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1) Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e x , onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição. SOLUÇÃO: y(x) = a.e x y´(x) = a.e x Substituindo na equação diferencial, temos: a.e x = a.e x CONDIÇÃO INICIAL: y(x) = a.e x 2 = a.e 0 2 = a.1 2) Suponha que numa experiência no laboratório de Física um estudante de engenharia coletou os seguintes dados (0,6), (1,2) e (-1,12). Determine o polinômio interpolador: a) Pelo método de Lagrange b) Pelo método de Newton SOLUÇÃO: a) LAGRANGE: Como dispomos de 3 pontos, o polinômio é de grau até 2. X0 = 0, y0 = 6 X1 = 1 e y1 = 2 X2 = -1 e y2 = 12 P2(x) = yo.L0(x) + y1.L1(x) + y2.L2(x) L0(x) = (x-x1).(x-x2)/(x0-x1).(x0-x2)= (x-1).(x+1)/(0- 1).(0+1) = 1 – x 2 L1(x) = (x-x0).(x-x2)/(x1-x0).(x1-x2)= (x-0).(x+1)/(1- 0).(1+1) = (x 2 + x)/2 L2(x) = (x-x0).(x-x1)/(x2-x0).(x2-x1)= (x-0).(x-1)/(-1- 0).(-1-1) = (x 2 –x)/2 P2(x) = 6.(1-x 2 ) + 2. (x 2 + x)/2 + 12. (x 2 –x)/2 P2(x) = 6-6x 2 + x 2 + x + 6x 2 –6x P2(x) = x 2 – 5x + 6 b) NEWTON: Como dispomos de 3 pontos, o polinômio é de grau até 2. X0 = 0, f(x0) = 6 X1 = 1 e f(x1) = 2 X2 = -1 e f(x2) = 12 P2 = f(x0) + f[x0,x1] (x – x0) + f[x0,x1,x2] (x – x0)(x – x1) f[x0,x1]= f(x1)-f(x0)/[x1-x0] f[x0,x1]=(2-6)/(1-0) = -4 f[x0,x1,x2]= f(x1,x2) – f(x0,x1)/(x2-x0), onde f(x1,x2)= f(x1)-f(x2)/x1-x2 [2-12]/[1+1] = -5 f[x0,x1,x2]= [-5 +4]/[-1 -0] = 1 P2(x) = 6 -4 (x – 0) + 1 (x – 0)(x – 1) P2(x) = 6 - 4x + 1 (x2 – x) P2(x) = 6 - 4x + x2 – x P2(x) = x2 – 5x + 6 3) Dados os 13 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x12,f(x12)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: I – seu grau máximo é 13 II - Existe apenas um polinômio P(x) III - A técnica de Lagrange não é adequada para determinar P(x). Desta forma, é verdade que: a) Todas as afirmativas estão corretas b) Todas as afirmativas estão erradas c) Apenas I é verdadeira d) Apenas II é verdadeira e) Apenas II e III são verdadeiras. SOLUÇÃO: Dados “n” pontos distintos, o polinômio interpolador terá grau máximo “n-1”. Logo como são 13 pontos, o grau máximo é 12. Existe apenas um polinômio que interpola “n” pontos distintos dados. Lagrange e Newton são técnicas específicas para a interpolação 4) Considere a função polinomial f(x) = 2x 3 - 4x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson – Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 2, a próxima iteração (x1) será: a) 2,0 b) 1,8 c) 1,6 d) 1,0 e) 1,2 SOLUÇÃO: f’(xi) = 6x 2 – 4 f’(2) = 6.(2) 2 – 4 = 20 f(x) = 2x 3 - 4x f(2) = 2.(2) 3 – 4.(2) = 8 6) Suponha a equação 3x 3 + 5x 2 + 1 = 0. Responda os itens a seguir: a) Calcule f(-1), f(0), f(1) e f(2) f(x) = 3x 3 +5x 2 + 1 f(-1) = 3(-1) 3 +5(-1) 2 + 1 = 3 f(0) = 3(0) 3 +5(0) 2 + 1 = 1 f(1) = 3(1) 3 +5(1) 2 + 1 = 9 f(2) = 3(2) 3 +5(2) 2 + 1 = 45 b) Diga em qual dos três intervalos existe uma raiz real da equação 1 0 intervalo: (-1,0); 2 0 intervalo: (0,1); 3 0 intervalo: (1,2); O TEOREMA DE BOLZANO afirma que se f(a).f(b) é negativo, existe uma raiz real entre a e b. Se for positivo não existe nenhuma raiz real f(-1) x f(0) = 3 f(0) x f(1) = 9 f(1) x f(2) = 405 Assim, em nenhum intervalo temos raiz real. SUGESTÃO : TEOREMA DE BOLZANO (BISSEÇÃO) 7) Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida com n = 20, cada base h terá que valor? a) 5,0 b) 0,5 c) 0,25 d) 1,0 e) 2,5 SOLUÇÃO: Este método baseia-se na divisão do intervalo de integração em n retângulo de mesma base h. Assim, o intervalo de integração é 5 – 0 = 5. Com n=20, são 20 retângulos. Logo, h = 5/20 = 0,25 8) Considere a seguinte integral definida . Seu valor exato é 0,20. Determine o erro ao se resolver esta integral definida utilizando o método dos trapézios com quatro intervalos (n=4) DADO: . SOLUÇÃO: O intervalo de integração é 1 – 0 = 1 com n=4. Logo, h = 1/4 = 0,25 Assim, termos as divisões: a = 0 x1 = 0,25 x2 = 0,50 x3 = 0,75 b = 1 Substituindo na fórmula: =0,2207 Erro: 0,2207 – 0,20 = 0,0207
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