4 Resultantes de um sistema de forças

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Definição
• O momento de uma força ou torque:
quando uma força é aplicada a um
corpo, ela produzirá uma tendência de
rotação do corpo em torno de um ponto
que não está na linha de ação da força.
Intensidade
𝑀𝑜 = 𝐹𝑑 𝑁 ∙ 𝑚
• Onde d é o braço do momento ou distância perpendicular do eixo
no ponto O até a linha de ação da força.
Direção e Sentido
• Determina-se através da
‘regra da mão direita’:
Momento Resultante de um 
Sistema de Forças Coplanares
↺ + 𝑀𝑅 𝑜 = 𝐹𝑑 ∴ 𝑀𝑅 𝑜 = 𝐹1𝑑1 + 𝐹2𝑑2 + 𝐹3𝑑3
Aplicação
EXERCÍCIO – 1A
• Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada 
caso ilustrado a seguir.
EXERCÍCIO – 1B
• Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada 
caso ilustrado a seguir.
EXERCÍCIO – 1C
• Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada 
caso ilustrado a seguir.
EXERCÍCIO – 1D
• Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada 
caso ilustrado a seguir.
EXERCÍCIO – 1E
• Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada 
caso ilustrado a seguir.
Definição 
 𝐶 = 𝐴 × 𝐵
Intensidade
𝐶 = 𝐴𝐵 sin 𝜃 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°
Direção e Sentido
 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 sin 𝜃 𝑢𝑐
Leis de Operação
1. O produto vetorial é não comutativo:
 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 𝑜𝑢 𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴
2. Multiplicação por um escalar:
𝑎 𝐴 × 𝐵 = 𝑎 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝑎𝐵 = 𝐴 × 𝐵 𝑎
3. Lei distributiva:
 𝐴 × 𝐵 + 𝐷 = 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐷
Formulação Vetorial Cartesiana
 𝒊 × 𝒋 = 𝒌 ∴ 𝒋 × 𝒌 = 𝒊 ∴ 𝒌 × 𝒊 = 𝒋 ∴ 𝒊 × 𝒌 = − 𝒋 ∴ 𝒋 × 𝒊 = −𝒌
∴ 𝒌 × 𝒋 = − 𝒊 ∴ 𝒊 × 𝒊 = 𝟎 ∴ 𝒋 × 𝒋 = 𝟎 ∴ 𝒌 × 𝒌 = 𝟎
Formulação Vetorial Cartesiana
 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝑖 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝑗 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑘
• Ou como determinante 3x3:
 𝐴 × 𝐵 =
 𝑖 𝑗 𝑘
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
Definição
𝑀0 = 𝑟 × 𝐹
• r representa um vetor posição traçado de O até qualquer ponto
sobre a linha de ação de F.
Intensidade
𝑀0 = 𝑟𝐹 sin 𝜃 = 𝐹 𝑟 sin 𝜃 = 𝐹𝑑
Direção e Sentido
Princípio da 
Transmissibilidade
• F apresenta a propriedade de um vetor deslizante e pode, devido a
isto, agir em qualquer ponto sobre sua linha de ação e ainda
produzir o mesmo momento em relação ao ponto O.
• 𝑀𝑜 = 𝑟1 × 𝐹 = 𝑟2 × 𝐹 = 𝑟3 × 𝐹
Formulação Vetorial 
Cartesiana
𝑀𝑜 = 𝑟 × 𝐹 =
 𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
• Onde:
• rx, ry e rz representam as componentes x, y e z do vetor posição
definido do ponto O até qualquer ponto sobre a linha de ação da
força;
• Fx, Fy e Fz representam as componentes x, y e z do vetor força.
Formulação Vetorial 
Cartesiana
𝑀𝑜 = 𝑟𝑦𝐹𝑧 − 𝑟𝑧𝐹𝑦 𝑖 − 𝑟𝑥𝐹𝑧 − 𝑟𝑧𝐹𝑥 𝑗 + 𝑟𝑥𝐹𝑦 − 𝑟𝑦𝐹𝑥 𝑘
Momento resultante de um 
sistema de forças
𝑀𝑅𝑜 = 𝑟 ×
 𝐹
EXERCÍCIO - 4
• O poste da figura está
sujeito a uma força de
60 N na direção de C
para B. Determine a
intensidade do momento
criado pela força em
relação ao suporte em A.
Princípio dos Momentos 
(Teorema de Varignon)
• ‘O momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma
dos momentos das componentes das forças em relação ao
mesmo ponto’.
• 𝑀𝑜 = 𝑟 × 𝐹1 + 𝑟 × 𝐹2 = 𝑟 × 𝐹1 + 𝐹2 = 𝑟 × 𝐹
Princípio dos Momentos 
(Teorema de Varignon)
• Para problemas bidimensionais:
EXERCÍCIO – 6
• Uma força de 200 N atua sobre o suporte mostrado na figura
abaixo. Determine o momento da força em relação ao ponto A.
Análise Escalar
• Se a linha de ação de uma força F é perpendicular a qualquer
eixo específico aa, a intensidade do momento de F em relação
ao eixo pode ser determinada por:
𝑀𝑎 = 𝐹𝑑𝑎 ∴ 𝑀𝑦 = 0,3 ∙ 20 = 6 𝑁𝑚
Análise Vetorial
𝑀𝑜 = 𝑟𝐴 × 𝐹 = 0,3 𝑖 + 0,4 𝑗 × −20𝑘 = −8 𝑖 + 6 𝑗 𝑁𝑚
𝑀𝑦 = 𝑀𝑜 ∙ 𝑢𝑎 = −8 𝑖 + 6 𝑗 ∙ 𝑗 = 6 𝑁𝑚
Análise Vetorial
𝑀𝑎 = 𝑢𝑎 ∙ 𝑟 × 𝐹
𝑀𝑎 = 𝑢𝑎𝑥 𝑖 + 𝑢𝑎𝑦 𝑗 + 𝑢𝑎𝑧𝑘 ∙
 𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
𝑀𝑎 = 𝑢𝑎 ∙ 𝑟 × 𝐹 =
𝑢𝑎𝑥 𝑢𝑎𝑦 𝑢𝑎𝑧
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
• Onde:
• uax, uay e uaz representam as componentes x, y e z do
vetor unitário definido na direção do eixo aa’;
• rx, ry e rz representam as componentes x, y e z do vetor
posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo
aa’ até qualquer ponto A sobre a linha de ação da força;
• Fx, Fy e Fz representam os componentes x, y e z do
vetor força.
Análise Vetorial
• Uma vez calculado Ma pode-se expressar Ma como um vetor
cartesiano:
𝑀𝑎 = 𝑀𝑎𝑢𝑎 = 𝑢𝑎 ∙ 𝑟 × 𝐹 𝑢𝑎
• Para uma série de forças, temos:
𝑀𝑎 = 𝑢𝑎 ∙ 𝑟 × 𝐹 = 𝑢𝑎 ∙ 𝑟 × 𝐹
Definição 
• Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma
intensidade, sentidos opostos e separadas por uma distância
perpendicular d.
𝑀 = 𝑟𝐵 × 𝐹 + 𝑟𝐴 × − 𝐹 = 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴 × 𝐹
𝑀𝑎𝑠, 𝑟𝐵 = 𝑟𝐴 + 𝑟 𝑜𝑢 𝑟 = 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒:
𝑀 = 𝑟 × 𝐹
Formulação Escalar
𝑀 = 𝐹𝑑
• onde F é a intensidade de uma das forças e d é a distância
perpendicular ou braço do momento entre as forças.
Formulação Vetorial
𝑀 = 𝑟 × 𝐹
Binários Equivalentes
• Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo
momento. (F = 30 N e F’ = 40 N)
Momento de Binário 
Resultante
• O momento de binário resultante é:
𝑀𝑅 = 𝑀1 +𝑀2
• Se mais de dois momentos de binário atuam no mesmo corpo,
tem-se:
𝑀𝑅 = 𝑟 × 𝐹
EXERCÍCIO – 16 
• Dois binários atuam na viga. Determine a intensidade de F, de
modo que o momento binário resultante seja 450 Nm no sentido
anti-horário.