Potencial Elétrico e Superfícies Equipotenciais

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Potencial Elétrico
O objetivo deste capitulo é descrever o campo elétrico, que é uma grandeza vetorial, 
em termos de uma grandeza escalar, o potencial elétrico V .
Desloca-se uma carga de prova qo (positiva) desde o ponto A até o ponto B, ou seja,com 
velocidade constante, e mede-se o trabalho, que o agente externo ( força F ) teve que 
realizar, para movimentar esta carga do ponto A até o ponto B.
Fexterna = Feletrostática, 
e calcula-se o trabalho, que Feletrostática realizou durante esse deslocamento. 
Nesta figura:
F = Fexterna
Fe = Feletrostática
Potencial Elétrico
A energia potencial de uma partícula carregada na presença de uma campo E depende do 
valor da carga. Então:
dEqUW
rr
⋅=∆−=
dE
q
U rr
⋅−=
∆
Observa-se que a energia potencial por unidade de carga possui um valor único em 
cada ponto do espaço independente da carga.
2
Volt
Coulomb
JouleUnidade
q
WVV ABAB =
−
=− :
0
O trabalho poderá ser positivo, negativo ou nulo. Neste caso o potencial no ponto B será
menor, maior ou igual ao potencial no ponto A.
Potencial Elétrico
A energia potencial por unidade de carga em um ponto de um campo elétrico é chamada 
de potencial elétrico V, então, a diferença de potencial entre dois pontos é calculada 
como:
1) O trabalho realizado é negativo, pois o ângulo entre Fel. e d é θ = 180º;?VB > VA.
2) O trabalho realizado é positivo; pois o ângulo entre Fel. e d é θ = 0º;?VB < VA
3) o trabalho realizado é nulo, pois θ = 90º
? VB = VA
Observações:
Muitas vezes é usual escolhermos o ponto A no infinito, e atribuir um potencial 
zero a este ponto. Com esta escolha a equação acima pode ser escrita como:
oq
WV −=
O Potencial em um ponto qualquer, é igual ao trabalho realizado para trazer 
uma carga de prova desde o infinito até o ponto considerado, dividido pelo 
valor da carga.
3
Superfícies Eqüipotenciais
É o nome dado, ao lugar geométrico dos pontos, que têm o mesmo Potencial Elétrico. 
Portanto, ao deslocarmos uma carga de prova entre pontos de uma mesma superfície 
eqüipotencial, não realizamos trabalho, veja figuras:
Ao deslocarmos uma carga, pelas trajetórias I e II o trabalho é
nulo, já em III e IV temos trabalho sendo realizado.
0
AB
AB q
WVV −=−
Superfícies Equipotenciais (em laranja)
Campo de uma carga isolada Campo de uma Dipolo elétrico
Obs.: O campo elétrico é sempre perpendicular à superfície equipotencial.
Campo uniforme
4
Observacoes
1) Cargas positivas criam potenciais positivos. 
Uma carga positiva colocada numa região com potencial positivo procurará se 
dirigir no sentido em que o potencial diminua (Repulsão).
Uma carga negativa colocada nesse mesmo potencial fará o contrário, ou seja, 
irá dirigir-se no sentido em que o potencial aumenta (Atração).
2) Cargas negativas criam potenciais negativos.
Uma carga positiva colocada numa região com potencial negativo procurará se 
dirigir no sentido em que o potencial diminui (Atração).
Uma carga negativa, nesse mesmo potencial, irá dirigir-se no sentido em que o 
potencial aumenta (Repulsão).
Cálculo do potencial a partir do campo
Podemos calcular a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer i e f em um 
campo elétrico se conhecemos o vetor campo elétrico E ao longo de qualquer 
trajetória que ligue esses pontos.
Sabemos que:
sd.FddW
rr
=
Da figura 
sd.EqdWEqF oo
rrrr
=⇒=
Então, o trabalho total Wi?f realizado pelo campo 
elétrico sobre a partícula:
∫=
f
i
o sd.EqW
rr
∫−=− f
i
if sd.EVV
rr
Portanto
integral de linha: integral ao longo de uma trajetória particular
Isto indica que o campo tem que ser conhecido em todos os pontos de uma certa região. 
5
Cálculo do Campo a partir do Potencial
Tomando Vi = 0, entao:
Se tomarmos o eixo s como sendo, os eixos x, y e z de E concluímos que:
ds.cosEdV
sd.EdVsd.EV
f
i
θ−=
−=⇒−= ∫ rrrr
Da figura:
Es =E cosθ
ds
dVEs −=
Portanto:
;
z
VE;
y
VE;
x
VE zyx ∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
Então, se conhecemos V(x,y,z) podemos determinas as componentes de E
(Derivadas parciais)
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Teste
A figura mostra uma família de superfícies equipotenciais paralelas (em corte 
transversal) e cinco trajetórias ao longo das quais moveremos um elétron de uma 
superfície para outra. (a) Qual a direção e o sentido do campo elétrico associado com 
as superfícies? (b) Para cada trajetória, o trabalho que realizamos é positivo, negativo 
ou nulo? (c) Ordene as trajetórias de acordo com o trabalho que realizamos, do maior 
para o menor . 
horizontal e direita
1, 2, 3 e 5 positivo e 4 negativo
3>1=2=5>4
Potencial devido a uma carga pontual
Este cálculo esta relacionado ao potencial elétrico V no espaço ao redor de uma partícula, 
em relação ao potencial nulo no infinito, V∞=0
Da figura, considerar um ponto P, rf, a uma distancia r de uma partícula 
fixa com carga q.
Considerar que uma carga de teste qo será movimentada desde o ri até o 
ponto P.
Como a trajetória não é importante, então é escolhida uma linha que se 
estende radialmente a partir da partícula fixa, passando por P. 
∫∫ θ−=−=− dscosEsd.EVV if rr
∫−=− f
i
r
r
if dr.EVV
Como a trajetória é radial,então ds=dr
r
1
4
qVdr
r
1
4
qV
0
r
r
2
0
f
i
πε
=⇒
πε
= ∫
Tomando Vi = 0 para ri = ∞
Temos que:
7
Potencial devido a um grupo de cargas
Aplicando o principio de superposição, calculando separadamente o potencial a partir de 
cada carga no ponto dado, então:
∑∑
==
πε
==
n
1i i
i
o
n
1i
i r
q
4
1VV ri é a distância radial do ponto dado a 
i-ésima carga
a=b=c
Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado de cargas 
pontuais que aparece na figura? A distância d é 1,3 m e as cargas são q1 = +12 nC, 
q2 = -24 nC, q3=+31 nC e q4=+17 nC
8
?Na figura, 12 elétrons são mantidos fixos, com espaçamento uniforme, sobre uma 
circunferência de raio R. Em relacao a V=0 no infinito, quais são o potencial elétrico e 
o campo elétrico no centro C da circunferência?
?Se os elétrons são deslocados, como mostrado na figura, ao longo da circunferência até
ficarem distribuídos com espaçamento desigual ao longo de um arco de 120º, qual é o 
potencial no ponto C? campo elétrico no ponto C sofre alguma mudança?
?Todos os elétrons estão todos à mesma distância R de C, 
então, o potencial elétrico em C:
R
e
4
112V
oπε
−=
?Por causa da simetria;
0E =
r
?Como a distância entre os elétrons não mudo, então: 
R
e
4
112V
oπε
−=
?Neste não existe simetria, então o campo elétrico no 
ponto C está orientado na direção de algum ponto do arco
Problema
Potencial devido a um dipolo
Da figura, o potencial no ponto P:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
πε
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+
πε
=+==
−+
−−
−+
−+
=
∑ rr rr4 qrqrq4 1VVVV oo
2
1i
i
Os dipolos na natureza (ex: as moléculas), são bem pequenos, 
então, estamos interessados em pontos muito distante do 
dipolo, onde r>>d. Sob estas condições da figura b temos:
r- - r+ ≈ d cos θ e r- . r+ ≈ r2
2
o r
cosd
4
qV θ
πε
=
2
o r
cosp
4
1V θ
πε
=
Substituindo estes valores na equação anterior:
Portanto, o potencial de um dipolo elétrico:
p=qd
9
Potencial devido a uma distribuição continua de carga
Para isto escolhemos um elemento diferencial de carga dq o qual origina um potencial 
dV em P, entao:
2
o r
dq
4
1dV
πε
=
Para determinar o potencial total V em P, emos que somar todos os elementos de carga: 
∫πε= 2o r
dq
4
1V
Potencial elétrico de uma Linha de carga não-condutora e 
densidade de carga uniforme λ
A carga desse elemento é dada por 
dq = λ dx e r=(x2 + y2)1/2
Então, o potencial elétrico devido a dq é: 
Portanto temos
que o potencial elétrico 
O potencial total é:
10
Potencial elétrico de um disco carregado não- condutor 
e densidade de carga uniforme σ
Da figura, no disco, a carga desse elemento é dada por 
Então, o potencial elétrico no eixo z devido a dq é: 
Primeiro calcularemos o potencial de uma anel, para depois calcular, 
o potencial do disco.
Da figura, no anel, o potencial elétrico devido a dq é:
Da figura, como z e r são constantes, então temos que:
22
o
22
o Rz4
qVdq
Rz4
1dV
+πε
=⇒
+πε
= ∫∫
22
oo Rz4
dqdV
r4
dqdV
+πε
=⇒
πε
=
'dR
)'R(z
'R
4
2V
)'R(z4
dqdV
22
o
22
o
∫
+πε
πσ
=⇒
+πε
=
[ ] [ ]zRz
2
V)'R(z
2
V 22
o
R
0
22
o
−+
ε
σ
=⇒+
ε
σ
=
2/122 )'Rz(r +=
'dR'R2dAondedAdq π=σ=
e a distância do ponto P até dq é:
Cálculo do campo elétrico do disco carregado a partir do potencial elétrico
[ ]zRz
2
V 22
o
−+
ε
σ
=
O potencial elétrico de um disco carregado é:
Partindo desta expressão poderemos deduzir o campo elétrico em qualquer 
ponto sobre o eixo do disco:
[ ]⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −+εσ∂∂−=∂∂−= zRz2zzVE 22oz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−
ε
σ
=
22
o
z
Rz
z1
2
E
Portanto:
Esta expressão é a mesma encontrada aplicando a Lei de Coulomb.
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Potencial de um condutor isolado carregado 
Para todos os ponto no interior de um condutor isolado:
0E =
r
ifif VVsd.EVV =⇒=− ∫ rr
Como
A Figura (a) mostra o grafico de V(r) dentro e fora de 
uma casaca esferica carregada de raio 1,0 m e a Figura 
(b) mostra um grafico de E(r) para a mesma casca.
Condutor isolado num campo elétrico 
Os elétrons de condução livres se distribuem sobre a 
superfície de tal modo que o campo que eles 
produzem nos pontos internos cancela o campo 
elétrico externo.
o campo eletrico resultante sobre a superfície é
perpendicular 
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Objetivos
1-Comprender a función básica do capacitor como armazenador de carga. 
2.-Observar o efeito que tem um material dielétrico sobre la capacitância de um 
capacitor e medir a constante dielétrica de dito material. 
3.-Combinações de Condensadores.•Ligação em Paralelo•Ligação em Série
Propriedade que têm alguns sistemas de armazenar energia elétrica sob a forma de um 
campo eletrostático; capacidade elétrica. 
Capacitância
•Capacitores são elementos elétricos capazes de armazenar carga elétrica e, 
conseqüentemente, energia potencial elétrica.
•Um capacitor é um sistema formado por dois condutores que se encontram 
separados por um material isolante (também chamado de dielétrico). Em particular, 
o material isolante de um condensador pode ser o vácuo (vazio).
•A diferença entre um capacitor e uma pilha é que o capacitor pode descarregar 
toda sua carga em uma pequena fração de segundo, 
Capacitores
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•Armazenar carga para utilização rápida. É isso que o flash faz. Os grandes 
lasers também utilizam esta técnica para produzir flashes muito brilhantes e 
instantâneos;
•Eliminar ondulações. Se uma linha que conduz corrente contínua (CC) possui 
ondulações e picos, um grande capacitor pode uniformizar a tensão absorvendo os 
picos e preenchendo os vales;
•Bloquear a CC. Se você conectar um pequeno capacitor a uma pilha, então não fluirá
corrente entre os pólos da pilha assim que o capacitor estiver carregado. Entretanto, o 
sinal de corrente alternada (CA) flui através do capacitor sem qualquer impedimento. 
Isto ocorre porque o capacitor irá carregar e descarregar à medida que a corrente 
alternada flutua, fazendo parecer que a corrente alternada está fluindo;
•Sintonizar a frequência dos receptores de rádio; 
•Se associados a indutores, os Capacitores formam osciladores, muito empregados 
para o funcionamento de relógios de quartzo e transmissores de rádio AM. 
•Eliminar sinais indesejados, oferecendo um caminho mais fácil pelo qual a energia 
associada a esses sinais espúrios pode ser escoada (filtros), impedindo-a de invadir o 
circuito protegido. 
• Para determinar as freqüências de oscilação de um circuito utilizando o principio de 
carga e descarga.
Algumas aplicações dos capacitores
Capacitores
• Podem ser esféricos, cilíndricos ou planos, 
constituindo-se de dois condutores que, ao serem 
eletrizados, armazenam cargas elétricas de mesmo valor 
absoluto, porém de sinais contrários.
• Arranjo convencional é o CAPACITOR DE PLACAS 
PARALELAS, que consiste em duas placas condutoras 
paralelas de área A separados por uma distância d.
A figura mostra os elementos básicos de qualquer 
capacitor- dois condutores isolados com formato 
qualquer. Independente de sua geometria, plana ou 
não, chamamos estes condutores de placas. 
simbolo
14
Capacitância
? Quando um Capacitor é carregado, suas placas 
adquirem cargas iguais, mas de sinais opostos +q e –q.
? Como as placas são condutoras, elas constituem uma 
superfície equipotenciais.
? A carga q e a diferença de potencial (V) para um 
capacitor são proporcionais uma da outra, logo
C é uma constante de proporcionalidade, cujo valor depende apenas da geometria das 
placas, que é chamada de CAPACITÂNCIA do capacitor.
q = C.V.
Unidades: S.I: Faraday : 1 C/V
A CAPACITÂNCIA é uma medida de quanta carga tem de ser colocada sobre as placas 
para produzir uma certa diferenca de potencial entre elas.
Teste 1
A capacidade C de um capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma (a) 
quando a carga q é multiplicada por dois e (b) quando a diferença de potencial 
V é multiplicada por três?
a) é a mesma
b) é a mesma
15
Capacitância
? CARREGANDO UM CAPACITOR.
? Um meio de carregar um capacitor é colocá-lo num circuito elétrico com uma bateria.
? Uma bateria é um dispositivo que mantém uma ddp (V) entre os terminais.
Quando o circuito esta completo, os elétrons são empurrados através dos fios por um 
campo elétrico, desde a placa h até o terminal positivo, perdendo elétrons, tornando-se 
positivamente carregada. Da mesma forma,o campo empurra a mesma quantidade de 
elétrons do terminal negativo para a placa l, torna-se negativamente carregada
Capacitância
? CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA
? Uma vez, conhecida a geometria do capacitor podemos calcular a capacitância. 
? Passos a seguir:
? Supor uma carga q sobre as placas;
? Calcular E entre as placas;
? Conhecendo E, calculamos V;
? Calcular C.
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Capacitância
? CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS
? O campo elétrico entre as placas está relacionado com a carga q sobre uma placa 
pela lei de Gauss:
? A V entre as placas esta relacionada com o E por:
Logo, a capacitância só depende de fatores geométricos A e d.
∫ ⋅ε= AdEq o rr
AEq oε=
Então:
∫∫ θ−=−=− dscosEsd.EVV if rr
dEVdsEdsEV
d
0
=⇒== ∫∫+
−
O percurso da linha de campo é escolhido da placa negativa para a placa positiva, isto 
significa que os vetores E e ds tem sentidos contrários, portanto: 
d
AC oε=
Como q = C.V, então, de (2) e (3) temos que a capacitância :
(1)
(2)
(3)
εo=8,85x10-12F/m = 8,85pF/m ou ε=8,85x10-12C2/N.m2.
Capacitância
? CAPACITOR CILÍNDRICO
? Consideremos um capacitor de comprimento L, formado por dois cilíndricos de raios a e b.
? Como V entre as placas esta relacionada com o E por:
? Logo, a capacitância será
rL2
qE)Lr2(EAEq
o
oo
πε
=⇒πε=ε=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
πε
=⇒
πε
−== ∫∫+
−
a
bln
L2
qV
r
dr
L2
qdsEV
o
a
bo
)a/bln(
L2C oπε=
Logo, a capacitância só depende de fatores geométricos b e a.
∫ ⋅ε= AdEq o rr (1)Da lei de Gauss:
então;
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Capacitância
? CAPACITOR ESFÉRICO
? Consideremos um capacitor esférico concêntrico de raios a e b.
? Como V entre as placas esta relacionada com o E por:
? Logo, a capacitância será
2
o
2
oo r4
qE)r4(EAEq
πε
=⇒πε=ε=
ab
ba4C o
−
πε=
∫ ⋅ε= AdEq o rr (1)
Da lei de Gauss:
ab
ab
4
qV
r
dr
4
qdsEV
o
a
b
2
o
−
πε
=⇒
πε
−== ∫∫+
−
Então;
Capacitância
? ESFERA ISOLADA
? Podemos atribuir uma capacitância a um único condutor esférico isolado de raio R 
supondo que a placa que está faltando é uma esfera condutora de raio infinito.
b/a1
a4C o
−
πε=
R4C oπε=
Sabemos que para um capacitor esférico
Entao fazendo b?∞ e substituindo a por R, encontramos:
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Teste 
Para capacitores carregados pela mesma bateria, a carga armazenada pelo capacitor 
aumenta. diminui ou permanece a mesma em cada uma das seguintes situações? (a) A 
separação entre as placas de um capacitor de placas paralelas é aumentada. (b) o raio do 
cilindro interno de um capacitor cilíndrico é aumentado. (c) O raio da casca esférica 
externa de um capacitor esférico é aumentado.
a) diminui 
b) aumenta 
c) diminui
Um capacitor de armazenamento em um chip de memória de acesso randômico (RAM-
Random Access Memory) possui uma capacitância de 55 fF (1fF = 10-15F). Se o 
capacitor estiver carregado com 5,3 V, quantos elétrons em excesso estão sobre a sua a 
placa negativa?
Exercício
q = n e
q = CV
elétrons10x8,1n
C10x60,1
V3,5)F10x55(
e
CV
e
qn
6
19
15
=
===
−
−
Sabemos que: