Cap 4 Geometria de massas

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29/10/2019
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Cap. 4 – Geometria de massas
Centro de gravidade
• As forças infinitesimais, resultantes da atração 
da terra, dos elementos infinitesimais ΔP1, 
ΔP2, ΔP3, etc., são dirigidas para o centro da 
terra, mas por simplificação são sempre 
consideradas paralelas.
XG
YG
x
YZ
dA
dP
dP
P
XG
YG
x
YZ
dA
dP
dP
P
Centro de gravidade (cont.)
• Os momentos de P relativamente aos eixos “y”, 
“x”, são iguais às somas dos momentos de cada 
força infinitesimal, relativamente aos respetivos 
eixos.
• No limite em que o número de elementos 
tende para infinito (a dimensão de cada 
elemento é muito pequena) o peso é dado por:
.2*21*1.: ++= PxPxPxMy G …
 
++= 2*21*1.: PyPyPyMx G …
 
Centro de gravidade (cont.)
• E as coordenadas do centro de gravidade (ponto 
onde se considera que o peso está a atuar) são dadas 
por:
• Se o valor da aceleração da gravidade for constante, 
o centro de gravidade coincide com o centro de 
massa e se o corpo for homogéneo, o centro de 
massa coincide com o centro geométrico (centróide).
𝑃 = 𝑑𝑃 
P
xdP
xG

= ; 
P
ydP
yG

= 
Centróides de área de corpos homogéneos 
• Considerando que e e que a 
aceleração da gravidade (g) e a massa 
específica (ρ) e a espessura são constantes (e, 
sendo ), as coordenadas do centro 
geométrico de área são dadas por:
A
ydA
y
A
xdA
x GG

==
mgP =
V
m
=
eAV =
Centróides de área de corpos homogéneos 
(cont.) 
• Os valores das coordenadas dos centróides de 
áreas de corpos homogéneos para figuras
geométricas simples determinam-se através
da resolução destes integrais.
• Existindo eixos de simetria, o centro
geométrico localiza-se na intersecção desses
eixos.
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Centróides de área de corpos homogéneos 
(cont.) 
Figura geométrica Área XG YG 
G
Y
1/2 h
h
1/2 h
1/2 b1/2 b
b
X
 
hb =A 
2
XG
b
= 
2
YG
h
= 
h
2/3 h
b
2/3 b1/3 b
1/3 h
G
Y
X
 
2
A
hb 
= 
3
XG
b
= 
3
YG
h
= 
 
Centróides de área de corpos homogéneos 
(cont.) 
Figura geométrica Área XG YG 
Y
X
R
G
 
2A R=  0XG = 0YG = 
G
Y
X
R
 
4
A
2R
=
 


=
3
4
XG
R 


=
3
4
YG
R 
Y
X
R
G
 
2
A
2R
=
 0XG = 


=
3
4
YG
R 
 
Centróides de áreas compostas por várias 
figuras
No caso de placas compostas as coordenadas do centro 
geométrico relativamente a um dado sistema de 
eixos são obtidas pelas seguintes equações:
✓n - número de figuras geométricas simples que formam 
a figura composta
✓xGi e yGi - coordenadas do centro geométrico de cada 
figura geométrica simples 
✓Ai - área de cada figura geométrica simples (- se furo)


=
==
n
i
i
n
i
iGi
G
A
Ax
x
1
1
)(
).(


=
==
n
i
i
n
i
iGi
G
A
Ay
y
1
1
)(
).(
; 
Exemplo:
• Determine as coordenadas do centro
geométrico da figura (medidas em
centímetros). (xG = 6,6 cm; yG = 2,6 cm)
Momento de inércia de massa
• Medida da resistência de um corpo a uma 
mudança do seu movimento de rotação em 
torno de um eixo (de forma análoga, a massa é uma 
medida da resistência de um corpo a um movimento de 
translação).
• Depende do eixo de rotação e relaciona-se 
com a forma como a massa se distribui em 
torno do eixo de rotação (não é uma propriedade 
intrínseca como a massa). 
Momento de inércia de massa 
(cont.)
• Quanto maior for o momento de inércia de 
massa mais difícil é alterar o movimento de 
rotação em torno do eixo.
Momento de inércia de uma partícula 
Momento de inércia de um sistema de partículas 
2mrI =
...222
2
11
2
++== rmrmrmI ii
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Momento de inércia de massa 
(cont.)
Momento de inércia de um corpo rígido
• Um corpo rígido é uma distribuição contínua de 
matéria logo é substituído por 
–  ( ) é a massa específica de um corpo
– Se o corpo for homogéneo,  é constante e fica 
• Logo o momento de inércia de massa é dado por 
(só depende da geometria):
2
= iirmI = dmrI
2
 
V
M
=
 dVdm =
 = dVrI
2
Momento de inércia de massa 
(cont.)
Através da integração desta fórmula para 
vários sólidos geométricos são determinadas 
as expressões que permitem calcular o 
momento de inércia de massa em torno de 
eixos que passam pelo centro geométrico.
Teorema de Steiner (ou teorema 
dos eixos paralelos)
• O momento de inércia de
um corpo em relação a um
eixo qualquer (I) paralelo a
um eixo que passa pelo
centro de gravidade (IG) é
dado por:
I = IG + M.d
2
Exemplo:
• Calcule o momento de inércia de massa de uma 
esfera de massa M e raio R em relação a um 
eixo tangente à sua superfície. (I = 7/5. M.R2 )
Free books (disponível nos recursos do elearning na pasta 
“livros free online” dentro da pasta “Física TP”)
• https://www.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum/center-of-mass/v/center-
of-mass
• https://www.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-
tutorial/v/more-on-moment-of-inertia
Khan Academy
•College Physics I_ Notes and Exercises (pág. 154)
•Foundation of Physics for Scientists and Engineers (pág. 76)
•University Physics I_ Notes and Exercises (pág. 187)
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https://www.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum/center-of-mass/v/center-of-mass
https://www.khanacademy.org/math/cc-fifth-grade-math/cc-5th-measurement-topic/cc-5th-unit-conversion/v/unit-conversion