1ª lista de exercício Geometria espacial

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PIAUÍ 
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UAB / IFPI 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO 
MODALIDADE A DISTÂNCIA 
PROF.: JONATHAN LAVOR DA COSTA 
ALUNO: PEDRO JOSE DOS SANTOS FILHO 
PÓLO: COCAL 
1° LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ESPACIAL 
As listas de exercícios são avaliativas e fazem parte do trabalho. Todas as questões foram escolhidas 
do capítulo VII do livro fundamentos de matemática elementar vol. 10 
1- Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces 
quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro. (questão 185 do capitulo 
VII) 
Resposta: 
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 é 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 𝑓3 = 𝑓4 𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 é 1 (𝑓5 = 1). 
𝐹 = 𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5 → 𝑓3 = 𝑓4 → 𝐹 = 2𝑓3 + 𝑓5 = 2𝑓3 + 1 𝑒 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑣𝑒 é 𝑉 = 11 
𝐴 =
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠
2
=
3𝑓3 + 4𝑓4 + 5𝑓5
2
=
7𝑓3 + 5 ∗ 1
2
 
Substituindo na relação de Euler temos: 𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2 
𝑉 = 11, 𝐴 =
7𝑓3 + 5
2
 𝑒 𝐹 = 2𝑓3 + 1 
11 −
7𝑓3 + 5
2
+ 2𝑓3 + 1 = 2 
22 − (7𝑓3 + 5) + 4𝑓3 + 2 = 4 
22 − 7𝑓3 − 5 + 4𝑓3 + 2 = 4 
−7𝑓3 + 4𝑓3 = 4 − 22 + 5 − 2 
−3𝑓3+= −15 
𝑓3 = 5 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑓3 𝑒𝑚 𝐹 = 2𝑓3 + 1 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜. 
𝐹 = 2𝑓3 + 1 = 2 ∗ 5 + 1 = 11 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠. 
2- O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas e oito triangulares. Determine o número de faces, arestas e 
vértices desse sólido euleriano. (questão 191 do capítulo VII) 
Resposta: 
F = faces, 𝑓3 = faces triangulares, 𝑓4 = faces quadrangulares, A = arestas, V = vértices 
𝐹 = 𝑓3 + 𝑓4 = 8 + 6 = 14 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 
𝐴 =
3𝑓3 + 4𝑓4
2
=
3 ∗ 8 + 4 ∗ 6
2
=
24 + 24
2
= 24 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠, 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟. 
V + F = A + 2 ( RELAÇÃO DE EULER ) 
𝑉 + 14 = 24 + 2 = 12 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠. 
 
3- Um poliedro convexo de 24 arestas é formado apenas por faces triangulares e quadrangulares. 
Seccionado por um plano convenientemente escolhido, dele se pode destacar um novo poliedro convexo, 
sem faces triangulares, com uma face quadrangular a mais e um vértice a menos que o poliedro primitivo. 
Calcule o número de faces do poliedro primitivo. (Questão 197 do capítulo VII) 
Resposta: 
Do poliedro primitivo temos: 
𝐴 = 24, 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 8 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑓3 𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑓4. 
𝑂 𝑛𝑜𝑣𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑠𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑓3 𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑓4 𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝑢𝑚 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉 𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜. 
𝑁𝑜𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐴 =
3𝑓3 + 4𝑓4
2
 
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑚 24 =
3𝑓3 + 4𝑓4
2
→ 3𝑓3 + 4𝑓4 = 48 (𝑖) 
Pela a relação de Euler: V + F = A + 2, onde F = 𝑓3 + 𝑓4 substituimos. 
V + 𝑓3 + 𝑓4 = 24 + 2 
V = 26−𝑓3 − 𝑓4 
Do novo poliedro temos: 
𝐴′ =
4(𝑓4 + 1)
2
→ 𝐴′ = 2(𝑓4 + 1) 
Pela a relação de Euler: V′ + F′ = A′ + 2, onde F′ = 𝑓4 + 1 e V′ = V − 1 substituimos. 
(25−𝑓3 − 𝑓4) + (𝑓4 + 1) = 2(𝑓4 + 1) + 2 
26−𝑓3 = 2𝑓4 + 4 
 2𝑓4 + 𝑓3 = 22 (𝑖𝑖) 
Por (i) e (i) temos: 
{
3𝑓3 + 4𝑓4 = 48
 2𝑓4 + 𝑓3 = 22
→ {
3𝑓3 + 4𝑓4 = 48
 𝑓3 + 2𝑓4 = 22 ∗ (−2)
 
{
3𝑓3 + 4𝑓4 = 48
 −2𝑓3 − 4𝑓4 = −44
→ 𝑓3 = 4 → 𝑓4 = 9 
Portanto F = 𝑓3 + 𝑓4 = 4 + 9 = 13 
4- Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada espécie, 
se a soma dos ângulos das faces é 64 retos? (questão 200 capítulo VII) 
Resposta: 
De mesmo modo das questões anteriores temo: 𝐴 = 28 𝑒 𝐹 = 𝑓3 + 𝑓7 → 2𝐴 = 3𝑓3 + 7𝑓7 = 56 (𝑖) 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑆 = 64𝑟 (𝑟 = 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠) 
Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: 𝑆 = (𝑉 − 2)360º 
(𝑉 − 2)360º = 64𝑟 
(𝑉 − 2)4𝑟 = 64𝑟 
(𝑉 − 2) = 16 → 𝑉 = 18 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠. 
Pela a formula de Euler temos: 18 + 𝐹 = 28 + 2 → 𝐹 = 12 → 𝑓3 + 𝑓7 = 12 (𝑖𝑖) 
Por (i) e (ii): {
3𝑓3 + 7𝑓7 = 56
𝑓3 + 𝑓7 = 12 ∗ (−3)
→ {
3𝑓3 + 7𝑓7 = 56
−3𝑓3 − 3𝑓7 = 36
→ 𝑓7 = 5 𝑒 𝑓3 = 7 
5- Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. 
Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas. (Questão 
203 do capítulo VII) 
Resposta: 
𝐹 = 𝑓3 + 𝑓4 → 2𝐴 = 3𝑓3 + 4𝑓4 → 2 ∗ 15 = 3𝑓3 + 4𝑓4 = 30 (𝑖) 
𝑆 = 2160º → 𝑆 = (𝑉 − 2)360º 
(𝑉 − 2)360º = 2160º → (𝑉 − 2) = 6 → 𝑉 = 8 
8 + 𝐹 = 15 + 2 → 𝐹 = 9 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐹 = 𝑓3 + 𝑓4 = 9 (𝑖𝑖) 
{
3𝑓3 + 4𝑓4 = 30
𝑓3 + 𝑓4 = 9 ∗ (−3)
→ {
3𝑓3 + 4𝑓4 = 30
−3𝑓3 − 3𝑓4 = −27
→ 𝑓4 = 3 𝑒 𝑓3 = 6 
6- Demonstre que em qualquer poliedro convexo vale a relação 2F = 4 + V3 + 2V4 + 3V5 + 4V6 + 5V7 + ... 
(questão 208 do capítulo VII) 
Resposta: 
2𝐴 = 3𝑉3 + 4𝑉4 + 5𝑉5 + 6𝑉6 … (𝑖) 
𝑉 = 𝑉3 + 𝑉4 + 𝑉5 + 𝑉6 … (𝑖𝑖) 
𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 → 𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 2. 
2𝑉 − 2𝐴 + 2𝐹 = 4 → 2𝐹 = 2𝐴 + 4 − 2𝑉 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 (𝑖) 𝑒 (𝑖𝑖) 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
2𝐹 = 4 + 2𝐴 − 2𝑉 
2𝐹 = 4 + (3𝑉3 + 4𝑉4 + 5𝑉5 + 6𝑉6 … ) − 2(𝑉3 + 𝑉4 + 𝑉5 + 𝑉6 … ) 
2𝐹 = 4 + 𝑉3 + 2𝑉4 + 3𝑉5 + 4𝑉6 … 
Portanto fica provado∎ 
7- Demonstre que os números F, V, A, das faces, vértices e arestas de um poliedro qualquer estão limitados 
por: (Questão 211 do capítulo VII) 
a) 𝐴 + 6 ≤ 3𝐹 ≤ 2𝐴 
Resposta: 
𝑆𝑒𝑗𝑎 3𝐹 ≤ 2𝐴 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝐹 = 𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5 + 𝑓6 + ⋯ 𝑒 2𝐴 = 3𝑓3 + 4𝑓4 + 5𝑓5 + 6𝑓6 + ⋯ 
Deste modo: 
→ 2𝐴 = 3𝑓3 + (3𝑓4 + 𝑓4) + (3𝑓5 + 2𝑓5) + (3𝑓6 + 3𝑓6) + ⋯ 
→ 2𝐴 = (3𝑓3 + 3𝑓4 + 3𝑓5 + 3𝑓6) + (𝑓4 + 2𝑓5 + 3𝑓6) + ⋯ 
→ 2𝐴 = 3𝐹 + (𝑓4 + 2𝑓5 + 3𝑓6) + ⋯ 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 2𝐴 ≥ 3𝐹 → 3𝐹 ≤ 2𝐴 ∎ 
b) 𝐴 + 6 ≤ 3𝑉 ≤ 2𝐴 
Resposta: 
𝐷𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 3𝑉 ≤ 2𝐴 
𝑉 = 𝑉3 + 𝑉4 + 𝑉5 + 𝑉6 + ⋯ 𝑒 2𝐴 = 3𝑉3 + 4𝑉4 + 5𝑉5 + 6𝑉6 + ⋯ 
Deste modo: 
→ 2𝐴 = 3𝑉3 + (3𝑉4 + 𝑉4) + (3𝑉5 + 2𝑉5) + (3𝑉6 + 3𝑉6) + ⋯ 
→ 2𝐴 = (3𝑉3 + 3𝑉4 + 3𝑉5 + 3𝑉6) + (𝑉4 + 2𝑉5 + 3𝑉6) + ⋯ 
→ 2𝐴 = 3𝑉 + (𝑉4 + 2𝑉5 + 3𝑉6) + ⋯ 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 2𝐴 ≥ 3𝑉 → 3𝑉 ≤ 2𝐴