Potências, Raízes e Números Irracionais

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POTÊNCIAS E RAÍZES
1. POTENCIAÇÃO
aaaaa n ××××= L 
aa
1a
1
0
=
=
Propriedades: 
 
 
 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
 
2. RADICIAÇÃO
a é a raiz n-ésima de P, se an = P.
Representação: 
 n
1
n PP =
 
 
 
Propriedades: 
n fatores
}
nnn
nnn
baba
baba
÷=÷
⋅=⋅
*)Nx( ∈xn xPn P aa =
nPn P aa =
n
m
n m PP =
aPn =
nn
a
b
b
a ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
n
n
1
mmm
mnmn
m–nmn
nmn
a
1a
a
1a
ba)ba(
aa
aa a
ma a a
=
=
×=×
 =)(
 =÷
+=⋅
−
−
⋅
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MATEMÁTICA
3. NÚMERO IRRACIONAL
Até aqui vimos os números naturais, inteiros e racionais.
Todo número racional pode ser escrito na forma q
p
 com p e q primos entre si e 0q ≠ . 
No entanto, existem números que não se escrevem dessa forma: são os números irracionais.
A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais 
nos fornece o conjunto dos números reais.
Exemplos: )414,12(Q2 K≅∉
 Q1415,3 ∉=π K
4. IDENTIDADE E EQUAÇÃO 
As sentenças abertas que apresentam relações de igualdades sobre conjuntos numéricos 
podem ser classifi cadas em EQUAÇÃO ou IDENTIDADE.
Exemplos:
1º) 22 yx)yx()yx( −=−⋅+
 Sendo R (reais) o conjunto universo para trabalharmos com a sentença dada, verifi camos 
que quaisquer x e y reais atendem à igualdade; logo trata-se de um identidade.
2º) 115x2 =+
 Sendo R (reais) o conjunto universo para esta segunda sentença, verifi camos que somente 
x = 3 a satisfará; logo, é uma equação e V = {3} é o seu conjunto verdade.
3º) Determinar o conjunto verdade R de 
Resolução: 2x26x13
228x2x15
28x22x15
=⇔=
⇔−=−
⇔+=+
 Logo: V = {2}
5. DESIGUALDADE
Identifi camos as desigualdades do tipo:
 a > b (a é maior do que b)
 a < b (a é menor do que b)
ou, genericamente: b) a b a de diferente é(≠
RQZN ⊂⊂⊂
28x22x15 +=+
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MATEMÁTICA
Propriedades:
 
Exemplos:
1º) Resolver a inequação 1x3x3 −<−
Resolução: ⇔−<− 1x3x3
 ⇔−<− 13xx3
 ⇔< 2x2
 1x <
 { }1 xR x V <∈=
Representação gráfi ca:
2º) Resolver 8x2 <− 
Resolução: ⇔<− 8x2
 ⇔−> 8x2
 4–x >
 
 { }4 xR x V −>∈=
Representação Gráfi ca:
5.1 - Sistemas de inequações
Na resolução de um sistema, resolvemos separadamente cada inequação e em seguida 
interceptamos os conjuntos verdades.
Exemplo:
Resolver o sistema: ⎩
⎨⎧
>+
<+
25x3
133x2
Resolução: ⎩
⎨⎧
−>
<
⇔⎩⎨
⎧
−>
<
⇔⎩⎨
⎧
>+
<+
1x
5x
3x3
10x2
25x3
133x2
0)mparambmaba)ª4
0)mparambmaba)ª3
)Rm(mbmaba)ª2
)Rm(mbmaba)ª1
<⋅<⋅⇒>
>⋅>⋅⇒>
∈∀−>−⇒>
∈∀+>+⇒>
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MATEMÁTICA
5.2 – Sistemas de equações
Resolver: ⎩
⎨⎧
−=−
=+
1yx
4yx2
Adicionando-se membro a membro 1 e 2 , vem:
 
 1x3x3 =⇔=
Levando em 1 , vem:
 2y4y12 =⇔=+⋅
Resp.: V = {(1; 2)}
1
2
{ }5x1– R x V <<∈=
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