4 Atividade Integral

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN. 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – CCET. 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DM. 
DISCIPLINA: Matemática para Engenharia I. 
 
Atividade 4 - Introdução do conceito de Integral definida, utilizando o software 
GeoGebra 
 Objetivos: 
- Apresentar a integral definida a partir da interpretação intuitiva do cálculo da área de uma 
região S limitada pelo eixo x, por uma função f contínua, positiva e pelas retas x = a e x = b, por 
meio da soma inferior e soma superior de áreas de retângulos com base na definição: 
Se y = f(x) for não negativa e integrável em um intervalo fechado [a, b], então a área sob a 
curva y = f(x) de a até b será a integral de f de a até b, 
; 
(THOMAS et. al., 2002, p. 350) 
- Testar duas propriedades da integral de Rieman, utilizando integrais definidas; 
- Calcular áreas de regiões definidas (limitadas) pelos gráficos de duas funções, utilizando 
as ferramentas do GeoGebra. 
 
Parte 01 
I – Apresentação e desenvolvimento das atividades 
 
1) Insira a função f(x) = x2 – 4x + 3 na caixa de entrada; 
2) Na caixa de ferramentas, selecione a opção novo ponto (2ª janela), clique no eixo x em dois 
lugares diferentes para obter os pontos A e B (considerando x [x(A); x(B)] tais que x(A)<x(B) e 
todas as imagens de f sejam maiores ou iguais a zero no intervalo, conforme o teorema 
supracitado); 
3) Na penúltima caixa de ferramentas, escolha a opção controle deslizante, em seguida, clique 
na zona geométrica. Na caixa exibida, faça esse valor variar de – 50 a 50, nomeio de n e 
aplique; 
4) Obter uma aproximação da área S inserindo um polígono regular inscrito em S formado pela 
soma de n retângulos construídos abaixo do gráfico entre os pontos A e B. Para tanto, insira na 
caixa de entrada o seguinte comando SomaDeRiemannInferior[f(x), x(A), x(B), n] e teclando 
Enter (como resultado obterá o valor a); 
 
II - Testando os conhecimentos 
 
1) Mova n e observe o que faz o comando SomaDeRiemannInferior[f(x), x(A), x(B), n] nas 
seguintes situações n>0, n<0 e n=0. Justifique. 
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2) O que significa esse valor de n? 
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3) Agora vamos calcular uma outra aproximação da área S tomando por base a partição de 
[x(A), x(B)] com o ponto de máximo da função em cada retângulo. Para isso, insira o comando 
SomaDeRiemannSuperior[f(x), x(A), x(B), n], na caixa de entrada, e tecle Enter (obterá b). 
Movimente n como no caso anterior e observe que diferença e conclusões você tira sobre este 
recurso do software e a investigação da área S? 
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4) Por último, vamos calcular o valor da integral definida no intervalo [x(A), x(B)] inserindo, na 
caixa de entrada, o seguinte comando integral[f(x), x(A), x(B)] (obterá o valor c); Agora, teça 
considerações sobre a relação com os resultados obtidos nos itens anteriores (2.1 e 2.3) 
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5) Para uma melhor visualização dos valores, na primeira caixa de ferramentas com a 
ferramenta mover, desloque os resultados (a, b, c) encontrados arrastando-os para um local 
onde não tenha região hachurada; 
 
III - Observando a construção: 
 
1) Mova A ou B de modo que f(x) 0, para todo x (A,B). O que observa com os valores de a, b 
e c? 
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2) O que acontece com a, b e c se movermos A ou B ou ambos de modo que f(x)<0? Há relação 
com a área hachurada S? 
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Visualizando melhor: para verificar a relação entre as áreas, utilize o zoom e região será 
ampliada. 
 
 Parte 02 - Integral definida entre duas funções 
I - Testando seus conhecimentos 
1) Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções f(x) e g(x), em cada 
uma das situações que seguem. Para isso, podemos inserir na caixa de entrada o seguinte 
comando: IntegralEntre[g(x), f(x), x(A), x(B)]. Utilize o que já foi visto sobre integral e sua 
criatividade e indique outra forma de obter a área da região compreendida pelas curvas 
explicando o procedimento utilizado. 
a) b) 
OBS: Para inserir 
x
, coloque na caixa de entrada de comandos a expressão sqrt(x). 
 
 
 
 
 
4) Insira na entrada de comandos o seguinte: IntegralEntre[f(x), g(x), x(A), x(B)], verifique o que 
acontece em relação ao item anterior e em seguida justifique sua resposta.