Método dos Mínimos Quadrados

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Téc. Lab. Física Capítulo II
Método dos Mínimos Quadrados
Nesta unidade será apresentado o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) 
que é uma ferramenta matemática bastante utilizada
 no tratamento gráfico de dados experimentais
Ajuste de retas
A melhor reta que se ajusta a um conjunto de pontos experimentais do tipo: { (X1, 
Y1), (X2, Y2),..., (Xn, Yn)} é dada por:
Y* = a0 + a1.X, onde Y* é o valor esperado da função, a1 é o coeficiente angular e a0 é o 
coeficiente linear, ajustado para a reta.
Os coeficientes a0 e a1 são obtidos a partir das expressões:
a0 =
∑ Y .∑ X 2 − ∑ X .∑ XY
Δ
a1 =
Ψ
Δ
onde,
Ψ = N .∑ XY − ∑ X .∑ Y
Δ = N . ∑ X 2 − ∑ X 2
Δ' = N . ∑Y 2 − ∑Y 2
Uma maneira de quantificarmos o grau de ajuste, pelo método dos mínimos 
quadrados, é calcularmos o chamado coeficiente de correlação ( r ) entre as variáveis 
dependente e independente, que é dado por:
r = Ψ
Δ . Δ'
Esse valor pode variar desde -1 até 1 passando por 0. Quanto mais próximo estiver 
o módulo de r de 1, mais correlacionadas, linearmente, estarão as variáveis X e Ye, como 
conseqüência, melhor será o ajuste.
O cálculo dos erros, δa0 e δa1, para os coeficientes angular e linear da reta ajustada 
pelo MMQ é feito através das fórmulas que se seguem:
Téc. Lab. Física Capítulo II
δa 0 =  ∑ X 2Δ . σ' e δa 1 =   NΔ . σ'
onde σ' é o desvio padrão, dado por:
 
σ'=∑ Y−Y ajust 2N−1
Calculando os coeficientes
Para calcularmos os coeficientes a0, a1, Ψ, Δ, δa0, δa1 , deveremos utilizar a tabela 
a seguir:
X Y XY X² Y² (Yajust) Y - Yajust (Y -Yajust)2
ΣX = ΣY = ΣXY = ΣX² = ΣY² = Σ(Y -Yajust)2
Observações muito importantes
• Não arredonde os valores de XY, X², Y² e suas respectivas somatórias.
• Não arredonde os resultados de Δ, Ψ e σ', pois serão utilizados para os cálculos 
de a0, a1, δa0 e δa1.
• Os resultados de a0, a1, Yajust , Y - Yajust, tem o mesmo número de casas decimais 
de Y.
• δa0, δa1, são arredondados no primeiro nº diferente de zero após a vírgula. 
Exemplos: 0,003456 = 0,003; 
0,5623 = 0,6;
0,0257 = 0,03.