matematica financeira UNIDADE 3

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109
UNIDADE 3
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• compreender como funciona o regime de capitalização composta; 
• conseguir efetuar cálculos envolvendo juros compostos, prestações e 
amortização;
•	 dominar	boa	parte	das	funções	da	calculadora	financeira.	
Esta	unidade	está	dividida	em	três	tópicos.	Neles,	você	encontrará	exercícios	
para	fixação	dos	conceitos	adquiridos.
TÓPICO 1 – JUROS COMPOSTOS
TÓPICO	2	–	SÉRIES	DE	PAGAMENTOS	OU	PRESTAÇÕES
TÓPICO	3	–	SISTEMAS	DE	AMORTIZAÇÃO
Assista ao vídeo 
desta unidade.
110
111
TÓPICO 1
JUROS COMPOSTOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Você	já	estudou	o	regime	de	capitalização	simples,	no	qual		o	juro	produzido	
por	um	capital	é	sempre	o	mesmo,	qualquer	que	seja	o	período	de	 tempo,	pois	
ele	é	sempre	calculado	sempre	sobre	o	capital	inicial.	No	regime	de	Capitalização	
Simples,	os	Juros	não	geravam	novos	juros.
Agora você estudará o	Regime	de	Capitalização	Composta,	que	é	o	regime	
ou	sistema	mais	utilizado	atualmente.	Nesse	regime	o	juro,	a	partir	do	segundo	
período,	é	calculado	sobre	o	montante	do	período	anterior.	Diante	disso,	podemos	
dizer	que	neste	regime	os	juros	também	rendem	juros.
 
Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros, ou 
regime	de	juros	sobre	juros.	
Se	o	período	de	capitalização	for	mês,	dizemos	que	é	capitalização	mensal;	
se	o	período	de	capitalização	for	dia,	dizemos	que	a	capitalização	é	diária,	e	assim	
por	diante.		
Assim,	um	capital	de	R$	500,00	aplicado	à	taxa	de	3%	ao	mês	tem	a	seguinte	
evolução no regime de juros compostos:
Mês Juro Montante
0 - 500,00
1													500,00		.			0,03	.	1									515,00
2													515,00		.			0,03	.	1									530,45
3													530,45		.			0,03	.	1									546,36
Note a evolução do capital com os juros. Se fossem juros simples teríamos, no 
final do mês 3, um montante de R$ 545,00; em juros compostos o montante é R$ 546,36.
IMPORTANT
E
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
112
2 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV
Através da fórmula do montante calculamos o capital mais os juros 
acumulados	de	um	investimento	ou	empréstimo.	Se	quisermos	somente	os	juros,	
aplicamos	a	mesma	fórmula	que	segue	e,	no	final,	descontamos	o	capital	(PV).
Fórmula: 
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV = Montante ou Valor Futuro; 
PV = Capital ou Valor Presente; 
i	=	taxa;	
n	=	período(s)	de	capitalização(ões)	ou	tempo.			
O fator ( 1 + i )n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação 
de capital.
No regime de Juros Compostos o tempo deve ser lançado conforme a taxa, ou seja, se a taxa 
estiver em mês, o tempo deve ser colocado em meses também. Isso deve ser seguido, pois 
nesse sistema, como os juros rendem juros, ao lançar a taxa e o tempo em períodos diferentes, 
o resultado não sairá certo.
Exemplo 1:
Calcule	 o	 montante	 que	 será	 produzido	 se	 aplicarmos	 o	 capital	 de	 R$	
2.000,00	a	uma	 taxa	de	5%	ao	mês	em	 Juros	Compostos,	durante	o	 tempo	de	2	
meses.
Solução pela fórmula:
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	2.000	•	(1	+	0,05)2
FV	=	2.000	•	1,1025
FV	=	2.205,00
Note que como a taxa foi fornecida em meses e o tempo também, não houve 
necessidade de ajuste. Somente foi preciso dividir a taxa por 100 para tirar da forma percentual 
e colocar na fórmula como decimal.
DICAS
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
113
Solução	pela	fórmula	(função	algébrica)	na	calculadora	financeira	HP	12C:
5 ENTER
100 ÷
1 + 
2 yX
2.000 X
Primeiro deve-se dividir a taxa por 100. Depois é preciso somar 1 ao 0,05 para, 
posteriormente, elevar a 2 e, por fim, esse último resultado, multiplicar pelo capital para obter 
o montante, ou seja, o capital mais os juros.
2.1 SOLUÇÃO PELA HP 12C UTILIZANDO AS TECLAS 
FINANCEIRAS
Antes	de	efetuar	o	cálculo	na	sua	HP,	você	precisa	colocar	a	letra	C no visor 
da	 sua	 calculadora	financeira.	Essa	 letra	 aparecendo	no	visor	 fará	 com	que	 sua	
calculadora	“saiba”	que	todo	o	período	lançado	na	tecla	n será aplicado em juros 
compostos.
Para inserir a letra C no visor da calculadora, pressione a tecla STO e em 
seguida a tecla EEX .	Caso	 sua	 calculadora	não	 tenha	a	 letra	C no visor e você 
esteja	efetuando	um	cálculo	de	 juros	compostos	através	das	teclas	financeiras,	o	
resultado	diverge	do	correto	somente	nos	casos	em	que	o	tempo	está	“quebrado”,	
ou	seja,	com	várias	casas	decimais	após	a	vírgula.
Por	exemplo,	se	a	taxa	estivesse	em	meses,	teríamos	que	colocar	o	tempo	
em	meses	na	calculadora	para	resolvermos	corretamente	o	cálculo.	Supondo	que	o	
tempo	fosse	48	dias	e	quiséssemos	passar	esse	tempo	em	dias	para	mês,	teríamos	
que	dividir	48	dias	por	30	dias,	que	é	a	quantidade	de	dias	que	tem	um	mês,	o	que	
resultaria	em	1,6	meses.	
Se	fosse	lançado	1,6	na	tecla	n	da	calculadora,	sem	que	a	letra	C esteja no 
visor, a resposta não sai correta, pois a calculadora efetua o cálculo da seguinte 
forma: 
O	 valor	 que	 está	 anterior	 à	 vírgula,	 ou	 seja,	 o	 número	 1,	 a	 calculadora	
entende	 como	 juros	 compostos	 e	 o	 valor	 posterior	 à	 vírgula,	 o	 6,	 como	 juros	
simples,	gerando	um	resultado	divergente	do	correto.
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
114
Estando a calculadora com a letra C no	visor,	ela	interpreta	todo	o	período	
lançado	na	letra	n	como	juros	compostos.	Portanto,	deixe	sempre	a	letra	C	no	visor	
da	máquina	em	todos	os	cálculos.			
Outra informação importante para você:
No	 visor	 da	 calculadora	 também	 devem	 aparecer	 as	 letras	 D.MY,	 que	
significa	que	está	sendo	usado	o	calendário	brasileiro	no	cálculo	de	datas.	Assim,	
quando	 você	 efetuar	 algum	 cálculo	 envolvendo	 datas,	 a	 calculadora	 não	 gera	
mensagem	de	erro.	
Para inserir o D.MY	no	visor	da	máquina	pressione	a	tecla	g e em seguida 
a	tecla	do	número	4 .
Se precisar retirar o D.MY deve pressionar a tecla g , em seguida a tecla do 
número	5 . Ao comandar essas teclas, a calculadora retira o D.MY	do	visor	e	fica	
preparada para efetuar cálculos envolvendo datas pelo sistema americano, ou seja, 
mês/dia/ano.
Mas	você	pode	deixar	sempre	a	sua	calculadora	com	o	D.MY	no	visor	que	
não	atrapalha	em	nada;	aliás,	ela	fica	preparada	para	cálculos	com	datas	conforme	
o	nosso	calendário.
Na	HP	não	será	mais	utilizado	o	tempo	em	dia	e	a	taxa	em	ano,	como	na	
capitalização	simples.	Veja	a	seguir:
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
2000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
2 n  Tempo lançado em meses.
5 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 2.205,00, que é a resposta correta. 
Agora, nos juros compostos, o tempo deve ser lançado conforme o tempo 
da	taxa.
Fazendo o cálculo anterior pela parte financeira da calculadora não há necessidade 
de fazer a digitação fiel como apresentado. Como essas teclas financeiras são independentes, 
os dados podem ser digitados de maneira aleatória.
Como é demonstrado a seguir:
DICAS
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
115
 f CLX 
 5 i
 2 n 
2.000 CHS PV 
FV 
 
Exemplo 2:
Calcule	o	montante	que	será	gerado	se	aplicarmos	o	capital	de	R$	5.000,00	
a	uma	taxa	de	1,5%	ao	mês	em	juros	compostos,	durante	o	tempo	de	2	anos.	
Solução pela fórmula:
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	5.000	•	(1	+	0,015)24
FV	=	5.000	•	1,429502812
FV	=	7.147,51
Note que, como a taxa foi fornecida em meses e o tempo em anos, houve a 
necessidade de ajuste, em que foi modificado o tempo de 2 anos para 24 meses, ou seja, 2 
anos x 12 meses = 24 meses. Na fórmulatambém a taxa foi dividida por 100 para tirar da forma 
percentual e colocar de forma decimal.
Importante:
Solução	pela	fórmula	na	calculadora	financeira	HP	12C:
1,5 ENTER
100 ÷
1 + 
24 yX
5.000 X
Primeiro deve-se dividir a taxa por 100, depois é preciso somar 1 ao 0,015 para, 
posteriormente, elevar a 24 e, por fim, esse último resultado, multiplicar pelo capital para obter 
o montante, ou seja, o capital mais os juros.
IMPORTANT
E
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
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Solução	pela	HP	12C	utilizando	as	teclas	financeiras:
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
5.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
24 n  Tempo lançado em meses.
1,5 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 7.147,51, que é a resposta correta. 
 
Agora,	nos	juros	compostos	o	tempo	deve	ser	lançado	conforme	o	período	
de	tempo	da	taxa.
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez,	exercite	um	pouco!!!
1	Uma	pessoa	investe	o	capital	de	R$	5.000,00	a	uma	taxa	de	juros	compostos	de	
3%	ao	mês,	pelo	prazo	de	10	meses.	Calcule		o	montante	resgatado	ao	final	
dos	10	meses.
2	Calcule	o	montante	gerado	se	pegarmos	o	capital	de	R$	20.000,00	e	aplicarmos	
à		taxa	de	juros	compostos	de	3,5%	ao	mês,	durante	35	meses.
3	 Qual	 é	 o	 montante	 resultante	 de	 uma	 aplicação	 de	 R$	 50.000,00	 a	 juros	
compostos,	pelo	prazo	de	2	anos	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês?
4	Um	capital	de	R$	8.000,00	foi	aplicado	a	juros	compostos	durante	um	ano	e	
meio	a	uma		taxa	de	2,5%	ao	mês.	Calcule	o	montante	resgatado	no	período.		
 
5	Calcule	o	montante	resgatado	se	aplicarmos	o	capital	de	R$	8.200,00	por	um	
período	de	60	dias	a	uma	taxa	de	juros	compostos	de	1,5%	ao	mês.
6	Calcule	o	montante	produzido	pela	aplicação	de	um	capital	de	R$	75.000,00	
aplicado	a	uma	taxa	de	2,75%	ao	mês	em	juros	compostos,	por	48	dias.
 
7	Qual	é	o	montante	produzido	pela	aplicação	de	R$	12.000,00	após	um	período	
de	aplicação	de	4	anos	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês	em	juros	compostos?	
8	 	 Um	 capital	 de	 R$	 89.300,00	 foi	 aplicado	 em	 01/03/2011	 até	 29/09/2011	 a	
uma	taxa	de	1,34%	ao	mês.	Sabendo	essas	informações,	calcule	o	montante	
resgatado.
9	Uma	aplicação	de	R$	100.000,00	 foi	efetuada	de	05/03/2011até	30/10/2011	a	
uma	 taxa	de	 1,12%	ao	mês	no	 regime	de	 juros	 compostos.	 Sabendo	 essas	
informações,	calcule	o	valor	resgatado	no	final	do	período.
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
117
Agora que você já exercitou o valor futuro, vamos estudar o capital. Mas caso 
você já esteja estudando há mais de uma hora, dê uma paradinha, descanse e volte depois, 
mais tranquilo.
3 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU CAPITAL  PV
O cálculo para descobrir o valor do capital ou valor presente é efetuado 
quando	o	objetivo	é	descobrir	o	valor	inicial	que	foi	aplicado,	ou	seja,	o	exercício	
informa	o	valor	do	montante	(valor	futuro),	a	taxa	e	o	tempo	decorrido	e	é	preciso	
descontar	os	juros	do	período	para	encontrar	o	valor	inicial.
 
Fórmula para encontrar o valor do capital: 
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
Perceba que a fórmula é a mesma utilizada para calcular o montante.
Exemplo 1: 
Calcule	o	capital	inicial	que,	aplicado	durante	05	meses	e	a	uma	taxa	de	3%	
ao	mês	em	juros	compostos,	produz	o	montante	de	R$	4.058,00.	
Solução pela fórmula:
DICAS
UNI
( )
( )
n
5
FV PV 1 i
4.058 PV 1 0,03
4.058 PV 1,159274074
4.058PV 3.500,47
1,159274074
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
= =
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
118
Solução	pela	HP	12C	através	da	função	financeira			
F CLX  Comando de limpeza de memórias 
4058 CHS FV  Montante sendo lançado no FV com sinal negativo (CHS) 
5 n  Número de meses lançado no N
3 i  Taxa mensal lançada no I
PV Visor  3.500,47
Agora	o	valor	informado	é	o	FV	e,	por	último,	buscamos	o	PV,	que	é	o	capital.
Para elevar um número a um expoente positivo na HP fazemos assim:
Exemplo: (1,03)5  1,03 enter 5 Yx  1,159274074
Exemplo 2: 
Calcule	o	capital	que,	aplicado	durante	2	anos	a	uma	taxa	de	1,12%	ao	mês	
em	juros	compostos,	produz	o	montante	de	R$	200.000,00.
Solução pela fórmula:
Note que, como a taxa foi informada de forma mensal, o tempo foi alterado para 
meses também e, portanto, 2 anos são 24 meses.
F CLX  Comando de limpeza de memórias 
200.000 CHS FV  Montante sendo lançado no FV com sinal negativo (CHS)
24 n  Número de meses lançado no N
1,12 i  Taxa mensal lançada no I
PV Visor  153.087,78
IMPORTANT
E
UNI
Solução	pela	HP	12C	através	da	função	financeira
( )
( )
n
24
FV PV 1 i
200.000 PV 1 0,0112
200.000 PV 1,306439981
200.000PV 153.087,78
1,306439981
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅
= =
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
119
AUTOATIVIDADE
Exercite	um	pouco	o	que	aprendeu...
1	Sabendo	que	um	capital	aplicado	à	 taxa	de	2,2%	ao	mês,	durante	4	meses,	
rendeu	 um	montante	 de	 R$	 79.000,00,	 calcule	 qual	 foi	 o	 valor	 do	 capital	
aplicado	no	regime	de	juros	compostos.
2		Determine	qual	capital	que,	aplicado	a	juros	compostos	à	taxa	de	3,5%	ao	mês	
durante	o	tempo	de	2	anos	e	3	meses,	rendeu	um	montante	de	R$	19.752,00.
3		Calcule	qual	capital	será	necessário	para	formar	um	montante	de	R$	50.000,00	
daqui	a	24	meses,	sabendo	que	a	taxa	de	aplicação	é	de	4%	ao	bimestre	em	
juros	compostos.	
4		João	aplicou	um	capital	em	um	banco	que	remunera	a	aplicação	a	uma	taxa	
de	1,25%	ao	mês	em	juros	compostos.	Após	13	meses,	formava	um	montante	
de	R$	63.000,00.	Sabendo	esses	dados,	calcule	o	valor	aplicado	inicialmente.
5		Sabendo	que	uma	aplicação	foi	efetuada	em	01/03/2010	e	que	em	15/11/2010	
foi	resgatado	o	montante	de	R$	45.280,36,	calcule	o	capital	aplicado.	Sabe-se	
que	a	taxa	mensal	de	aplicação	foi	de	1,28%	ao	mês,	em	juros	compostos.
6	Um	cliente	do	Banco	Fomento	efetuou	uma	aplicação	e,	passados	2	anos	e	
5	meses,	 retirou	o	montante	de	R$	 50.000,00.	Calcule	 o	valor	 inicialmente	
aplicado,	sabendo	que	a	taxa	mensal	dessa	aplicação	foi	de	1,48%	ao	mês,	em	
juros	compostos.
7		Calcule	 o	 capital	 que	 produz	 um	 montante	 de	 R$	 6.300,00	 se	 a	 taxa	 de	
aplicação	for	de	1,28%	ao	bimestre	e	o	tempo	de	aplicação	12	meses.	
8		Simão	 aplicou	 uma	 determinada	 quantia	 em	 um	 banco	 que	 remunera	
a	aplicação	a	uma	 taxa	de	1,03%	ao	mês	em	 juros	 compostos.	Após	3	anos	
formava	um	montante	de	R$	201.201,00.	Calcule	o	valor	aplicado	inicialmente.
9		Uma	aplicação	foi	efetuada	em	uma	determinada	data	e,	passados	5	anos,	foi	
retirado	o	montante	de	R$	30.000,00.	Calcule	o	capital	aplicado,	sabendo	que	
a	taxa	mensal	de	aplicação	foi	de	0,68%	ao	mês,	em	juros	compostos.
10	O	 	Banco	Fomento	 informa	que	está	pagando	uma	 taxa	de	1,07%	ao	mês	
em	 suas	 aplicações.	 Supondo	 que	 você	 aplique	 o	 valor	 de	 R$	 100.000,00	
nesse	banco	por	um	período	de	2,5	anos,	que	montante	vai	retirar	ao	final	do	
período	de	aplicação?
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
120
Agora que você terminou os exercícios de montante, aprenderá como calcular a 
taxa. Vamos lá, então!!!
4 CÁLCULO DA TAXA  I
Utiliza-se	o	cálculo	da	taxa	para	saber	qual	é	a	taxa	que	está	sendo	paga	em	
uma	aplicação	financeira	ou	a	taxa	que	está	sendo	cobrada	em	um	empréstimo,	
por	exemplo.
Agora,	nos	exercícios	 será	o	valor	do	capital,	o	valor	 futuro,	o	 tempo.	E	
você	ainda	vai	calcular	a	taxa	do	período.	
Fórmula	para	o	cálculo	da	taxa:
Ajuste sempre o tempo em função dataxa. Se a taxa for pedida em mês, ajuste 
o tempo para mês; se pedir a taxa em ano, passe o tempo para ano, e assim sucessivamente.
Exemplo 1:
O	capital	de	R$	1.000,00	produziu	um	montante	de	R$	1.331,00	durante	3	
meses.	Calcule	a	taxa	de	aplicação	mensal	em	juros	compostos.
UNI
ATENCAO
( ){ }
{ }
1
N
1
3
0,333333333
FVi 1 100
PV
1.331i 1 100
1.000
i 1,331 1 100
i 1,10 1 100
i 0,10 100
i 10% ao mês
 
  = − ⋅  
   
 
  = − ⋅  
   
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
=
1
NFVi 1 100
PV
 
  = − ⋅  
   
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
121
4 CÁLCULO DA TAXA  I
Note que o resultado 0,10 foi multiplicado por 100 para transformar a taxa em 
percentual. Portanto, sempre multiplique o resultado encontrado por 100 quando estiver 
calculando a taxa.
Outra coisa: se o exercício pedir a taxa em mês, deve colocar o tempo mês no exercício.
Solução	utilizando	a	calculadora	HP	12C	através	das	teclas	financeiras:
 
F CLX  Comando para limpar as memórias
1331 FV  Valor do montante lançado no FV
1000 CHS PV  Valor do capital lançado no PV com sinal negativo
3 n  Tempo lançado no N
i  Visor 10, ou seja, 10% ao mês 
 
E	para	resolver	na	HP	pela	fórmula	deve-se	comandar	assim:
1.331 ENTER
1.000 ÷
3 1/X YX
1 –
100 X
Primeiro divide-se o valor do FV pelo valor do PV e, em seguida, digita-se o valor 
do expoente (3). Ao pressionar a tecla 1/x a calculadora faz o seguinte cálculo: divide 1 pelo 
valor que foi digitado anteriormente, ou seja, o número 3. Seguindo o cálculo, é digitada a tecla 
de expoente Yx . Em seguida é diminuído o número 1 do resultado encontrado e multiplicado, 
o resultado, por 100.
Exemplo 2:
O	capital	de	R$	5.000,00	produziu	um	montante	de	R$	6.400,00	durante	2	
anos.	Calcule	a	taxa	de	aplicação	anual	em	juros	compostos.
UNI
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
122
Solução	utilizando	a	calculadora	HP	12C	através	das	teclas	financeiras:
 
F CLX  Comando para limpar as memórias
6.400 CHS FV  Valor do montante lançado no FV
5.000 PV  Valor do capital lançado no PV com sinal negativo
2 n  Tempo em ano lançado no N
i  Visor 13,14 
Como o exercício pedia a taxa em ano, o tempo foi inserido em ano para chegar 
ao resultado anual.
AUTOATIVIDADE
Agora	é	sua	vez!!!	Exercite	um	pouco.
1	 Uma	pessoa	recebe	uma	proposta	de	investir	hoje	a	quantia	de	R$	12.000,00	
para	receber	o	montante	de	R$	16.127,00	daqui	a	10	meses.	Calcule	a	 taxa	
mensal	desse	investimento	no	regime	de	juros	compostos.
2		Um	capital	de	R$	20.000,00	foi	aplicado	a	juros	compostos	durante	7	meses	e	
rendeu	o	montante	de	R$	23.774,00.	Determine	a	taxa	mensal	dessa	aplicação	
no	regime	de	juros	compostos.
3		O	capital	de	R$	12.000,00	foi	aplicado	durante	8	meses	e	elevou-se	no	final	desse	
prazo	ao	montante	de	R$	15.559,00.	Calcule	a	taxa	de	juros	mensal	dessa	aplicação.
IMPORTANT
E
( ){ }
{ }
1
N
1
2
0,5
FVi 1 100
PV
6.400i 1 100
5.000
i 1,28 1 100
i 1,131370850 1 100
i 0,131370850 100
i 13,13708499 % ao ano
arredondado = 13,14% ao ano
 
  = − ⋅  
   
 
  = − ⋅  
   
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
123
4		Um	cliente	aplicou	o	valor	de	R$	40.000,00	em	uma	aplicação	bancária	e	após	
2,5	anos	recebeu	o	montante	de	R$	55.222,44.	Calcule	a	taxa	mensal	dessa	
aplicação	em	juros	compostos.	
5	Um	capital	de	R$	22.250,00	ficou	aplicado	durante	180	dias.	Sabe-se	que	o	
montante	resgatado	foi	R$	25.250,00.	Calcule	a	taxa	mensal	de	aplicação	em	
juros	compostos.
6		Sabendo	 que	 uma	 aplicação	 de	 R$	 18.000,00	 gerou	 um	 montante	 de	 R$	
21.835,58	durante	6	bimestres,	calcule	a	taxa	mensal	dessa	aplicação.
7	Calcule	a	taxa	mensal	que	faz	com	que	um	capital	de	R$	4.300,00	gere	um	
montante	de	5.800,00	durante	6	trimestres.		
8	O	capital	de	R$	200.000,00	foi	aplicado	durante	3	anos.	Sabe-se	que	o	montante	
resgatado	 foi	 R$	 222.500,00.	 Calcule	 a	 taxa	 mensal	 de	 aplicação	 em	 juros	
compostos.
9		Sabendo	 que	 uma	 aplicação	 de	 R$	 40.000,00	 gerou	 um	 montante	 de	 R$	
60.000,00	durante	8	trimestres,	calcule	a	taxa	mensal	dessa	aplicação.
10	Calcule	a	taxa	anual	que	faz	com	que	um	capital	de	R$	90.000,00	gere	um	
montante	de	99.800,00	durante	36	meses.
Que bom que você fez os exercícios! Assim você está mais preparado para seguir 
em frente... Vamos lá!!!
O	cálculo	do	tempo	é	utilizado	para	calcular	a	quantidade	de	dias,	meses,	
bimestres,	trimestres,	semestres	ou	anos,	por	exemplo,	em	que	um	determinado	
capital	deverá	ficar	aplicado	ou	emprestado	para	gerar	um	determinado	montante,	
e	a	uma	taxa	também	determinada.
Agora	você	calculará	o	tempo	e,	para	isso,	fará	uso	dos	logaritmos	quando	
utilizar	as	fórmulas.
	Você	utilizará	o	Logaritmo	Natural	(LN)	para	poder	resolver	os	exercícios.
	Na	calculadora	científica	o	LN	fica	ao	lado	da	tecla	LOG.
5 CÁLCULO DO TEMPO  N
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
124
 Na HP 12C a função utilizada para cálculo dos logaritmos (LN) está 
localizada na tecla %T e a função LN é utilizada pressionando antes da tecla 
%T a tecla g .
Fórmula para o cálculo do tempo:
Exemplo 1:
Calcule	 em	 quantos	 meses	 uma	 aplicação	 de	 R$	 1.000,00	 produz	 um	
montante	de	R$	3.000,00	se	a	taxa	de	juros	for	4,8%	ao	mês,	em	juros	compostos.
Utilizando	a	calculadora	financeira	HP	12C	através	das	teclas	financeiras:
F CLX  Comando para limpar as memórias
3.000 FV  Valor do Montante lançado no FV
1000 CHS PV  Valor do Capital lançado no PV com sinal negativo
4,8 i  Taxa lançada no i 
n  Visor 24, ou seja, 24 meses
( )
FVIn
PVn
In 1 i
   
      =   +     
( )
( )
( )
( )
FVIn
PVn
In 1 i
3.000In
1.000n
In 1 0,048
In 3
n
In 1,048
1,0986122289n
0,046883586
n 23,43 meses
   
      =   +     
   
      =   +     
   =       
  
=   
  
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
125
A HP 12C sempre arredonda a resposta para o próximo período inteiro. Para ela 
não existe tempo “quebrado” ou meses quebrados. No exemplo, a resposta pela fórmula é 23,43 
meses, mas para a calculadora será 24 meses.
Solução	utilizando	a	HP12c	pela	fórmula:
3000 ENTER
1000 ÷
g Ln
enter
1,048 g Ln 
÷
Primeiro é dividido o Montante pelo Capital e diante desse resultado já aplicamos 
o Logaritmo Natural; digita-se após 1,048 e as teclas g Ln para descobrir o segundo logaritmo 
e pressionamos a tecla dividido, onde a máquina divide os dois valores, mostrando a resposta 
final, ou seja, o tempo.
Exemplo 2:
Calcule	em	quantos	dias	um	capital	de	R$	20.000,00	produz	um	montante	
de	R$	24.500,00	se	a	taxa	de	juros	for	1,02%	ao	mês	em	juros	compostos.
Solução pela fórmula:
IMPORTANT
E
DICAS
( )
( )
FVIn
PVn
In 1 i
24.000In
20.000n
In 1 0,0102
   
      =   +     
   
      =   +     
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
126
Porém,	como	o	exercício	pede	a	resposta	em	dias,	é	preciso	multiplicar	o	
resultado	encontrado	por	30	para	achar	o	total	de	dias.
Logo 20 x 30 = 600 dias
Solução	pela	calculadora	financeira	HP	12C	através	das	teclas	financeiras:
F CLX  Comando para limpar as memórias
20.000 CHS PV  Valor do Capital lançado no PV com sinal negativo
24.500 FV  Montante lançado no FV
1,02 i  Taxa lançada no i em meses
n  Visor 20, ou seja, 20 meses
30 X Visor  600, ou seja, multiplicando 20 por 30 dias para 
 achar o tempo em dias. 
A taxa deve ser inserida da maneira como é informada no exercício, assimo 
tempo vai sair no mesmo período da taxa e, se preciso for, no final é feito o ajuste do tempo.
AUTOATIVIDADE
1	Um	capital	de	R$	 40.000,00	 foi	 aplicado	a	 2%	ao	mês	 em	 juros	 compostos	
e	produziu	um	montante	de	R$	58.396,40.	Calcule	por	quantos	meses	esse	
capital	ficou	aplicado.	
2	Uma	pessoa	aplicou	o	capital	de	R$	500.000,00	e	após	algum	tempo	recebeu	
o	montante	de	R$	606.627,10.	Sabendo	que	a	taxa	foi	2,2%	ao	mês	em	juros	
compostos,	calcule	por	quantos	meses	o	capital	ficou	aplicado.
3	Por	quantos	meses	ficou	aplicado	um	capital	de	R$	1.200,00	para	formar	um	
montante	de	R$	3.200,00	se	aplicado	a	uma	taxa	de	1,59%	ao	mês	em	juros	
compostos?
DICAS
( )
( )
In 1,225
n
In 1,0102
0,202940844n
0,010148331
n 20 meses
   =       
  
=   
  
=
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
127
4	 Um	 capital	 de	 R$	 450,00	 foi	 aplicado	 à	 taxa	 de	 1,52%	 ao	 mês	 em	 juros	
compostos	e	rendeu	um	montante	de	1.282,01.	Calcule	por	quantos	meses	
este	capital	ficou	aplicado.
5		Um	capital	de	R$	6.535,00	foi	aplicado	a	uma	taxa	de	juros	de	1,28%	ao	mês	
em	 juros	compostos,	em	que	gerou	um	montante	de	R$	8.325,45.	Sabendo	
essas	informações,	calcule	por	quantos	meses	esse	capital	ficou	aplicado.
6		Carlos	vendeu	seu	veículo	por	R$	45.000,00	e	aplicou	o	dinheiro	em	um	banco,	
recebendo	 uma	 taxa	 mensal	 de	 1,38%	 ao	 mês	 por	 determinado	 período.	
Sabendo	ainda	que	após	esse	período	resgatou	o	montante	de	R$	56.435,00,	
calcule	por	quantos	meses	ficou	aplicado	esse	recurso.
7		Um	capital	de	R$	100.000,00	foi	aplicado	a	uma	taxa	de	1,12%	ao	mês	em	juros	
compostos	 e	 rendeu	 um	montante	 de	 R$	 112.300,00.	 Calcule	 por	 quantos	
meses	este	capital	ficou	aplicado.
8	Um	capital	de	R$	1.035,00	foi	aplicado	a	uma	taxa	de	juros	de	0,88%	ao	mês	
em	juros	compostos,	onde	gerou	um	montante	de	R$	1.120,00.	Sabendo	essas	
informações,	calcule	por	quantos	dias	esse	capital	ficou	aplicado.
9	Saul	vendeu	sua	casa	por	R$	154.000,00	e	aplicou	o	dinheiro	em	um	banco,	
recebendo	uma	taxa	mensal	de	0,67%	ao	mês.	Sabendo	ainda	que	após	esse	
período	Saul	resgatou	o	montante	de	R$	165.340,00,	calcule	por	quantos	dias	
ficou	aplicado	esse	recurso.
Já que você terminou de resolver mais estes exercícios, descanse um pouco e volte 
a estudar mais tarde! Quando você voltar, vamos dar sequência à matéria e estudar as taxas.
Bom,	até	agora	você	aprendeu	como	calcular	o	FV	depois	o	PV,	em	seguida	
a	taxa	e	por	fim	o	tempo.	Mas	sempre	você	calculava	com	a	taxa	informada,	sem	
alterá-la,	e	mexia	no	tempo	quando	era	preciso.	Agora	você	aprenderá	a	alterar	o	
período	de	tempo	das	taxas,	ou	seja,	passá-las	de	mês	para	dia,	de	mês	para	ano	e	
outros	tempos	mais.
É	importante	salientar	que,	em	juros	compostos,	não	é	correto	ajustar	a	taxa	
por	proporcionalidade,	ou	seja,	passar	um	taxa	de	12%	ao	ano	para	uma	taxa	de	1%	
ao	mês.	Logo	mais	você	aprenderá	a	mudar	uma	taxa	de	um	período	para	outro.	
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
128
6 ESTUDO DAS TAXAS
6.1 TAXA NOMINAL
Até	 agora,	 você	 vinha	 ajustando	 o	 tempo	 em	 função	 da	 taxa.	 E	 ainda	
trabalhava	 na	 maioria	 dos	 exemplos	 e	 exercícios	 com	 a	 taxa	 sendo	 fornecida	
em	mês.	Agora	você	vai	aprender	outros	tipos	de	taxas	e	a	fazer	mudanças	nos	
períodos	de	tempo	da	taxa.		
É	uma	taxa	apresentada	em	tempo	diferente	do	período	de	capitalização,	
servindo	apenas	para	saber,	através	da	proporcionalidade	de	taxas,	qual	é	a	taxa	
aplicada	ao	capital	no	período	de	capitalização.
A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.
Exemplo: 
Juros de 48% ao ano, capitalizados semestralmente.
Juros de 36% ao ano, capitalizados mensalmente.
6.2 TAXA PROPORCIONAL
A	proporcionalidade	das	taxas	é	realizada	como	se	estivéssemos	tratando	
de	juros	simples.
De	posse	da	taxa	nominal,	podemos	calcular	a	taxa	proporcional.	
De	posse	da	 taxa	nominal,	 é	dividida	pelo	número	de	 capitalizações	do	
período.	
Exemplo 1:
Se	tivermos	uma	taxa	nominal	de	24%	ao	ano,	capitalizada	trimestralmente:
Solução:
Um	ano	tem	4	trimestres,	então	dividimos	a	taxa	anual	por	4	e		temos	a	taxa	
trimestral	proporcional,	que	é		6%	ao	trimestre.
Exemplo 2:
Se	tivermos	uma	taxa	nominal	de	36%	ao	ano,	capitalizada	bimestralmente:	
Solução:
Um	 ano	 tem	 6	 bimestres.	 Dividimos	 a	 taxa	 anual	 por	 6	 e	 temos	 a	 taxa	
bimestral	proporcional,	que	é		6%	ao	bimestre.
Exemplo 3:
Se	tivermos	uma	taxa	nominal	de	30%	ao	ano,	capitalizada	mensalmente:	
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
129
6 ESTUDO DAS TAXAS
6.1 TAXA NOMINAL
6.2 TAXA PROPORCIONAL
Solução:
Um	ano	tem	12	meses,	então	dividimos	a	taxa	anual	por	12	e	temos	a	taxa	
mensal		proporcional,	que	é		2,5%	ao	mês.
Exemplo 4:
Se	tivermos	uma	taxa	nominal	de	25%	ao	ano,		capitalizada	mensalmente:	
Solução:
Um	ano	tem	12	meses,	então	dividimos	a	taxa	anual	por	12	e		temos	a	taxa	
mensal		proporcional,	que	é		2,083333333%	ao	mês.
Agora você aprenderá como resolver um exercício completo envolvendo 
taxa proporcional. Veja o exemplo a seguir:
 
Exemplo 1:
Calcule	o	montante	que	será	gerado	se	aplicarmos	um	capital	de	R$	5.000,00	
por	2	anos,	com	uma		taxa	de	juros	de	24%	ao	ano,	capitalizados	trimestralmente,	
em	juros	compostos.
Solução pela fórmula:
PV	=	5.000
i	=	24%	ao	ano,	capitalizado	trimestralmente	
n = 2 anos
FV=	?				
O	primeiro	passo	 é	 ajustar	 a	 taxa,	 ou	 seja,	 o	 exercício	 fornece	uma	 taxa	
nominal.	É	preciso	achar	a	taxa	proporcional	em	trimestre.	
Um	ano	tem	4	trimestres.	Se	dividir	a	taxa	anual	de	24%	por	4	trimestres	
você	encontrará	a	taxa	trimestral	proporcional:
	24	÷	4	=	6%	ao	trimestre
Depois	que	foi	encontrada	a	taxa	proporcional,	é	preciso	ajustar	o	tempo	
para	trimestres	também.	
Então,	em	um	período	de	2	anos	existem	quantos	trimestres?
Se	 em	um	ano	 existem	 4	 trimestres,	 logo,	 em	 2	 anos	 serão	 8	 trimestres,	
certo?
 
Então	os	dados	ficaram	assim:
Capital 	5.000,00
Tempo	8	trimestres
Taxa			6%	ao	trimestre
Montante	?
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
130
Agora	é	possível	aplicar	na	fórmula	e	descobrir	o	valor	do	montante.
Solução pela fórmula:
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	5.000	•	(1	+	0,06)8
FV	=	5.000	•	1,593848075
FV	=	7.969,24
Solução pela HP 12C, utilizando as teclas financeiras:
Exemplo 2:
Calcule	o	montante	que	será	gerado	se	aplicamos	um	capital	de	R$	25.000,00	
por	 3	 anos,	 com	 uma	 	 taxa	 de	 juros	 compostos	 de	 24	%	 ao	 ano,	 capitalizados	
mensalmente.			
Solução pela fórmula:
PV	=	25.000
i	=	24%	ao	ano,	capitalizado	bimestralmente	
n = 3 anos
FV=?				
O	primeiro	passo	 é	 ajustar	 a	 taxa,	 ou	 seja,	 o	 exercício	 fornece	uma	 taxa	
nominal	e	é	preciso	achar	a	taxa	proporcional	ao	mês.									
 
Um	ano	tem	12	meses,	então,	se	dividir	a	taxa	anual	de	24%	por	12	meses,	
você	encontrará	a	taxa	mensal	proporcional;
	24	÷	12	=	2%	ao	mês
Depois	que	foi	encontrada	a	taxa	proporcional,	é	preciso	ajustar	o	tempo	
para	mês	também.
Então,	em	um	período	de	3	anos	existem	quantos	meses?
Se	em	um	ano	existem	12	meses,	logo,	em	3	anos	serão	36	meses,	certo?
 
Então	os	dados	ficaram	assim:
Capital 	25.000,00
Tempo	36	meses
Taxa			2%	ao	mês
f CLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
5.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
8 n  Tempo lançado em trimestres.
6 i  Taxa lançada de forma trimestral.
FV  No visor aparecerá 7.969,24, que é a resposta correta
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
131
Montante	?
Agora	é	possível	aplicar	na	fórmula	e	descobrir	o	valor	do	montante.	
Solução pela fórmula:
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	25.000	•	(1	+	0,02)36	
FV	=	25.000	•	2,039887344
FV	=	50.997,18		
Solução pela HP 12C utilizando as teclas financeiras:
fCLX  Comando para limpar as memórias e registradores. 
25.000 CHS PV  Capital inserido com o CHS que deixa ele negativo.
36 n  Tempo lançado em meses.
2 i  Taxa lançada de forma mensal.
FV  No visor aparecerá 50.997,18 que é a resposta correta. 
Agora	você	exercitará	um	pouco	esse	conhecimento.
AUTOATIVIDADE
1	Um	banco	emprestou	o	valor	de	R$	35.000,00	para	o	cliente	devolver	em	uma	
única	 parcela	 em	dois	 anos.	 Sabendo	 que	 o	 banco	 cobra	 taxa	 nominal	 de	
36%	ao	ano,	com	capitalização	trimestral	em	juros	compostos,	calcule	qual	o	
montante	a	ser	devolvido	pelo	cliente	ao	final	dos	dois	anos.
2	O	 valor	 de	R$	 10.000,00	 foi	 aplicado	 a	 uma	 taxa	 nominal	 de	 30%	 ao	 ano,	
com	capitalização	mensal,	durante	um	ano.	Sabendo	esses	dados,	calcule	o	
montante	resgatado	em	juros	compostos.
3	O	capital	de	R$	18.000,00	foi	aplicado	durante	2	anos		à		taxa	nominal	de	20%	
ao	ano,	com	capitalização	bimestral	em	juros	compostos.	Calcule	o	montante	
gerado.
4	Um	 banco	 faz	 empréstimos	 à	 taxa	 nominal	 de	 5%	 ao	 ano,	mas	 adotando	
capitalização	 semestral,	 em	 juros	 compostos.	 Sabendo	 essas	 informações,	
calcule	qual	será	o	montante	pago	por	um	empréstimo	de	R$	10.000,00	a	ser	
devolvido	em	36	meses.
5	Um	capital	de	R$	1.000,00	foi	emprestado	por	3	anos	a	uma	taxa	nominal	de	
10%	ao	ano,	com	capitalização	semestral.	Calcule	o	montante	da	operação	ao	
final	do	período.
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
132
6	O	valor	de	R$	100.000,00	 foi	 aplicado	a	uma	 taxa	nominal	de	40%	ao	ano,	
com	capitalização	mensal,	durante	um	ano.	Sabendo	esses	dados,	calcule	o	
montante	resgatado	em	juros	compostos.
7	O	capital	de	R$	180.000,00	foi	aplicado	durante	5	anos	à	taxa	nominal	de	12%	
ao	ano,	com	capitalização	bimestral	em	juros	compostos.	Calcule	o	montante	
gerado.
Foi difícil? Acho que não, certo? Só precisa bastante atenção nos ajustes da taxa 
e do tempo.
As taxas nominais e proporcionais que você estava estudando são pouco utilizadas atualmente. 
Normalmente as taxas já são fornecidas em meses. Mas é importante esse conhecimento. 
A seguir você aprenderá a mudar as taxas de período através da capitalização e descapitalização 
de taxas.
6.3 TAXAS EQUIVALENTES
Taxas	equivalentes	são	aquelas	que,	referindo-se	a	períodos	de	tempo	de	
capitalização	 diferentes,	 fazem	 com	 que	 um	mesmo	 capital	 produza	 o	mesmo	
montante	durante	o	mesmo	tempo.	
No	mercado	financeiro	é	comum	a	aplicação	das	taxas	equivalentes	para	
comparar	diferentes	opções	de	 investimentos.	Existem	 taxas	que	 são	 fornecidas	
anuais	 e	 precisamos	 passá-las	 para	 meses	 para	 comparar	 com	 outras	 opções.	
É	 o	 caso	 de	 algumas	 aplicações	 financeiras	 em	 CDB	 (Certificado	 de	 Depósito	
Bancário),	 por	 exemplo,	 em	que	 sua	 taxa	 é	 fornecida	de	 forma	 anual.	 Também	
existem	algumas	aplicações	cuja	rentabilidade	está	lastreada	por	CDI	(Certificado	
de	Depósito	Interbancário),	em	que	também	é	preciso	passar	a	taxa	para	mês	para	
ver essa rentabilidade e comparar com a rentabilidade de uma poupança, por 
exemplo,	para	ver	o	que	está	rendendo	mais	em	determinado	momento.	
Para	 o	 cálculo	 das	 taxas	 equivalentes	 são	 utilizadas	 as	 fórmulas	 da		
capitalização e também da descapitalização.
Mas,	o	que	é	uma	capitalização	de	taxa	e	uma	descapitalização	de	taxa?
Bom,	a	capitalização de	uma	taxa	é	o	procedimento	utilizado	para	encontrar	
uma	taxa	equivalente	referente	a	um	período	maior	em	relação	à	taxa	que	temos.
Por	exemplo:
Sabendo que a taxa mensal é 0,6%, calcule a taxa equivalente ao ano. 
UNI
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
133
Note	 que	 no	 exemplo	 foi	 informada	 uma	 taxa	 de	 0,6%	 ao	 mês	 e	 está	
solicitando	a	 taxa	equivalente	em	ano,	ou	 seja,	 em	um	período	maior	do	que	o	
que	foi	informado	(mês).	Para	solucionar	esse	exercício	é	utilizado	o	processo	de	
capitalização	de	taxa.
Se	 fosse	em	 juros	 simples,	 seria	 somente	multiplicar	0,6%	por	12	e	 seria	
encontrada	a	taxa	em	ano.
Mas	em	juros	compostos	não	pode	ser	feito	assim.
Já a descapitalização	 de	 uma	 taxa	 é	 o	 procedimento	 contrário	 ao	 da	
capitalização,	ou	seja,	é	 informada	uma	taxa	em	um	período	e	o	que	se	busca	é	
uma	taxa	equivalente	em	um	período	menor.
Por	exemplo:
Sabendo que a taxa anual é 7,44% ao ano, calcular a taxa equivalente ao 
mês. 
Note	que	no	exemplo	acima	foi	informada	uma	taxa	de	7,44%	ao	ano	e	está	
solicitando	a	taxa	equivalente	em	mês,	ou	seja,	em	um	período	menor	do	que	o	
que	foi	informado	(ano).	Para	solucionar	esse	exercício	é	utilizado	o	processo	de	
descapitalização	de	taxa.
Se	 fosse	 em	 juros	 simples,	 seria	 somente	 dividir	 	 7,44%	 por	 12	 e	 seria	
encontrada	a	taxa	em	mês.
Mas	em	juros	compostos	não	pode	ser	feito	assim.
Acredito	que	esse	negócio	de	capitalização	e	descapitalização	ainda	deve	
estar	um	pouco	confuso,	certo?
Então	vamos	trabalhar	isso	melhor	e	separadamente.
Primeiro	 você	 vai	 exercitar	 a	 capitalização	 e	 depois	 a	 descapitalização.	
Vamos	lá!!!
6.3.1 Capitalização 
O	processo	de	 capitalização	de	uma	 taxa	 é	utilizado	quando	possuímos	
uma	taxa	referente	a	um	período	de	tempo	menor	e	o	objetivo	é	achar	uma		taxa	
equivalente	referente	a	um	período	maior	do	que	a	que	foi	informada.
Fórmula da Capitalização:
Ic	=	{(1	+	i)n – 1} • 100
Exemplo 1:
Calcular	a	taxa	anual	equivalente	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês.		
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
134
Solução pela fórmula:
Ic	=	{(1	+	i)n – 1} • 100
Ic	=	{(1	+	0,02)12 – 1} • 100
Ic	=	{(1,002)12 – 1} • 100
Ic	=	{1,268241795	–	1}	•	100
Ic	=	0,268241795	•	100
Ic	=	26,82417950%	ao	ano
O Ic	 significa	a	 taxa	capitalizada.	O	expoente	12	 foi	utilizado	porque	foi	
informada	uma	taxa	em	mês	e	foi	pedida	em	ano.	O	expoente	é	encontrado	em	
relação	ao	tempo	da	taxa	informada	e	o	tempo	da	taxa	procurada.	Nesse	caso,	para	
descobrir	o	expoente	foi	feita	a	seguinte	pergunta:	Quantos	meses	tem	um	ano?	E	
a	resposta	foi	12.	
E na HP? Bom, como não foi informado um capital, para poder calcular 
pela função financeira é utilizado um capital fictício, que é o 100.
Ah, aumente as casas decimais de sua calculadora para 9 casas. Dê os 
comandos a seguir:
Pressione a tecla F e em seguida a tecla do número 9 .
Solução pela calculadora HP 12C, pelas teclas financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
2 i  Taxa informada em mês
12 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 126,82417950 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em ano, ou seja, 26,82417950% ao ano. 
Inserimos o 100 como capital fictício, a taxa que temos no i e no n os 
períodos de capitalização. Buscamos o FV e no final retiramos o 100 do capital.
Solução pela calculadora HP12c pela fórmula:
Caso	 queira	 efetuar	 o	 cálculo	 pela	 fórmula	 em	 sua	 HP,	 faça	 conforme	
apresentamos a seguir: 
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
135
2 ENTER
100 ÷
1 +
12 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  26,82417950 ou 26,82417950% ao ano. 
Exemplo 2:
Calcular	a	taxa	mensal		equivalente	a	uma	taxa	de	0,3%	ao	dia.				
Solução pela fórmula:
Ic	=	{(1	+	i)n – 1} • 100
Ic	=	{(1	+	0,003)30 – 1} • 100
Ic	=	{(1,003)12 – 1} • 100
Ic	=	{1,094026875	–	1}	•	100
Ic	=	0,094026875	•	100
Ic	=	9,402687500%	ao	mês
Foi	 	 utilizado	 como	 expoente	 o	 30,	 porque	 foi	 informada	 uma	 taxa	 em	
dia	e	foi	pedida	em	mês.	O	expoente	é	encontrado	em	relação	ao	tempo	da	taxa	
informada	e	o	tempo	da	taxa	procurada.	Nesse	caso,	para	descobrir	o	expoente	foi	
feita	a	seguinte	pergunta.	Quantos	dias	tem	um	mês?	E	a	resposta	foi	30.	
Solução pela calculadora HP 12C pelas teclas financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
0,3 i  Taxa informada emdia
30 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 109,402687500 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em mês, ou seja, 9,402687500 % ao mês. 
Inserimos	o	100	como	capital	fictício,	a	taxa	que	temos	no	i	e	no	n	os	períodos	
de	capitalização.	Buscamos	o	FV	e	no	final	retiramos	o	100	do	capital.
Solução pela calculadora HP 12C pela fórmula:
Caso	 queira	 efetuar	 o	 cálculo	 pela	 fórmula	 em	 sua	 HP,	 faça	 conforme	
apresentamos no modelo a seguir: 
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
136
0,3 ENTER
100 ÷
1 +
30 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  9,402687500 ou 9,402687500% ao mês. 
Exemplo 3:
Calcular	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	0,75%	ao	mês.		
Solução pela fórmula:
Ic	=	{(1	+	i)n – 1} • 100
Ic	=	{(1	+	0,0075)6 – 1} • 100
Ic	=	{(1,0075)6 – 1} • 100
Ic	=	{1,045852235	–	1}	•	100
Ic	=	0,045852235	•	100
Ic	=	4,585223500%	ao	semestre
O	expoente	6	 foi	utilizado	porque	 foi	 informada	uma	 taxa	em	mês	e	 foi	
pedida	 em	 semestre.	 O	 expoente	 é	 encontrado	 em	 relação	 ao	 tempo	 da	 taxa	
informada	e	o	 tempo	da	 taxa	procurada.	Nesse	caso,	para	descobrir	o	expoente	
foi	feita	a	seguinte	pergunta:	Quantos	meses	tem	um	semestre?	E	a	resposta	foi	6.	
Solução	pela	calculadora	HP	12C,	pelas	teclas	financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
0,75 i  Taxa informada em mês
6 n  Tempo entre a taxa informada e a procurada
FV  Montante apresentado no visor 104,585223500 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em ano, ou seja, 4,585223500% ao semestre. 
Solução pela calculadora HP 12C pela fórmula:
Caso	 queira	 efetuar	 o	 cálculo	 pela	 fórmula	 em	 sua	 HP,	 faça	 conforme	
apresentamos no seguinte modelo: 
0,75 ENTER
100 ÷
1 +
6 YX 
1 –
100 X Visor da calculadora  4,585223500% ao semestre. 
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
137
AUTOATIVIDADE
Agora	é	sua	vez!!!	Vamos	praticar?
1	Calcule	a	taxa	mensal	equivalente	a	uma	taxa	de	0,05%	ao	dia.	
2	Calcule	a	taxa	trimestral	equivalente	a	uma	taxa	de	1,3%	ao	mês.	
3	Calcule	a	taxa	anual	equivalente	a	uma	taxa	de	1,34%	ao	bimestre.	
4	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	0,89%	ao	mês.
5	Calcule	a	taxa	trimestral	equivalente	a	uma	taxa	de	0,03%	ao	dia.	
6	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	0,02%	ao	dia.	
7	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	2,24%	ao	bimestre.	
8	Calcule	a	taxa	anual	equivalente	a	uma	taxa	de	3,45%	ao	trimestre.	
9	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	3,99%	ao	trimestre.	
10	Calcule	a	taxa	anual	equivalente	à	taxa	de	0,06%	ao	dia.
Parabéns por ter terminado os exercícios de capitalização. Agora você já sabe 
capitalizar taxas e assim já pode seguir em frente. Certamente ficará mais fácil para entender 
como é o processo de descapitalização de uma taxa.
6.3.2 Descapitalização
O	processo	de	descapitalização	de	uma	taxa	é	utilizado	quando	possuímos	
uma	taxa	referente	a	um	período	de	tempo	e	o	objetivo	é	achar	uma		taxa	equivalente	
referente	a	um	período	menor		do	que	o	que	foi	informado.
Fórmula da Descapitalização:
Id	=	{(1	+	i)1/n – 1} • 100
Exemplo 1:
UNI
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
138
Calcule	a	taxa	mensal	equivalente	a	uma	taxa	de	26,8241795%	ao	ano.	
Solução pela fórmula:
Id	=	{(1	+	0,268241795)1/12 – 1} • 100
Id	=	{(1	+	0,268241795)0,083333333 – 1} • 100
Id	=	{(1,268241795)0,083333333 – 1} • 100
Id = {1,02 – 1} • 100
Id = 0,02 • 100
Id	=	2%	ao	mês
O Id	significa	a	taxa	descapitalizada.	O	expoente	12	foi	utilizado	porque	
foi	 informada	uma	taxa	em	ano	e	 foi	pedida	em	mês.	O	expoente	é	encontrado	
em	relação	ao	tempo	da	taxa	informada	e	o	tempo	da	taxa	procurada.	Nesse	caso,	
para	descobrir	o	expoente	foi	feita	a	seguinte	pergunta:	Quantos	meses	tem	um	
ano?	E	a	resposta	foi	12.	Como	na	fórmula	o	expoente	é	dividido	por	1,	ficou	1/12=	
0,083333333.	
E	 na	HP?	 Bom,	 como	 na	 capitalização,	 no	 exemplo	 da	 descapitalização	
também	não	foi	informado	um	capital.	Para	poder	calcular	pela	função	financeira	
é	utilizado	um	capital	fictício,	que	é	o	100.
Solução	pela	calculadora	HP	12C,	pelas	teclas	financeiras:
F CLX
100 CHS PV  Capital fictício com sinal negativo
26,8241795 i  Taxa informada em ano
12 1/x n  Tempo entre a taxa informada e a 
 procurada e a divisão por 1
FV  Montante apresentado no visor 102,00 
100 –  Retirando o valor 100, o resultado é a taxa 
 equivalente em mês, ou seja, 2% ao mês.
A tecla 1/x na calculadora é utilizada para dividir o número 1 pelo número 
digitado anteriormente no visor. 
Exemplo:
Para dividir 1 por 10 na calculadora financeira na forma tradicional é pressionado na HP
1 enter 10 ÷
A calculadora apresentará como resultado 0,10.
Mas se quiser utilizar a tecla 1/x como atalho para efetuar o cálculo na HP é só pressionar o 
número 10 e em seguida pressionar a tecla 1/x e a calculadora mostra o resultado de 1 dividido 
por 10.
DICAS
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
139
Uma	 segunda	 maneira	 para	 solucionar	 o	 mesmo	 exemplo	 pela	 HP,	
utilizando	também	as	teclas	financeiras	da	calculadora,	é:
F CLX  Comando para limpar as memórias e registradores 
 financeiros
100 CHS PV  Capital fictício de 100 lançado no PV com sinal 
 negativo.
126,82417950 FV  O valor de 100 + a taxa ano informada
12 n  Tempo entre a taxa informada e a taxa procurada
i  visor 1,999 ou, arredondando, 2% ao mês 
Inserimos o 100 como capital fictício no PV e 100 + a taxa no FV. No n colocamos 
o período de descapitalização, nesse caso 12, pois de ano para mês descapitaliza-se 12 períodos. 
Se fosse descapitalização de mês para dia o n seria 30, de bimestre para mês 2 e assim por diante.
É	possível	solucionar	o	exemplo	ainda	pela	calculadora	HP	12C	através	da	
fórmula:
26,82417950 ENTER
100 ÷
1 +
12 1/x YX 
1 –
100 X VISOR  1,999 ou 2% ao mês 
Em	seguida	você	encontrará	alguns	exercícios	de	descapitalização.	
AUTOATIVIDADE
1	Determine	a	taxa	diária	equivalente	a	uma	taxa	de	1,23%	ao	mês.
2	Determine	a	taxa	semestral	equivalente	a	45%	ao	ano.
3	Calcule	a	taxa	trimestral	equivalente	a	uma	taxa	de	14%	ao	ano.
4	Calcule	a	taxa	bimestral	equivalente	a	uma	taxa	de	8%	ao	semestre.
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
140
5	Dada	a	taxa	de	juros	de	10%	ao	ano,	determine	a	taxa	diária	equivalente.		
6	Qual	a	diária	equivalente	à	taxa	de	4%	ao	bimestre?
7	Calcule	a	taxa	mensal	equivalente	a	uma	taxa	de	60%	ao	ano.
 
8	Calcule	a	taxa	diária	equivalente	a	uma	taxa	de	9%	ao	trimestre.
9	Calcule	a	taxa	semestral	equivalente	a	uma	taxa	de	24%	ao	ano.
Parabéns	por	ter	vencido	mais	essa	etapa!!!
Parabéns!!! Você venceu mais esta etapa. 
Se você quiser aprofundar seus conhecimentos em juros compostos, recomendamos a leitura 
do livro MATEMÁTICA FINANCEIRA, cujos autores são Washington Franco Mathias e José Maria 
Gomes, Editora Atlas, 3a edição.
Agora você vai estudar e aprender o que é uma taxa aparente e o que é uma taxa real.
6.4 TAXA APARENTE DE TAXA REAL
A	taxa	aparente	é	a	taxa	nominal	que	vigora	em	uma	operação	financeira.	
Já	a	taxa	real	é	a	taxa	encontrada	após	a	retirada	ou	expurgo	da	inflação.	
Caso	 a	 taxa	 aparente	 não	 tenha	 sido	 informada,	 a	 fórmula	 para	 o	 seu	
cálculo é:
Já	a	fórmula	para	o	cálculo	da	taxa	real	é:
Exemplo:
Uma	aplicação	de	R$	1.000,00	teve	um	rendimento	de	R$	345,00	em	1	ano.	
Se	 a	 inflação	do	período	 foi	 de	 30%,	 calcule	 a	 rentabilidade	 aparente	 e	 real	 da	
aplicação.
UNI
JurosTaxa aparente 100
AplicaçãoInicial
   = ⋅  
   
1 taxa aparenteTaxa real 100
taxa inflação
  + 
= ⋅  
  
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
141
Parabéns	por	ter	vencido	mais	essa	etapa!!!
6.4 TAXA APARENTE DE TAXA REAL
Solução pela fórmula:
PV	=	1.000,00
Inflação	=	30%
Rendimento(Juros)	=	345,00	
Ir(real)	=	?	
Iap(apar)	=	?
Taxa Aparente:
De	posse	da	taxa	aparente	é	possível	calcular	a	taxa	real:
Note que as taxas de inflação 30% foram divididas por 100 na fórmula.
UNI
1 taxa aparenteTaxa Real 100
taxa inflação
  + 
= ⋅  
  
JurosTaxa Aparente 100
Aplicação Inicial
   = ⋅  
   
345Taxa Aparente 100
1.000,00
  
= ⋅  
  
Taxa Aparente 0,345.100 34,50%= =
{ }
1 0,345Taxa Real 1 100
1 0,30
1,345Taxa Real 1 100
1,30
Taxa Real 1,034615385 1 100
Taxa Real 0,034615385 100 3,46%
  + 
= − ⋅  +  
  
= − ⋅  
  
=  −  ⋅ 
= ⋅ =
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
142
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
Para	descobrir	a	taxa	aparente:
1.000  valor inicial
ENTER 
345  valor do juro (rendimento) 
%T  A resposta é a taxa aparente 34,50% 
Em	seguida	para	descobrir	a	taxa	real:
130  100+ taxa da inflação
ENTER 
134,5  100+ taxa aparente
∆%  O resultado é 3,46% que é a taxa real da operação. 
Exemplo 2:
Carlos	aplicou	o	valor	de	R$	50.000,00	a	juros	compostos	no	Banco	Delta.	
Sabendo	que	o	valor	ficou	aplicado	de	03/03/2010	a	10/12/2010,	que	a	taxa	aparente	
de	aplicação	do	período	foi	1,30%	ao	mês	e	que	a	inflação	do	período	da	aplicação	
foi	2,40%,	calcule:
a)	O	montante	resgatado.	
b)	a	taxa	aparente	e	a	taxa	real		dessa	aplicação	no	período.
Solução pela fórmula:
PV	=	50.000,00
Inflação	=	2,40%
Rendimento	(Juros)	=	?	
Ir(real)	=	?	
I	aparente	mensal	=	1,30%	ao	mês
Cálculo do tempo de aplicação: 03/03/2010 a 10/12/2010
Pela tabela de contagem de dias (diferença entre as datas) 
10/12/2010	344
03/03/2010 	62
Total de dias  282 dias
Como	a	taxa	está	em	mês,	o	tempo	deve	ser	passado	para	mês:
282/360	9,40	meses
Cálculo do Montante
FV	=	PV	•	(1	+	i)n
FV	=	50.000	•	(1	+	0,013)9,40
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
143
FV	=	50.000	•	1,129090586
FV	=	56.454,53
Logo,	 se	 o	 valor	 aplicado	 foi	 R$	 50.000	 e	 o	 montante	 resgatado	 foi	 R$	
56.345,53,	o	valor	dos	juros	é	a	diferença	entre	os	dois	valores.
Juros = Montante – Capital Inicial 
Juros	=	56.454,53	–	50.000,00
Juros	=		6.454,53
Cálculo	da	taxa	aparente:
TaxaAparente	=	0,129090586	•	100	=	12,90905860%	ou	arredondando	12,91%
De	posse	da	taxa	aparente	é	possível	calcular	a	taxa	real:
Taxa	Real	=	{[1,102636719	–	1]	• 100
Taxa	Real	=	0,103636719	•	100	=	10,26367190%	ou	arredondando	10,26%	no	
período.
JurosTaxa Aparente 100
Aplicação Inicial
   = ⋅  
   
6.454,53Taxa Aparente 100
50.000,00
  
= ⋅  
  
1 0,1291Taxa Real 1 100
1 0,0240
1,1291Taxa Real 1 100
1,0240
  + 
= − ⋅  +  
  
= − ⋅  
  
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
144
Solução pela calculadora financeira HP 12C:
Para descobrir os dias:
03.032010
Enter
10.122010
g 
EEX 	visor	282	ou	seja	282	dias		
 
Cálculo do montante:
50.000		CHS		PV
1,30 I
9,40		N
FV 	Visor		56.454,53
Cálculo dos juros:
56.454,53				 	  Montante
Enter
50.000,00						 	  Capital Inicial
– 	Visor	6.454,53	=	Juros
Cálculo da taxa aparente:
50.000	 	 	  valor Inicial
ENTER	
6.454,53	 	 	valor	do	juro	(rendimento)	
%T	 	 	 		A	resposta	é	a	taxa	aparente	12,91%		
TÓPICO 1 | JUROS COMPOSTOS
145
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez	de	praticar!!!
1		Um	 capital	 de	R$	 1.000,00	 foi	 aplicado	 e	 após	 8	meses	 gerou	 juros	de	R$	
96,80.	Sabendo	que	a	inflação	do	período	foi	2,5%,	calcule	a	taxa	aparente	e	a	
taxa	real	dessa	aplicação.
2		Um	capital	de	R$	5.000,00	foi	aplicado	e	gerou	um	rendimento	de	R$	650,00	
em	10	meses.	Sabendo	que	a	inflação	no	mesmo	período	foi	2,7%,	calcule	a	
taxa	aparente	e	a	taxa	real	do	período.	
3		O	valor	de	R$	 100.000,00	 foi	 aplicado	 a	 juros	 compostos	no	Banco	Mafra.	
Sabendo	que	 o	 valor	ficou	 aplicado	de	 01/05/2010	 a	 30/11/2010	 e	 sabendo	
ainda	que	a	 taxa	aparente	do	período	foi	1,5%	ao	mês	e	que	a	 inflação	do	
mesmo	período	da	aplicação	foi	1,20%,	calcule:
a)	O	montante	resgatado.	
b)	A	taxa	aparente	e	a	taxa	real		dessa	aplicação	no	período.
4		Um	capital	de	R$	15.000,00	foi	aplicado	e	gerou	um	rendimento	de	R$	987,00	
em	14	meses.	Sabendo	que	a	inflação	no	mesmo	período	foi	3,7%,	calcule	a	
taxa	aparente	e	a	taxa	real	do	período.	
5		O	valor	de	R$	 200.000,00	 foi	 aplicado	 a	 juros	 compostos	no	Banco	Mafra.	
Sabendo	que	o	valor	ficou	aplicado	por	180	dias	e	sabendo	ainda	que	a	taxa	
aparente	do	período	foi	1,12%	ao	mês	e	que	a	inflação	do	mesmo	período	da	
aplicação	foi	1,09%,	calcule:
Cálculo da taxa real:
102 	100	+	taxa	da	inflação
ENTER	
112,91	 	 	 	100	+	taxa	aparente
∆%	 	 	 	O	resultado	10,70%	é	a	taxa	real	da	operação	ou	
	 	 	 	ganho	real	no	período	de	282	dias.	
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
146
a)	O	montante	resgatado.	
b)	O	taxa	aparente	e	a	taxa	real		dessa	aplicação	no	período.
147
Maravilha!	Que	 bom	que	 você	 chegou	 até	 aqui!	 Foi	 um	grande	 avanço.	
Com	certeza,	você	aprendeu	muita	coisa	legal	neste	tópico.	Vamos	rever:
•	Você	aprendeu	que	 juros	compostos	 também	são	conhecidos	como	regime	de	
juros	sobre	juros.	
•	Aprendeu	também	que	montante	é	a	soma	do	capital	com	os	juros	do	período.		
• Compreendeu como calcular o capital ou valor presente, calcular o tempo e a 
taxa	em	juros	compostos.
•	Aprendeu	a	capitalizar	e	descapitalizar	taxas,	através	das	taxas	equivalentes.	
•	 E,	 por	 fim,	 compreendeu	 que	 a	 taxa	 real	 é	 a	 taxa	 nominal	menos	 os	 efeitos	
inflacionários.
Enfim,	a	essa	altura,	você	já	está	“expert”	em	juros	compostos.
RESUMO DO TÓPICO 1
148
1	Calcule	o	montante	de	uma	aplicação	de	R$	50.000,00	a	 juros	compostos,	
pelo	prazo	de	6	meses	e	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês.
2	Obtenha	o	montante	das	aplicações	abaixo:
Capital (R$) taxa prazo 
a)	80.000,00												3,6%	ao	mês							2	anos							
b)	65.000,00										3%	ao	mês										12	meses				
c)	35.000,00									7%	ao	trimestre				18	meses		
3	João	aplicou	em	28.03.2010	a	quantia	de	R$	16.200,00	em	um	fundo	de	renda	
fixa.	Passados	dois	anos,	 João	 foi	 retirar	o	 seu	montante.	 Sabendo	que	o	
fundo	rendeu	uma	taxa	de	1,35%	ao	mês,	calcule	o	valor	retirado.		
4	Uma	pessoa	aplicou	R$	40.000,00	em	uma	aplicação	a	juros	compostos	e	a	
uma		taxa	de	2,6%	ao	mês.	Qual	será	o	montante	a	ser	resgatado	daqui	a	
seis	meses?		
5	Calcule	o	capital	que,	aplicado	a	uma	taxa	de	10%	ao	ano,	a	juros	compostos	
durante	9	anos,	produz	um	montante	de	R$	175.000,00.
6	Alberto	aplicou	R$	6.000,00	a	juros	compostos	e	à	taxa	de	2%	ao	trimestre	em	
juros	compostos.	Sabendo	que	o	valor	ficou	aplicado	por	19	meses,	calcule		
qual	é	o	montante.		
7	Durante	quantos	meses	um	capital	de	R$	5.000,00	deve	ser	aplicado	a	juros	
compostos	e	a	uma	taxa	de	1,8%	ao	mês,	para	gerar	um	montante	de	R$	
5.767,00?
AUTOATIVIDADE
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
149
8	 Calcule	 o	 montante	 de	 uma	 aplicação	 de	 R$	 10.000,00	 sob	 as	 seguintes	
hipóteses:
 taxa prazo
	a)		20%	ao	ano											5	anos																					
	b)	5%	ao	semestre					3	anos	e	meio										
	c)	2,5%	ao	mês										1	ano																																			
9	Apliquei	uma	determinada	quantia	e	após	3	anos	e	3	meses	de	aplicação	
possuía	o	montante	de	R$	75.000,00.	Sabendo	que	a	aplicação	rendeu	uma	
taxa	de	1,23%	ao	mês	em	juros	compostos,calcule	o	valor	aplicado	no	início	
dessa	aplicação.	
10	Calcule	 o	 montante	 de	 uma	 aplicação	 de	 R$	 85.000,00	 aplicado	 a	 juros	
compostos,	pelo	prazo	de	3	anos	e	a	uma	 taxa	de	1,2%	ao	mês	em	 juros	
compostos.
 
11	Um	capital	de	R$	17.000,00	foi	aplicado	a	juros	compostos	durante	1	ano	e	
meio	e	a	uma	taxa	de	3,5%	ao	mês	em	juros	compostos.	Calcule	o	montante	
obtido	ao	final	da	aplicação.
12	 Que	 capital	 aplicado	 a	 juros	 compostos	 durante	 2	 anos	 e	 4	 meses	 e	 a	
uma	taxa	de	10%	ao	mês	produz	um	montante	de	R$	175.000,00	em	juros	
compostos?
13	Alberto	aplicou	R$	16.000,00	a	juros	compostos	durante	um	ano	e	a	uma	
taxa	de	1,2%	ao	mês.	Qual	o	montante	ao	final	do	período?
14	Carlos	aplicou	R$	1.800,00	em	uma	aplicação	do	Banco	Alfa	e	após	2,5	anos	
retirou	o	montante	de	R$	3.000,00.	Calcule	a	taxa	de	aplicação	mensal	em	
juros	compostos.			
15	Um	capital	de	R$	 28.000,00	 foi	 aplicado	 à	 taxa	de	 1,32%	ao	mês	 e	 após	
algum	 tempo	 foi	 resgatado	 o	 montante	 de	 R$	 31.328,75.	 Sabendo	 essas	
informações,	calcule	por	quantos	meses	esse	recurso	ficou	aplicado.
150
16	Durante	 quantos	meses	 um	 capital	 de	R$	 15.000,00	deve	 ser	 aplicado	 a	
juros	compostos	e	a	uma	taxa	de	1,8%	ao	mês	para	gerar	um	montante	de	
R$	16.767,00	em	juros	compostos?
17	Durante	quantos	meses	um	capital	de	R$	6.750,00	deve	ser	aplicado	para	
render	um		montante	de	R$	8.850,00,	sabendo	que	a	taxa	mensal	de	aplicação	
é	de	1,55%	no	regime	de	juros	compostos?
18	A	que	taxa	mensal	deve	ser	aplicado	o	capital	de	R$	3.000,00	para	gerar	
um	montante	de	R$	5.500,00	após	12	meses	de	aplicação	no	regime	de	juros	
compostos?
19	Após	 24	meses	 de	 aplicação,	 João	 resgatou	 o	montante	 de	R$	 28.000,00	
de	seu	fundo	de	investimento.	Sabendo	que	a	taxa	de	rentabilidade	desse	
fundo	era	1,10%	ao	mês	no	regime	de	juros	compostos,	calcule	qual	foi	o	
capital	aplicado	no	fundo.
20	Calcule	a	taxa	mensal	equivalente	às	taxas	a	seguir,	em	juros	compostos:
a)	13%	ao	ano.
b)	4%	ao	trimestre.
c)	12%	ao	semestre.
d)	5	%	ao	bimestre.
21	Um	investidor	aplicou	a	importância	de	R$	25.000,00	em	uma	instituição	
que	pagava	uma	taxa	de	3%	ao	mês	no	regime	de	juros	compostos.	Após	
um	certo	período	de	tempo	o	investidor	retirou	o	montante	de	R$	35.644,02.	
Calcule	por	quantos	meses	o	dinheiro	ficou	aplicado.
22	Uma	aplicação	de	R$	10.000,00	teve	um	rendimento	de	R$	1.640,00	em	14	
meses.	Se	a	inflação	do	período	foi	de	3,4%,	calcule	a	rentabilidade	aparente	
e	real	da	aplicação.
23	Uma	aplicação	de	R$	4.200,00	 teve	um	rendimento	de	R$	1.043,45	em	2	
anos.	Se	a	inflação	do	período	foi	de	10%,	calcule	a	rentabilidade	aparente	
e	real	da	aplicação.	
24	Determine	a	taxa	diária	equivalente	a	uma	taxa	de	1,87%	ao	mês	em	juros	
compostos.	
151
Parabéns por ter feito todos esses exercícios. Sabemos que é um pouco cansativo, 
mas é muito importante fazê-los, para fixar bem os conhecimentos adquiridos.
Agora que terminou, dê uma paradinha, beba uma água, descanse um pouco e volte a estudar 
quando estiver mais relaxado.
Em seguida você estudará o assunto Prestações.
E por falar em prestações, podemos afirmar que a grande maioria das pessoas já fez ou fará, 
durante a vida, alguma compra em que pagará prestações mensais. Afinal, quem nunca fez 
uma “prestaçãozinha” durante sua vida?
Principalmente no Brasil, a população adora comprar bens a prazo e, na maioria das vezes, não 
analisa qual a taxa de juros que está sendo cobrada nesses parcelamentos. O que as pessoas 
analisam é se as prestações “cabem” no seu bolso. 
O correto é fazer uma programação de compra, poupar primeiro para comprar o bem à vista 
e poder “barganhar” o preço ou, na pior das hipóteses, parcelar, mas na menor quantidade de 
prestações possível, para pagar menos juros no total. Quando os parcelamentos são feitos em 
24 ou 36 vezes, é comum o valor total pago ser duas vezes ou mais o valor financiado.
25	Determine	 a	 taxa	 semestral	 equivalente	 à	 taxa	 de	 56,8%	 ao	 ano	 em	 juros	
compostos.	
26	Carlão	vendeu	sua	casa	por	R$	254.000,00	e	aplicou	o	recurso	em	um	banco,	
recebendo	uma	taxa	mensal	de	0,87%	ao	mês.	Sabendo	ainda	que	após	esse	
período	Carlão	resgatou	o	montante	de	R$	295.340,00,	calcule	por	quantos	
dias	ficou	aplicado	esse	recurso	em	juros	compostos.
UNI
152
153
TÓPICO 2
SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Nos	estudos	anteriores	você	viu	que	o	capital	era	pago	ou	recebido	de	uma	
única	vez.		Agora	você	estudará	o	pagamento	ou	recebimento	do	capital	através	de	
uma	sequência	de	pagamentos		ou	recebimentos.
Esse	 assunto	 é	muito	 interessante	 e	 importante,	 pois	 acreditamos	 que	 a	
maioria	das	pessoas	adquire	seus	bens,	principalmente	os	mais	caros,	como	casas,	
carros,	eletrodomésticos	em	geral,	fazendo	prestações	mensais.
Como	existem	muitos	modelos	de	prestações,	nesse	Caderno	de	Estudos	
você	aprenderá	a	calcular		apenas	os	principais	modelos	e	os	mais	utilizados.
Você	verá	a	seguir	as	prestações,	que	são,	simultaneamente:
TEMPORÁRIAS  com tempo determinado.
CONSTANTES  onde todas as parcelas serão iguais.
IMEDIATAS E POSTECIPADAS  prestações com entrada no ato e sem entrada 
no ato.
PERIÓDICAS  intervalo igual entre as parcelas.
E,	ainda,	que	a	taxa de juros seja referida ao mesmo período dos termos.
Na	parte	final	deste	Cadernos	de	Estudos	você	encontrará	outros	modelos	
que	julgamos	importantes	também,	porém	menos	comuns.
154
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
2 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS OU 
PRESTAÇÕES 
As	prestações	podem	ter	várias	classificações.	Então	vamos	a	elas:	
 
a)		QUANTO	AO	PRAZO:
 
• Temporárias: Duração	limitada.	A	maioria	das	prestações	tem	duração	limitada.	
Como	 exemplo,	 citamos	 a	 compra	de	 um	 automóvel	 em	prestações	 que	 têm	
prazo	para	terminar.
• Perpétuas: Duração	ilimitada,	que	é	o	caso	dos	aluguéis,	por	exemplo.	Enquanto	
a	pessoa	viver	em	uma	casa	alugada,	pagará	uma	prestação	(que	é	o	aluguel).	
Outros	exemplos	são	o	plano	de	saúde	e	o	seguro	de	vida. 
b)	QUANTO	AO	VALOR	DAS	PRESTAÇÕES:
• Constante: Todos	 os	 termos	 iguais.	 Esse	 modelo	 é	 mais	 comum,	 onde	 as	
prestações	têm	o	mesmo	valor	mensal.	Como	exceção	temos	o	consórcio,	em	que	
as	parcelas	vão	aumentando,	e	o	financiamento	da	casa	própria,	no	qual,	pelo	
modelo	praticado	pela	Caixa	Econômica	Federal,	as	prestações	vão	reduzindo	
com	o	passar	do	tempo.
• Variável: Termos não iguais entre si.	É	o	caso	citado	há	pouco,	da	casa	própria	da	
Caixa	e	consórcios,	além	de	alguns	outros.
 
c)	QUANTO	À	FORMA	DE	PAGAMENTO	OU	RECEBIMENTO:
• Imediatas: Prestações	vencendo	a	partir	do	primeiro	período	(sem	carência), e 
estas ainda dividem-se em:
 Antecipadas: a	primeira	parcela	é	paga	no	ato	da	compra	(início	do	intervalo)	e,	
como	exemplo,	podemos	citar	a	compra	de	uma	televisão	em	1+9	prestações	de	
140,00. Note que existe uma entrada no ato do negócio. 
 Postecipadas: onde a	 primeira	 parcela	 é	 negociada	 para	 pagamento	 no	 fim	
do	intervalo,	ou	seja,	30	dias	após	a	compra	e,	como	exemplo,	podemos	citar	
a compra de uma televisão em 0+10	prestações	de	140,00. Note que não existe 
pagamento no ato do negócio e a primeira prestação vence em 30 dias.
 Diferidas: prestações	 exigíveis	 a	partir	de	uma	data	que	não	 seja	o	primeiro	
período.	Existe	uma	carência	para	os	pagamentos	das	prestações.	Atualmente	
é	 bem	 comum	 encontrarmos	 esse	 modelo	 de	 prestações	 e,	 como	 exemplo,	
podemos citar a compra de um automóvel novo, na qual o cliente começa a 
pagar a primeira prestação em 90 dias e depois as demais de 30 em 30 dias.
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
155
d)	QUANTO	À	PERIODICIDADE:
• Periódicas:	todos	os	períodos	são	iguais.	Pagamento	de	prestações	todos	os	meses.
• Não	periódicas:os	períodos	não	são	iguais	entre	si.	Menos	comuns	atualmente.	
Antigamente	eram	mais	aplicadas.	
Bem,	agora	que	você	leu	a	classificação	das	anuidades,	você	vai	aprender	a	
calcular	 os	 modelos	 mais	 utilizados	 no	 comércio	 atualmente.	 Principalmente	 os	
modelos	 em	que	 as	 prestações	 são	mensais,	 com	o	mesmo	valor,	 e,	 ainda,	 alguns	
modelos	sem	e	com	entrada	no	ato.				
Você	vai	 estudar	primeiro	o	modelo	 em	que	o	 cliente	não	paga	entrada	
no	ato	da	aquisição	do	produto	ou	mercadoria.	São	as	prestações	que	chamamos	
de postecipadas, pois o cliente paga a primeira prestação em 30 dias e as demais 
também	de	30	em	30	dias.	
Vamos	lá,	então!!!
3 PRESTAÇÕES POSTECIPADAS
Entendemos	 por	 prestações	 postecipadas	 as	 prestações	 que	 serão	 pagas	
pelos	clientes	em	30	dias	após	a	realização	do	negócio	ou	operação.	O	cliente	vai	
até à loja, compra o produto ou mercadoria, parcela a compra em prestações e 
começa	a	pagar	em	30	dias.	
Para quem for utilizar a HP 12C para efetuar os cálculos através das teclas 
financeiras, deve pressionar a tecla g e em seguida a tecla de número 8 . Comandando essas 
teclas, você estará acionando o modo END na calculadora, ou seja, através desse comando a 
HP entenderá que são prestações sem entrada.
3.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE  PV 
O cálculo do valor presente é utilizado para encontrar o valor atual em 
relação a uma compra parcelada, ou seja, os juros são retirados do valor das 
prestações	a	pagar.
 
Fórmula:
IMPORTANT
E
( ) n1 1 i
PV PMT
i
− − +
 = ⋅
 
 
156
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Onde:
PV = Valor presente ou valor à vista 
PMT = valor das prestações 
i	=	taxa
n	=	quantidade	de	prestações 
 
Exemplo 1:
João	comprou	um	carro	usado.	Vai	pagar	em	24	prestações	mensais	e	iguais	
de	R$	626,24	sem	entrada.	As	prestações	serão	pagas	a	partir	do	mês	seguinte	ao	
da	compra,	e	o	vendedor	afirmou	que	está	cobrando	uma	taxa	de	juros	compostos	
de	2%	ao	mês	no	parcelamento.	Sabendo	essas	informações,	calcule	qual	deveria	
ser	o	valor	do	carro	à	vista.
Solução pela fórmula:
PV	=	626,24	•	18,91392561
PV	=	11.844,66
Note que na fórmula a taxa de 2% é dividida por 100 e somada ao número 1. 
Em seguida, o resultado encontrado é elevado a -24.
Para elevar (1,02)-24 na sua HP comande conforme segue:
Primeiro deixe a HP com todas as casa decimais, comandando f 9 .
Agora que a calculadora está com 9 casas após a vírgula, faça conforme segue:
1,02 enter
24 CHS Yx
Visor  0,621721488
DICAS
( )
( )
n
24
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,02
PV 626,24
0,02
1 0,621721488PV 626,24
0,02
0,378278512PV 626,24
0,02
−
−
 − +
 = ⋅
 
 
 − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
157
Solução pela HP 12C através da função financeira:
 
g 8  ativando o modo end, sem entrada 
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
626,24 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
24 n  número de prestações lançado no n 
2 i  taxa laçada no i
PV  Visor 11.844,66 
Note	que	na	HP	você	utilizou	uma	nova	 tecla,	o	PMT.	Nessa	 tecla	você	
insere	ou	busca	o	valor	das	prestações.	Lembre-se	de	que	as	teclas	financeiras	são	
independentes,	ou	seja,	você	não	precisa	seguir	a	ordem	informada.	
 
Exemplo 2:
Um	forno	elétrico	 foi	adquirido	de	 forma	parcelada.	O	cliente	vai	pagar	
12	prestações	mensais	e	iguais	de	R$	55,87	sem	entrada.	Sabendo	que	a	loja	que	
vendeu	o	bem	opera	com	uma	taxa	de	1,99%	ao	mês,	calcule	qual	deveria	ser	o	
valor	do	forno	à	vista.
Solução pela fórmula:
PV	=	55,87	•	10,58183889
PV	=	591,21
( )
( )
n
12
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,0199
PV 55,87
0,0199
1 0,789421406PV 55,87
0,0199
0,210578594PV 55,87
0,0199
−
−
 − +
 = ⋅
 
 
 − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
158
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela HP 12C através das teclas financeiras: 
 
g 8  ativando o modo end, sem entrada 
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
55,87 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
12 n  número de prestações lançado no n 
1,99 i  taxa laçada no i
PV  Visor 591,21 que é o valor presente ou à vista.
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez	de	exercitar	um	pouco!
Ao	ler	os	exercícios,	você	verá	que	são	situações	que	ocorrem	em	nosso	dia	a	
dia.
 
1	Um	eletrodoméstico	é	vendido	a	prazo	em	4	prestações	mensais	e	iguais	de	
R$	550,00,	vencendo	a	primeira	prestação	um	mês	após	a	compra.	Sabendo	
que	a	 loja	opera	com	uma	taxa	de	 juros	de	5%	ao	mês,	calcule	qual	o	seu	
preço	à		vista.
2	A	 empresa	 Piano	 10	 contratou	 empréstimo	 em	uma	 instituição	financeira.	
Deverá	pagar	15	prestações	mensais	de	R$	8.000,00	cada,	vencendo	a	primeira	
um	mês	após	a	contratação	da	operação.	Sabendo	que	a	taxa	utilizada		para	
o	 cálculo	 foi	 2%	 ao	 mês,	 calcule	 o	 valor	 do	 empréstimo	 contratado	 pela	
empresa.
Note que na fórmula a taxa de 1,99% é dividida por 100 e somada ao número 1. 
Em seguida, o resultado encontrado é elevado a -12.
Para elevar (1,0199)-12 na sua HP comande conforme segue:
1,0199 enter
12 CHS Yx
Visor  0,789421406
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
159
3	Um	televisor	pode	ser	adquirido	em	10	parcelas	mensais	e	iguais	de	R$	238,00,	sem	
entrada.	A	loja	informou	que	a	taxa	praticada	é	de	3,8%	ao	mês.	Sabendo	essas	
informações,	calcule	o	valor	do	aparelho	à	vista.			
4	Um	terreno	é	vendido	em	24	prestações	mensais	e	 iguais	de	R$	15.000,00,	
sendo	a	primeira	paga	dentro	de	30	dias	e	assim	sucessivamente.	Se	a	taxa	de	
juros	cobrada	no	parcelamento	é	de	4%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	desse	
terreno.	
5 Qual é o preço à vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de R$ 
300,00,	sendo	a	primeira	paga	um	mês	após	a	compra,	se	as	taxas	e	prazos	a	
seguir forem considerados: 
a)	3%	ao	mês	–	24	meses			
b)	4%	ao	mês	–	36	meses			
c)	5%	ao	mês	–	12	meses				
6	Uma	geladeira	duplex	 foi	 adquirida	de	 forma	parcelada	em	18	prestações	
mensais,	fixas	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	150,30.	Sabendo	que	a	loja	que	
vendeu	 o	 bem	 opera	 com	uma	 taxa	 de	 1,58%	 ao	mês,	 calcule	 o	 valor	 da	
geladeira	à	vista.
Agora que você fez todos os exercícios de valor presente, você vai aprender a 
calcular o valor das prestações.
3.2 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT
Agora você vai aprender como calcular o valor das prestações, ou seja, serão 
fornecidas	as	informações	do	preço	à	vista,	da	taxa,	da	quantidade	de	prestações.	
O	objetivo	será	calcular	o	valor	da	prestação	mensal	a	ser	paga.
Fórmula:
UNI
( ) n1 1 i
PV PMT
i
− − +
 = ⋅
 
 
160
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Na fórmula correta temos que isolar o PMT. Aqui, preferimos não alterar, para 
facilitar o seu aprendizado. Usando a mesma fórmula para calcular o PV e o PMT fica mais fácil 
para entender. Caso contrário, teríamos que criar mais uma fórmula.
Exemplo 1:
Um	 terreno	 que	 custa	 R$	 101.000,00	 à	 vista	 pode	 ser	 adquirido	 em	 60	
prestações	mensais	e	fixas,	sendo	a	primeira	paga	um	mês	após	a	compra.	Sabendo	
que	o	parcelamento	foi	efetuado	com	uma	taxa	de	1,99%	ao	mês,	calcule	o	valor	
das	prestações.
Solução pela fórmula:
Solução pela calculadora HP12c utilizando as teclas financeiras: 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
101.000,00 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
60 n número de prestações lançado no n
1,99 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  2.898,53 que é o valor das 60 prestações.
IMPORTANT
E
( ) 601 1 0,0199
101.000 PMT
0,0199
1 0,306580475101.000 PMT
0,0199
0,693419525101.000 PMT
0,0199
101.000 PMT 34,84520226
101.000PMT 2.898,53
34,84520226
− − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅   
= =
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
161
Solução pela calculadora HP12c utilizando as teclas financeiras: 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
101.000,00 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
60 n  número de prestações lançado no n
1,99 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  2.898,53 que é o valor das 60 prestações.
Nesse tipo de cálculo é muito importante sempre zerar as memórias da máquina 
antes de iniciá-los.
Note que agora é fornecido o valor à vista que é lançado no PV e, por fim, busca-se o PMT, que 
é o valor das prestações.
Exemplo 2:
Um	automóvel	novo	custa	à	vista	R$	53.400,00	e	pode	ser	adquirido	em	
36	prestações	mensais	 e	 iguais,	 sendo	a	primeira	paga	um	mês	após	a	 compra.	
Sabendo	que	o	parcelamento	foi	efetuado	com	uma	taxa	de	1,30%	ao	mês,	calcule	
o	valor	das	prestações.
Solução pela fórmula:
Solução pela HP12c utilizando as teclas financeiras:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
53.400 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal negativo
36 n  número de prestações lançado no n
1,3 I  taxa lançada no I 
PM Visor  1.866,86, que é o valor a ser pago nas 36 prestações
UNI
( ) 361 1 0,0130
53.400 PMT
0,0130
1 0,062814508753.400 PMT
0,0130
0,37185491353.400 PMT
0,0130
53.400 PMT 28,60422411
− − +
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅   
53.400 1.866,86
ŶŶŶŶŶ
= =PMT
162
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez,	exercite	um	pouco!!!	
Com	certeza,	é	um	assunto	legal	e	muito	importante	para	você.
 
1	 Um	automóvel	é	vendido	à	vista	por	R$	10.000,00,	mas	pode	ser	financiado	
em	12	prestações	mensais,	iguais	e	sem	entrada,	com	a	taxa	de	juros	de	2,2%	
ao	mês.	Sabendo	essas	informações,	obtenha	o	valor	de	cada	prestação.
2		Uma	máquina	é	vendida	por	R$	30.000,00	à	vista	ou	a	prazo	em	5	prestações	
mensais	iguais,	sem	entrada.	Calcule	o	valor	das	prestações	se	a	taxa	de	juros	
praticada	for	de	7%	ao	mês.
3		Um	automóvel	é	vendido	por	R$	16.000,00	à	vista,	mas		pode	ser	financiado	
a	uma	 taxa	de	 2,5%	ao	mês.	Calcule	 o	valor	das	prestações	nas	 seguintes	
condições	de	financiamento:
a)	12	prestações	mensais	iguais	sem	entrada.
b)	18	prestações	mensais	iguais	sem	entrada.
c)	24	prestações	mensais	iguais	sem	entrada.
4		Um	ventilador	é	vendido	à	vista	por	R$	90,00,	mas	pode	ser	financiado	em	12	
prestações	mensais,	iguais	e	sem	entrada,	com	taxa	de	juros	de	2,05%	ao	mês.	
Sabendo	essas	informações,	obtenha	o	valor	das	prestações.
5		Uma	calculadora	financeira	HP	12C	é	vendida	à	vista	por	R$	210,00	ou	a	
prazo	 em	 8	 prestações	mensais,	 iguais,	 sem	 entrada.	 Calcule	 o	 valor	 das	
prestações	se	a	taxa	de		juros	praticada	for	de	1,80%	ao	mês.
6	 Uma	 bicicleta	 elétrica	 é	 vendida	 à	 vista	 por	 R$	 1.900,00,	 mas	 pode	 ser	
comprada	em	18	prestações	mensais,	fixas	e	sem	entrada,	com	uma	taxa	de	
parcelamento	de	2,5%	ao	mês.	Calcule	o	valor	das	prestações	na	compra	a	
prazo.
Foram poucos exercícios, mas todos os produtos envolvidos são do nosso dia a 
dia e a maioria das pessoas compra-os de forma parcelada. No final desse tópico você terá a 
oportunidade de fazer mais algumas atividades para calcular o valor das prestações.
Vamos em frente!
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
163
3.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N
O	objetivo	 agora	 é	 calcular	 a	quantidade	de	prestações	que	deverão	 ser	
pagas	no	caso	de		compras	parceladas.
Agora	as	informações	que	serão	fornecidas	são:		o	valor	à	vista,	o	valor	das	
prestações	e	a	taxa	de	parcelamento.															
Fórmula:
Exemplo:
Um	terreno	que	custa	à	vista	R$	50.000,00	foi	vendido	em	parcelas	mensais,	
iguais	 e	 sem	 entrada,	 no	 valor	 de	R$	 2.000,00.	 Sabendo	 que	 a	 taxa	 cobrada	 no	
parcelamento	é	de	2%	ao	mês,	calcule	o	número	de	prestações	negociadas.
Solução pela fórmula:
n	=	–35,00278878,	ou	seja,	35	prestações
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
( )
( )
( )
( )
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
50.000Ln 1 0,02
2.000
n
Ln 1 0,02
Ln 1 25 0,02
n
Ln 1,02
Ln 1 0,50
n
Ln 1,02
Ln 0,50n
Ln 1,02
Ln 0,6941471n
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
  − ⋅  =  
  
  −   =  
  
 
=  
 
−
=
81
Ln 0,019802627
 
 
 
164
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Lembra que no cálculo do tempo em juros compostos você utilizou o Logaritmo 
Natural para efetuar os cálculos? No cálculo do número de prestações você precisa utilizar a 
mesma função. 
Veja: na fórmula, calculamos o Ln de 0,50 e de 1,02. No final do cálculo temos que desconsiderar 
a resposta negativa, pois fizemos aqui uma adaptação na fórmula para ela ficar mais fácil de 
resolver, e no final é só considerar positiva sua resposta.
Solução pela HP 12C através da teclas financeiras:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
2 I  taxa lançada no I 
2.000 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  35, que é o número de prestações 
 que devem ser negociadas.
A calculadora financeira HP 12C arredonda sempre para cima o resultado quando 
a resposta a ser encontrada é o número de prestações. Para a calculadora HP 12C não existe 
tempo “quebrado”. Você poderá encontrar resultados na fórmula que aparecem com casas 
após a vírgula, como, por exemplo: 5,77 prestações, mas na HP 12C, ao utilizar as teclas 
financeiras, ela apresenta a resposta como 6 prestações, pois ninguém pagaria 5,77 prestações.
Vamos a outro exemplo.
Exemplo 2:
Um	 automóvel	 que	 custa	 à	 vista	 R$	 30.000,00	 foi	 vendido	 em	 parcelas	
mensais,	iguais	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	700,00.	Sabendo	que	a	taxa	cobrada	
no	parcelamento	é	de	1,50%	ao	mês,	calcule	o	número	de	prestações	negociadas.	
IMPORTANT
E
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
165
Solução pela fórmula:
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
f CLX  limpeza das memórias e registradores
30.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1,5 I  taxa lançada no I 
700 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  70, que é o número de prestações que 
 devem ser negociadas.
( )
( )
( )
( )
( )
PVLn 1 i
PMT
n
Ln 1 i
30.000Ln 1 0,0150
700
n
Ln 1 0,0150
Ln 1 42,85714286 0,0150
n
Ln 1,0150
Ln 1 0,642857143
n
Ln 1,0150
Ln 0,357142n
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
  − ⋅  =  
  
  −   =  
  
=
857
Ln 1,0150
Ln 1,029619417n
Ln 0,014888612
n 69,15482673, ou seja, arredondando 70 prestações
 
 
 
 − 
=  
 
= −
166
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
AUTOATIVIDADE
1 Uma loja vende uma geladeira frost free	à	vista	por	R$	1.800,00,	mas	também	
pode	ser	adquirida	a	prazo,	com	prestações	mensais,	iguais	e	sem	entrada.	
Calcule	 quantas	 prestações	 serão	 negociadas,se	 o	 cliente	 optar	 por	 uma		
prestação	mensal	de	R$	430,00,	sabendo	ainda	que	a	loja	opera	uma	taxa	de	
juros	de	4%	ao	mês.
 
2	 Um	terreno	é	vendido	à	vista	por	R$	47.500,00	ou	em	prestações	mensais,	
fixas	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	1.500,00.	Calcule	o	número	de	prestações	
que	devem	ser	pagas	na	compra	a	prazo,	sabendo	que	a	taxa	de	juros	é	de	
2,5%	ao	mês.			
3		Carlos	comprou	uma	filmadora	que	custava	à	vista	R$	2.200,00	em	prestações	
mensais,	fixas	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	257,77,	vencendo	a	primeira	30	dias	
após	a	compra.	Sabendo	que	a	loja	opera	com	uma	taxa	de	financiamento	de	
2,99%	ao	mês,	calcule	quantas	prestações	serão	negociadas	na	compra	a	prazo.
4		Uma	loja	vende	uma	aparelho	de	som	à	vista	por	R$	2.400,00,	mas	que	também	
pode	ser	adquirido	a	prazo,	com	prestações	mensais,	iguais	e	sem	entrada	no	
ato.	Calcule	quantas	prestações	deverão	ser	negociadas	na	compra	a	prazo,	
se	o	cliente	optar	por	uma	prestação	mensal	de	R$	430,00,	sabendo	que	a	loja	
cobra	uma	taxa	de	juros	de	4%	ao	mês.					
5		 Uma	casa	é	vendida	por	uma	imobiliária	à	vista	por	R$	47.500,00	ou	em	prestações	
mensais,	 fixas	 e	 sem	 entrada,	 no	 valor	de	R$	 1.000,00	direto	 com	a	 imobiliária.	
Calcule	o	número	de	prestações	que	devem	ser	pagas	na	compra	a	prazo,	sabendo	
que	a	taxa	de	juros	é	de	1,5%	ao	mês.			
6		Uma	 mesa	 de	 cozinha	 que	 custava	 à	 vista	 R$	 2.200,00	 foi	 adquirida	 em	
prestações	mensais,	fixas	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	80,00,	vencendo	a	
primeira	30	dias	após	a	compra.	Sabendo	que	a	loja	que	vende	a	mesa	opera	
com	uma	taxa	de	financiamento	de	0,99%	ao	mês,	calcule	quantas	prestações	
serão	negociadas	na	compra	a	prazo.
Legal, você avançou bastante em prestações. Já aprendeu a calcular o valor à 
vista, o valor das prestações e a quantidade de prestações. Agora, sugerimos que você pare um 
pouco, relaxe, beba uma água e volte quando estiver mais descansado.
A seguir você aprenderá a calcular as taxas cobradas nos empréstimos e nos parcelamentos 
de bens nas lojas. 
Vamos lá, então!!!
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
167
3.4 CÁLCULO DA TAXA  I 
O	cálculo	da	taxa	é	bem	mais	trabalhoso	quando	feito	pela	fórmula,	porém	
é	muito	 importante	 saber	 calcular.	 Pela	 calculadora	financeira,	 o	 cálculo	 é	 bem	
fácil,	mas	pela	fórmula	é	trabalhoso	porque	temos	que	inserir	taxas	aleatórias	até	
achar	a	taxa	correta	da	operação.
Fórmula:
Exemplo:
Um	terreno	que	custa	à	vista	R$	50.000,00	será	parcelado	em	60	prestações	
mensais,	fixas	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	1.112,22,	sendo	a	primeira	paga	um	
mês	após	a	compra.	Calcule	qual	é	a	taxa	de	juros	mensal	no	caso	de	parcelamento	
em	60	prestações.	
Solução pela fórmula:
A	partir	de	agora,	é	preciso	colocar	taxas	aleatórias	no	i	até	encontrar	do	
lado	esquerdo	da	fórmula	o	resultado	44,95513478.	Aí	significa	que	a	taxa	que	foi	
inserida	está	correta.
A	taxa	correta	dessa	operação	é	1%.	Para	encurtar	o	cálculo	do	valor,	vamos	
lançá-la	para	continuar	o	desenvolvimento	do	cálculo	acima.
( ) n1 1 i PV
i PMT
−  − +     =        
( ) n1 1 i PV
i PMT
−  − +     =        
( )
( )
60
60
1 1 i 50.000
i 1.112,22
1 1 i
44,95513478
i
−
−
  − +     =        
  − +   =     
  
( )
( )
60
60
1 1 i
44,95513478
i
1 1 0,01
44,95513478
0,01
1 0,550449616 44,95513478
0,01
0,449550384 44,95513478
0,01
−
−
  − +   =     
  
  − +   =     
  
  − 
=      
  
  
=      
  
44,95503841			=			44,95513478
168
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Perceba	que	na	fórmula	foi	efetuada	a	divisão	do	valor	à	vista	(presente)	
pelo	 valor	 da	 prestação.	 Ao	 encontrar	 o	 resultado	 dessa	 divisão,	 devem	 ser	
inseridas	 taxas	aleatórias,	 substituindo	as	duas	 letras	 i	da	 fórmula	até	acertar	a	
taxa	cujo	cálculo	do	lado	esquerdo	da	fórmula	dê	o	resultado	igual	ao	lado	direito.	
Perceba	que	é	bastante	trabalhoso.
O	 resultado	 não	 saiu	 exatamente	 igual	 nas	 últimas	 casas,	 por	 termos	
utilizado	a	taxa	de	1%,	sendo	que	a	taxa	que	daria	o	resultado	exato	seria	0,999%	
ao	mês.
 
Trabalhoso,	não	é?
Mas	pela	calculadora	financeira	é	bem	fácil.....	Vamos	ver!!!
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1.112,22 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
60 n  número de prestações lançadas no n
I  visor 1, ou seja, 1% ao mês
 
Em	algumas	calculadoras	financeiras	a	 resposta	demora	um	pouco	mais	
para	aparecer	no	visor,	mas	é	bem	mais	rápido	do	que	fazer	na	fórmula.
AUTOATIVIDADE
Vamos	lá,	pratique	alguns	exercícios	de	cálculo	da	taxa...	
1		Uma	televisão	de	50	polegadas	foi	comprada	em	18	prestações	mensais,	fixas	
e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	199,00,	vencendo	a		primeira	30	dias	após	a	
compra.	Sabendo	que	o	preço	à	vista	do	bem	era	R$	2.800,00,	calcule	a	taxa	
mensal	desse	parcelamento.
2	 João	 comprou	 uma	 casa	 que	 custava	 à	 vista	 R$	 68.000,00,	 financiada	
diretamente	com	a	imobiliária	em	60	parcelas	mensais,	fixas	e	sem	entrada,	
no	valor	de	R$	1.500,00.	 Sabendo	que	a	primeira	prestação	vencia	30	dias	
após	a	compra,	calcule	qual	a	taxa	mensal	de	juros	desse	financiamento.	
3 Um freezer	que	custa	à	vista	R$	890,00	pode	ser	adquirido	em	12	prestações	
mensais,	fixas	e	sem	entrada,	no	valor	de	R$	87,82,	vencendo	a	primeira	30	
dias	após	a	compra.	Calcule	a	taxa	de	juros	mensal	da	compra	a	prazo.
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
169
4		Um	cavalo	manga	larga	foi	comprado	em	12	prestações	mensais,	fixas	e	sem	
entrada, no valor de R$ 500,00, vencendo a primeira prestação em 30 dias 
após	a	compra.	Sabendo	que	o	preço	à	vista	do	cavalo	era	R$	4.000,00,	calcule	
a	taxa	mensal	inserida	nesse	parcelamento.
 
5		Um	 fusca	 1969,	 uma	 relíquia	 para	 colecionador,	 que	 custava	 à	 vista	 R$	
9.000,00,	foi	adquirido	de	forma	parcelada	em	8	parcelas	mensais,	fixas	e	sem	
entrada,	no	valor	de	R$	1.500,00.	Sabendo	que	a	primeira	prestação	vencia	30	
dias	após	a	compra,	calcule	qual	é	a	taxa	mensal	de	juros	desse	parcelamento.	
6	Um	 secador	 de	 cabelo	 que	 custava	 à	 vista	 R$	 290,00	 foi	 comprado	 em	 15	
prestações	de	R$	29,00.	Sabendo	que	as	prestações	são	mensais,	fixas	e	sem	
entrada,	calcule	a	taxa	mensal	de	juros	inserida	nesse	parcelamento.
Seguindo nossos estudos, vamos aprender a calcular o valor futuro.
3.5 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV
O	cálculo	do	valor	futuro	é	utilizado	quando	o	objetivo	é	descobrir	qual	
será	 o	valor	 acumulado	que	uma	determinada	pessoa	ou	 empresa	 terá	 ao	final	
de	certo	período,	se	aplicar	mensalmente	um	determinado	valor,	recebendo	uma	
determinada	taxa	de	juros	na	aplicação.	
Fórmula:
Exemplo 1:
Uma	 pessoa	 resolve	 que	 dentro	 de	 30	 dias	 começará	 a	 depositar	
mensalmente,	em	uma	caderneta	de	poupança,	o	valor	de	R$	500,00.	Sabendo	que	
ela	fará	esse	mesmo	depósito	durante	12	meses	e	que	o	banco	paga	uma	taxa	de	
juros	de	0,58%	ao	mês	na	aplicação,	calcule	quanto	essa	pessoa	terá	acumulado	no	
instante	que	efetuar	o	último	depósito.
Solução pela fórmula:
PMT = 500,00 
n = 12 
i	=	0,58%		
UNI
( )n1 i 1
FV PMT
i
 + −
 = ⋅
 
 
170
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
FV	=?
Portanto, aplicando mensalmente R$ 500,00 durante 12 meses consecutivos e 
a	uma	taxa	de	juros	de	0,58%	ao	mês,	o	aplicador	terá	no	final	do	prazo	o	valor	total	
de	R$	6.195,15.
Esse	tipo	de	cálculo	é	muito	útil	quando	queremos	programar	uma	comprafutura	e	nos	programamos	para	isso.		
Note que o expoente da fórmula, no caso do cálculo do valor futuro, é positivo.
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
f CLX  limpeza das memórias e registradores
500 PMT  valor do investimento mensal lançado no PMT
12 n  número de depósitos mensais lançada no n
0,58 I  taxa da aplicação mensal lançado no i
FV  Visor 6.195,15, que é o valor acumulado em 12 
 meses.
DICAS
( )
( )
n
12
1 i 1
FV PMT
i
1 0,0058 1
FV 500
0,0058
1,071863730 1FV 500
0,0058
0,071863730FV 500
0,0058
FV 500 12,39029828 6.195,15
 + −
 = ⋅
 
 
 + −
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅ =
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
171
É muito importante zerar as memórias antes de efetuar o cálculo, porque nesse 
exercício não foi utilizada a tecla PV e, caso não seja comandado f clx no início, essa tecla 
fica com valores registrados da operação passada e mostra um resultado que não é o correto. 
Exemplo 2:
Roberto está determinado a comprar um terreno para construir 
sua	casa	própria	em	3	anos.	Ele	decidiu	que	dentro	de	30	dias	começará	a	
depositar	mensalmente	em	uma	aplicação	financeira	o	valor	de	R$	1.000,00.	
Sabendo	que	ele	fará	esse	mesmo	depósito	durante	36	meses	e	que	o	banco	
paga	uma	taxa	de	juros	de	0,73%	ao	mês	na	aplicação,	calcule	quanto	Roberto	
terá	acumulado	no	instante	em	que	efetuar	o	último	depósito.
Solução pela fórmula:
PMT	=	1.000,00			
n	=		36	
i	=	0,73%		
FV	=?
Portanto,	 caso	 Roberto	 aplique	 mensalmente	 R$	 1.000,00	 e	 faça	 esse	
investimento	durante	36	meses	consecutivos	e	a	uma	taxa	de	 juros	de	0,73%	ao	
mês,	ele	terá	no	final	do	prazo	o	valor	total	de	R$	41.003,52.
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
DICAS
( )
( )
n
36
1 i 1
FV PMT
i
1 0,0073 1
FV 1.000
0,0073
1,299325681 1FV 1.000
0,0073
0,299325681FV 1.000
0,0073
FV 1.000 41,00351795 41.003,52
 + −
 = ⋅
 
 
 + −
 = ⋅
 
 
 − 
= ⋅  
 
 
= ⋅  
 
= ⋅ =
172
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
f CLX  limpeza das memórias e registradores
1.000 PMT  valor do investimento mensal lançado no PMT
36 n  número de depósitos mensais lançado no n
0,73 I  taxa da aplicação mensal lançada no i
FV  Visor 41.003,52, que é o valor acumulado em 36 
 meses.
Agora	é	a	sua	vez	de	mostrar	que	entendeu	o	cálculo	de	valor	futuro.	Vamos	
lá,	então,	praticar?
AUTOATIVIDADE
1		Calcule	qual	será	o	montante	que	um	poupador	acumulará	caso	ele	comece	
a	aplicar	dentro	de	30	dias	o	valor	de	R$	1.500,00,	e	faça	esse	mesmo	depósito	
durante	10	meses	consecutivos,	recebendo	uma	taxa	de	1,5%	nessa	aplicação.	
2	 Uma	 pessoa	 vai	 depositar	 mensalmente	 a	 quantia	 de	 R$	 350,00	 em	 uma	
aplicação	financeira	que	remunera	à	taxa	de	2,1%	ao	mês.	Sabendo	que	ela	
começará a efetuar seus depósitos em 30 dias e fará essa mesma aplicação 
durante	24	meses	consecutivos,	calcule	qual	será	o	montante	no	instante	do	
último	depósito.	
3		Mário	está	decidido	a	trocar	de	carro	dentro	de	3	anos.	Ele	decidiu	que	dentro	
de 30 dias começará a depositar mensalmente em um banco o valor de R$ 
400,00.	Sabendo	que	ele	fará	esse	mesmo	depósito	mensal	durante	2	anos	e	
que	o	banco	paga	uma	taxa	de	juros	de	0,61%	ao	mês	na	aplicação,	calcule	
quanto	Mário	terá	acumulado	no	instante	em	que	efetuar	o	último	depósito.
4	 Calcule	 qual	 será	 o	montante	 que	 um	 aplicador	 acumulará	 se	 ele	 aplicar	
dentro	de	30	dias	o	valor	de	R$	900,00	e	fizer	esse	mesmo	depósito	durante	
15	meses	consecutivos,	recebendo	uma	taxa	de	1,02%	nessa	aplicação.
5	 Uma	 pessoa	 vai	 depositar	 mensalmente	 a	 quantia	 de	 R$	 900,00	 em	 uma	
aplicação	financeira	que	remunera	à	taxa	de	1,05%	ao	mês.	Sabendo	que	ela	
começará a efetuar seus depósitos em 30 dias e fará essa mesma aplicação 
durante	48	meses	consecutivos,	calcule	qual	será	o	montante	após	o	período	
de	rendimento	do	último	depósito.
6	 Lúcia	 está	 decidida	 que	 vai	 comprar	 uma	 televisão	 nova	de	 50	 polegadas	
daqui	 a	 2	 anos.	 Ela	 decidiu	 que	 dentro	 de	 30	 dias	 começará	 a	 guardar	
mensalmente	em	um	banco	o	valor	de	R$	300,00,	para	que	dentro	de	2	anos	
tenha	o	valor	suficiente	para	a	compra	do	bem.	Sabendo	que	ela	 fará	esse	
depósito	mensal	durante	24	meses	e	que	o	banco	paga	uma	taxa	de	juros	de	
0,56%	ao	mês	na	aplicação,	calcule	quanto	a	Lúcia	 terá	acumulado	após	o	
período	de	rendimento	do	último	depósito.
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
173
Caro/a aluno/a, você avançou bastante em seus estudos. Fez todos os exercícios 
propostos de prestações sem entrada. O próximo passo é estudar as prestações com uma entrada 
no ato. Mas você vai ver que é um assunto fácil, principalmente se você possui a calculadora 
financeira.
Caso esteja cansado/a, pare um pouco, beba aquela “aguinha gelada” e volte a estudar logo mais.
4 PRESTAÇÕES ANTECIPADAS
Uma	 prestação	 é	 antecipada	 quando	 o	 pagamento	 ou	 recebimento	 é	
efetuado	no	início	do	período,	ou	seja,	existe	uma	entrada	no	ato	do	negócio.	No	
momento da negociação é paga a primeira prestação e as demais ocorrem de 30 em 
30	dias	e	no	mesmo	valor	da	entrada.
Ocorre muito no comércio varejista de eletrodomésticos em geral: grandes 
lojas	vendem	seus	produtos	a	prazo,	porém	com	uma	entrada	no	ato.	
Aqui,	nesse	Caderno	de	Estudos,	você	vai	estudar	as	prestações	antecipadas	
que	mais	ocorrem,	que	é	o	modelo	com	valores	fixos	e	mensais	(periódicos).	
Se você estiver utilizando a calculadora financeira HP 12C, através das teclas 
financeiras, agora você deve acionar a função BEGIN no visor da calculadora.
Para que isso ocorra você deve pressionar a tecla g e em seguida a tecla de Número 7 . 
Após pressionar as teclas, aparecerá a palavra Begin no visor de sua calculadora.
Você deve nesse momento estar se perguntando: Mas para que serve o Begin?
Com o Begin aparecendo no Visor, a calculadora “entende” que existe uma entrada no ato do 
negócio e que essa entrada tem o mesmo valor das demais prestações a serem pagas.
Portanto, se você digitar o número 10 e inserir na tecla n com o Begin aparecendo no visor, a 
calculadora “entenderá” que trata-se de uma entrada mais 9 prestações mensais.
Se pressionar o número 12, a calculadora ‘entenderá” que é 1+11, e assim por diante.
Se precisar retirar o Begin do visor da calculadora é só pressionar a tecla g e em seguida a tecla 
de número 8 .
DICAS
ATENCAO
174
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
4.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU À VISTA  PV 
Utiliza-se	esse	tipo	de	cálculo	quando	o	objetivo	é	achar	o	valor	presente	
de	uma	série	de	prestações,	na	qual	ocorreu	uma	entrada	no	ato	de	mesmo	valor	
das	prestações.
 
Fórmula:
Como você pode perceber, a fórmula para o cálculo do PV é bem parecida 
com	a	do	cálculo	do	PV	sem	entrada.	O	que	difere	é	a	multiplicação	por	(1+	i)	no	
final	da	fórmula.	
Exemplo 1: 
Determine	o	valor	presente	de	uma	série	de	6	prestações	de	R$	20.000,00	
mensais	e	iguais,	sendo	a	primeira	paga	no	ato	da	compra,	e	sabendo	ainda	que	a	
taxa	desse	parcelamento	é	5%	ao	mês.
Solução pela fórmula:
Portanto,	se	a	pessoa	tiver	que	pagar	6	prestações	de	R$	20.000,00,	nas	quais	
foi	embutida	uma	taxa	de	5%	ao	mês,	equivale	a	R$	106.689,53	trazendo	a	valor	
presente.
( ) ( )
n
1 1 i
PV PMT 1 i
i
−  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
n
6
1 1 i
PV PMT 1 i
i
1 1 0,05
PV 20.000 1 0,05
0,05
1 0,746215397PV 20.000 1,05
0,05
0,253784603 20.000 1,05
0,05
PV 20.000 5,075692060 1,0
−
−
  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
  − 
= ⋅ ⋅    
  
= ⋅ ⋅  
  
= ⋅ ⋅ 5
PV 106.589,53=
PV
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
175
4.1 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE OU À VISTA  PV Solução pela HP 12c utilizando as teclas financeiras: 
Como se trata de uma prestação antecipada, ou seja, será dada uma 
parcela como entrada no ato da contratação do negócio, precisamos informar isso 
à	calculadora	HP	12C,	pressionando	as	teclas		g	e	em	seguida	BEG	que	é	a	segunda	
função	 localizada	na	 tecla	 de	 número	 7	 .	 	No	visor	 da	 calculadora	 aparecerá	 a	
palavra	BEGIN	 .	Agora	 a	 calculadora	 está	preparada	para	 esse	 tipo	de	 cálculo.	
Para	tirar	o	BEGIN		do	visor	basta	pressionar	as	teclas	g	e	o	número	8	(END)	em	
seguida.
g 7  ativando o modo Begin, com entrada no ato 
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
20.000 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
6 n  número de prestações lançado no n 
5 i  taxa laçada no i
PV  Visor 106.589,53
Você não precisa digitar g 7 em cada cálculo, pois como estamos falando em 
prestações com entrada no ato, você vai fazer vários exercícios todos com entrada. Então, uma 
vez acionado o Begin, ele fica no visor até que você comande g 8 para voltar às prestações 
sem entrada.
Exemplo 2:
Um	produto	está	sendo	ofertado	em	uma	loja	em	14	prestações	mensais	e	
fixas	no	valor	de	R$	400,00,	porém	com uma entrada no ato.	Sabendo	que	a	loja	que	
está	vendendo	o	produto	cobra	uma	taxa	de	2%	ao	mês	nos	parcelamentos,	calcule	
o	valor	presente	desse	produto.
Solução pela fórmula:
DICAS
( ) ( )
n
1 1 i
PV PMT 1 i
i
−  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
176
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Portanto,	 ao	descontarmos	a	 taxa	de	 juros	de	 2%	ao	mês,	 o	preço	desse	
produto	à	vista	deve	ser	R$	4.939,35.		
Solução pela HP 12C utilizando as teclas financeiras: 
Considerando o Begin no visor da calculadora
f CLX  limpando as memórias e registradores 
 financeiros
400 CHS PMT  valor das prestações lançadas no PMT com sinal 
 negativo
14 n  número de prestações lançado no n 
2 i  taxa laçada no i
PV  Visor 4.939,35 
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez	de		exercitar	um	pouco!!!
1		Um	automóvel	novo	está	sendo	ofertado	em	36	parcelas	mensais	e	fixas	no	valor	
de	R$	594,48,	sendo	a	primeira	paga	no	ato	da	compra.	Sabendo	que	a	financeira	
cobra	uma	taxa	de	2,2%	ao	mês,	calcule	qual	o	preço	do	veículo	à	vista.
2		Uma	casa	está	sendo	vendida	em	60	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	
658,50,	sendo	a	primeira	prestação	paga	no	ato	da	compra.	Sabendo	que	este	
parcelamento	foi	calculado	com	taxa	mensal	de	1,5%	ao	mês,	calcule	o	preço	
à	vista	desse	imóvel.
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
( ) ( )
( )
( )
14
1 1 0,02
PV 400 1 0,02
0,02
1 0,757875025PV 400 1,02
0,02
0,242124975PV 400 1,02
0,02
PV 400 12,10624877 1,02
PV 4.939,35
−  − +  = ⋅ ⋅ + 
    
  − 
= ⋅ ⋅  
  
  
= ⋅ ⋅  
  
= ⋅ ⋅
=
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
177
3 Carlos entrou em uma loja de eletrodomésticos e viu a seguinte promoção: 
“Televisor	de	42	polegadas	em	10	parcelas	de	R$	130,97	(1+9)”.	Sabendo	que	
a	loja	opera	com	uma	taxa	de	juros	de	2%	ao	mês,	calcule	qual	o	preço	à	vista	
do	televisor.
4	A	 loja	Casa	da	Tia	 está	 vendendo	uma	geladeira	 frost free em	18	parcelas	
mensais	 e	 fixas	 no	 valor	 de	R$	 200,00	 com	a	primeira	 parcela	 a	 ser	 paga	
no	ato	da	compra.	Sabendo	que	a	loja	cobra	uma	taxa	de	2,02%	ao	mês	no	
parcelamento,	calcule	qual	é	o	preço	da	geladeira	à	vista.
5		Uma	imobiliária	está	vendendo	um	terreno	em	60	prestações	mensais	e	fixas	
no	valor	de	R$	450,00	com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	ato	da	compra.	
Sabendo	que	a	imobiliária	faz	seus	parcelamentos	com	uma	taxa	mensal	de	
1,56%	ao	mês,	calcule	o	preço	à	vista	desse	terreno.
6	Uma	lancha	nova	está	sendo	vendida	em	36	prestações	mensais	e	fixas	no	
valor	de	2.240,00,	com	uma	prestação	a	ser	paga	no	ato	do	negócio.	Sabendo	
que	a	loja	que	vende	a	lancha	opera	com	uma	taxa	de	juros	de	0,99%	ao	mês,	
calcule	qual	é	o	preço	à	vista	dessa	lancha.
Agora vamos calcular o valor das prestações com uma entrada no ato.
4.2 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT
Agora você aprenderá como calcular o valor das prestações com uma 
entrada	no	ato,	ou	seja,	serão	fornecidas	as	informações	do	preço	à	vista,	da	taxa,	
da	quantidade	de	prestações	e	o	objetivo	será	calcular	o	valor	da	prestação	mensal	
a	ser	paga.
Fórmula:
Exemplo 1:
Um	 terreno	 que	 custa	 à	 vista	 R$	 101.000,00	 pode	 ser	 adquirido	 em	 60	
prestações	mensais	e	fixas,	e	a	primeira	prestação	deve	ser	paga	no	ato	do	negócio.	
Sabendo	que	o	parcelamento	foi	efetuado	com	uma	taxa	de	1,99%	ao	mês,	calcule	
o	valor	das	prestações.
UNI
( ) ( )
n
1 1 i
PV PMT 1 i
i
− − +
 = ⋅ ⋅ +
 
 
178
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela fórmula:
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C 
Considerando o Begin aparecendo no Visor
f CLX  limpeza das memórias e registradores
101.513,84 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
60 n  número de prestações lançado no n
1,99 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  2.841,98, que é o valor das 60 prestações. 
Exemplo 2:
Uma	Ferrari	nova	custa	à	vista	R$	700.000,00,	mas	pode	ser	adquirida	em	
60	prestações	mensais	e	fixas,	sendo	a	primeira	paga	no	ato	do	negócio.	Sabendo	
que	se	o	cliente	optar	pela	compra	parcelada	será	cobrada	uma	taxa	de	juros	1,23%	
ao	mês	no	parcelamento,	calcule	o	valor	das	prestações.
( ) ( )
( )
( )
60
1 1 0,0199
101.000 PMT 1 0,0199
0,0199
1 0,306580475101.000 PMT 1,0199
0,0199
0,693419525101.000 PMT 1,0199
0,0199
101.000 34,84520226 1,0199
101.000 PMT 35.53862178
PMT
− − +
 = ⋅ ⋅ +
 
 
 − 
= ⋅ ⋅ 
 
 
= ⋅ ⋅ 
 
= ⋅   ⋅ 
= ⋅
101.000 2.841,98
35,53862178
= =
PMT
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
179
Solução pela fórmula:
Portanto,	caso	o	cliente	opte	por	comprar	a	Ferrari	em	60	prestações,	deverá	
pagar	60	prestações	de	R$	16.363,62.
 
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C:
Considerando o Begin aparecendo no Visor
f CLX  limpeza das memórias e registradores
700.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
60 n  número de prestações lançado no n
1,23 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  16.363,62
AUTOATIVIDADE
Faça	alguns	exercícios	para	entender	melhor	e	gravar		a	sequência	na	
HP.
1		Uma	 máquina	 de	 lavar	 roupa	 nova	 custa	 à	 vista	 R$	 1.199,00.	 Pode	 ser	
adquirida	em	12	prestações	mensais,	porém	com	a	primeira	prestação	sendo	
paga	no	ato	da	compra.	Sabendo	que	neste	parcelamento	foi	adicionada	taxa	
de	juros	de	1,5%	ao	mês,	calcule	o	valor	das	prestações.	
2		Um	aparelho	de	DVD	está	sendo	vendido	por	uma	loja	à	vista	por	R$	399,00,	
mas	 pode	 ser	 comprado	 em	 24	 prestações	mensais	 e	 fixas,	 porém	 com	 a	
( ) ( )
( )
( )
60
1 1 0,0123
700.000 PMT 1 0,0123
0,0123
1 0,480226132700.000 PMT 1,0123
0,0123
0,519773868700.000 PMT 1,0123
0,0123
700.000 PMT 42,25803803 1,0123
700.000 PMT 42.77781190
 
− − +
 = ⋅ ⋅ +
 
 
 − 
= ⋅ ⋅ 
 
 
= ⋅ ⋅ 
 
= ⋅   ⋅ 
= ⋅
=
700.000 16.363,62
42,77781190
=PMT
180
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
primeirano	ato	da	compra.		Sabendo	que	a	loja	opera	com	uma	taxa	de	juros	
de	1,5%	ao	mês,	calcule	o	valor	das	prestações.		
3	Uma	máquina	 para	 roçar	 grama,	 nova,	 custa	 à	 vista	R$	 480,00	 e	 pode	 ser	
adquirida	em	18	prestações	mensais,	porém	com	a	primeira	prestação	sendo	
paga	 no	 ato	 da	 compra.	 Sabendo	 que	 no	 caso	 da	 compra	 parcelada	 será	
adicionada	uma	taxa	de	juros	de	1,5%	ao	mês,	calcule	o	valor	das	prestações.	
4		Um	circulador	de	ar	novo	está	sendo	ofertado	pela	Loja	Pedreira,	à	vista,	por	
R$	199,00,	mas	pode	ser	comprado	em	24	prestações	mensais	e	fixas,	porém	
com	a	primeira	prestação	sendo	paga	no	ato	da	compra.	Sabendo	que	a	loja	
opera	com	uma	taxa	de	juros	de	1,06%		ao	mês	no	caso	de	compra	parcelada,	
calcule	o	valor	das	prestações.
5		A	Loja	Usadão	vende	uma	condicionador	de	ar	usado	à	vista	por	R$	799,00,	
mas	este	equipamento	pode	ser	comprado	em	11	prestações	mensais	e	fixas,	
porém	com	a	primeira	prestação	 sendo	paga	no	ato	da	 compra.	 	 Sabendo	
que	a	Loja	Usadão	opera	com	uma	taxa	de	juros	de	0,77	%	ao	mês	no	caso	de	
compra	parcelada,	calcule	o	valor	das	prestações	mensais.
Acho que não foi difícil calcular as prestações. E é muito importante saber calcular 
as prestações, pois de vez em quando vendemos algo ou compramos alguma coisa a prazo.
4.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N 
Para	o	cálculo	do	tempo	ou	número	de	prestações	com	entrada	no	ato,	deve	
ser utilizado o Logaritmo natural (Ln). O	objetivo	agora	é	calcular	a	quantidade	
de	prestações	que	deverão	ser	pagas	no	caso	de		compras	parceladas.
Agora,	as	informações	que	serão	fornecidas	são:		o	valor	à	vista,	o	valor	das	
prestações	e	a	taxa	de	parcelamento.															
Fórmula:
UNI
( )
( )
PVLn 1 i
PMT 1 i
n
Ln 1 i
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
181
4.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE PRESTAÇÕES  N 
Exemplo 1:
Um	terreno	que	custa	à	vista	R$	50.000,00	foi	vendido	em	parcelas	mensais,	
iguais,	a	R$	2.000,00,	porém	com	uma	prestação	sendo	paga	no	ato	do	negócio.	
Sabendo	que	a	taxa	cobrada	no	parcelamento	é	de	2%	ao	mês,	calcule	o	número	de	
prestações	negociadas.
Solução pela fórmula:
( )
( )
( )
( )
( )
PVLn 1 i
PMT 1 i
n
Ln 1 i
50.000Ln 1 0,02
2.000 1 0,02
n
Ln 1 0,02
50.000Ln 1 0,02
2.040
n
Ln 1 0,02
Ln 1 24,50980392
n
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
−
=
( )
( )
( )
0,02
Ln 1,02
Ln 1 0,490196078
n
Ln 1,02
Ln 0,509803922n
Ln 1,02
Ln 0,673729095n
Ln 0,019802627
n 34,022220748, ou seja, 35 prestações
  ⋅  
 
  
  −   =  
  
 
=  
 
 − 
=  
 
= −
182
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Lembra que no cálculo do número de prestações a HP arredonda para cima o tempo? 
Veja: na fórmula a resposta é 34,02 prestações, mas na HP ela arredonda para o próximo 
período inteiro.
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
Considerando o Begin acionado e aparecendo no visor
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
2 I  taxa lançada no I 
2.000 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  35, que é o número de prestações que 
 devem ser negociadas. 
Exemplo 2:
Um	 automóvel	 que	 custa	 à	 vista	 R$	 30.000,00	 foi	 vendido	 em	 parcelas	
mensais, iguais no valor de R$ 700,00, com a primeira prestação paga no ato da 
compra.	Sabendo	que	a	taxa	cobrada	no	parcelamento	é	de	1,50%	ao	mês,	calcule	o		
número	de	prestações	negociadas.			
Solução pela fórmula: 
IMPORTANT
E
( )
( )
PVLn 1 i
PMT 1 i
n
Ln 1 i
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
183
Solução	utilizando	as	teclas	financeiras	da	HP	12C:
Considerando	que	o	Begin	está	aparecendo	no	visor	da	calculadora
f CLX  limpeza das memórias e registradores
30.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1,5 I  taxa lançada no I 
700 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
n Visor  68, que é o número de prestações que 
 devem ser negociadas. 
Como	você	pode	perceber,	pela	calculadora	científica	é	bastante	trabalhoso	
resolver	 esses	 problemas	 envolvendo	 prestações.	 Já	 pela	 HP	 12C	 ou	 outra	
calculadora	financeira,	 fica	 bem	mais	 fácil,	 pois	 pressionamos	 algumas	 teclas	 e	
temos	prontamente	a	resposta.
( )
( )
( )
( )
( )
30.000Ln 1 0,0150
700 1 0,0150
n
Ln 1 0,0150
30.000Ln 1 0,0150
710,50
n
Ln 1 0,0150
Ln 1 42,22378607 0,0150
n
Ln 1,0150
Ln 1 0,633356791
n
   
 − ⋅   ⋅ +     =  
+ 
 
  
   
− ⋅   
   =  
+ 
  
  − ⋅  =  
  
 −
=
( )Ln 1,0150
Ln 0,366643209n
Ln 1,0150
Ln 1,003366087n
Ln 0,014888612
n 67,39151064, ou seja, arredondando 68 prestações
   
 
  
 
=  
 
 − 
=  
 
= −
184
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
AUTOATIVIDADE
1		Cláudio	comprou	uma	bicicleta	de	presente	para	sua	esposa.	Sabendo	que	o	
preço	da	bicicleta	à	vista	era	R$	450,00	e	que	ele	optou	por	comprar	em	prestações	
mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	80,27,	com	a	primeira	prestação	sendo	paga	no	
ato	do	negócio,	e	sabendo	ainda	que	a	taxa	de	juros	mensal	para	o	parcelamento	
foi	de	2,80%	ao	mês,	calcule	quantas	prestações	foram	negociadas	na	compra	a	
prazo.
2 Uma loja oferece a seguinte promoção aos clientes: “DVD à vista por R$ 
299,00	ou	em	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	30,00,	sendo	a	primeira	
prestação	paga	no	ato	da	compra”.	Sabendo	que	a	taxa	para	parcelamento	
desta	loja	é	1,99%,		calcule	o	número	de	parcelas	que	foram	negociadas	na	
compra	a	prazo.
3		Uma	concessionária	está	vendendo	um	automóvel	à	vista	por	R$	18.000,00,	
porém	como	alternativa	o	cliente	pode	adquirir	o	veículo	em	parcelas	mensais	
e	fixas	no	valor	de	R$	724,00,	com	a	primeira	parcela	paga	no	ato	da	compra.	
Sabendo	que	a	loja	aplica	uma	taxa	de	2,30%	ao	mês	em	seus	financiamentos,	
calcule	quantas	parcelas	deverão	ser	negociadas	na	compra	a	prazo.
4		Uma	loja	está	vendendo	um	parafusadeira	elétrica	por	R$	300,00	à	vista	ou	
em	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	24,90,	com	a	primeira	prestação	
no	ato	da	compra.	Sabendo	que	a	taxa	para	parcelamento	desta	loja	é	1,99%,	
calcule	o	número	de	parcelas	que	foram	negociadas	na	compra	a	prazo.
5 Uma concessionária está vendendo uma moto de 250 cilindradas à vista 
por	R$	8.000,00,	porém	como	alternativa	o	cliente	pode	adquirir	a	moto	em	
parcelas	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	500,00.	A	primeira	parcela	deve	ser	
paga	no	 ato	da	 compra.	 Sabendo	que	 a	 loja	 aplica	uma	 taxa	de	 2,30%	ao	
mês	em	seus	financiamentos,	calcule	quantas	parcelas	deverão	negociadas	
na	compra	a	prazo.
Fico feliz em ver você se dedicando nos exercícios!!! Continue assim e você terá 
um excelente aproveitamento nas avaliações da disciplina. 
Caso esteja um pouco cansado/a, pare um pouco, descanse e volte mais tarde.
UNI
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
185
4.4 CÁLCULO DA TAXA  I 
Como	foi	visto	anteriormente,	no	cálculo	da	taxa	em	prestações	postecipadas,	
é	possível	encontrar	facilmente	a	taxa	pela	calculadora	financeira,	mas	através	da	
calculadora	científica	e	trabalhando	por	fórmula	fica	mais	trabalhoso	para	encontrar	
a	taxa,	pois	são	feitos	cálculos	inserindo	taxas	aleatórias	até	encontrar	a	taxa	correta.
Aqui	nocálculo	da	taxa	em	prestações	antecipadas	também	ocorre	a	mesma	
situação.	O	que	muda	é	a	fórmula,	devido	à	entrada	no	ato.
Fórmula:
Exemplo:
Um	terreno	que	custa	à	vista	R$	50.000,00	será	parcelado	em	60	prestações	
mensais	 e	 fixas	 no	 valor	 de	 R$	 1.112,22,	 sendo	 a	 primeira	 prestação	 paga	 no	
ato	do	negócio.	 Sabendo	 esses	dados,	 calcule	 qual	 é	 a	 taxa	de	 juros	mensal	 no		
parcelamento	em	60	prestações.
Solução pela fórmula:
A	partir	de	agora	é	preciso	colocar	taxas	aleatórias	no	i	até	encontrar	do	
lado	esquerdo	da	fórmula.	Quando	o	resultado	do	lado	esquerdo	for	o	mesmo	que	
o	do	lado	direito,	significa	que	a	taxa	inserida	é	a	correta.
Como	já	fizemos	o	cálculo	através	da	HP	12C,	sabemos	que	a	taxa	correta	
é	1,037954383%	ao	mês.	Vamos	inserir	a	taxa	de	1,04%	ao	mês	(arredondada)	para	
finalizar	o	exercício,	mas	caso	não	soubéssemos	a	taxa	correta,	ficaríamos	“chutando”	
taxas	até	chegar	na	resposta	certa.
( )
( )
n
1 1 i PV
i PMT 1 i
−    − +   =  
   ⋅ +    
( )
( )
( )
( )
n
60
1 1 i PV
i PMT 1 i
1 1 i 50.000
i 1.112,22 1 i
−
−
    − +   =  
   ⋅ +    
    − +   =  
   ⋅ +    
( )
( )
( )
60
1 1 0,0104 50.000
0,0104 1.112,22 1 0,0104
1 0,537526336 50.000
0,0104 1.123,787088
0,462473664 44,49241367
0,0104
44,46862154 44,49241367
−    − +   =  
   ⋅ +    
  −   
=    
    
  
=      
  
 =    
186
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
O	resultado	não	saiu	exatamente	igual	nas	últimas	casas	porque	utilizamos	
a	taxa	de	1,04%.	A	taxa	que	daria	o	resultado	exato	seria	1,037954383$	ao	mês.
Trabalhoso,	não	é?	
Mas	pela	calculadora	financeira	é	bem	fácil.....	Vamos	ver!!!
 
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C:
Considerando o Begin no visor da calculadora
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
1.112,22 PMT  valor das prestações lançadas no PMT
60 n  número de prestações lançadas no n
I  visor 1,037954383 ou seja 1,04% ao mês 
 com duas casas decimais.
Em	algumas	calculadoras	financeiras	a	 resposta	demora	um	pouco	mais	
para	aparecer	no	visor,	mas	é	bem	mais	rápido	do	que	fazer	na	fórmula.
Só lembrando que estamos trabalhando com prestações com entrada no ato, e a 
HP precisa estar com a informação BEGIN no seu visor. Caso não esteja, pressione as teclas g 
e em seguida a tecla do número 7 para ativar o Begin.
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez	de	exercitar!!!
1		Uma	loja	de	automóveis	está	vendendo	um	automóvel	à	vista	por	R$	35.000,00,	
porém	o	cliente	pode	financiá-lo	o	mesmo	em	36	prestações	mensais	e	fixas	
no	valor	de	R$	1.366,60,	com	a	primeira	prestação	a	pagar	no	ato	da	compra.	
Calcule	a	taxa	mensal	cobrada	na	compra	em	36	prestações.
2	 Um	 terreno	 que	 custa	 à	 vista	 R$	 18.300,00	 pode	 ser	 adquirido	 de	 forma	
parcelada	com	uma	entrada	de	R$	1.063,70	e	mais	19	parcelas	mensais	de	
R$	 1.063,70.	 Calcule	 a	 taxa	mensal	 desse	 parcelamento	 na	 compra	 em	 20	
prestações	(1+19).
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
187
3		Uma	 loja	vende	um	vestido	de	noiva	à	vista	por	R$	3.000,00	 e	 a	noiva	pode	
parcelar	este	vestido	em	24	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	150,00,	com	
a	primeira	prestação	a	pagar	no	ato	da	compra.	Calcule	a	taxa	mensal	cobrada	na	
compra	em	24	prestações.
4		Uma	loja	vende	uma	bicicleta	infantil	à	vista	por	R$	399,00.	O	cliente	pode	
financiar	esta	bicicleta	em	12	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	40,00,	
com	a	primeira	prestação	a	pagar	no	ato	da	compra.	Calcule	a	taxa	mensal	
cobrada	na	compra	em	12	prestações.
4.5 CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE  FV
O	cálculo	do	valor	 futuro	é	utilizado	quando	o	objetivo	é	descobrir	qual	
será	 o	 valor	 acumulado	que	uma	determinada	pessoa	ou	 empresa	 terá	 ao	final	
de	certo	período,	se	aplicar	mensalmente	um	determinado	valor,	recebendo	uma	
determinada	taxa	de	juros	na	aplicação.	
Você	já	fez	exercícios	de	cálculo	do	valor	futuro	nas	prestações	postecipadas,	
e	aqui	é	bem	parecido.		O	que	muda	é	que	a	pessoa	já	começa	com	os	depósitos	no	
ato.		
Fórmula: 
Exemplo 1:
Uma pessoa resolve hoje e começa a depositar mensalmente em uma 
caderneta	de	poupança	o	valor	de	R$	500,00.	Sabendo	que	ela	 fará	esse	mesmo	
depósito	 num	 total	 de	 12	meses	 (considerando	 o	 de	 hoje)	 e	 que	 o	 banco	 paga	
uma	taxa	de	juros	de	0,58%	ao	mês	na	aplicação,	calcule	quanto	essa	pessoa	terá	
acumulado	no	instante	em	que	efetuar	o	último	depósito.	
Solução pela fórmula:
PMT = 500,00 
n = 12 
i	=	0,58%		
FV	=?
( ) ( )
n
1 i 1
FV PMT 1 i
i
 + −
 = ⋅ ⋅ +
 
 
188
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Portanto, aplicando mensalmente R$ 500,00 durante 12 meses consecutivos 
(contando	a	entrada)	e	a	uma	taxa	de	juros	de	0,58%	ao	mês,	o	aplicador	terá	no	
final	do	prazo	o	valor	total	de	R$	6.231,08.
Esse	tipo	de	cálculo	é	muito	útil	quando	queremos	programar	uma	compra	
futura	e	nos	programamos	para	isso.	
Note que o expoente da fórmula no caso do cálculo do valor futuro é positivo.
Solução utilizando as teclas financeiras da HP 12C
Considerando o Begin no visor da calculadora  G BEG 
f CLX  limpeza das memórias e registradores
500 PMT CHS  valor do investimento mensal lançado no PMT
12 n  número de depósitos mensais lançado no n
0,58 I  taxa da aplicação mensal lançada no i
FV  Visor 6.231,08, que é o valor acumulado em 
 12 meses.
DICAS
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
n
12
1 i 1
FV PMT 1 i
i
1 0,0058 1
FV 500 1 0,0058
0,0058
1,071863730 1FV 500 1,0058
0,0058
0,071863730FV 500 1,0058
0,0058
FV 500 12,39029828 1,0058 6.231,08
 + −
 = ⋅ ⋅ +
 
 
 + −
 = ⋅ ⋅ +
 
 
 − 
= ⋅ ⋅ 
 
 
= ⋅ ⋅ 
 
= ⋅ ⋅ =
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
189
É muito importante zerar as memórias antes de efetuar o cálculo, porque nesse 
exercício não foi utilizada a tecla PV e, caso não seja comandado f clx no início, essa tecla 
fica com valores registrados da operação passada e mostra um resultado que não é o correto. 
AUTOATIVIDADE
Pratique	um	pouco!!!
1		Calcule	qual	será	o	montante	que	um	poupador	acumulará	caso	comece	a	
aplicar	hoje	o	valor	de	R$	1.500,00	e	faça	esse	mesmo	depósito	por	mais	10	
meses	consecutivos	(1+10),	recebendo	uma	taxa	de	1,5%	nessa	aplicação.
2		Uma	pessoa	resolveu	hoje	e	já	começou	a	depositar	a	quantia	de	R$	350,00	
em	uma	aplicação	financeira	que	remunera	à	taxa	de	1,1%	ao	mês.	Sabendo	
que	fará	essa	mesma	aplicação	durante	24	meses	consecutivos	(1+23),	calcule	
qual	será	o	montante	no	instante	do	último	depósito.
Que bom que você fez os exercícios propostos.
Parabéns!!!
Agora você vai aprender um novo modelo de prestações; são as prestações 
com	carência,	em	que	o	cliente	ganha	um	prazo	de	carência	para	começar	a	pagar	
suas	prestações.
Atualmente esse modelo é bastante utilizado nas redes varejistas e em 
concessionárias	de	veículos,	que	fazem	vários	anúncios	de	compra	de	bens	onde	a	
primeira	prestação	inicia	em	60	ou	até	90	dias	após	a	aquisição	do	bem.
DICAS
UNI
190
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Agora você deve retirar o Begin do visor de sua calculadora financeira, pois esses 
cálculos não têm entrada no ato. Para retirar o Begin, pressione na HP 12C a letra g e em 
seguida pressione a tecla do número 8 .
5 PRESTAÇÕES DIFERIDAS 
Prestações	diferidas	são	aquelas	em	que	existe	um	prazo	de	carência maior 
que	30	dias	para	o	início	do	pagamento	das	prestações	mensais.
5.1 CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES  PMT
Fórmula:Através da fórmula, no lugar da letra n com sinal positivo é lançado o 
período	sem	pagamento	de	prestações	(carência)	e	na	letra	n	com	sinal	negativo	o	
número	de	prestações.
Exemplo 1: 
Um	veículo	 que	 custa	 à	 vista	 o	 valor	 de	R$	 55.000,00	 será	 parcelado	 12	
prestações mensais e iguais, sendo a primeira prestação paga no décimo mês após 
a	compra	do	bem	e	a	uma	taxa	de	2%	ao	mês.	Sabendo	essas	informações	e	que	
a	concessionária	do	veículo	efetua	seus	parcelamentos	no	regime	de	 juros	sobre	
juros,	calcule	o	valor	das	prestações.			
Solução através da fórmula:
DICAS
( )
( )
n
n
PV 1 i
PMT
1 1 i
i
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
( )
( )
n
n
PV 1 i
PMT
1 1 i
i
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
191
Note que utilizamos no lugar da letra n o numero 9, pois o cliente começa a pagar 
prestações no décimo mês. Portanto, ele tem 9 meses de carência e o tempo de carência que 
é lançado no local do n.
Já no expoente n negativo foi inserido o número 12, pois serão 12 prestações que o cliente vai 
pagar no total, começando a primeira no décimo mês após a compra do carro.
Solução através da calculadora HP 12C pelas teclas financeiras:
Serão	feitos	dois	cálculos	pela	HP	para	chegar	ao	resultado	final.
No	primeiro	cálculo	é	feita	a	atualização	do	valor	do	veículo	no	tempo	em	
que	não	existirá	pagamento	de	prestações	(carência).
f CLX  limpeza das memórias e registradores
55.000 CHS PV  valor do veículo à vista 
9 n  tempo de carência – não há pagamento de 
 prestações
2 I  taxa do parcelamento 
FV  Visor 65.730,09, que é o valor do bem atualizado 
 ao final da carência. 
DICAS
( )
( )
( )
9
12
55.000 1 0,02
PMT
1 1 0,02
0,02
55.000 1,195092569
PMT
1 0,788493176
0,02
65.730,09PMT
0,211506824
0,02
65.730,09PMT
10,57534120
PMT 6.215,
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
 
 ⋅
 =
  − 
  
  
 
 
 =
  
  
  
 
=  
 
= 41
192
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Ao descobrir esse novo valor do automóvel, ele passa a ser o valor lançado 
no	PV	como	novo	valor	à	vista	do	veículo,	e	aí	é	possível	descobrir	o	valor	das	
prestações.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
65.730,09 CHS PV  novo valor do veículo à vista 
12 n  número de parcelas ou prestações
2 I  taxa do parcelamento 
PMT  Visor 6.215,41, que é o valor das 12 
 prestações a serem pagas.
Apesar de o cliente ter uma carência de 9 meses para começar a pagar as 
prestações, os juros desse período de carência são calculados e embutidos nas 12 prestações 
que o cliente vai pagar, iniciando no décimo mês após a aquisição do carro.
Veja	mais	um	exemplo	a	seguir.
Exemplo 2: 
Um	 terreno	 custa	 à	 vista	 o	 valor	 de	 R$	 100.000,00,	mas,	 como	 opção,	 o	
cliente	pode	 comprar	de	maneira	parcelada	 em	60	prestações	mensais	 e	 iguais,	
sendo	a	primeira	prestação	paga	no	quarto	mês	após	a	compra	do	bem.	Sabendo	
que	a	taxa	do	parcelamento	é	1%	ao	mês	no	sistema	de	juros	compostos,	calcule	o	
valor	das	prestações	na	compra	em	60	prestações.
Solução através da fórmula:
DICAS
( )
( )
n
n
PV 1 i
PMT
1 1 i
i
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
( )
( )
( )
3
60
100.000 1 0,01
PMT
1 1 0,01
0,01
100.000 1,030301000
PMT
1 0,550449616
0,01
103.030,10PMT
0,449550384
0,01
103.030,10PMT
44,95503841
PMT 2.
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
 
 ⋅
 =
  − 
  
  
 
 
 =
  
  
  
 
=  
 
= 291,85
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
193
Note que utilizamos no lugar da letra n o número 3, pois o cliente começará a 
pagar prestações no quarto mês. Portanto, ele tem 3 meses de carência e o tempo de carência 
que é lançado no local do n.
Já no expoente n negativo foi inserido o número 60, pois serão 60 prestações que o cliente vai 
pagar no total, começando a primeira no quarto mês após a compra do carro.
Solução através da calculadora HP12c pelas teclas financeiras:
No	primeiro	cálculo	é	feita	a	atualização	do	valor	do	terreno.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
100.000 CHS PV  valor do terreno 
3 n  tempo de carência – não há pagamento de 
 prestações
1 I  taxa do parcelamento 
FV  Visor 103.030,10, que é o valor do terreno 
 atualizado ao final da carência. 
Ao descobrir o novo valor do terreno, ele passa a ser o valor lançado no PV 
como	novo	valor	à	vista,	e	aí	é	possível	descobrir	o	valor	das	prestações.	
f CLX  limpeza das memórias e registradores
103.030,10 CHS PV  novo valor do veículo à vista 
60 n  número de parcelas ou prestações
1 I  taxa do parcelamento 
PMT  Visor 2.291,85 que é o valor das 60 
 prestações a serem pagas.
DICAS
( )
( )
( )
3
60
100.000 1 0,01
PMT
1 1 0,01
0,01
100.000 1,030301000
PMT
1 0,550449616
0,01
103.030,10PMT
0,449550384
0,01
103.030,10PMT
44,95503841
PMT 2.
−
 
 
 ⋅ + =
  − +
  
  
  
 
 ⋅
 =
  − 
  
  
 
 
 =
  
  
  
 
=  
 
= 291,85
194
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Apesar de o cliente ter uma carência de três meses para começar a pagar as 
prestações, os juros desse período de carência são calculados e embutidos nas 60 prestações 
que o cliente vai pagar, iniciando no quarto mês após a aquisição do terreno.
Agora	é	a	sua	vez	de	praticar	um	pouco!!!
1		Uma	pessoa	foi	até	uma	loja	para	adquirir	um	televisor	novo.	Sabendo	que	o	
preço	à	vista	do	televisor	era	R$	2.399,00,	mas,	como	opção,	o	cliente	poderia	
adquirir	o	mesmo	 televisor	de	 forma	parcelada	em	24	prestações	mensais	
e	fixas,	com	a	primeira	prestação	iniciando	somente	no	terceiro	mês	após	a	
compra,	e	sabendo	ainda	que	a	loja	trabalha	com	uma	taxa	de	juros	de	1%	
nos	parcelamentos,	calcule	o	valor	das	24	prestações.		
2	 Uma	 geladeira	 nova	 custa	 à	 vista	 R$	 999,00,	 mas,	 como	 opção,	 o	 cliente	
poderia	adquirir	essa	mesma	geladeira	de	forma	parcelada	em	12	prestações	
mensais	e	fixas,	com	a	primeira	prestação	iniciando	somente	no	quarto	mês	
após	a	compra.	Sabendo	ainda	que	a	loja	trabalha	com	uma	taxa	de	juros	de	
1,5%	nos	parcelamentos,	calcule	o	valor	das	12	prestações.		
3 Uma cama box	 nova	 custa	à	vista	R$	2.199,00,	mas,	 como	opção,	o	 cliente	
pode	adquirir	a	mesma	cama	de	forma	parcelada	em	16	prestações	mensais	
e	 fixas,	 com	 a	 primeira	 prestação	 iniciando	 somente	 no	 sexto	mês	 após	 a	
compra.	Sabendo	ainda	que	a	loja	trabalha	com	uma	taxa	de	juros	de	1,55%	
nos	parcelamentos,	calcule	o	valor	das	16	prestações.		
4		Um	sofá	novo	custa	à	vista	R$	1.799,00,	mas,	como	opção,	o	cliente	pode	adquirir	o	
mesmo	sofá	de	forma	parcelada	em	18	prestações	mensais	e	fixas,	com	a	primeira	
prestação	iniciando	somente	no	quinto	mês	após	a	compra.	Sabendo	ainda	que	a	
loja	trabalha	com	uma	taxa	de	juros	de	1,2%	nos	parcelamentos,	calcule	o	valor	das	
18	prestações.
AUTOATIVIDADE
DICAS
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
195
Que bom que você fez esses exercícios, agora você vai aprender como calcular o 
valor atual em prestações com carência.
5.2 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE  PV 
Através	do	cálculo	do	valor	presente	é	possível	descontar	os	juros	embutidos	
nas	prestações	e	trazer	esses	valores	para	o	valor	atual,	portanto,	descobrindo	qual	
é	ou	deveria	ser	o	valor	presente	ou	à	vista	de	determinado	bem.	
Fórmula:
Onde o n positivo = carência ou tempo sem pagamento de prestações e on 
negativo	é	o	número	de	prestações	negociadas.
Exemplo 1:
Sabendo	 que	 Carlos	 vendeu	 sua	 casa	 e	 receberá	 como	 pagamento	 60	
prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	1.250.00,	e	que	a	primeira	prestação	será	
paga	no	décimo	mês	após	a	realização	do	negócio,	e	sabendo	que	foi	negociada,	
nesse	parcelamento,	uma	taxa	de	juros	compostos	de	1,5	%	ao	mês,	calcule	o	valor	
à	vista	desse	imóvel.				
UNI
( )
( )
n
n
1 1 i
PMT
i
PV
1 i
−  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
196
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela calculadora financeira HP 12C através das teclas financeiras:
No	primeiro	cálculo	são	retirados	os	juros	das	prestações	até	o	momento	da	
carência.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
1.250 CHS PMT  valor das prestações 
60 n  número de prestações
1,5 I  taxa do parcelamento 
PV Visor 49.225,34, que é o valor do atualizado não 
 considerando (descontando) os juros da carência ainda. 
Solução pela fórmula:
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
60
9
9
1 1 i
PMT
i
PV
1 i
1 1 0,015
1.250
0,015
PV
1 0,015
1 0,4092959671.250
0,015PV
1 0,015
ŶŶŶŶŶ1.250
0,015PV
ŶŶŶŶŶ
−
−
  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
  − 
⋅  
  =
 +
 
 
  
⋅  
 =

( )1.250 39,38026889
PV
1,143389975
49.225,34PV
1,143389975
PV 43.052,10



 
 

 ⋅
=  
  
 
=  
 
=
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
197
O	valor	encontrado	é	o	valor	da	casa	no	nono	mês	e	o	próximo	passo	é	
retirar	esse	juro	desse	período	para	encontrar	o	valor	à	vista	da	casa.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
49.225,34 CHS FV  Valor da casa no 9º. mês 
9 n  Período de carência
1,5 I  taxa do parcelamento 
PV  Visor 43.052,10, que é o valor presente da 
 casa ou à vista.
No segundo cálculo não é utilizada a tecla PMT na calculadora, pois no período 
de carência não há pagamento de prestação. Somente é utilizado o valor futuro, para descobrir 
o valor presente.
Veja	outro	exemplo	para	entender	melhor!!!
Exemplo 2:
Um	 cliente	 foi	 até	 uma	 concessionária	 para	 comprar	 seu	 carro	 novo.	
Sabendo	que	o	veículo	novo	pode	ser	comprado	em	48	prestações	mensais	e	fixas	
no	valor	de	R$	1.320,00,	com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	terceiro	mês	após	
a	realização	do	negócio,	e	sabendo	ainda	que	foi	negociada,	nesse	parcelamento,	
uma	taxa	de	juros	compostos	de	0,99	%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	desse	veículo.
Solução pela fórmula:
DICAS
( )
( )
( )
( )
n
n
48
2
1 1 i
PMT
i
PV
1 i
1 1 0,0099
1.320
0,0099
PV
1 0,0099
−
−
  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
  − +  ⋅
  
  =
 +
 
 
 
198
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Solução pela calculadora financeira HP 12C através das teclas financeiras:
No	primeiro	cálculo	são	retirados	os	juros	das	prestações	até	o	momento	da	
carência.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
1.320 CHS PV  valor das prestações 
48 n  número de prestações
0,99 I  taxa do parcelamento 
PV  Visor 50.237,95, que é o valor do atualizado do 
 veículo não considerando (descontando) os juros 
 da carência ainda. 
( )
1 0,6232153401.320
0,0099PV
1,019898010
0,3767846601.320
0,0099PV
1,019898010
1.320 38,05905661
PV
1,019898101
50.237,95PV
1,019898101
PV 49.257,82
  − 
⋅  
  =
 
 
 
  
⋅  
  =
 
 
 
 ⋅
=  
  
 
=  
 
=
TÓPICO 2 | SÉRIES DE PAGAMENTOS OU PRESTAÇÕES
199
É muito importante ler o exercício por completo para saber quantas prestações 
o cliente vai pagar e qual vai ser o período de carência, ou seja, por quantos meses o cliente 
ficará sem pagar as prestações.
AUTOATIVIDADE
Agora	exercite	um	pouco!!!
1		Um	cliente	foi	até	uma	concessionária	para	comprar	seu	carro	novo.	Sabendo	
que	o	veículo	novo	pode	ser	comprado	em	36	prestações	mensais	e	fixas	no	
valor	de	R$	800,00,	com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	quarto	mês	após	a	
realização	do	negócio,	e	sabendo	ainda	que	foi	negociada,	nesse	parcelamento,	
uma	taxa	de	juros	compostos	de	1%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	desse	veículo.
2		Um	casal	foi	até	uma	loja	para	comprar	um	aparelho	de	som	novo.	Sabendo	que	
o	som	novo	pode	ser	comprado	em	24	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	
R$	99,00,	com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	quinto	mês	após	a	realização	
do	negócio,	e	sabendo	ainda	que	foi	negociada,	nesse	parcelamento,	uma	taxa	
de	juros	compostos	de	1%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	desse	aparelho	de	
som.
O	valor	encontrado	é	o	valor	do	carro	no	segundo	mês	e	o	próximo	passo	é	
retirar	esse	juro	desse	período	para	encontrar	o	valor	à	vista.
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.237,95 CHS FV  Valor do carro 2º. mês 
2 n  Período de carência
0,99 I  taxa do parcelamento 
PV  Visor 49.257,82, que é o valor presente do 
 carro ou à vista.
DICAS
Assista ao vídeo de
resolução da questão 1
200
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
3		 Juvenal	foi	até	uma	loja	para	comprar	um	par	de	sapatos	novos.	Sabendo	que	
o	sapato	novo	pode	ser	comprado	em	6	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	
R$	79,90,	com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	terceiro	mês	após	a	realização	
do	negócio,	e	sabendo	ainda	que	foi	negociada,	nesse	parcelamento,	uma	taxa	
de	juros	compostos	de	2%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	desse	par	de	sapatos.
4		Maria	foi	até	uma	loja	para	comprar	um	jogo	de	panelas	novo.	Sabendo	que	
o	 jogo	de	panelas	pode	 ser	 comprado	 em	12	prestações	mensais	 e	 fixas	 no	
valor	de	R$	49,90,	com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	quarto	mês	após	a	
realização	do	negócio,	e	sabendo	ainda	que	foi	negociada,	nesse	parcelamento,	
uma	taxa	de	juros	compostos	de	1,34%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	desse	jogo	
de	panelas.
201
Caro/a	acadêmico/a!	
Primeiro	 quero	 parabenizar	 você	 por	 ter	 chegado	 até	 aqui	 com	 seus	
estudos.	Sei	das	dificuldades	que	as	pessoas	enfrentam	ao	fazer	cálculos,	pois	a	
maioria	delas	não	gosta	muito	da	matemática,	acha-a	difícil	e	complicada,	mas	é	
uma	disciplina	de	fundamental	importância	em	nossas	vidas.
Neste	tópico	você	aprendeu	a	calcular	as	prestações	com	entrada,	prestações	
sem	 entrada	 e	 ainda	 prestações	 com	 carência.	 Todos	 esses	modelos	 são	muito	
utilizados	em	nosso	dia	a	dia.
Caso	quiséssemos,	poderíamos	estudar	muito	mais	modelos	de	prestações,	
mas com menos importância no dia a dia das pessoas e, como o tempo da disciplina 
não	 é	 tão	 grande	 assim,	 temos	 que	 nos	 limitar	 aos	 modelos	 mais	 utilizados	
atualmente.
Você	 aprendeu	 ainda	 a	 calcular	 qual	 é	 a	 taxa	 cobrada	 ou	 embutida	nas	
prestações	e,	também,	trazer	a	valor	presente	uma	sequência	de	prestações.
Enfim,	 muitas	 novidades	 que,	 acredito,	 vão	 servir	 muito	 em	 sua	 vida	
pessoal,		profissional	ou	em	ambas.
RESUMO DO TÓPICO 2
202
AUTOATIVIDADE
1		Um	microcomputador	 é	 vendido	 à	 vista	 por	 R$	 2.500,00,	 ou	 então	 em	 4	
prestações	mensais	iguais,	sendo	que	a	primeira	dada	como	entrada.	Calcule	
o	valor	das	prestações	sabendo	que	a	taxa	de	juros	praticada	é	5,6	%	ao	mês.
 
2		Um	terreno	é	vendido	à	vista	por	R$	130.000,00	ou	a	prazo	em	12	prestações	
mensais	e	iguais,	sendo	a	primeira	no	ato	da	compra.	Qual	o	valor	de	cada	
prestação	sabendo	que	a	taxa	de	juros	é	de	3%	ao	mês?
3		Um	veículo	é	vendido	à	vista	por	R$	8.000,00,	mas	pode	ser	financiado	em	24	
parcelas	mensais	e	iguais,	sendo	a	primeira	paga	no	ato	da	compra.	Calculeo	valor	da	prestações	sabendo	que	a	taxa	de	juros	aplicada	ao	financiamento	
é	de	2,3%	ao	mês.
4		Compramos	 uma	 televisão	 em	 4	 prestações	mensais	 e	 iguais	 a	 R$	 300,00	
cada,	sem	entrada,	 iniciando	a	primeira	um	mês	após	a	compra.	Sabendo	
que	a	loja	trabalha	com	juros	compostos	de	3%	ao	mês,	qual	deveria	ser	o	
preço	à	vista	dessa	TV?
 
5 Calcule o valor das prestações a serem pagas pela compra de uma geladeira 
cujo	preço	à	vista	é	de	R$	1.200,00,	sendo	que	como	alternativa	a	loja	vende	
esta	geladeira	em	12		prestações	mensais	e	fixas,	iniciando	a	primeira	no	ato	
da	compra	e	aplicando	no	parcelamento	uma	taxa	de	juros	de	2%	ao	mês.	
6		Um	automóvel	é	vendido	por	R$	25.000,00	à	vista,	mas	pode	ser	adquirido	
a	prazo	e	em	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	885,71,	a	 juros	de	
3%	ao	mês.	Sabendo	que	as	prestações	vencem	a	partir	do	mês	seguinte	ao	
da	compra,	pede-se	para	calcular	o	número	de	prestações	que	deverão	ser	
negociadas.
7		Uma	revenda	de	automóveis	vende	um	carro	à	vista	por	R$	50.000,00.	Qual	é	
a	prestação		mensal	que	o	cliente	deve	pagar	se	o	carro	for	financiado	em	24	
203
prestações	mensais	e	fixas,	sem	entrada	no	ato,	e	com	uma	taxa	de	juros	de	
3%	ao	mês	no	parcelamento?
8		João	está	conversando	com	um	amigo	e	conta-lhe	que	fez	o	melhor	negócio	
do	mundo,	pois	comprou	uma	motocicleta,	cujo	valor	à	vista	era	R$	16.000,00,	
mas	financiou	em	prestações	mensais	e	fixas	de	R$	526,06,	sem	dar	entrada	
alguma.	João	achou	que	o	negócio	fora	bom	porque,	apesar	de	o	vendedor	
dizer	que	a	taxa	de	juros	era	de	2,3%	ao	mês,	o	valor	das	prestações	era	baixo.	
Seu	amigo	lhe	perguntou	em	quantas	prestações	comprara	e	João	respondeu	
que	não	sabia.	Calcule	o	número	de	prestações	para	ajudar	o	João.
9		Uma	loja	oferece	em	seu	tabloide	de	ofertas	um	televisor	por	24	prestações	
mensais	 e	fixas	no	valor	de	R$	 149,90,	 	 ocorrendo	o	primeiro	pagamento	
apenas	no	quarto	mês	após	a	compra.	Qual	deveria	ser	o	preço	à	vista	desse	
televisor,	uma	vez	que	a	taxa	de	juros	praticada	pela	loja	é	2,5%	ao	mês?
10	Uma	loja	vende	um	vestido	de	noiva	à	vista	por	R$	4.000,00	e	a	noiva	pode	
parcelar	a	compra	em	24	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	350,00,	
com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	ato	da	compra.	Calcule	a	taxa	mensal	
cobrada	na	compra	em	24	prestações.
11	Uma	loja	vende	uma	bicicleta	infantil	à	vista	por	R$	299,00.	O	cliente	pode	
financiar	a	bicicleta	em	18	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	R$	30,00,	
com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	ato	da	compra.	Calcule	a	taxa	mensal	
cobrada	na	compra	em	18	prestações.
12	Um	automóvel	é	vendido	à	vista	por	R$	40.000,00,	mas	pode	ser	financiado	
em	36	prestações	mensais,	iguais	e	sem	entrada,	com	taxa	de	juros	de	2,01%	
ao	mês.	Sabendo	essas	informações,	obtenha	o	valor	de	cada	prestação.
13	Um	torno	é	vendido	por	R$	20.000,00	à	vista	ou	a	prazo	em	25	prestações	
mensais	 iguais,	 sem	 entrada.	Calcule	 o	 valor	 das	 prestações	 se	 a	 taxa	 de		
juros	praticada	for	de	2%	ao	mês.
204
14	Uma	loja	vende	uma	geladeira	frost free	à	vista	por	R$	2.300,00.	Esta	geladeira	
também	pode	ser	adquirida	a	prazo,	com	prestações	mensais,	iguais	e	sem	
entrada	 no	 ato.	Calcule	 quantas	 prestações	 serão	 negociadas,	 se	 o	 cliente	
optar	por	uma	 	prestação	mensal	de	R$	 300,00,	 sabendo	 ainda	que	 a	 loja	
opera	uma	taxa	de	juros	de	2%	ao	mês.
15	Um	terreno	é	vendido	à	vista	por	R$	67.500,00	ou	em	prestações	mensais,	
fixas	e	sem	entrada	no	valor	de	R$	2.000,00.	Calcule	o	número	de	prestações	
que	devem	ser	pagas	na	compra	a	prazo,	sabendo	que	a	taxa	de	juros	é	de	
1,5	%	ao	mês.				
16	Aristides	está	decidido	a	trocar	de	carro	dentro	de	3	anos.	Ele	decidiu	que	
dentro de 30 dias começará a depositar mensalmente em um banco o valor 
de	R$	600,00.	Sabendo	que	ele	fará	esse	mesmo	depósito	mensal	durante	2	
anos,	e	que	o	banco	paga	uma	taxa	de	juros	de	0,71%	ao	mês	na	aplicação,	
calcule	 quanto	 o	Aristides	 terá	 acumulado	 no	 instante	 em	 que	 efetuar	 o	
último	depósito.
17	Calcule	qual	será	o	montante	que	um	aplicador	acumulará	se	ele	começar	a	
aplicar	dentro	de	30	dias	o	valor	de	R$	1.000,00,	e	fazer	esse	mesmo	depósito	
durante	15	meses	consecutivos	recebendo	uma	taxa	de	1,02%	nessa	aplicação.
18	Uma	concessionária	está	vendendo	um	automóvel	à	vista	por	R$	32.000,00,	
porém	como	alternativa	o	cliente	pode	adquirir	o	veículo	em	parcelas	mensais	
e	fixas	no	valor	de	R$	924,00,	com	a	primeira	parcela	paga	no	ato	da	compra.	
Sabendo	que	a	loja	aplica	uma	taxa	de	1,30%	ao	mês	em	seus	financiamentos,	
calcule	quantas	parcelas	deverão	ser	negociadas	na	compra	a	prazo.
19	Um	cliente	foi	até	uma	loja	náutica	para	comprar	seu	iate	novo.	Sabendo	que	
o	iate	novo	pode	ser	comprado	em	60	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	
de	R$	4.900,00,	porém	a	primeira	prestação	será	paga	no	quarto	mês	após	a	
realização	do	negócio,	e	sabendo	ainda	que	foi	negociada	nesse	parcelamento	
uma	taxa	de	juros	compostos	de	1%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	desse	iate.			
20	Um	casal	foi	até	uma	loja	para	comprar	uma	esteira	elétrica.	Sabendo	que	a	
esteira	nova	pode	ser	comprada	em	24	prestações	mensais	e	fixas	no	valor	de	
205
R$	60,00,	com	a	primeira	prestação	a	ser	paga	no	quinto	mês	após	a	realização	
do	 negócio,	 e	 sabendo	 ainda	 que	 foi	 negociada,	 nesse	 parcelamento,	 uma	
taxa	de	juros	compostos	de	1,86%	ao	mês,	calcule	o	valor	à	vista	dessa	esteira.
21 Uma cama box	casal	nova	custa	à	vista	R$	1.999,00.	Como	opção,	o	cliente	
pode	 adquirir	 esta	 cama	 de	 forma	 parcelada,	 em	 12	 prestações	 mensais	
e	fixas,	com	a	primeira	prestação	 iniciando	somente	no	quarto	mês	após	a	
compra.	Sabendo	ainda	que	a	loja	trabalha	com	uma	taxa	de	juros	de	1,5%	
nos parcelamentos, calcule o valor das 12 prestações dessa cama box.		
22	Uma	mesa	de	centro	nova	custa	à	vista	R$	2.199,00.	Como	opção,	o	cliente	
pode	adquirir	a	mesma	mesa	de	forma	parcelada,	em	18	prestações	mensais	
e	 fixas,	 com	 a	 primeira	 prestação	 iniciando	 somente	 no	 sexto	mês	 após	 a	
compra.	Sabendo	ainda	que	a	loja	trabalha	com	uma	taxa	de	juros	de	1,05%	
nos	parcelamentos,	calcule	o	valor	das	18	prestações.
206
207
TÓPICO 3
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
2 CONCEITUANDO UM SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Neste	tópico	estudaremos	o	tema	Sistemas	de	Amortização.	Normalmente	
as	pessoas	ou	empresas	contraem	empréstimos	ou	financiamentos	de	longo	prazo	
sem	saber	qual	o	sistema	ou	tipo	de	amortização	que	está	sendo	utilizado	para	a	
quitação	de	sua	dívida.
Existem	muitos	sistemas	de	amortização	de	empréstimos	ou	financiamentos.	
Em nosso Caderno de Estudos vamos demonstrar apenas os dois mais utilizados 
no	Brasil.
O	 Sistema	de	Amortização	 de	 Empréstimo	 é	 o	 processo	 de	 extinção	 ou	
liquidação	de	um	empréstimo	ou	financiamento	através	de	pagamentos	periódicos,	
ou	seja,	através	das	prestações.
Traduzindo em um português mais simples: um sistema de amortização 
nada	mais	é	do	que	um	plano	escolhido	para	a	liquidação	de	um	financiamento.	
As prestações são compostas de uma parcela do capital mais juros e encargos 
financeiros.	
A seguir elencamos algumas palavras comuns nos sistemas de amortização:
• Prestação  é a soma de uma parcela do capital mais os juros e encargos devidos, 
pagos	periodicamente,	para	abater/amortizar	o	saldo	devedor.	
• Taxa de juros	é	a	taxa	contratada	entre	as	partes.	
• Amortização 	é	a	parcela	do	capital	que	está	sendo	abatida,	reduzindo	o	capital	
financiado.
• Saldo devedor 	é	o	valor	devido	do	capital	atualizado	periodicamente.			
• Prazo de amortização  é o prazo negociado para o pagamento total do 
empréstimo	ou	financiamento,	descontado	o	prazo	de	carência.
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
208
• Prazo de carência 	é	o	prazo	em	que	não	existe	pagamento	de	prestação,	ou	
seja,	não	existe	a	amortizaçãodo	capital.	Os	juros	podem	ser	pagos	ou	não	no	
período	de	carência,	dependendo	de	como	foi	negociado	o	contrato.
• Prazo do empréstimo ou financiamento  é o prazo total do empréstimo 
ou	 financiamento,	 composto	 pelo	 período	 de	 carência	 mais	 o	 período	 de	
amortização.
• Credor  é	o	que	concede	o	empréstimo	ou	financiamento.
• Devedor  é	quem	pegou	emprestado	o	recurso.
3 TIPOS DE SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
3.1 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO OU PRICE
Existem	vários	sistemas	de	amortização,	mas	em	nosso	Caderno	de	Estudos	
você	vai	conhecer	os	mais	utilizados	no	Brasil,	que	são:
• Sistema Francês de Amortização ou Price
• Sistema de Amortização Constante (SAC)
Também vamos estudar somente os sistemas de amortização sem carência 
e	sem	índice	de	correção.
Vamos	conhecê-los,	então!!!
Consiste	em	um	sistema	de	amortização	em	que	as	prestações	são	iguais	
e	 periódicas	 durante	 todo	 o	 período	 do	 financiamento.	 Caracteriza-se	 por	 um	
processo de amortização crescente, pois os juros são calculados sobre o saldo 
devedor e a parcela de amortização resulta da diferença entre a prestação e os 
juros	do	período.
Vamos ver um exemplo:
A	 empresa	 Terra	 Nova	 contratou	 um	 empréstimo	 no	 Banco	 CrediForte	
para	a	compra	de	uma	máquina.	Sabendo-se	que	o	valor	do	empréstimo	foi	R$	
50.000,00,	a	empresa	pagará	12	prestações	mensais	e	fixas,	vencendo	a	primeira	
um	mês	após	a	liberação	do	crédito.	Sabendo-se	ainda	que	o	banco	trabalha	com	
uma	taxa	de	2%	ao	mês	em	seus	empréstimos	e	que	operou	com	o	Sistema	Price de 
Amortização,	calcule	o	valor	das	prestações	e	elabore	a	planilha	de	amortização.	
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
209
Solução através da fórmula para cálculo das prestações:
Solução pela Calculadora HP 12C através das teclas financeiras:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
12 n  número de prestações lançado no n
2 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  4.727,98, que é o valor a ser pago nas 12 
 prestações. 
Depois	de	ter	calculado	o	valor	das	prestações,	é	possível	elaborar	a	planilha	
de	amortização.
Vamos montar a planilha, então:
Dados: 
Empréstimo  50.000,00
Prazo  12 meses
Taxa  2% ao mês
Prestação 4.727,98
( )
( )
( )
n
12
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,02
50.000 PMT
0,02
1 0,788493176
50.000 PMT
0,02
0,21150682450.000 PMT
0,02
50.000 PMT 10,57534122
50.000PMT 4.727,979832
10,57534122
PMT 4.727,98
−
−
 − +
 = ⋅
 
 
 − +
 = ⋅
 
 
 −
= ⋅  
  
 
= ⋅  
 
= ⋅
= =
=
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
210

 Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
 0,00 0,00 0,00 50.000,00
 4.727,98 1.000,00 3.727,98 46.272,02
 4.727,98 925,44 3.802,54 42.469,48
 4.727,98 849,39 3.878,59 38.590,89
 4.727,98 771,82 3.956,16 34.634,73
 4.727,98 692,69 4.035,29 30.599,44
 4.727,98 611,99 4.115,99 26.483,45
 4.727,98 529,67 4.198,31 22.285,14
 4.727,98 445,7 4.282,28 18.002,82
 4.727,98 360,06 4.367,92 13.634,94
 4.727,98 272,7 4.455,28 9.179,66
 4.727,98 183,59 4.544,39 4.645,27
 4.727,98 92,71 4.635,27 0
 56.735,76 6735,76 50000,00 -
 
FONTE: O autor
Você monta a planilha com as informações a seguir e os campos prazo, 
prestação,	juros	e	amortização	ficam	zerados	no	mês	(	0	-	zero),	pois	nesse	mês	foi	
pego	o	empréstimo.	O	saldo	devedor	é	o	valor	contratado	de	empréstimo.
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
QUADRO 1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
211
Em	 seguida	você	 vai	 preencher	 o	mês	 1	 e	 o	 valor	 que	você	 calculou	de	
prestação	anteriormente.
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
1 4.727,98
Para	calcular	o	valor	dos	juros	é	só	aplicar	a	taxa,	no	caso	dessa	operação	
2%	sobre	o	valor	do		empréstimo	(saldo	devedor	anterior),	ou	seja,	2%	em	cima	de	
50.000,00,	que	é	R$	1.000,00.
A parcela de amortização você obtém subtraindo o valor das prestação do 
valor	dos	juros,	ou	seja,	4.727,98	–	1.000,00	=	3.727,98.
O novo saldo devedor é obtido pela diferença entre o saldo devedor anterior 
e	a	amortização,	ou	seja,	50.000,00	–	3.727,98=	46.272,02
E	a	sua	planilha	vai	ficar	assim:
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
1 4.727,98 1.000,00 3.727,98 46.272,02
Em	seguida	você	preenche	o	prazo	2	e	a	prestação,	que	é	a	mesma	sempre,	
4.727,98.	Depois	calcula	os	juros	de	2%	sobre	o	saldo	devedor	do	período	1,	ou	seja,	
2%	sobre	46.272,02,	que	é	925,44.
Novamente	calcula	a	prestação	menos	os	 juros,	ou	seja,	4.727,98	–	925,44	
e	 obtém	 como	 resposta	 3.802,54,	 que	 é	 o	 novo	 valor	 da	 amortização	do	mês	 2.	
Depois	você	subtrai	o	valor	do	saldo	anterior	dessa	amortização,	ou	seja,	46.272,02	
–	3.802,54,	encontrando	o	novo	saldo	devedor,	que	é	42.469,48.
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
212
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
1 4.727,98 1.000,00 3.727,98 46.272,02
2 4.727,98 925,44 3.802,54 42.469,48
3 4.727,98 849,39 3.878,59 38.590,89
4 4.727,98 771,82 3.956,16 34.634,73
Na	 sequência	 é	 só	 seguir	 essa	 linha	 de	 raciocínio	 até	 chegar	 no	 saldo	
devedor	0(zero)	ao	quitar	a	parcela	12	do	empréstimo.
Agora	que	você	aprendeu	manualmente,	vamos	aprender	a	fazer	os	cálculos	
pela	HP.
Vamos	rever	pela	HP.
Solução pela calculadora HP 12C:
f CLX  limpeza das memórias e registradores
50.000 CHS PV  valor à vista lançado no PV com sinal 
 negativo
12 n  número de prestações lançado no n
2 I  taxa lançada no I 
PMT Visor  4.727,98, que é o valor a ser pago nas 
 12 prestações 
Ao encontrar o valor das prestações, faça os seguintes comandos na 
calculadora:
1 f amort  1.000,00 = juros do 1º. mês
X<>Y  3.727,98 = amortização do 1º. mês
RCL PV  -46.272,02 = saldo devedor ao final do 1º. mês
1 f amort  925,44 = juros do 2º. mês
X<>Y  3.802,54 = amortização do 2º. mês
RCL PV  -42.469,48 = saldo devedor ao final do 2º. mês
1 f amort  849,39 = juros do 3º. mês
X<>Y  3.878,59 = amortização do 3º. mês
RCL PV  -38.590,89 = saldo devedor ao final do 3º. mês
1 f amort  771,82 = juros do 4º. mês
X<>Y  3.956,16 = amortização do 4º. mês
RCL PV  -34.634,73 = saldo devedor ao final do 4º. mês
E	assim	você	vai	seguindo	até	o	saldo	devedor	ficar	zerado,	ou	seja,	quando	
pressionar	o	RCL	PV	e	aparecer	0	(zero)	no	visor	da	HP.
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
213
AUTOATIVIDADE
Agora	é	a	sua	vez	de	testar	se	compreendeu	o	assunto.
1		Carlos	Alberto	adquiriu	um	terreno	no	valor	de	R$	30.000,00,	financiando	
esse	valor	no	Banco	Crédito,	ao	qual	pagará	12	prestações	mensais	e	fixas,	
iniciando	 a	 primeira	 30	 dias	 após	 a	 contratação	 do	 empréstimo.	 Sabendo	
essas	 informações	 e	 que	 o	 banco	 aplicou	 uma	 taxa	 de	 2,5%	 ao	 mês	 no	
parcelamento por meio do Sistema Francês de Amortização, calcule o valor 
das	prestações	e	elabore	a	planilha	de	amortização.
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 A tecla amort está localizada na HP como segunda função da tecla N . 
DICAS
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
214
2		Um	cliente	financiou	uma	motocicleta	no	valor	de	R$	12.000,00	no	Banco	
Alfa.	 Pagará	 10	 prestações	mensais	 e	 fixas,	 iniciando	 a	 primeira	 30	 dias	
após	a	contratação	do	empréstimo.	Sabendo	essas	informações	e	ainda	que	
o	banco	aplicouuma	taxa	de	1,78%	ao	mês	no	parcelamento	por	meio	do	
Sistema Francês de Amortização, calcule o valor das prestações e elabore a 
planilha	de	amortização.
Sistema de Amortização Francês
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Agora	que	você	exercitou	o	Sistema	Francês	de	Amortização,	verá	como	
funciona	o	Sistema	de	Amortização	Constante.	
3.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
O Sistema de Amortização Constante também é um sistema de amortização 
muito	utilizado	no	Brasil,	principalmente	nos	financiamentos	de	longo	prazo.
Como	 o	 próprio	 nome	diz,	 nesse	 plano	 existe	 uma	 amortização	 sempre	
igual,	 que	 é	 calculada	 dividindo	 o	 valor	 contratado	 pelo	 número	 de	meses	 do	
financiamento.	Portanto,	 como	nesse	sistema	as	amortizações	são	constantes,	as	
prestações	são	decrescentes.
TÓPICO 3 | SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
215
Vamos a um exemplo:
A	empresa	Terra	Nova	contratou	um	empréstimo	no	Banco	CrediForte	para	
a	compra	de	uma	máquina.	Sabendo	que	o	valor	do	empréstimo	foi	R$	50.000,00,	a	
empresa	pagará	12	prestações	mensais	e	fixas,	vencendo	a	primeira	um	mês	após	
a	liberação	do	crédito,	e	que	o	banco	trabalha	com	uma	taxa	de	2%	ao	mês	em	seus	
empréstimos e operou com o Sistema de Amortização Constante, calcule o valor 
das	prestações	e	elabore	a	planilha	de	amortização.	
Solução:
Portanto,	 o	 valor	 da	 amortização	 já	 foi	 descoberto.	 O	 próximo	 passo	 é	
elaborar	a	Planilha	de	Amortização.
Sistema de Amortização Constante
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 50.000,00
1 5.166,67 1.000,00 4.166,67 45.833,33
2 5.083,34 916,67 4.166,67 41.666,66
3 5.000,00 833,33 4.166,67 37.499,99
4 4.916,67 750,00 4.166,67 33.333,32
5 4.833,34 666,57 4.166,67 29.166,65
6 4.750,00 583,33 4.166,67 24.999,98
7 4.666,67 500,00 4.166,67 20.833,31
8 4.583,34 416,67 4.166,67 16.666,64
9 4.500,00 333,33 4.166,67 12.499,97
10 4.416,67 250,00 4.166,67 8.333,30
11 4.333.34 166,67 4.166,67 4.166,63
12 4.250,00 83,33 4.166,67 0,00
TOTAL 52.166,70 6499,90 xxxxx Xxxxxxx
FONTE: O autor 
QUADRO 2 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Valor do EmpréstimoAmortização
número de meses
50.000Amortização 4.166,67
12
=
= =
UNIDADE 3 | CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
216
Veja	que	a	coluna	da	amortização	foi	toda	preenchida	com	o	valor	4.166,67,	
pois	a	amortização	é	sempre	a	mesma	em	todos	os	meses.	Para	preencher	a	coluna	
saldo devedor, o cálculo é pegar o saldo devedor anterior e descontar a amortização, 
ou	 seja,	no	mês	0	o	 saldo	devedor	 é	R$	50.000,00;	 já	no	mês	1,	pega-se	o	 saldo	
devedor	anterior	R$	50.000,00	menos	o	valor	da	amortização	R$	4.166,67,	que	dá	
o	resultado	R$	45.833,33,	que	é	o	novo	saldo	devedor	do	mês	1.	Para		calcular	o	
saldo	devedor	do	mês	2,	pega-se	o	saldo	devedor	do	mês	1	(R$45.833,33)	e	subtrai-
se	a	parcela	de	amortização	 (R$	4.166,67),	gerando	o	novo	saldo	devedor	2	 (R$	
41.666,67).
E	procede-se	descontando	desta	maneira	até	o	final.
Para	calcular	os	juros,	basta	aplicar	a	taxa	de	2%	sobre	os	valores	que	você	
calculou	na	 coluna	 saldo	devedor.	O	 juro	do	mês	1	 foi	 calculado	aplicando	2%	
sobre	o	valor	de	R$	50.000,00.	O	juro	do	mês	2	foi	calculado	aplicando	2%	sobre	o	
saldo	devedor	do	mês	1,	e	assim	sucessivamente.
 
E, para calcular o valor da prestação, basta somar a parcela de amortização 
ao	juro	do	mês.
A	prestação	do	mês	1	foi	calculada	somando	a	parcela	de	amortização	(R$	
4.166,67)	ao	juro	do	mês	(R$	1.000,00),	formando	a	prestação	do	mês,	R$	5.166,67.	
A	parcela	do	mês	2	foi	calculada	somando	a	parcela	de	amortização	(R$	4.166,67)	
ao	juro	do	mês	(R$	916,67),	formando	a	prestação	do	mês,	R$	5.083,34.
 
Nesse	 tipo	 de	 cálculo	 não	 é	 utilizada	 a	 calculadora	 financeira	 para	
solucionar,	pois	as	prestações	mudam	constantemente.	
217
RESUMO DO TÓPICO 3
Caro/a	acadêmico/a!		
Primeiro	 quero	parabenizar	 você	novamente,	 pois	 sabemos	que	 o	 nosso	
caderno	 é	 extenso	 e	 trabalhoso,	mas	pode	 ter	 a	 certeza	de	que	valerá	 a	pena	 o	
seu	 esforço.	Nesse	 tópico	 aprendemos	 a	 calcular	 os	dois	principais	 sistemas	de	
amortização	de	empréstimos	utilizados	no	Brasil.
Primeiramente	 estudamos	 o	 Sistema	 Francês	 de	 Amortização,	 no	 qual	
as	 prestações	 são	 iguais	 até	 o	 final	 do	 empréstimo,	 que	 tem	 como	 vantagem,	
caso comparado ao Sistema de Amortização Constante, justamente o fato de as 
prestações	serem	iguais	e	menores	no	início	do	que	as	do	Sistema	de	Amortização	
Constante	(SAC).
 
Já a desvantagem do Sistema Francês consiste na demora em começar a 
diminuir	 o	 saldo	 devedor	 se	 comparado	 ao	 SAC.	 No	 Sistema	 de	Amortização	
Constante,	as	amortizações	são	constantes	(iguais)	até	o	final	do	empréstimo,	tendo	
esse plano como vantagem em relação ao Sistema Francês, ou Price, a redução mais 
rápida	do	saldo	devedor.	A	desvantagem	é	o	fato	de	as	prestações	iniciarem	mais	
altas	do	que	no	sistema	Price.
Caso	quiséssemos,	poderíamos	estudar	muito	mais	modelos	de	amortização,	
mas	com	menos	aplicabilidade	no	dia	a	dia	das	pessoas.
Bom,	 aproveito	 também	 a	 oportunidade	 para	 agradecer-lhe	 por	 ter	
se	 dedicado	 nos	 estudos	 da	 Matemática	 Financeira.	 Imagino	 que	 muitos	 dos	
assuntos	que	você	estudou	foram	novidades	para	você.	Espero	ter	contribuído	no	
enriquecimento	dos	seus	conhecimentos	financeiros.
Desejo	a	você	muito	sucesso!!!
Um grande abraço,
Prof.	Natal	Dolzan	Júnior
218
AUTOATIVIDADE
1		Uma	empresa	contratou	um	empréstimo	no	Banco	Alfa	para	a	compra	de	um	
caminhão.	Sabendo	que	o	valor	do	empréstimo	foi	R$	80.000,00,	a	empresa	
pagará	 9	prestações	mensais	 e	fixas,	 vencendo	a	primeira	um	mês	 após	 a	
liberação	do	crédito,	e	sabendo	ainda	que	o	banco	trabalha	com	uma	taxa	de	
1%	ao	mês	em	seus	empréstimos	e	que	operou	com	o	Sistema	de	Amortização	
Constante,	calcule	o	valor	das	prestações	e	elabore	a	planilha	de	amortização.
2	 A	empresa	Mais	Conta	contratou	um	empréstimo	no	Banco	Alfa	para	a	compra	
de	um	terreno.	Sabendo	que	o	valor	do	empréstimo	foi	de	R$	30.000,00,	a	
empresa	pagará	9	prestações	mensais	e	fixas,	vencendo	a	primeira	um	mês	
após	a	liberação	do	crédito.	Sabendo	ainda	que	o	banco	trabalha	com	uma	
taxa	de	1,33%	ao	mês	em	seus	empréstimos	e	que	operou	com	o	Sistema	de	
Amortização Constante, calcule o valor das prestações e elabore a planilha 
de	amortização.
Sistema de Amortização Constante
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
 
219
3		Carlos	Augusto	contratou	um	empréstimo	no	Banco	Beta	para	a	compra	de	
um	sítio.	Sabendo	que	o	valor	do	empréstimo	foi	R$	90.000,00,	Carlos	pagará	
12	prestações	mensais	e	fixas,	vencendo	a	primeira	um	mês	após	a	liberação	
do	crédito.	Sabendo	ainda	que	o	banco	trabalha	com	uma	taxa	de	1%	ao	mês	
em	seus	empréstimos	e	que	operou	com	o	Sistema	de	Amortização	Constante,	
calcule	o	valor	das	prestações	e	elabore	a	planilha	de	amortização.
Sistema de Amortização Constante
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
 
220
Sistema de Amortização Constante
Prazo Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
 
221
Que bom que você conseguiu fazer esses exercícios. Eles dão um trabalho, não é? 
Mas é muito importante saber efetuar esses cálculos, pois poucas pessoas sabem ou têm esse 
conhecimento que você acabou de adquirir.
UNI
222
223
REFERÊNCIAS
ASSAF	NETO,	Alexandre.Matemática financeira e suas aplicações.	8.	ed.	São	
Paulo:	Atlas,	2003.	
BAUER,	Udibert		Reinoldo.	Matemática financeira fundamental.	São	Paulo:	
Atlas,	2003.
CRESPO,	Antônio	Arnot.	Matemática comercial e financeira fácil.	13.	ed.	São	
Paulo:	Saraiva,	1999.
HAZZAN,	Samuel;	POMPEO,	Jose	Nicolau.	Matemática financeira.	6.	ed.	São	
Paulo:	Saraiva,	2007.
KUHNEN,	Osmar	Leonardo.	Matemática financeira comercial. Blumenau:	
Odorizzi,	2006.
PUCCINI,	Abelardo	de	Lima. Matemática financeira objetiva e aplicada.	6.	ed.	
São	Paulo:	Saraiva,	1999. 
224
ANOTAÇÕES
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225
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226
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