AULA 23 Diagrama de Bode

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AULA 23 - LTC36B
Controle 01
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Prof. Leandro Castilho Brolin
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN – Departamento de Eletrônica
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RESUMO
(1) Introdução
(2) Diagramas de Bode
INTRODUÇÃO
● Para analisar a resposta em frequência de um sistema varia-se a 
frequência do sinal de entrada e estuda-se os efeitos resultantes.
● Ao ser variado a frequência do sinal de entrada pode variar o 
ganho de sinal de saída e ainda a fase do sinal.
● Quando abordamos o estudo de um sistema de controle no domínio 
da frequência podemos encontrar várias vantagens:
● Análise de estabilidade via o critério de Nyquist.
● Determinação experimental de funções de transferência via 
análise da resposta em frequência.
● Projeto de sistemas de controle robusto a presença de ruídos.
INTRODUÇÃO
● Embora especificações de regime transitório e permanente não estejam 
presentes na análise sequencial, ocorre um reajuste das características 
da resposta em frequência de malha aberta utilizando vários critérios de 
projeto para que a resposta em malha fechada seja satisfatória.
RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE PARA UMA ENTRADA 
SENOIDAL:
• Considere o sistema linear e invariante no tempo ilustrado a seguir:
• Neste caso temos a função de transferência,
INTRODUÇÃO
● O sinal de entrada senoidal é dado por
● Se o sistema for estável, a saída y é dada por:
● Sendo,
INTRODUÇÃO
● Neste caso o ângulo da função de transferência G(s) é dado por: 
● Em resumo,
Assim a resposta em frequência é obtida a partir de:
INTRODUÇÃO
● Um valor negativo de fase é chamado atraso de fase e um valor 
positivo de fase é chamado avanço de fase.
● A função de transferência senoidal é obtida substituindo-se na 
função de transferência.
CARACTERISTICAS DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
• Podemos representar a resposta em frequência graficamente, 
neste contexto, é caracterizada a magnitude e fase do sistema 
abordado. Existem 3 representações gráficas comumente utilizadas 
para obter a resposta em frequência.
• Diagrama de bode;
• Diagrama de Nyquist (gráfico polar);
• Diagrama da Resposta Logarítmica versus ângulo de fase.
DIAGRAMAS DE BODE
Exemplo:
DIAGRAMAS DE BODE
• O módulo de diagrama de Bode
O módulo é apresentado em dB, assim para obter a magnitude do 
sistema em uma determinada frequência, temos:
• Exemplo: considere que em uma análise do diagrama de Bode foi 
encontrado o valor da magnitude de -20dB para uma determinada 
frequência. Assim, para obter o valor do ganho em magnitude 
temos:
DIAGRAMAS DE BODE
DIAGRAMAS DE BODE
VANTAGENS DA ESCALA LOGARÍTMICA
•Multiplicação de módulos é convertida em adição.
•O esboço da curva do logaritmo do módulo é simples. Neste contexto 
utilizamos aproximações por assíntotas para esboçar o diagrama de 
módulo logarítmico.
FATORES BÁSICOS DE 
1- Ganho K
•Magnitudes com número maior que 1 possuem valores positivo em 
decibéis, enquanto magnitudes menos que 1 possuem valores 
negativos.
•A curva do logaritmo do módulo para um ganho K constante é uma 
horizontal de valor 20log(K) dB.
•O ângulo do ganho K é nulo.
•Variando-se o ganho K não se altera o ângulo.
DIAGRAMAS DE BODE
• Quando aumentamos o ganho de 10 vezes temos:
DIAGRAMAS DE BODE
2 – Fatores Integrais e Derivativo
•O módulo logarítmico de é:
•O ângulo de
•Em um diagrama de Bode as frequências são expressas em oitavas 
ou décadas. Uma oitava é um intervalo de frequência compreendido 
entre e 2 , sendo uma frequência de qualquer valor.
•Uma década correspondente a um intervalo de frequência 
compreendido entre e 10 .
•Considerando-se uma frequência de 10 temos,
A inclinação da reta é -20 dB/década. 
DIAGRAMAS DE BODE
• O logaritmo do módulo de em dB é:
• O ângulo da fase de é 90º.
• A curva do módulo em dB é uma reta com inclinações de 
20dB/década.
• Se a função de transferência contiver o fator os 
módulos em dB resultam respectivamente:
DIAGRAMAS DE BODE
DIAGRAMA DE BODE:
DIAGRAMAS DE BODE
3 – Fatores de primeira ordem
•O modulo em dB do fator de primeira ordem é
•
• 
•A resposta para o fator pode ser aproximada por duas 
retas assintóticas, uma reta em 0 dB para faixa de frequência entre
 e outra reta com inclinação -20dB/década para faixas 
de frequência 
DIAGRAMAS DE BODE
DIAGRAMAS DE BODE
• O ângulo de fase para o fator de primeira ordem é 
dado por:
• Na frequência zero, o ângulo da fase é 0º. Para temos:
• No infinito, o ângulo de fase se torna -90º
• O erro máximo entre o gráfico obtido por assíntotas e o gráfico real 
acontece na frequência de corte e é dado por:
DIAGRAMAS DE BODE
• Erro em Módulo da Resposta em frequência por assíntota:
DIAGRAMAS DE BODE
• Diagrama de Bode para fator 
DIAGRAMAS DE BODE
4 – Fatores Quadráticos
•Muitos sistemas de controle possui a forma quadrática dada por
•A resposta em frequência pode ser obtida por: 
•A assíntota para baixas frequências é uma reta em 0 dB.
DIAGRAMAS DE BODE
Se temos:
A equação para assíntota em alta frequência é uma reta que possui 
inclinação de -40dB/década uma vez que:
•A frequência de corte é O ângulo para o fator quadrático é dado 
por: 
DIAGRAMAS DE BODE
DIAGRAMAS DE BODE
O primeiro procedimento a ser realizado é normalizar a função de 
transferência para evitar possíveis erros, então:
•Esta função é composta pelos seguintes fatores: 
DIAGRAMAS DE BODE
• As frequências de corte terceiro, quarto e quinto termo são 
respectivamente O coeficiente de 
amortecimento do último termo é 0,3536.
DIAGRAMAS DE BODE
• Diagrama de Bode no Matlab
DIAGRAMAS DE BODE
• Considerando-se o diagrama de Bode anterior, se for aplicado um 
sinal senoidal r(t) = sin(10t), qual é o valor do sinal de saída?
DIAGRAMAS DE BODE
• EXERCÍCIOS EM SALA.
DIAGRAMAS DE BODE
DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE POSIÇÃO
•Considere um sistema com realimentação unitária com função de 
transferência de malha direta dado por:
•Neste caso,
•Assim, a assíntota para baixas frequências é uma reta horizontal em 
20log dB.
DIAGRAMAS DE BODE
DIAGRAMAS DE BODE
DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE
•Considere o sistema de controle ilustrado abaixo
•A interseção do segmento de -20dB/década com a reta tem 
valor 
DIAGRAMAS DE BODE
• Para o sistema de controle abordado nesta seção temos,
• A interseção do segmento inicial de -20dB/década com a reta de 0 
dB possui frequência numericamente igual
• Para verificar esse resultado, define-se a frequência nesta 
interseção igual a , assim: 
DIAGRAMAS DE BODE
DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE
•Seja um sistema de controle com realimentação unitária com função 
de transferência G(s) ilustrado anteriormente, a figura seguinte ilustra 
o diagrama de Bode de um sistema tipo 2.
DIAGRAMAS DE BODE
• A interseção do segmento inicial de -40dB/década, ou seu 
prolongamento, com a reta possui a ordenada 
• Considerando-se frequências baixas temos:
• A frequência do segmento inicial de -40dB/década com a reta 
dB fornece a raiz quadrada numericamente. 
DIAGRAMAS DE BODE
SISTEMA DE FASE MÍNIMA E NÃO MÍNIMA
•Funções de transferências que não possuam polos ou zeros no 
semiplano direito do plano complexo s são funções de transferências 
de fase mínima.
•Funções de transferências quepossuam polos e/ou zeros no 
semiplano direito do plano complexo s são funções de transferências 
de fase não mínima.
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