfícies equipotenciais com eletrodos paralelos 
e anel entre eles (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). 
 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
4.1. Sistema com dois eletrodos cilíndricos. 
 
 Para o sistema com dois cilindros metálicos, coletou-se coordenadas de 
três pontos equipotenciais, expondo os dados presentes na Tabela 1. Os dados 
foram extrapolados por simetria e então plotou-se as superfícies equipotenciais 
na Figura A em Anexo. Os eletrodos foram posicionados nos pontos (-85,0) e 
(85,0), de modo a ficarem alinhados. 
 
Tabela 1: Pontos equipotenciais para o sistema de dois eletrodos pontuais. 
Voltagem 2 V 6 V 10 V 13 V 15 V 
Eixo x y x y x y x y x y 
Ponto 1 -35 0 -16 0 0 0 15 0 33 0 
Ponto 2 -43 -25 -25 -35 0 -40 20 -32 40 -25 
Ponto 3 -67 -50 -42 -61 0 -70 39 -58 65 -39 
 
 Analisando-se a Figura A no Anexo e a Tabela 1, percebe-se que 
formam-se superfícies equipotenciais em forma de circunferências em torno 
dos eletrodos. Entretanto, tais circunferências não são concêntricas, estando 
os respectivos centros localizados fora da região entre ambos os eletrodos, 
estando um dos lados da circunferência próximo do mesmo. 
 Pelo fato do eletrodo ser cilíndrico, o campo elétrico formado é radial. A 
medida em que as linhas de campo se aproximam do eletrodo oposto, elas 
passam a curvar-se para tornarem-se radiais ao mesmo, conforme mostrado 
na Figura 6. 
 
 
Figura 6: Linhas de campo para dois eletrodos pontuais. 
 
Como as superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo, 
elas são curvas perto dos eletrodos, mas vão diminuindo a curvatura à medida 
em que se aproximam do eletrodo oposto (aumentando, assim, o raio da 
circunferência), tornando-se uma linha reta exatamente na metade da distância 
entre os dois eletrodos. Como os dois eletrodos estão à uma diferença de 
potencial de 20 V e estão localizados simetricamente em relação à origem do 
sistema de coordenadas, a superfície equipotencial em 10 V é uma linha reta 
sobreposta ao eixo y. 
 
4.2. Sistema com duas placas paralelas. 
 
 Anotou-se as coordenadas de cinco pontos que possuíssem a mesma 
voltagem, utilizando três voltagens diferentes, e montou-se a Tabela 2. As duas 
placas paralelas foram colocadas paralelas ao eixo y, nos pontos (-85,0) e 
(85,0). Extrapolou-se os dados e montou-se a Figura B no Anexo, desenhando-
se as superfícies equipotenciais do sistema. 
 
Tabela 2: Pontos equipotenciais para o sistema com duas placas paralelas. 
Voltagem 1 V 6 V 15 V 
Eixo x y x y x y 
Ponto 1 -70 0 0 0 70 0 
Ponto 2 -70 20 0 20 70 20 
Ponto 3 -70 40 0 40 70 40 
Ponto 4 -70 60 0 60 70 60 
Ponto 5 -70 70 0 70 70 70 
 
 Analisando-se a Tabela 2 e a Figura B, percebe-se que, ao longo do 
campo elétrico formado, todas as superfícies equipotenciais são paralelas às 
duas placas, logo, perpendiculares às linhas de campo elétrico, simbolizadas 
na Figura 7. 
 
 
Figura 7: Linhas de campo para duas placas paralelas. 
 
 Percebeu-se, ainda, que a superfície equipotencial que passa sobre a 
origem não é a superfície de 10 V, mas sim de 6 V. Isso se deve ao fato de 
parte do eletrólito já ter se dissociado e atingido as superfícies dos eletrodos, 
diminuindo, assim, a diferença de potencial total do sistema. A demora na 
tirada dos dados pode ter influenciado, diminuindo a ddp do sistema durante o 
experimento. O mau posicionamento dos eletrodos, fora das coordenadas 
estabelecidas pelos operadores, pode ter influenciado nessa discrepância. 
 
4.3. Sistema com duas placas paralelas e um anel. 
 
 Ao adicionar-se um anel entre as placas paralelas, mediu-se sete pontos 
equipotenciais para quatro voltagens, expondo os dados coletados na Tabela 
3. As placasparalelas foram colocadas paralelas ao eixo y, nas coordenadas 
(85, 0) e (-85, 0), e o anel foi colocado aproximadamente concêntrico com a 
origem do sistema de coordenadas. Plotou-se a Figura C para ter-se, então, 
quatro das superfícies equipotenciais do sistema. 
 
Tabela 3: Pontos equipotenciais para o sistema de duas placas paralelas e um 
anel descarregado. 
Voltagem 1 V 3 V 11 V 14 V 
Eixo x y x y x y x y 
Ponto 1 -60 0 -40 0 40 0 64 0 
Ponto 2 -59 16 -38 15 37 18 63 19 
Ponto 3 -56 30 -32 45 38 15 63 24 
Ponto 4 -56 48 -25 61 32 38 62 30 
Ponto 5 -55 56 -25 70 31 44 60 45 
Ponto 6 -55 63 -33 30 28 57 59 65 
Ponto 7 -55 70 -29 52 28 70 59 70 
 
 Pela análise da Tabela 3 e da Figura C, percebe-se que as superfícies 
equipotenciais são aproximadamente paralelas ao eixo y quando próximas das 
placas, mas vão curvando-se no centro quando aproxima-se do anel no centro 
da cuba. Isso se deve, novamente, pelas linhas de campo elétrico formadas. As 
linhas de campo para o sistema estão representadas na Figura 8. 
 
 
Figura 8: Linhas de campo para duas placas paralelas e um anel descarregado. 
 
 As linhas de campo perto do eletrodo são perpendiculares a superfície 
da placa, mas começam a curvar até chegarem perpendiculares à superfície do 
anel, assumindo direção radial em relação ao anel. Assim, como as superfícies 
equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo, a região próxima do 
anel vai curvando-se, assumindo a forma do anel, pois as linhas de campo vão 
se tornando radiais, enquanto que, longe do anel, as superfícies equipotenciais 
são paralelas às placas. 
 Novamente, a voltagem média (10 V) está deslocada da origem do 
sistema, causada pelo mau posicionamento das placas nos pontos 
determinados ou pela diminuição da diferença de potencial causada pela 
dissociação do eletrólito durante um período de tempo grande, necessário para 
terminar-se a prática. 
 
 
5. CONCLUSÃO 
 
 A partir dos resultados obtidos e das discussões feitas, pode-se concluir 
que os objetivos foram atingidos, determinando-se superfícies equipotenciais 
em três sistemas de eletrodos diferentes, estando todas aproximadamente 
perpendiculares às linhas de campo correspondentes, fornecendo uma 
visualização do conteúdo aprendido em sala de aula. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
FERRARO, N. G. R., JUNIOR, F., SOARES, P. T. Os Fundamentos da Física 
– Vol. 1, Editora Moderna, São Paulo, 2007. 
 
HALLIDAY, D., RESNIK R., KRANE, D.S. Física 1, Volume 1, 4ª Ed, Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
QUIÑONES, Fernando R. E., Apostila de aula prática: SUPERFÍCIES 
EQUIPOTENCIAIS, UNIOESTE, Toledo-PR, 2010.