Lista Cálculo 2 - Funções Vetoriais

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Unidade Acadêmica de Matemática - UAMat
Disciplina: Cálculo II
Professor: Jefferson Abrantes
Lista de Exercícios para a Terceira Avaliação
1. (Movimento no espaço ) ~r(t) é o vetor posiçâo de um partícula no
espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da
partícula. Em seguida, encontre o modulo da velocidade e a direção do
movimento da partícula no valor determinado de t. Escreva a veloci-
dade da partícula como o produto de sua velocidade e seu versor.
a) ~r (t) = (t+ 1)~i+
(
t2 + 1
)
~j + 2t~k, t = 1.
b) ~r (t) = (2 ln (t+ 1))~i+ t2~j +
t2
2
~k, t = 1.
c) ~r (t) =
(
e−t
)
~i+ (2 cos 3t)~j + (2 sin 3t)~k, t = 1.
2. (Tangente a curvas ) A reta tangente a uma cursa suave ~r (t) =
f (t)~i+g (t)~j+h, em (t)~k em t= t0 que passa pelo ponto (f (t0) , g (t0) , h (t0)),
paralela ao vetor velocidade da curva em t0. Encontre as equaçoões pa-
ramétricas para a reta que é tangente à curva no ponto indicado.
a) ~r (t) = (sin t)~i+
(
t2 − cos t)~j + et~k, t0 = 0.
b) ~r (t) = (ln (t))~i+
t− 1
t+ 2
~j + t ln t~k, t = 1.
c) ~r (t) = (cos t)~i+ (sin t)~j + (sin 2t)~k, t = 1.
3. (Movimento ao longo de uma parábola ) Uma partícula se move
ao longo do topo da parábola y2 = 2x da esquerda para a direita com
módulo de velocidade constante de 5 unidades por segundo. Encontre
a velocidade da partícula quando ela passa pelo ponto (2, 2).
4. (Integrando funções vetoriais )
a)
∫ 1
0
[(
t3
)
~i+ (7)~j + (t+ 1)~k
]
dt
b)
∫ −pi
4
pi
4
[
(sin t)~i+ (1 + cos t)~j + (sec t)2 ~k
]
dt
1
c)
∫ ln 3
1
[(
tet
)
~i+
(
et
)
~j + (ln t)~k
]
dt
5. (Movimento ao longo de uma reta ) No instante t = 0, uma partí-
cula está localizada no ponto (1, 2, 3). Ela se desloca em linha reta até
o ponto (4, 1, 4), tem módulo de velocidade 2 em (1, 2, 3) e aceleração
constante 3~i−~j +~k. Encontre uma equaç ão para o vetor posição ~r(t)
da partícula no instante t.
6. (Movimento de projétil ) Um projétil é disparado a uma velocidade
de 840 m/s com um ângulo de 60
o
. Quanto tempo ele irá levar para
atingir 21 km de distância do local de disparo?
Bons Estudos!
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