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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS TOLEDO/PR 2014 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA MATHEUS PIASECKI PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS TOLEDO/PR 2014 Relatório entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Física Geral e Experimental II do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo. Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza- Quiñones. 1. RESUMO A prática teve como objetivo determinar-se algumas superfícies equipotenciais em três sistemas de eletrodos, relacionando-os com o campo elétrico formado pelos mesmos. Para isso, em uma cuba, adicionou-se uma solução de cloreto de sódio, montou-se três sistemas de eletrodos diferentes (dois cilindros, duas placas paralelas, e duas placas mais um anel descarregado), gerou-se uma diferença de potencial entre os mesmos e determinou-se alguns pontos os quais possuíssem um mesmo potencial elétrico. Com os pontos, plotou-se em papel milimetrado algumas superfícies equipotenciais. Encontrou-se que, para o sistema com dois eletrodos cilíndricos, as superfícies equipotenciais são circunferências em torno dos eletrodos, com o centro alinhado ao centro dos dois eletrodos, com as esferas aumentando de tamanho até que, na metade das distâncias entre os eletrodos, formou-se uma linha perpendicular aos centros dos eletrodos. No sistema com duas placas paralelas, as superfícies equipotenciais são todas retas paralelas aos dois eletrodos, e para o sistema com duas placas e o anel, percebeu-se que, próxima do anel, a superfície equipotencial fazia uma curva no formato do anel, curva que ficava mais acentuada próxima do anel. Percebeu-se que todas as superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo elétrico formadas no sistema. Percebeu-se, ainda, que à medida que se passava a prática, a diferença de potencial ia diminuindo pelo fato do eletrólito adicionado ter atingido as superfícies dos eletrodos. Concluiu-se, então, que os objetivos foram atingidos, determinando-se superfícies equipotenciais condizentes com a teoria. 2. INTRODUÇÃO Uma superfície escolhida de modo a que todos os pontos tenham o mesmo potencial é chamada superfície equipotencial. Uma linha de tal superfície é conhecida como linha equipotencial. Superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de força. Com efeito, o trabalho da força eletrostática é definido como o produto escalar da força pelo deslocamento, como mostra a Equação 01 (HALLIDAY, 1996). ⃗⃗⃗ (01) 2.1. Energia Potencial Eletrostática. Visto o caráter conservativo do campo ou força elétrica, é então possível associar o trabalho feito por forças conservativas como sendo a variação da função energia potencial eletrostática que só depende das coordenadas inicial e final da trajetória percorrida pela carga pontual. Quando o corpo esta no ponto 1, a energia potencial terá o valor U1, e quando ele está no ponto 2, o valor de sua energia será U2. O trabalho sobre o corpo durante o deslocamento de 1 para 2 é dado pelas equações 02 e 03 (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). ( ) ( ) (02) ∫ ( ) ∫ (03) A existência de uma função potencial elétrico permite também calcular, indiretamente, o campo elétrico, porém de uma abordagem escalar, isto é, através do operador Gradiente. 2.2. Potencial Eletrostático. A energia potencial eletrostática corresponde ao trabalho feito sobre uma carga de prova unitária ou por unidade de carga. A própria força elétrica é o agente deste tipo de trabalho, ou seja, o campo elétrico (ESPINOZA- QUIÑONES, 2010). Partindo dessa consideração, obtém-se a Equação 04. ∫ ∫ ⃗ (04) Esta nova grandeza, diferença de energia potencial eletrostática por unidade de carga, é chamada de diferença de potencial eletrostático, que define-se como o trabalho realizado pelo campo elétrico para trazer uma partícula de carga unitária desde uma distância r0 até r, como mostrado pelas equações 05 e 06. ( ) ( ) (05) ∫ ⃗ (06) 2.3. Relação entre o potencial e o campo elétrico. O campo elétrico E e o Potencial V, numa região do espaço, podem ser encarados como funções das coordenadas do ponto em consideração. Uma forma diferente relaciona as componentes de E com as derivadas de V (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). As derivadas de é a taxa de variação de V para um deslocamento na direção de dl. Se dl for paralelo ao eixo x, então a componente de E paralela a dl é simplesmente a componente x de E, isto é, Ex. As componentes y e z de E são relacionadas às derivadas correspondentes de V da mesma forma, como mostra as equações 07, 08 e 09. (07) (08) (09) Em termos de vetores unitários, E pode ser denotado como mostra a equação 10. ( ) (10) Na notação vetorial, a equação 10 é chamada de gradiente e é denotada pelo símbolo ∇. Assim em notação vetorial, ela pode ser resumida de forma compacta, na forma da equação 11. ∇ (11) 2.4. Linhas de campo elétrico As linhas de campo são linhas traçadas de tal maneira que a tangente em cada ponto dessas linhas se dá a direção do vetor campo elétrico resultante nestes pontos (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). As linhas de campo são uma ferramenta útil, permitindo inferir qualitativamente a intensidade do campo via o número de linhas de campo que atravessam uma dada superfície ou comumente chamado de fluxo do campo elétrico, a partir da equação 12. dAEE . (12) As linhas de campo permitem inferir qualitativamente a intensidade do campo via o numero de linhas de campo que atravessam uma dada superfície. Quanto maior a densidade de linhas, mais intenso é o campo elétrico. 2.5. Superfícies equipotenciais. Uma forma simples de analisar o deslocamento de partículas imerso num campo elétrico é usando o conceito das superfícies equipotenciais; isto é, aqueles pontos no espaço que possuem o mesmo potencial eletrostático (HALLIDAY, 1996). Uma superfície conformada por pontos que se encontram ao mesmo potencial (V) é chamada de superfície equipotencial. Assim por exemplo para cargas pontuais, as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas, cujos potenciais diminuem com o inverso da distância à fonte do campo. A direção do aumento do potencial é dado pelo ∇ e as linhas de campo elétrico é em sentido oposto ao do ∇ . Para qualquer deslocamento sobre a superfície equipotencial não haverá variação do potencial e o operador ∇ sempre lhe será um vetor normal à superfície, como mostra a equação 13 (ESPINOZA- QUIÑONES, 2010). ∇ (13) Isto quer dizer que as linhas de campo são perpendiculares às superfícies equipotenciais. Portanto,as superfícies equipotenciais devem ser de tal forma que as linhas de campo elétrico lhes sejam sempre perpendiculares, como mostrado na Figura 1. Figura 1: Superfícies equipotenciais em uma carga puntiforme (FERRARO et al., 2007). Os objetivos dessa prática foram: produzir campos elétricos num tanque eletrolítico, identificar e descrever o campo elétrico e as linhas de força, identificar os pontos que se encontram no mesmo potencial elétrico, analisar as linhas de campo elétrico ao redor de elétrodos sobre uma diferença de potencial e traçar as configurações de linhas de campo e das superfícies equipotenciais entre diversos conjuntos de eletrodos. 3. MATERIAIS E MÉTODOS 3.1. Materiais empregados. Os materiais empregados estão listados a seguir: • Fonte de tensão 20 V AC; • Cuba acrílica retangular sem emendas; • Papel milimetrado; • Eletrodos de variados formatos; • Ponta de prova; • Voltímetro de 0 a 30V AC; • Fios e jacarés; • Solução eletrolítica: aproximadamente três colheres de NaCI dissolvidas em 500 mL de água de torneira. 3.2. Metodologia aplicada. i. Utilizou-se a saída de tensão alternada da fonte (parte traseira do instrumento); ii. Conectou-se o voltímetro em paralelo com os trechos onde havia de se medir a tensão; iii. Tomou-se cuidado de não levar ao curto circuito e queimar o fusível da fonte; iv. Utilizaram-se dois eletrodos cilíndricos e colocou-os dentro da cuba, demarcando a posição dos mesmos; v. Colocou-se a solução eletrolítica na cuba, de modo que as partes metálicas dos eletrodos estivessem ligeiramente mergulhadas; vi. Manteve-se a fonte desligada e montou-se as conexões elétricas de modo que os eletrodos dentro da cuba estivessem a mesma diferença de potencial gerada pela fonte (20 V AC); vii. Utilizou-se como guia a folha de papel milimetrado que estava por baixo da cuba, anotou-se as posições e dimensões dos eletrodos. Figura 2: Esquema das conexões elétricas e dos eletrodos (ESPINOZA- QUIÑONES, 2010). viii. Mantendo o circuito aberto com a chave liga-desliga (proteção para evitar danos à fonte e/ou operador), ligou-se a fonte de alimentação do circuito: 20 Volts AC; ix. A ponta de prova, fio conectado a uns dos terminais do voltímetro, permitirá medir a diferença de potencial que há entre um ponto na solução e um dos eletrodos (aquele conectado ao outro terminal do voltímetro); x. Mediram-se os potenciais nos eletrodos, encostando a ponta de prova neles e observando a leitura no voltímetro; xi. Identificou-se o eletrodo de potencial mínimo (zero) e o outro de potencial máximo (aproximadamente 20 Volts); xii. Inserindo verticalmente a ponta de prova e em contato com a solução, observou-se como varia o potencial quando a ponta de prova desloca-se entre os eletrodos; xiii. Usando a ponta de prova em contato com a solução, fez-se uma varredura de 360o sobre cada eletrodo e buscou-se determinar pelo menos 3 pontos que estariam no potencial de 10 V e registre as posições (x,y) dos mesmos na tabela abaixo; xiv. Repetindo o procedimento anterior, obtiveram-se as superfícies equipotenciais correspondentes aos potenciais de 2, 6, 13 e 15 V. Figura 3: Superfícies equipotenciais circulares (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). xv. Obtiveram-se algumas superfícies equipotenciais (1, 6 e 15 V) quando os eletrodos utilizados foram duas placas paralelas, fazendo com a ponta de prova a varredura a da área entre os eletrodos. Figura 4: Superfícies equipotenciais em linhas retas paralelas aos eletrodos (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). xvi. Obtiveram-se os novos formatos das superfícies equipotenciais quando introduzido entre os eletrodos um anel metálico no centro da cuba. Procurou-se pelo menos duas superfícies equipotenciais entre o anel e os eletrodos. Figura 5: Coordenadas para superfícies equipotenciais com eletrodos paralelos e anel entre eles (ESPINOZA-QUIÑONES, 2010). 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 4.1. Sistema com dois eletrodos cilíndricos. Para o sistema com dois cilindros metálicos, coletou-se coordenadas de três pontos equipotenciais, expondo os dados presentes na Tabela 1. Os dados foram extrapolados por simetria e então plotou-se as superfícies equipotenciais na Figura A em Anexo. Os eletrodos foram posicionados nos pontos (-85,0) e (85,0), de modo a ficarem alinhados. Tabela 1: Pontos equipotenciais para o sistema de dois eletrodos pontuais. Voltagem 2 V 6 V 10 V 13 V 15 V Eixo x y x y x y x y x y Ponto 1 -35 0 -16 0 0 0 15 0 33 0 Ponto 2 -43 -25 -25 -35 0 -40 20 -32 40 -25 Ponto 3 -67 -50 -42 -61 0 -70 39 -58 65 -39 Analisando-se a Figura A no Anexo e a Tabela 1, percebe-se que formam-se superfícies equipotenciais em forma de circunferências em torno dos eletrodos. Entretanto, tais circunferências não são concêntricas, estando os respectivos centros localizados fora da região entre ambos os eletrodos, estando um dos lados da circunferência próximo do mesmo. Pelo fato do eletrodo ser cilíndrico, o campo elétrico formado é radial. A medida em que as linhas de campo se aproximam do eletrodo oposto, elas passam a curvar-se para tornarem-se radiais ao mesmo, conforme mostrado na Figura 6. Figura 6: Linhas de campo para dois eletrodos pontuais. Como as superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo, elas são curvas perto dos eletrodos, mas vão diminuindo a curvatura à medida em que se aproximam do eletrodo oposto (aumentando, assim, o raio da circunferência), tornando-se uma linha reta exatamente na metade da distância entre os dois eletrodos. Como os dois eletrodos estão à uma diferença de potencial de 20 V e estão localizados simetricamente em relação à origem do sistema de coordenadas, a superfície equipotencial em 10 V é uma linha reta sobreposta ao eixo y. 4.2. Sistema com duas placas paralelas. Anotou-se as coordenadas de cinco pontos que possuíssem a mesma voltagem, utilizando três voltagens diferentes, e montou-se a Tabela 2. As duas placas paralelas foram colocadas paralelas ao eixo y, nos pontos (-85,0) e (85,0). Extrapolou-se os dados e montou-se a Figura B no Anexo, desenhando- se as superfícies equipotenciais do sistema. Tabela 2: Pontos equipotenciais para o sistema com duas placas paralelas. Voltagem 1 V 6 V 15 V Eixo x y x y x y Ponto 1 -70 0 0 0 70 0 Ponto 2 -70 20 0 20 70 20 Ponto 3 -70 40 0 40 70 40 Ponto 4 -70 60 0 60 70 60 Ponto 5 -70 70 0 70 70 70 Analisando-se a Tabela 2 e a Figura B, percebe-se que, ao longo do campo elétrico formado, todas as superfícies equipotenciais são paralelas às duas placas, logo, perpendiculares às linhas de campo elétrico, simbolizadas na Figura 7. Figura 7: Linhas de campo para duas placas paralelas. Percebeu-se, ainda, que a superfície equipotencial que passa sobre a origem não é a superfície de 10 V, mas sim de 6 V. Isso se deve ao fato de parte do eletrólito já ter se dissociado e atingido as superfícies dos eletrodos, diminuindo, assim, a diferença de potencial total do sistema. A demora na tirada dos dados pode ter influenciado, diminuindo a ddp do sistema durante o experimento. O mau posicionamento dos eletrodos, fora das coordenadas estabelecidas pelos operadores, pode ter influenciado nessa discrepância. 4.3. Sistema com duas placas paralelas e um anel. Ao adicionar-se um anel entre as placas paralelas, mediu-se sete pontos equipotenciais para quatro voltagens, expondo os dados coletados na Tabela 3. As placasparalelas foram colocadas paralelas ao eixo y, nas coordenadas (85, 0) e (-85, 0), e o anel foi colocado aproximadamente concêntrico com a origem do sistema de coordenadas. Plotou-se a Figura C para ter-se, então, quatro das superfícies equipotenciais do sistema. Tabela 3: Pontos equipotenciais para o sistema de duas placas paralelas e um anel descarregado. Voltagem 1 V 3 V 11 V 14 V Eixo x y x y x y x y Ponto 1 -60 0 -40 0 40 0 64 0 Ponto 2 -59 16 -38 15 37 18 63 19 Ponto 3 -56 30 -32 45 38 15 63 24 Ponto 4 -56 48 -25 61 32 38 62 30 Ponto 5 -55 56 -25 70 31 44 60 45 Ponto 6 -55 63 -33 30 28 57 59 65 Ponto 7 -55 70 -29 52 28 70 59 70 Pela análise da Tabela 3 e da Figura C, percebe-se que as superfícies equipotenciais são aproximadamente paralelas ao eixo y quando próximas das placas, mas vão curvando-se no centro quando aproxima-se do anel no centro da cuba. Isso se deve, novamente, pelas linhas de campo elétrico formadas. As linhas de campo para o sistema estão representadas na Figura 8. Figura 8: Linhas de campo para duas placas paralelas e um anel descarregado. As linhas de campo perto do eletrodo são perpendiculares a superfície da placa, mas começam a curvar até chegarem perpendiculares à superfície do anel, assumindo direção radial em relação ao anel. Assim, como as superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo, a região próxima do anel vai curvando-se, assumindo a forma do anel, pois as linhas de campo vão se tornando radiais, enquanto que, longe do anel, as superfícies equipotenciais são paralelas às placas. Novamente, a voltagem média (10 V) está deslocada da origem do sistema, causada pelo mau posicionamento das placas nos pontos determinados ou pela diminuição da diferença de potencial causada pela dissociação do eletrólito durante um período de tempo grande, necessário para terminar-se a prática. 5. CONCLUSÃO A partir dos resultados obtidos e das discussões feitas, pode-se concluir que os objetivos foram atingidos, determinando-se superfícies equipotenciais em três sistemas de eletrodos diferentes, estando todas aproximadamente perpendiculares às linhas de campo correspondentes, fornecendo uma visualização do conteúdo aprendido em sala de aula. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FERRARO, N. G. R., JUNIOR, F., SOARES, P. T. Os Fundamentos da Física – Vol. 1, Editora Moderna, São Paulo, 2007. HALLIDAY, D., RESNIK R., KRANE, D.S. Física 1, Volume 1, 4ª Ed, Rio de Janeiro: LTC, 1996. QUIÑONES, Fernando R. E., Apostila de aula prática: SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS, UNIOESTE, Toledo-PR, 2010.
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