Mecanica_Aplicada_II_Prof_Euler_Novembro_2014_4slides_pag

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Mecânica Aplicada II
Prof. Dr. Euler G. Barbosa
Dinâmica
Objetivos:
Estudar os conceitos de Dinâmica 
através de teorias mecânicas e 
matemáticas, de forma a aplicar na área 
de Engenharia
211/21/2014 Prof. Dr. Euler
Orientações iniciais
� Histórico do professor
� Apresentação dos alunos
� Horários, Faltas 
� Uso de celular
� Entradas e saídas durante a aula
� Contrato Pedagógico
� Provas N1, N2, U2
� Estudos Dirigidos
� Bibliografia Básica
� Plano de Ensino
� Portal ETEP / AVA / Mural / entrega de trabalhos
� Dedicação, estudos, prazos, respeito
� Normas técnicas
311/21/2014 Prof. Dr. Euler
Plano de Ensino
4
1- Centro de massa do corpo rígido Definição de centro de massa do corpo 
rígido
Localização do centro de massa
exemplos
Centro de massa de corpos compostos
exemplo
2- Quantidade de movimento do corpo rígido e 
sua variação no tempo - Forças
Definição da quantidade de movimento de 
um corpo rígido
Exemplos: Quantidade de movimento de 
corpos com movimento de translação e 
rotação
Variação da quantidade de movimento no 
tempo - Forças
Forças externas e internas
TESTE 1
3- Forças e Impulso - Aplicações
Equaçoes da dinâmica de translação do 
corpo rígido - Forças
Exemplos: sistema massa mola 
amortecedor forçado e forças em um 
veículo
Equações do Impulso e quantidade de 
movimento
Exemplos
TESTE 2
4- Momento angular do corpo rígido Definição de momento angular de um 
corpo rígido
Momentos e produtos de inércia -
propriedades
Exemplos
Exercícios
TESTE 3
5- Momento angular do corpo rígido Teorema dos eixos paralelos
Exemplos
Exercícios com corpos compostos
6- Equações do Movimento do corpo rígido Equações do movimento do corpo rígido
Translação pura
Exemplos
Exercícios
TESTE 4
7- Equaçoes do movimento do corpo rígido Equações do movimento do corpo rígido
Rotação em torno de um eixo fixo
Exemplos
Exercícios
TESTE 5
8- Trabalho, energia e potência no movimento de rotação
Trabalho e energia no movimento plano de um corpo 
rígido
Potência
Exemplo
TESTE 6
Revisão Revisão
Avaliação Final Dinâmica do corpo rígido:Centro de massa, 
Quantidade de movimento e forças; Momento 
angular; Momentos e produtos de inércia e teorema 
dos eixos paraleleos; Equações do movimento -
Translação; Equações do movimento - rotação em 
torno de um eixo fixo; Trabalho e energia no 
movimento de rotação em torno de um eixo fixo.
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Cinemática
� Posição, velocidade e aceleração
� Determinação do movimento de uma partícula
� Movimento Retilíneo Uniforme 
� Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
511/21/2014 Prof. Dr. Euler
Vetores 
611/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
711/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
811/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa, centro de Pressão e Centro de Carena
911/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
1011/21/2014 Prof. Dr. Euler
1111/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
1211/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
1311/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
1411/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
1511/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
16
gama: 
peso específico [N/m3]
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
1711/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
18
gama: 
peso específico [N/m3]
Centro de Massa
19
gama: 
peso específico [N/m3]
Centro de Massa
2011/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
2111/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
2211/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
23
Centro de Massa
2411/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
25Prof. Euler
Centro de Massa – caso discreto
26
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
gm
gmx
x
1
1
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
P
Px
x
1
1
kk VP γ=∑
∑
=
==
n
k
kk
n
k
kkk
V
Vx
x
1
1
γ
γ
∑
∑
=
==
n
k
kk
n
k
kkk
V
Vx
x
1
1
γ
γ
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
V
Vx
x
1
1
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
P
Px
x
1
1
kk LAV .=
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
AL
ALx
x
1
1
γ
γ
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
L
Lx
x
1
1
kk VP γ=
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
P
Px
x
1
1
gmP kk .=
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
m
mx
x
1
1
Forças
Volumes Comprimentos, 
linhasmassas
kk VP γ=
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
P
Px
x
1
1
kk AeV .=
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
eA
eAx
x
1
1
γ
γ
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
A
Ax
x
1
1
Áreas11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa – caso contínuo
27
dVPk γ=
∫
∫
=
V
V
dV
xdV
x
dLAdVk .=
dVdP γ=
gdmdP .=
Forças
Volumes Comprimentos, 
linhasmassas
dVdP γ= dAedV .=
Áreas
∫
∫=
M
M
dm
xdm
x
∫
∫=
V
A
dA
xdA
x ∫
∫=
L
L
dL
xdL
x
∫
∫=
P
P
dP
xdP
x
∫
∫=
P
P
dP
xdP
x ∫
∫=
P
P
dP
xdP
x
∫
∫=
P
P
dP
xdP
x
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
2811/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
2911/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
3011/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
31•Fonte: pdf do livro beer, NINTH EDITION, pag 1327, 1328 e 132911/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
3211/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
33•Fonte: pdf do livro beer, NINTH EDITION, pag 1327, 1328 e 132911/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa
34
Centro de Massa
35
•Determinar o Centro de Massa do corpo apresentado na figura abaixo.
As massas são dadas por m1=10kg, m2=20kg e m3=18kg e m4=30kg
∑
∑
=
==
n
k
k
n
k
kk
P
Px
x
1
1
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= ==
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
kk
m
mx
gm
gmx
x
1
1
1
1
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Centro de Massa, centro de Pressão e Centro de Carena
3611/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
3711/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
3811/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
3911/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
4011/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
Força Peso, W (Weight)
W = m.g 
41
Atmosfera padrão americana
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
42
Exercício 1
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
43
Exercício 2
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
44
Exercício 3
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
45
Exercício 3 (sol.)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
46
Exercício 4
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
47
Exercício 5
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de translação do corpo rígido - Forças
48
WA = 355 N
WB = 70 N
g = 10 m/s2
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
4911/21/2014 Prof. Dr. Euler 5011/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de translação do corpo rígido - Forças
5111/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de translação do corpo rígido - Forças
52
Extra: Os dois blocos ilustrados na figura partem do repouso.O plano horizontal apresenta coeficiente de atrito dinâmico de 0.1 e
a roldana possui massa igual a 5kg. Determine a aceleração de cada
bloco e a tensão em cada corda.
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de translação do corpo rígido - Forças
5311/21/201
4
Prof. Euler
Repare que:
se o bloco A desloca sA, o 
bloco B desloca ½ sB
Logo: 
sB = ½ sA
Derivando duas vezes, obtem-se 
a aceleracao absoluta: 
aB = ½ aA
Equações da Dinâmica – Segunda Lei de Newton
Força Peso, W (Weight)
W = m.g 
54
Atmosfera padrão americana
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de translação do corpo rígido - Forças
5511/21/201
4
Prof. Euler
i) Calcule a somatória das forças externas no bloco A
ii) Calcule a força de inércia no bloco A
iii) Calcule a somatória das forças externas no bloco B
iv) Calcule a força de inércia no bloco B
Equações da dinâmica 
de translação do corpo rígido - Forças
56
Exercício: Seja o sistema mecânico da figura 1. Os coeficientes de atrito
dinâmico entre os blocos A e C e os planos horizontais são iguais a 0,20.
Sabendo que mA = 5 kg e mB = 10 kg e mC = 10 kg, determine (a) a força de
tensão na corda e (b) a aceleração em cada massa
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
57
Teoria - Lousa
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
5811/21/2014 Prof. Dr. Euler
5911/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
60
Exercícios:
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
61
Solucao - Exercícios:
Para d = 2m
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
62
Exercícios:
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
63
Exercícios:
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 64
Exercícios:
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
Um prato uniforme circular de 7 kg de massa é unido a duas hastes de
conexão AC e BD de mesmo comprimento. Sabendo que o prato é solto a
partir do repouso, na posição mostrada na figura, em que as linhas que unem
G a A e B são respectivamente horizontal e vertical, determine (a) a
aceleração do prato e (b) a tração em cada haste de conexão
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
65
Exercícios:
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
Considere 
g=10 m/s2
m = 50 kg
L = 4 m
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 66
Principio do Impulso e Quantidade de Movimento
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
67
Principio do Impulso e Quantidade de Movimento
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 68
Exercicios:
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
6911/21/2014 Prof. Dr. Euler 7011/21/2014 Prof. Dr. Euler
7111/21/2014 Prof. Dr. Euler 72
Exercicios:
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
73
Exercicios:
ED5 – Estudo Dirigido 5 (download pelo portal)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 74
Exercicios – extras – recomendados
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
75
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
Introdução 
• Movimento Plano
• Placas simétricas
• Equações Fundamentais:
Cálculo do Momento Angular
de um corpo rígido, em três dimensões:
Obs: Livro Mecânica Vetorial para Engenheiros - Dinâmica, Beer , 7 edição, Capitulo 18, paginas 1146 a 1157
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 76
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
Obs: Livro Mecânica Vetorial para Engenheiros - Dinâmica, Beer , 7 edição, Capitulo 18, paginas 1146 a 1157
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
77
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 78
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
79
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
Obs: Livro Mecânica Vetorial para Engenheiros - Dinâmica, Beer , 7 edição, Capitulo 18, paginas 1146 a 1157
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 80
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
Obs: Livro Mecânica Vetorial para Engenheiros - Dinâmica, Beer , 7 edição, Capitulo 18, paginas 1146 a 1157
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
81
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 82
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
Obs: Livro Mecânica Vetorial para Engenheiros - Dinâmica, Beer , 7 edição, Capitulo 18, paginas 1146 a 1157
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
83
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 84
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
85
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
Obs: Livro Mecânica Vetorial para Engenheiros - Dinâmica, Beer , 7 edição, Capitulo 18, paginas 1146 a 1157
Tensor de Inércia
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 86
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional
Obs: Livro Mecânica Vetorial para Engenheiros - Dinâmica, Beer , 7 edição, Capitulo 18, paginas 1146 a 1157
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
87
Exercício 1:
Equações da dinâmica 
de rotação do corpo rígido - Momentos
Considere 
g=10 m/s2
m = 50 kg
L = 4 m
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 88
Exercício 2
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
89
Exercício 3
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 90
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
Momento Angular de um corpo rígido tridimensional:
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
91
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
Momento Angular de um corpo rígido tridimensional:
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 92
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
93
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
Tensor de Inércia
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 94
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
95
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 96
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
97
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 98
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler
99
Dinâmica dos Corpos Rígidos
Movimento Tridimensional (cont.)
11/21/2014 Prof. Dr. Euler 100
Exercício
11/21/2014 Prof. Dr. Euler