RELATÓRIO PÊNDULO SIMPLES LAB FISI l

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Disciplina: Física I 
 
 Experimento II: 
Estudo do Pêndulo Simples 
 
 
 
 
Alunos: Bianca Siqueira (Lic. Química), Davi Bastos 
da Silva (Eng. Química) 
22/06/2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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sexta-feira, 22 de junho de 2018, Rio de Janeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
OJETIVO 
 Observar a dependência do período do pêndulo simples com o seu comprimento para 
pequenas amplitudes de oscilação para calcular a aceleração gravitacional local. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 1.1 O pêndulo 
Os movimentos oscilatórios ou periódicos são aqueles que se repetem em intervalos regulares 
ou indefinidamente desempenham um papel fundamental em todos os ramos da física 
(mecânica, óptica, acústica, etc.) Na natureza há vários fenômenos em que se observam tais 
eventos, por exemplo: as ondas sonoras, a vibração de uma corda, as radiações 
eletromagnéticas e o movimento dos elétrons em um campo elétrico alternado. 
Um modelo importante desses movimentos é o pêndulo simples, que consiste em um sistema 
idealizado composto por um fio inextensível de massa desprezível (de comprimento L) com 
extremidade superior fixada a um ponto que permite sua livre oscilação, na extremidade 
inferior uma massa é presa. No momento em que esse corpo é retirado de sua posição de 
equilíbrio e depois desprendido, passa a oscilar em um plano vertical. É necessário obter 
algumas grandezas, como: como o período de oscilação e o comprimento do pêndulo para 
realizar algumas manipulações algébricas, para construir um gráfico relacionando, 
linearmente, as duas quantidades. Com a inclinação da reta de tendência, pode-se determinar a 
constante de aceleração local da gravidade com possível precisão. 
 
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 Admite-se que na situação inicial, o pêndulo se encontra em repouso, na vertical, ao ser 
afastado de um ângulo θ dessa posição de equilíbrio e, em seguida, solto, o pêndulo executará 
um movimento oscilatório em um plano vertical, sob a ação da aceleração da gravidade. Todo 
movimento oscilatório é caracterizado por um período T, que é o tempo necessário para se 
executar uma oscilação completa. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 – Pêndulo simples em pequenas oscilações. 
 
 No caso do pêndulo simples, uma análise detalhada da dinâmica do problema leva à seguinte 
equação para o período. 
 
 
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Pode-se demonstrar que, para pequenas oscilações (θ menor ou igual a 10º) o período não 
depende do ângulo, e é dado pela equação (2). Neste experimento trabalha-se dentro do limite 
de pequenas oscilações. A aceleração gravitacional da terra possui diferentes valores, os quais 
variam com a altitude e com a latitude. Observe que na equação (2) o período de oscilação do 
pêndulo simples independe da massa suspensa. 
 
 
 
1.2 MÉTODOS DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) 
O Método dos Mínimos Quadrados é uma técnica de otimização matemática que procura 
encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos 
quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados. 
 Consiste em um estimador que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos da regressão, de 
forma a maximizar o grau de ajuste do modelo aos dados observados. Um requisito para o 
método dos mínimos quadrados é que o fator imprevisível seja distribuído aleatoriamente e 
essa distribuição seja normal. O Teorema Gauss-Markov garante (embora indiretamente) que 
o estimador de mínimos quadrados é o estimador não enviesado de mínima variância linear na 
variável resposta. Outro requisito é que o modelo é linear nos parâmetros, ou seja, as variáveis 
apresentam uma relação linear entre si. 
 
 
1.3 MÉTODOS DE LINEARIZAÇÃO 
Este método é usado nos campos de estudo da engenharia, física, economia e ecologia. A 
linearização refere-se a encontrar a aproximação linear de uma função em um dado ponto, é o 
procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em uma reta encontrando uma 
relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os 
coeficientes angular e linear da reta (y= b+xa). No estudo de sistemas dinâmicos, linearização 
é um método para avaliar-se a estabilidade local de um ponto de equilíbrio de um sistema de 
equações diferenciais não lineares ou sistemas dinâmicos discretos. O processo de 
linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os 
dados. 
2. MATERIAIS  Régua 
 
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 1 Régua de 30 cm 
 1 Régua de 1 metro 
 1Transferidor 
 1m de Linha de costura 
 1 Peso de 20g 
 1Cronômetro digital 
 Papel milimetrado 
 2 Hastes cilíndricas longas 
 1 Haste cilíndrica média 
 5 parafusos intermediários 
 1 base metálica 
 
 
2.2 DESCRIÇÕES DOS MATERIAIS 
Para a montagem do pêndulo simples foi feito a seguinte montagem como demonstrada na 
figura 2, onde: 
(A) representa as hastes cilíndricas grandes 
(B) Base retangular 
(C) Mostra os parafusos 
(D) Haste cilíndrica média 
 
Figura 2: Montagem do pêndulo simples 
 
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3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
3.1 Foram feitas as montagens da estrutura do pêndulo simples conectando as duas hastes 
cilíndricas grande na base metálica com o uso do parafuso intermediário. Na parte superior foi 
colocada outra haste de tamanho médio agrupada usando os parafusos (Figura 2). 
 
3.2 Em umas das hastes longa foi colocado outro parafuso para servir de base para a linha de 
1 metro, nela foi amarrado uma massa de 20 gramas. 
 
3.3 O pêndulo oscilou em um ângulo de 5 graus, foi marcado periodicamente dez vezes com o 
auxílio do cronômetro digital. Este processo foi feito três vezes (em T1, T2 e T3), para 
diminuir a propagação de erro. À medida que o tempo era marcado o tamanho da linha (L) foi 
diminuindo, inicialmente começou com 1000 mm até 100 mm de comprimento. Depois de 
anotados esses valores foi feito a média de cada oscilação em relação ao comprimento do fio 
(média de <10T>) e em seguida os valores de T
2
 (tabela 2). 
 
 Escalas: x= 0,31mm y= 51,34mm em T
2 
 
 Estudo do Pêndulo Simples 
 
Tabela de resultados obtidos 
L(mm) T1(s) T2(s) T3(s) 
Média<10 
T> T2 g(m/s
2
) 
100 7,9800 7,8200 8,0300 0,79433 0,63097 6,25682 
200 10,2200 10,2900 10,3500 1,02867 1,05816 7,46174 
300 11,7700 11,8200 11,7300 1,17733 1,38611 8,54441 
400 13,4800 13,4900 13,5200 1,34967 1,82160 8,66895 
500 14,8400 14,7400 14,8300 1,48033 2,19139 9,00763 
600 16,2000 16,2500 16,2800 1,62433 2,63846 8,97760 
700 17,2800 17,3400 17,3000 1,73067 2,99521 9,22637 
800 18,4900 18,5300 18,5000 1,85067 3,42497 9,22132 
900 19,3700 19,3100 19,3300 1,93367 3,73907 9,50252 
1000 20,3400 20,3500 20,3400 2,03433 4,13851 9,53927 
 (Tabela 1) 
 
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3.4 Escalas 
Uma vez feita à tabela 1, é preciso passar estes dados para uma folha milimetrada para à olho 
nu verificar o comportamento de cada gráfico, tanto a relação de L x T quanto L x T
2
. 
Escalas: L= 0,31mm, T= 145 mm e T
2
= 51,34mm. 
 
 
 
 
3.5 Equação 
A equação que corresponde à prática realizada é a seguinte: 
T= 2∏ 
 
 
) ؞ T= 
 
 
 1/2 ؞ T= 1/2 
Obs.: 
= 
 
 
 
é uma constante, logo: 
Percebe-se que esta equação tem o comportamento gráfico exponencial.Elevando esta equação ao quadrado: 
T
2= (2∏ 
 
 
))
2
 ؞ T2= 4∏2
 
 
 
Obs.: 
c= 
 
 
 é uma constante. 
3.6 Linearização 
Linearizando o T
2
: 
* =L 
T
2
= C’xL ؞ y = ax 
Assim, foi encontrada uma relação para T
2
 x L que nos informe o comportamento de uma reta 
e o MMQ, nos indicara a melhor reta que se enquadre a esta equação linearilizada. 
 3.7 MMQ 
MMQ 
 
 
TABELA DE RESULTADOS OPERACIONAL DO SOMATÓ-
RIO Ʃ 
 
X(L) y(T) XY Ʃx2 Ʃy2 
 
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31 22 679,8894 961 481,0090046 
 
93 61 5684,828 8649 3736,532598 
124 80 9933,892 15376 6417,937552 
155 103 15975,03 24025 10622,33398 
186 121 22576,71 34596 14733,14498 
217 143 31127,36 47089 20576,19421 
248 160 39573,34 61504 25462,56015 
279 178 49544,32 77841 31534,02232 
 
Ʃ X Ʃ Y Ʃ YX Ʃx2 (Ʃx)2 
1333 868,20819 175095,4 270041 1776889 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a= 9x(175095,4)-(868,20819x1333) 
 
 
 9x(270041) - (1776889)
2
 a=0,64047 
 
 
N=9 
 
 b=(270041x868,20819)-(175095,4x1333) 
 9x(270041) - (1776889)
2
 =b=1,60629 
 
 
 
N é o numero 
de ensaios de 
L, que foram 
de 1000 mm a 
100 mm, po-
rém no caso 
deste experi-
mento foi ne-
cessário N=9 
para uma me-
lhor aproxima-
ção da reta de 
tendência. 
 
*O objetivo do MMQ é aproximar ao máximo a uma reta a equação obtida para determinar os 
coeficientes a e b que fazem parte da tendência do gráfico obtido. 
 
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*Para uma melhor visualização de todos os dados lançados, gráficos calculado via Excel, 
estão disponível na descrição do ícone abaixo, clicando no ícone. 
Experimento ll Lab 
Fisica l.xlsx
 
 
 
 
 
4. GRÁFICOS 
 
Escalas: x= 0,31mm y= 51,34m 
(essa escala é devido ao papel milimetrado) 
 
 Gráfico Linear T
2
 x L 
X(L) Y(T
2
) 
 
 
 
 
31 22 
93 61 
124 80 
155 103 
186 121 
217 143 
248 160 
279 178 
 
Escalas: x= 0,31mm y= 145 mm em T 
(essa escala é devido ao papel milimetrado) 
Gráfico Exponencial T x L 
 
 
 
 X(L) Y(T) 
 31 34 
 62 56 
31; 
21,93191749 
93; 
61,12718379 
124; 
80,11203125 
155; 
103,0647077 
186; 
121,3801672 
217; 
143,4440456 
248; 
159,5699225 
279; 
177,5782147 
0 100 200 300 
0 
50 
100 
150 
200 
L(mm) 
T
2
(s
) T2(s) x L(mm) 
31 
93 
124 
155 
186 
217 
248 
279 
0 50 100 150 200 250 300 
0 
50 
100 
150 
200 
L(mm) 
T(
s)
 
T x L 
 
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 93 81 
 124 99 
 155 120 
 186 136 
 217 153 
 248 165 
 279 180 
 
 
 
 
 
 
 
5. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO 
 
O pêndulo simples é um movimento periódico e oscilatório, pois ele movimenta-se de forma 
oscilatória, ou seja, executa movimento de “ida e volta” em torno de certa posição. E é 
também um movimento periódico, pois ele depende de um período, que é o tempo necessário 
para se completar uma oscilação. 
 
Teoricamente, força não é proporcional angular ϴ, mas é proporcional ao senϴ, porém para 
ângulos entre 5° e 10º (ângulos muito pequenos), o valor do senϴ será aproximadamente igual 
a ϴ, sendo a componente tangencial F=m.g.senϴ, então, experimentalmente Força seria 
proporcional ao deslocamento angular ϴ e ao sen ϴ. 
 
Nota-se que a força é proporcional ao sen ϴ que é que é igual ao deslocamento angular ϴ. 
 Verificou-se também que o período de um pêndulo simples é proporcional à raiz quadrada do 
comprimento do fio. 
 
 
 
Alunos: Bianca Siqueira (Lic. Química), Davi Bastos da Silva (Eng. Química) 
Disciplina: Física l 
 
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sexta-feira, 22 de junho de 2018, Rio de Janeiro. 
Professor: Alan Machado 
Turma: 02 Bancada: 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. REFERÊNCIAS 
 
Bertulani C. IFRJ, Oscilações Disponível 
em:<http://www.if.ufrj.br/~bertu/fis2/oscila/oscilacoes.html>. 
 
Matemática essencial, Álgebra linear: método dos mínimos quadrados. Disponível 
em:< http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/alinear/mmq.htm> 
 
Departamento de física UFBP, Pêndulo simples. Disponível em: 
<http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto6.htm> 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Física, Vol. 2, Editora LTC, Rio de 
Janeiro (1983).