Afilamento_(Scolforo)

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IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
12 
FUNÇÃO DE AFILAMENTO 
Árvores com mesmo diâmetro e mesma altura podem apresentar volumes 
e sortimentos distintos se a forma dos fustes forem diferentes. Este fato tem 
conduzido diversos pesquisadores a estudarem a forma das árvores objetivando 
alcançar maior acurácia na estimativa de volumes totais e, ou, parciais dos 
fustes. 
A forma do fuste muda com o tamanho da copa, hereditariedade, 
espaçamento, tratos culturais, posição sociológica, idade e sítio. No entanto, de 
maneira geral, o perfil dos fustes das árvores, genericamente, não se 
assemelham a um sólido geométrico específico, mas a vários deles, segundo a 
porção do tronco considerada. 
Esta é geometricamente descrita como uma neilóide na base, um 
parabolóide no centro e um cone no topo, não sendo possível a determinação 
exata da transição de um sólido para outro sobre o tronco. Os segmentos que 
formam o cone seguem uma linha reta da base ao topo. No neilóide, os 
segmentos se apresentam de forma convexa em relação ao eixo central do 
tronco, de maneira que a taxa de afilamento é crescente com o aumento da 
altura. Já no parabolóide, os segmentos tendem a ser côncavos ao eixo central 
do tronco e a taxa de afilamento aumenta levemente ou permanece constante 
com o aumento da altura. O volume de cada um desses sólidos de revolução 
pode ser calculado multiplicando-se sua área basal pela altura e por um fator de 
forma. Este fator de forma vale 1 para o cilindro, 1/2 para o parabolóide, 1/3 
para o cone e 1/4 para o neilóide, 
Segundo Husch et al. (1982), os fustes das resinosas quase nunca se 
apresentam como cones, neilóides ou parabolóides típicos, e sim como formas 
intermediárias entre o cone e o parabolóide. Já os troncos comerciais de 
folhosas, são definidos como semelhantes a troncos de cones, neilóides, 
parabolóides e, eventualmente, cilíndricos. 
Devido a esta série de variações de forma e à dificuldade de se encontrar 
o ponto de transição entre os diferentes sólidos, o cálculo do volume de uma 
árvore, normalmente, é feito partindo-se do somatório dos volumes de pequenas 
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partes do fuste, cubagem rigorosa, visando diminuir os erros provenientes destas 
variações. 
Desta forma, o desenvolvimento de modelos dendrométricos tem por 
objetivo utilizar recursos matemáticos para analisar cubagens de árvores, de 
modo que essas tenham suas formas naturais comparadas a sólidos 
geométricos de revolução, para que seus volumes, totais ou parciais, sejam 
determinados. Tais sólidos são denominados “protótipos dendrométricos” ou 
sólidos padrões, sendo compatíveis com a forma do tronco ou parte dele. O 
estudo matemático dos volumes das árvores considera suas seções circulares. 
Assim, parte-se do pressuposto de que as figuras geométricas relacionadas aos 
troncos sofrem uma rotação em torno de seu eixo principal, originando os sólidos 
de revolução correspondentes. Esses, por sua vez, têm seu volume obtido 
através da integração da área basal sobre o comprimento total do tronco. 
As funções de afilamento, também conhecidas como, funções de taper, 
funções de adelgaçamento, modelos de perfil ou, ainda, funções de forma, são 
uma maneira de descrever matematicamente o perfil de um fuste. 
Afilamento, forma, “taper” ou adelgaçamento é definido como a taxa de 
decréscimo em diâmetro que ocorre ao longo do tronco da árvore. A 
representação matemática desse fenômeno é possível através do uso de 
modelos que retratam o perfil do fuste. Pode-se assim estimar os diâmetros 
correspondentes a quaisquer altura das árvores, assim como as alturas 
correspondentes as quaisquer diâmetros. Portanto pode-se com equações de 
afilamento estimar os múltiplos produtos da madeira das árvores, bastando para 
tal definir os comprimentos desejados e os diâmetros mínimos a eles associados. 
Comparativamente as equações de volume as funções de forma ou de 
afilamento tem precisão equivalente, embora sejam muito mais interessante, na 
medida em que se consegue estimar volume de qualquer porção da árvore. A 
maior restrição ao uso das funções de forma é a necessidade de “softwares” que 
possibilite sua implementação de forma fácil e acessível aos usuários. 
As funções que descrevem a forma da árvore podem ser construídas para 
uma série absoluta contínua de forma ou para uma série relativa contínua de 
forma. Nas séries relativas contínuas de forma, a função que descreve o perfil 
da árvore é desenvolvida para uma série relativa de diâmetros correspondente 
a uma série relativa de alturas. Esta é a maneira mais interessante de se estimar 
volumes totais ou parciais de árvores, uma vez que considera a hipótese de que 
árvores com dimensões diferentes podem ter formas semelhantes. Assim, nesse 
processo todas as árvores são comparáveis independentemente de seus 
tamanhos e idade. 
12.1 TEORIA 
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Os modelos chamados de funções de afilamento, ou de forma, ou “taper”, 
são uma maneira de se descrever matematicamente o perfil de um tronco. Para 
tanto, a seção transversal em qualquer posição no tronco é considerada como 
circular e seu volume é calculado por integração da função. O tronco é tratado 
como um sólido de revolução. 
Utilizando-se de um sólido de revolução, vê-se que o mesmo tem um perfil 
semelhante ao perfil de uma árvore, conforme observa-se na Figura 12.1 
 
FIGURA 12.1 Perfil de uma árvore com as possíveis formas que ela pode 
assumir da base ao topo 
O volume (V) de um sólido de revolução é obtido pela integração de suas 
áreas seccionais (gi) entre o limite inferior (h1) e o superior (h2) que se deseja 
estabelecer. No caso de uma árvore, se o volume total é desejado, então h1 = 0 
e h2 = altura total da árvore. A representação da integral é mostrada a seguir: 
h g V 
2
1
h
h
i  
  
h 
40000
d*
 V 
2
1
h
h
2
i 

 
 
h dK V 
2
1
h
h
2
i  
 
(1) 
onde: 
V: volume 
h1, h2 : altura inferior e superior da árvore considerada 
g : área da seção transversal 
k : 
40000

 ou 
4

 
d: diâmetro tomado na i-ésima altura hi 
 
Exemplo do procedimento teórico a partir do polinômio de quinto grau 
(Schöepfer, 1966) 
Tronco de neblóide ou cilindro
Tronco da Parabolóide
ConePonta
Porção Média
Base
Nelóide Cone parabolóide Cilindro
X
Y Y
X
Y
X
Y
X
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         
         
         
2 3 4 5
i i i i i i
0 1 2 3 4 5 i
d h h h h h
=β +β +β +β + β +β +
D H H H H H
 
onde: 
is = parâmetros a serem estimados;di = diâmetro comercial (cm) ou diâmetro correspondente a qualquer altura 
hi, especificada ou comercial; 
D = diâmetro a 1,3 m de altura (cm) ou diâmetro de Hohenadl; 
H = altura total (m); 
hi = altura comercial (m); 
i = erro de estimativa. 
 
Isolando di obtém-se a função de afilamento, através da qual pode-se 
estimar o diâmetro correspondente a qualquer altura na árvore, desde que 
fornecido o seu diâmetro a 1,3m de altura (DAP ou D) e a altura total. 
          
          
           
2 3 4 5
i i i i i
i 0 1 2 3 4 5
h h h h h
d =D β +β +β +β + β +β
H H H H H
 
12.3 MODELOS POLINOMIAIS 
Os modelos polinomiais, freqüentemente utilizados no meio florestal, 
caracterizam-se por um ajuste de regressão que relaciona vários diâmetros 
tomados ao longo do tronco e respectivas alturas, com o Dap ou D0,1 e altura 
total das árvores. Embora sejam largamente empregados, os modelos 
polinomiais não explicam com propriedade as deformações que existem na base 
do tronco das árvores. 
Por isso, Hradetzky (1976) propôs potências mais apropriadas na 
descrição da forma da árvore e apontando como sugestão a construção do 
modelo pelo método “stepwise”, para expoentes variando de 0,005 a 25. Assim, 
uma boa representação do tronco através de polinômios exige uma combinação 
apropriada de potências e que as mesmas sejam submetidas ao processo de 
seleção da regressão “passo a passo” (stepwise). 
Goulding e Murray (1976), trabalhando com Pinus radiata, propuseram uma 
modificação na função de forma de Kozak, Munro e Smith (1969), para torná-la 
compatível com uma equação de volume. No entanto, quando a equação foi 
ajustada aos dados, sua forma básica ficou deficiente na região do topo da 
árvore, não estimando diâmetro zero na ponta da árvore e, freqüentemente 
fornecendo valores negativos de d² para várias combinações de Dap e H. O 
ajuste da equação foi melhor quando esta foi ajustada com todos os expoentes 
do Polinômio do Quinto Grau, embora alguns termos não fossem significativos 
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ao nível de 95%; e sugeriram que talvez a inclusão de termos de ordem mais 
alta pudesse melhorar o desempenho do modelo. 
12.3.1 Polinômio do quinto grau - Schöepfer (1966) 
A forma deste polinômio, que foi proposto por Schöepfer (1966), está 
apresentada a seguir: 
         
         
         
2 3 4 5
i i i i i i
0 1 2 3 4 5 i
d h h h h h
=β +β +β +β +β +β + e
D H H H H H
 
onde: 
di = diâmetro comercial (cm) ou diâmetro correspondente a qualquer altura 
hi, especificada ou comercial; 
D = diâmetro a 1,3 m de altura (cm); 
H = altura total (m); 
hi = altura comercial (m); 
is = parâmetros a serem estimados; 
ei = erro de estimativa. 
Isolando di obtém-se a função de afilamento, através da qual pode-se 
estimar o diâmetro correspondente a qualquer altura na árvore, desde que 
fornecido o seu diâmetro a 1,3m de altura (Dap ou D) e a altura total. 
          
          
           
i
2 3 4 5
i i i i i
0 1 2 3 4 5
h h h h h
d = D β +β +β +β +β +β
H H H H H
 
(1) 
Para integrar a função e obter a expressão que permite a estimativa dos 
volumes, fez-se a seguinte simplificação: 
0 0c = β
; 
1
1
β
c =
H
; 
2
2
β
c = 
H
; .......; 
5
5
β
c = 
H
 
Feita a simplificação, a expressão a ser integrada assume a forma: 
  
2 3 4 5
i 0 1 2 3 4 5d = D c + c h + c h + c h +c h + c h 
 
(2) 
Para se obter o volume (V) de um sólido de revolução é preciso integrar 
suas áreas seccionais (gi) entre o limite inferior (h1) e o superior (h2) que se 
deseja estabelecer. A representação da integral é mostrada a seguir: 
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  
2
1
2h
2 2 3 4 5
0 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i i
h
V = KD c + c h + c h + c h + c h + c h h 
 
(3) 
Integrando (3), obtém-se a expressão que permite estimar os volumes 
comerciais correspondentes a qualquer porção da árvore, além do volume total, 
se este for desejado. 
   
    
   
2 2 2 2 3 4
0 i 0 1 i 0 2 1 i 0 3 1 2 i
2 1 1 1
V = KD c h +c c h + c c + c h + c c + c c h +
3 3 2 2
 
   
   
   
2 5 6
0 4 1 3 2 i 0 5 1 4 2 3 i
2 2 1 1 1 1
+ c c + c c + c h + c c + c c + c c h + 
5 5 5 3 3 3
 
   
   
   
2 7 8
1 5 2 4 3 i 2 5 3 4 i
2 2 1 1 1
+ c c + c c + c h + c c + c c h +
7 7 7 4 4
 
 
  
  
2
1
h
2 9 10 2 11
3 5 4 i 4 5 i 5 i
h
2 1 1 1
+ c c + c h + c c h + c h
9 9 5 11
 
(4) 
Aplicação 
Considere um ajuste do Polinômio do Quinto Grau, cujos coeficientes e 
respectivas medidas de precisão obtidos foram os seguintes. 
b0 = 1,15433 R² = 99,82% 
b1 = -3,98529 SYX = 3,5912% 
b2 = 18,03352 
b3 = -38,02445 
b4 = 34,00589 
b5 = -11,19119 
O Polinômio do Quinto Grau assume então a forma: 
          
          
           
2 3 4 5
i i i i i
i
h h h h h
d =D 1,15433 - 3,98529 +18,03352 - 38,02445 + 34,00589 -11,19119 
H H H H H
 
Considerando uma árvore de 21 anos, cujo Dap seja igual a 52,3cm e altura 
total 27,5m, deseja-se obter as seguintes informações: 
 
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a) Número de toras de 4,0m de comprimento com diâmetro mínimo de 
25cm (para serraria, por exemplo) 
Supondo 3 toras de 4,0m + 0,1m de toco, o diâmetro estimado para a altura 
de 12,1m é: 
          
          
           
2 3 4 5
i
12,1 12,1 12,1 12,1 12,1
d = 52,3 1,15433 - 3,98529 +18,03352 - 38,02445 +34,00589 -11,19119
27,5 27,5 27,5 27,5 27,5
 
di a 12,1 metros de altura = 38,86 cm, o que significa que a árvore em 
questão fornece 3 ou mais toras para serraria. Para verificar se é possível obter 
uma quarta tora para serraria (diâmetro mínimo de 25 cm), basta acrescentar 4m 
ao valor anteriormente utilizado para o hi. A equação então fica: 
          
          
           
2 3 4 5
i
16,1 16,1 16,1 16,1 16,1
d =52,3 1,15433 - 3,98529 +18,03352 - 38,02445 +34,00589 -11,19119
27,5 27,5 27,5 27,5 27,5
 
di a 16,1 metros de altura = 31,24 cm, ou seja, é possível obter uma quarta 
tora. É necessário verificar a possibilidade de obter uma quinta tora de 4 metros 
de comprimento, o que utilizaria o fuste em questão até a altura de 20,1 metros. 
Aplicando novamente a equação, tem-se que: 
         
          
           
2 3 4 5
i
20,1 20,1 20,1 20,1 20,1
d =52,3 1,15433 - 3,98529 +18,03352 - 38,02445 +34,00589 -11,19119
27,5 27,5 27,5 27,5 27,5
 
di a 20,1 metros de altura = 20,85 cm, portanto não é possível obter a quinta 
tora. Assim, a árvore em questão (com 52,3cm de Dap e 27,5m de altura), 
fornecerá quatro toras para serraria (sendo utilizada para serraria até a altura de 
16,1m). O restante da árvore poderá ser utilizado para outro fim, como produção 
de celulose, por exemplo. 
b) Número de toras de 2,2m de comprimento com diâmetro mínimo de 
6cm (para celulose, por exemplo) 
Lembrando que a árvore estudada já foi utilizada para serraria até a altura 
de 16,1m, e supondo que, a partir desse ponto ainda seria possível obter três 
toras para celulose (diâmetro mínimo de 6 cm e 2,2 metros de comprimento), 
temos que o diâmetro estimado para a posição de 22,7m (16,1m + 3x2,2m) é de: 
          
          
           
2 3 4 5
i
22,7 22,7 22,7 22,7 22,7
d =52,3 1,15433 - 3,98529 +18,03352 - 38,02445 +34,00589 -11,19119
27,5 27,5 27,5 27,5 27,5
 
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di a 22,7 metros de altura = 13,85 cm, o que significa que a árvore em 
questão fornece, além das quatro toras para serraria, mais três toras para 
celulose. Para verificar se é possível obter uma quarta tora para celulose 
(diâmetro mínimo de 6 cm), basta refazer os cálculos para um valor de hi = 24,9 
m, o que resultará num diâmetro estimado de 7,83 cm, portanto ainda superior 
ao diâmetro mínimo necessário para o aproveitamento da tora na fabricação de 
celulose, tornando necessária a estimativa do di. Assim, a utilização dessa 
árvore vai até os 24,9m, para os dois produtos propostos. 
 
c) Aproveitamento da árvore (em número de toras) 
 4 toras para serraria (diâmetro  25cm e 4 m de comprimento); 
 4 toras para celulose (diâmetro  6cm e 2,2 m de comprimento); 
 resíduo = 27,5 m – 24,9m = 2,6m. 
d) Cálculo dos volumes 
Antes de calcular os volumes dos produtos, é necessário fazer a 
simplificação dos coeficientes. É importante observar que a simplificação 
envolve a altura total da árvore e por isso, após a simplificação, cada árvore 
passa a ter valores de coeficientes diferentes. Assim: 
          
          
           
2 3 4 5
i i i i i
i 0 1 2 3 4 5
h h h h h
d =D b +b +b +b + b +b
H H H H H
 
Para aplicar a função ajustada na integral que permite a estimativa dos 
volumes de uma árvore com 52,3cm de DAP e 27,5m de altura, a seguinte 
simplificação é necessária: 
b0 = 1,15433 b1 = -3,98529 
b2 = 18,03352 b3 = -38,02445 
b4 = 34,00589 b5 = -11,19119 
c0 = b0 = 1,15433 
 
1
1
b
c = 
H
  
1
-3,98529c = 
27,5
 = -0,14491964 
2
22
b
c = 
H
  
22
18,03352c = 
27,5
 = 0,02384498 
3
33
b
c = 
H
  
33
-38,02445c = 
27,5
 = -0,00182837 
4
44
b
c = 
H
  
44
34,00589c = 
27,5
 = 5,946 x 10-5 
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5
55
b
c = 
H
  
55
-11,19119c = 
27,5
 = -7,1156 x 10-7 
d.1) Volume do toco 
htoco = 0,1m 
Dap = 52,3cm HT = 27,5cm 
p1 = 1; p2 = 2; p3 = 3; p4 = 4; p5 = 5; 
         
         
         
 
 
 
3 51 2 4
1
(p + 1) (p + 1)(p + 1) (p + 1) (p + 1)2
2
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5
1 2 3 4 5
(2p + 1)
2
1
1
D h h h h h
V = . c h + 2c c + 2c c + 2c c + 2c c + 2c c +
40000 p + 1 p + 1 p + 1 p + 1 p + 1
h
 + c + 2
2p +1
      
      
      
 
 
 
1 3 1 51 2 1 4
2 32
(p + p + 1) (p + p + 1)(p + p + 1) (p + p + 1)
1 2 1 3 1 4 1 5
1 2 1 3 1 4 1 5
(p + p + 1)(2p + 1)
2
2 2 3
2 2
h h h h
c c + 2c c + 2c c + 2c c +
p + p + 1 p + p + 1 p + p + 1 p + p + 1
hh
+ c + 2c c
2p +1 p +
      
      
     
   
   
   
2 52 4 3
3 4 3 5 4
(p + p + 1)(p + p + 1) (2p + 1)
2
2 4 2 5 3
3 2 4 2 5 3
(p + p + 1) (p + p + 1) (2p +
2
3 4 3 5 4
3 4 3 5
h h h
+ 2c c + 2c c + c +
 p + 1 p + p + 1 p + p + 1 2p +1
h h h
+ 2c c + 2c c + c
p + p + 1 p + p + 1
    
    
    
4 5 5(p + p + 1) (2p + 1) 1)
2
4 5 5
4 4 5 5
h h
+ 2c c + c
2p +1 p + p + 1 2p +1
 
 
 
Substituindo os valores na função, encontra-se que, para uma altura de 
0,1m tem-se um volume de 0,0282715m³. Então: Vtoco = 0,0282715m³ 
 
d.2) Volume de madeira para serraria (volume das 4 primeiras toras) 
A altura a ser utilizada para serraria (4 toras de 4m de comprimento + altura 
do toco) é de 16,1m. O volume de madeira para serraria é dado por: 
Vserraria = Va 16,1m de altura - Vtoco 
Substituindo a altura de 16,1m na função de estimativa de volume, obtém-
se um volume de 2,3215067m³, que corresponde ao volume da base da árvore 
até a altura de 16,1m. O volume de madeira a ser utilizado para serraria é então: 
Vserraria = 2,3215067 - 0,028271 = 2,2932357m³ 
d.3) Volume de madeira para celulose (volume das 4 toras de 2,2m) 
A altura da árvore correspondente à extremidade da quarta tora a ser 
utilizada para celulose é de 24,9m. O volume da árvore em questão estimado 
até esta altura é de 2,6224397m³. No entanto, este volume corresponde ao 
volume desde a base da árvore, incluindo toco + madeira para serraria + madeira 
para celulose, sendo então necessário subtrair os volumes do toco e das toras 
para serraria. Assim, o volume efetivo das quatro toras para celulose é de: 
Vcelulose = Va 24,9m de altura – (Vtoco + Vserraria) 
IF 228 – Dendrometria – Prof. Emanuel Araújo 
_____________________________________________________________________________________ 
FONTE: SCOLFORO, J.R.S.; THIERSCH, C.R. Biometria Florestal: Medição, Volumetria e 
Gravimetria. Lavras: UFLA/FAEPE. 2004. 285 p. 
 
Vcelulose = 2,6224397 – (0,028271+2,2932357) = 0,300933m³ 
 
d.4) O volume total da árvore 
Para estimar o volume total de uma árvore através do Polinômio do Quinto 
Grau, basta estimar o volume para h = H, ou seja 27,5m. Assim, tem-se um 
volume total da árvore igual a 2,6266921m³. 
d.5) O volume de resíduos 
Considerando como resíduo toda a ponta da árvore que não será utilizada 
para serraria nem para celulose, o volume de resíduos corresponde então ao 
volume total da árvore menos o volume utilizado (toco + serraria + celulose). 
Assim: 
Vresíduo = Vtotal – (Vtoco + Vserraria + Vcelulose) 
Vcelulose = 2,6266921 – (0,028271+2,2932357+0,300933) = 0,0042524m³