1ª Lista- Cônicas ( Elipse, Hipérbole, Parábola)

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo -
Votuporanga
Álgebra Linear - Engenharia Civil
Primeira Lista de Exercícios
2o semestre - 2014
Professora Elen Cristina Mazucchi
. Cônicas: Elipse, Hipérbole e Parábola
Exercício 1: Um satélite de órbita elíptica e excentricidade
1
3
viaja ao redor de um planeta
situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é
de 300km, calcular a maior distância.
Exercício 2: Em cada um dos itens esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos e a
excentricidade da elipse dada:
a)
x2
25
+
y2
4
= 1 b) 9x2 + 5y2 − 45 = 0 c) 4x2 + 9y2 = 25
Exercício 3: Calcular a equação da elipse de centro em (4, 2) e tangente aos eixos coorde-
nados, sabendo que os eixos da elipse são paralelos aos referidos eixos cartesianos.
Exercício 4 A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas
ruas possuem calçadas de 1, 5m de largura, separadas por uma pista de 7m de largura. Vamos
admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de
excentricidade 0, 943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas
e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância,
em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dados:0, 9432 = 0, 111
e
√
0, 111 = 0, 333
a) 35 b) 30 c) 25 d) 15
Exercício 5: Encontrar a equação de uma hipérbole de excentricidade 2 e focos coincidentes
com os focos da elipse
x2
25
+
y2
9
= 1.
1
Exercício 6:Determinar a equação da hipérbole e esboçar seu gráfico:
a) vértices A(0,±2), distância focal 2
√
11
b) focos F1(3,−2) e F2(3, 4), e excentricidade 2
Exercício 7: Se girarmos uma parábola em torno do seu eixo, ela dá origem a uma superfície.
Um exemplo da importância dessas superfícies, são as antenas parabólicas, que fazem convergir
para um único ponto sobre o eixo (foco) os sinais provenientes de um satélite, a fim de amplificar
a intensidade desses sinais. Qualquer ponto de uma parábola se caracteriza por estar à mesma
distância do foco e de uma reta chamada diretriz. Em uma parábola definida por (x + 2)2 =
16(y + 6) e cuja diretriz é a reta y = −7, qual a distância do foco até seu vértice?
Exercício 8: Demonstrar que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é a
√
2.
Exercício 9: A órbita da terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos. Sabendo que o
semi-eixo maior tem 153 493 000km e que a excentricidade é 0, 0167, calcular a maior e a menor
distância da Terra ao Sol.
Exercício 10: Um esguicho posicionado na origem de um sistema cartesiano lança água
e esta descreve uma parábola de vértice V (1, 5). Calcular a altura h do filete de água a uma
distância de 1, 5m da origem, sobre uma orizontal Ox.
Exercício 11: Encontrar os pontos de interseção da parábola y2 = 4x com a reta r :
4x− 2y − 3 = 0
Exercício 12: Na figura abaixo, o arco DC é parabólico e o segmento AB está dividido em
8 partes iguais. Sabendo que d = 10m, AD = BC = 50m e AB = 80m, determinar h1 e h2.
Exercício 13: Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão. Se o vào tiver 40m e a
flecha 10m, calcular a altura do arco a 10m do centro da base.
Exercício 14: Obter a equação da hipérbole savendo-se que um dos focps é o ponto F (−2, 2)
e o centro C(−2,−1) e 2a = 4.
2