deflexão em vigas por integração direta

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25/11/2014 
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Deflexão de vigas 
Exemplos de estruturas onde as vigas são 
construídas de modo a satisfazer condições de 
tensão e deslocamento 
 Introdução: 
Projeto mecânico: De modo sucinto, ao projetar um elemento deve-se satisfazer as condições de: 
 Resistência – satisfazer tensões limites para a falha; 
 Deslocamentos limites; 
 Estabilidade. 
Linha elástica 
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Relação entre Curvatura e Momento Fletor 
1
𝜌
= −
𝜀𝑥
𝑦
 
1
𝜌
= −
𝜎𝑥
𝐸𝑦
 
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
 
𝜎𝑥 = −
𝑀𝑦
𝐼
 
Relação entre a 
Curvatura e o 
Momento 
Raio de 
Curvatura 
𝜀𝑥 =
𝑑𝑠′ − 𝑑𝑠
𝑑𝑠
 
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃 
𝑑𝑠′ = 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 
Análise: 
com 
logo 
e como 
pode-se escrever: 
Relação entre Curvatura e Momento Fletor 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
 
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Curvatura em uma linha no plano 
1
𝜌
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 
1 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥 
2
3
2 
 
𝑣 = 𝑓 𝑥 
No nosso problema é o deslocamento ou deflexão da linha elástica 𝑣 
(deslocamento na direção 𝑦) 
Equação da linha elástica 
1
𝜌
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 
1 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥 
2
3
2 
 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
 Sabemos que: 
Mas, pela hipótese de pequenas deformações 
𝑑𝑣
𝑑𝑥 é muito pequeno 
Logo: 
1
𝜌
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
 
Equação da linha 
elástica 
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Outras relações: 
𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
 Como: 𝑉 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 
−𝑤 =
𝑑𝑉
𝑑𝑥
 −𝑤 =
𝑑2
𝑑𝑥2
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 
Se EI é constante: 
𝑀 = 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 
𝑉 = 𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
 
−𝑤 = 𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
 
Solução via: 
 
 Método da integração direta; 
 Método dos momentos de área; 
 Método das funções de singularidade; 
 Método da superposição de efeitos. 
Método da integração direta: 
Dada a equação do momento fletor, vamos integrá-la duas vezes 
 
Duas constantes de integração vão aparecer! 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀 𝑥 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝐸𝐼𝜃 𝑥 = 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1 
𝐸𝐼𝑣 𝑥 = 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 + 𝐶2 
= 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
Condições de contorno 
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Exemplo: DCL 
∑𝑀 = 0 
e integrando: 
Condições de contorno: 
Em 𝑥 = 𝐿: 
Então: 
𝑣 𝐿 = 0 
𝜃 𝐿 = 0 
Fazendo: 
𝑥 = 0