P2 Cálculo 2 2017.1 Virgínia

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UFRC:S- 11-..~1i11110 de Mate,witka - 2017/1 1 2 3 4 5 151 
0..-1,artamenlo de Matemátkn 1'11ra e Apllrnda 
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"-'{) o (o':) MATl.1Ull4 C"culo • G,onwtrla A1u,Utlca IJA v 
PROVA 2 - 12 de junho de 2017 - Turma Dl \_, 
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Nome Cartão Cluut'íada 
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! 15111 Co11.~idcru II n,giiio plnnn ll ddimil a,ln ll<'ln paráholu ele cquaç1111 
y = .r:2 - ,1 I' a fl'I II de! •~1111u;iio 11 = - 2r - 1. 
1. E.~boce a n.,gião R no plano .r:y. 
2. Escrm~ (sem rolc11/11r!) a integral d111>la / L f(x , y)d.4 romo int<-grRI 
dupla 1tcr11d11 1111.~ ordrns 1l.t: dy e dy dr. 
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115121 CoaL~i,h•r,• 11 rrta dr <Xttiai;áo y = J:ix ,. 1,t; dois 1·írculcl<5 1·1·ntr11dcr.. 1111~ 
pontos (O, l) e (U, 2) ,111c siio tangentes RO eixo .r, ,-:;l.,oçndos 11l,11ixo, l>1•111 <·01110 
n região S e o ponto P i11di1·ados. 
01>, l 1. 01.,tmiha a., ('(IUll5<ll'!i c'°5 <·írrul,~ e_ da ll'la .rm r.nordt•m1cl11s J>1Jl11n-s, lwm 
como as coordenada.,; polart"N du ponto P. 
2. Calcule a integral dupla /r ~ 1 c/,1 IL'H1t1do coonli•nndns polares. }1, Jxz + y1 ,. ~ .. _ . _ .,,,. ~') .. I\ 
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11513! Considere/ = 121~ 1• rd:dydr. 
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1. F~-wrC\1\ I t"o1110 11111n intrgrnl tripla it1•rndn 1•111 roordem"Ula.~ rilíndrkas. 
2. Cnh:ule / 11~11111l0 1·1K1r<lc11111hL~ dlínclrinl.~. 
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V\' º '~~ . -~ 11514! Considere o sólido S situado 1•11t11• as su11erfírics t-sf,~ru·as de cqmu;O(,'li 
x 2 + y2 + .:2 = 4 e x2 + y2 + ::2 = !l e dc•utro da folha d<• comi d<' r<1ua~ão 
z = ./3Jx2 + y2. Escrcvn (sem calcular!) a integral JJ 1 (x2 + 1j" + z~)~ d\l 
oomo uma ink'gl'al triphl iterada c·m coonlrnadas esféricas. (/-' / 2. 
(Lembre que, cm coordmuulru; t,sfériras, dV = p1 sc11<f,dpdt;,d8.) 
O ., Q " :> rr 
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[1515! Consid<'rP o can11>0 d(• forc;as F(x.y) = (5.r-4, 2x2-y). 
l. V1•ritiqt11! S(• o can1po é consc•rvati\•n .. J11st.ifü1111i. 
2. Usando o Tcorc111n ele Grren, calcule o trabalho r<'aliz111lo por F )lnra des-
locar tuna 1,artkula 110 longo do c·a1ninho 'Ili<' 1)('rrorni tuna ml'ia volta na 
dn·unfori•nda tlc 1·1•111.ru na ori141•111craio3110 stmtido anti-huritrio, 11 uarlit 
do ponto {!), :J) ntí· o 1>onto (O, -3). seguido do :;cgmcnto de reta do J>onto 
(O, -3) até o ponto (O. 3). 
;,.,,.", ... ... ,: . . 
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