ENG A49 - 7. An+ílise de Estruturas

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6. Análise de estruturas
As estruturas podem ser constituídas por vários 
elementos interligados. Passaremos a considerar forças 
internas e externas a depender do elemento ou conjunto 
de elementos estudado. 
As forças que mantêm unidas as diversas peças da 
estrutura são forças internas se consideramos a estrutura 
como um todo. Nesse caso, as cargas e as reações dos 
apoios da estruturas são as forças externas à mesma.
Em todas as ligações, a força que um elemento exerce 
sobre outro é igual e oposta àquela com que o segundo 
reage sobre o primeiro - 3ª Lei de Newton.
No exemplo abaixo, o primeiro diagrama mostra as 
forças externas à estrutura. No segundo diagrama, os 
elementos que constituem a estrutura foram separados e 
no lugar das ligações que os uniam foram representadas
as forças atuantes nas ligações. Essas são forças internas 
quando considerado o conjunto do primeiro diagrama. 
As estruturas serão divididas em três grupos para a 
análise:
Treliças – São estruturas constituídas por barras 
retas, conectadas por pinos, chamados nós. 
Estruturas que contém pelo menos um elemento 
sujeito a 3 ou mais forças. Nessas estão incluídas 
as estruturas de máquinas as quais são projetadas 
para transmitir e modificar forças e geralmente 
contêm partes móveis; 
e os pórticos ou quadros.
Treliças
- São estruturas constituídas por barras 
retas, articuladas em suas 
extremidades. Essas articulações são 
chamadas nós.
- As cargas atuam apenas nos nós e 
nenhuma barra é contínua através 
desses. Entre A e B há duas barras, 
articuladas em D: AD e DB.
- Dessa forma, as barras das treliças 
estão sob ação de 2 forças atuando em 
suas extremidades e são submetidas 
apenas a esforço de tração ou 
compressão. 
Os nós das treliças são considerados como articulações ideais. 
Na prática, as ligações podem ser soldadas, parafusadas ou 
rebitadas. Entretanto, uma vez que os eixos das barras são 
concorrentes a interferência dessas ligações nos esforços 
principais não é significativa.
Mesmo com a articulação ideal o peso próprio das barras 
provocaria uma pequena flexão. Essa, em geral, é desprezada e 
os pesos das barras são considerados como atuando metade em 
cada nó. 
Exemplos de ligações
Por pinos
Com uma chapa de ligação
Treliça de madeira
Estruturas espaciais podem ser constituídas por 
treliças planas interligadas. Estruturas transversais 
transmitem as cargas aos nós das treliças.
Treliças de telhado
Treliças simples
A primeira estrutura acima deforma-se sob a ação de 
forças, como mostrado. 
A segunda só pode sofrer pequenas deformações em 
decorrência do encurtamento ou alongamento das barras 
– é uma treliça rígida.
Uma treliça simples é construída a partir de uma treliça 
triangular básica. A partir de dois nós dessa são acrescentadas 
duas novas barras que se unem em novo nó o que pode ser 
repetido seguidamente. A treliça construída assim também 
será rígida.
A treliça ABC tem 3 barras e três nó. ABCD tem 5 barras e 4 nós. 
A maior tem 11 barras e 7 nós. A relação entre o número de 
barras (b) e de nós (n) em uma treliça simples é b = 2n – 3.
Resolução de treliças pelo método dos nós
São separadas todas as peças da treliça e traçados os 
respectivos diagramas de corpo livre.
O equilíbrio dos nós proporciona 2n equações (∑Fx= 0, ∑Fy= 0) 
que possibilitam calcular 2n incógnitas. Como b = 2n – 3, 
2n = b + 3. O equilíbrio dos nós permite calcular as forças em 
todas as barras mais três reações de apoio. 
• Estuda-se o equilíbrio de cada nó, iniciando-se por 
qualquer deles onde haja apenas duas forças 
desconhecidas.
• Os resultados obtidos são utilizados nos nós seguintes 
aos quais o primeiro esteja ligado.
• Nas treliças simples sempre será possível analisar 
sucessivamente nós com apenas duas incógnitas.
• Na treliça do exemplo, inicialmente há mais de duas 
forças desconhecidas em cada nó. Nesse caso, é preciso 
calcular primeiro as reações de apoio para, depois, 
estudar o equilíbrio dos nós. 
• Em alguns nós fica claro o sentido das forças nas barras 
e podemos estabelecê-los previamente. Em caso de 
dúvida, estabelecemos um sentido e o sinal obtido com 
as equações de equilíbrio (+ ou -) o confirmará ou 
negará. 
• Um procedimento freqüente é considerar todas as 
forças como de tração (saindo dos nós). Nesse caso, os 
sinais positivos obtidos nos cálculos confirmarão as 
forças de tração. Os sinais negativos indicarão as forças 
de compressão.
Usando o método dos nós, determine a força em cada barra 
das duas treliças a seguir. Diga se as barras estão sob tração 
ou sob compressão.
1,35 m 1,35 m
1,8 m 1,8 m 1,8 m
27 kN
27 kN
54 kN
54 kN
54 kN
0,6 m
0,6 m
Nós sob condições especiais de carregamento
Forças em barras opostas que 
se interceptam em duas linhas 
retas em um nó são iguais.
As forças em duas barras 
opostas são iguais quando 
uma carga está alinhada 
com uma terceira barra. 
A força na terceira barra é 
igual à carga (incluindo 
carga nula). 
FAB
FAC
FAD
A
FAB
FAC
FAD
P
A
FAD = FAB
FAC = P
FAD = FAB
FAC = 0
Em um nó com apenas duas 
barras as forças nas duas 
serão iguais, se as barras 
estiverem alinhadas e serão 
nulas se as barras tiverem 
direções diferentes.
A
FAB
FAD FAD = FAB
FAB
FAD
A
FAD = 0
FAB = 0
Na treliça ao lado 
as forças são nulas 
nas barras BC, JK 
e IJ.
Para o carregamento dado, determine as barras de força 
zero na treliça. 
Análise de treliças pelo método das seções
Quando se deseja calcular a força apenas em algumas barras 
da treliça esse método pode ser mais adequado.
Passa-se uma seção na treliça, cortando a(s) barra(s) cuja(s) 
força(s) se deseja determinar e traça-se o diagrama de corpo 
livre da parte destacada. 
Se a seção cortar apenas três barras as equações de 
equilíbrio permitem calcular as forças nas três.
Calcule as forças nas barras AB, FG, CD e KE da treliça de 
estádio, abaixo. (Baseado em 6.56 de Beer e Johnston) 
Treliças compostas -
formadas pela associação de treliças simples
Completamente 
vinculadas, rígidas 
e estaticamente 
determinadas –
b = 2n - 3
Contém uma barra redundante e é 
estaticamente indeterminada – b > 2n - 3
A rigidez depende das 
reações de apoio
não rígida rígida
• Problemas 
Forças em todas as barras:6.8; 6.13; 6.18; 6.24 
Elementos de força zero: 6.31; 6.33
Forças em barras determinadas: 6.44 
6.50 – acrescentar a força na barra JL; analisar 
os elementos de força zero
Treliças espaciais
A treliça espacial simples básica 
consiste de 6 barras conectadas a 4 
nós formando um tetraedro. É uma 
estrutura rígida. Pode ser ampliada 
crescentando-se três novas barras 
unidas em um novo nó.
A relação entre o número de barras (b) 
e de nós (n) é b = 3n – 6.
O equilíbrio dos nós proporciona 3n 
equações as quais possibilitam calcular 
as forças em todas as barras mais seis 
reações de apoio – 3n = b + 6
Calcule a força em 
cada uma das barras 
da treliça para: 
P = 25,515 kN e 
Q = 0.
(6.36 -Beer e 
Johnston).
Estruturas e máquinas
Têm pelo menos um membro submetido a mais de duas forças. A 
primeira estrutura mostrada é um exemplo. As forças atuantes 
podem ser determinadas estudando-se o equilíbrio da estrutura 
completa e de cada um dos elementos que a formam.
Nos elementos submetidos a apenas duas forças essas têm direção 
conhecida – como em BE. 
As demais ligações transmitem forças de direções desconhecidas.Essas estão representadas pelas componentes ortogonais.
As forças entre dois elementos conectados são iguais e opostas –
ação e reação
Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas de seus apoios
A rigidez da estrutura ao lado depende 
dos apoios A e B.
No diagrama de corpo rígido da estrutura 
inteira há quatro incógnitas.
Separando-se as duas peças que a formam 
temos dois corpos rígidos e três equações 
equilíbrio para cada um que possibilitam 
calcular as seis incógnitas existentes.
Nas estruturas a seguir, determine as forças que atuam nos elementos 
ABC. Verifique se estrutura é rígida quando separada dos apoios? 
(6.76 – Beer e Johnston)
(6.100– Beer e Johnston)
Probl. 6.80; 6.93; 6.96; 6.105; 6.106