Aula_Teorica_9_e_10

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16/10/2013
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Circuitos de Segunda ordem RLC
(regime transitório – alimentação CC)
Universidade Estadual de Feira de Santana
Departamento de Tecnologia 
Área de Eletrônica e Sistemas
Prof. João Bosco Gertrudes
e-mail: jbosco@ecomp.uefs.br; jbosco@dsce.fee.unicamp.br
Atendimento em sala: terças e quintas das 14:30h as 15:30h
TEC 500 – Circuitos Elétricos e Eletrônicos 2013.2 
Circuitos RLC
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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� Introdução
� Podemos estabelecer a seguinte equação como sendo a equação geral para circuitos de 
primeira ordem (RL ou RC)
� Em que y é a incógnita, como v ou i, e P e Q são constantes.
� Para o caso de Q ser uma constante, a solução geral é dada por
(1)
(2)
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Circuitos RLC
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� Exemplo 1: Calcule i2 para t > 0 no circuito da figura 1, dado que i2(0) = 1A. 
� As equações de laço para este circuito são
� De (3),
� Substituindo i1 em (4) 
i1 i210V
+
-
1H
4Ω
8Ω4Ω
Figura 1
■
(3)
(4)
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� Exemplo 1:
� Rearranjando
� Comparando com eq (1), temos que y = i2, P = 10 e Q = 5. 
� Aplicando a equação (2) 
i1 i210V
+
-
1H
4Ω
8Ω4Ω
Figura 1
■
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Circuitos RLC
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� Exemplo 1:
� Com a condição inicial: i2(0) = 1A
� A solução é dada por 
i1 i210V
+
-
1H
4Ω
8Ω4Ω
Figura 1
■
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� Exemplo 2: Calcule v para t > 0, se i(0) = 1A e vg = 50V para o circuito da figura 2.
� A corrente que passa pelo resistor de 10Ω é:
� Aplicando análise nodal, temos
� Substituindo vg e manuseando, 
Figura 2
vg
+
-
10Ω
15Ω
+
v
-
i
■
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Circuitos RLC
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� Exemplo 2:
� Para a condição inicial i(0) = 1A, temos que
� A solução é 
Figura 2
vg
+
-
10Ω
15Ω
+
v
-
i
■
Circuitos RLC
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� Circuitos com dois Elementos Armazenadores
� Considere o circuito da figura 3, em que a saída a ser calculada é a corrente de malha 
i2.
� O circuito contém dois elementos armazenadores, os indutores.
� i2 satisfaz uma equação diferencial de segunda ordem. ■
Figura 3
i1 i2vg +
-
1 H4 Ω
8 Ω 2 H
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� Circuitos com dois Elementos Armazenadores
� As equações de malha são:
Figura 3
i1 i2vg +
-
1 H4 Ω
8 Ω 2 H
(5.2) 
(5.1) 
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� Circuitos com dois Elementos Armazenadores
� Da equação (5.2), isolamos i1
� Diferenciando (6)
(5.2) 
(5.1) 
(7) ■
(6) 
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� Circuitos com dois Elementos Armazenadores
� Substituindo (6) e (7) em (5.1)
� Rearranjando,
(8) ■
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� Equações Diferencias de Segunda Ordem
� Usando o método dos coeficientes a determinar, a solução geral de uma equação de 
segunda ordem dada como
� é dada por
� Onde yh é a solução da equação homogênea: 
■
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� Equações Diferencias de Segunda Ordem
� Para a solução da equação homogênea de segunda ordem: 
� Obtemos a solução λλλλ da equação característica
� Podemos ter 3 situações:
� 1. λ1≠λ2 (raízes reais e distintas) – sistema superamortecido.
� 2. λ1=λ2 (raízes reais e iguais) – sistema criticamente amortecido.
� 3. λ1 e λ2 (raízes formam um par conjugado complexo) – sistema subamortecido. ■
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� Equações Diferencias de Segunda Ordem
� 1. λλλλ1 ≠ λλλλ2 (raízes reais e distintas) - sistema superamortecido
� Neste caso, a resposta da homogênea é dada por 
Figura 4
■
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� Equações Diferencias de Segunda Ordem
� 2. λλλλ1=λλλλ2 (raízes reais e iguais) - sistema criticamente amortecido
� Neste caso, a resposta da homogênea é dada por 
Figura 5
■
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� Equações Diferencias de Segunda Ordem
� 3. λλλλ1 e λλλλ2 (raízes formam um par conjugado complexo) - sistema subamortecido
� Onde α e β são números reais. 
� A resposta da eq. homogênea é dada por
� Para que a resposta fique mais adequada, utilizamos a identidade de Euler, 
■
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� Equações Diferencias de Segunda Ordem
� Substituindo a identidade de Euler na resposta da eq. homogênea:
Figura 6
■
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� Equações Diferencias de Segunda Ordem
� Resposta forçada:
� A resposta forçada tem a forma da função de excitação, ou seja, uma combinação 
linear da entrada.
� Considerando a entrada uma constante, yf é dada também por uma constante. ■
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� Exemplo 3: Circuito RLC paralelo da figura 7, com i(0) = i0 e v(0) = v0. Encontre v.
� Analisando as correntes de nó:
� Tensão no indutor:
� Integrando: 
� Resolvendo para a corrente:
� Substituindo na eq. do circuito:
Figura 7
(9) ■
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� Exemplo 3:
� Após a diferenciação:
Figura 7
(9) 
(10) ■
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� Exemplo 3:
� Eq. Diferencial do circuito:
� Equação Característica:
� Raízes da eq. Característica (modos próprios):
Figura 7
■
(11)
(10)
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� Exemplo 3:
� Para R = 1Ω; L = (4/3)H; C = (1/4)F; 
� E Condições iniciais: v0 = 2V; i0 = -3A; ig = 0
� Eq. Característica:
� Raízes da eq. Característica: λ1 = -1; λ2 = -3
� A Solução da eq. homogênea é da forma:
� Para definir os coeficientes A1 e A2 precisamos de 2 equações ■
Figura 7
(12)
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� Exemplo 3:
� Para as seguintes Condições Iniciais: v0 = 2V; i0 = -3A; ig = 0; Temos
� Considerando v(0) = 2V e substituindo em (12) para o instante t = 0 , temos:
� Da Eq. (9) obtemos a seguinte relação:
� Derivando a eq. (12) e igualando com (13) obtemos: 
Figura 7
■
(13)
(12)
(9) 
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� Exemplo 3:
� Assim, temos um sistema com duas equações:
� De onde encontramos os valores das constantes:
� Por fim obtemos a equação geral do circuito: 
Figura 7
■
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� Exemplo 4: Para o Circuito RLC Série da figura 8 encontre a expressão de v
� Aplicando LKT:
� Derivando
� A equação característica resultante é
Figura 8
■
(14)
(15)
(16)
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� Exemplo 4:
� Encontrar v para t > 0, 
� com as condições iniciais: v(0) = 6V; i(0) = 2A; vg = 10V 
� e parâmetros do circuito: L = 1H; R = 2Ω; C = (1/5)F.
� Substituindo os valores de R, L e C, encontramos as raízes de (16) : 
� As raizes determinam o tipo de solução para a eq. homogenea:
� Sendo a resposta forçada if igual a zero, já que a entrada da equação diferencial é nula, 
a eq. geral para a corrente é a própria eq. homogênea:
Figura8
■
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� Exemplo 4:
� Eq. geral para a corrente : 
� Considerando a condição inicial: i(0) = 2A 
� Substituindo a cond. Inicial (i(0) = 2A ) na eq. geral da corrente: B1 = 2 ■
Figura 8
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� Exemplo 4:
� Temos a seguinte eq. de malha do circuito:
� com as condições iniciais: v(0) = 6V; i(0) = 2A; vg = 10V 
� e parâmetros do circuito: L = 1H; R = 2Ω; C = (1/5)F.
� Isolando a derivada da corrente, e substituindo as cond. Iniciais, temos:
Figura 8
■
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� Exemplo 4:
� Eq. geral para a corrente :
� Derivando a eq. geral para a corrente:
Figura 8
■
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� Exemplo 4:
� Temos a seguinte eq. de malha do circuito:
� Isolando a derivada da corrente, e substituindo as cond. Iniciais, temos:
� Substituindo as condições Iniciais (i(0) = 2A e i’(0)=0) na derivada da eq. geral da
corrente:
Figura 8
■
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� Exemplo 4:
� Para obtermos a expressão da tensão v(t):
� Substituindo a expressão para a corrente, e a condição inicial (v(0) = 6V) na eq. 
anterior:
� Integrando de 0 a t, obtemos a expressão para a tensão v(t) no capacitor:
Figura 8
■
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� Exemplo 4:
� Corrente i(t):
Figura 8
■0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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� Exemplo 4:
� Tensão no capacitor v(t):
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■
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
7
8
9
10
11
12