Métodos Numéricos para Equações Não Lineares

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

MAT 012 2o¯ Sem. 2014 Prof. Rodrigo
Lista 1: Me´todos Nume´ricos para Equac¸o˜es Na˜o Lineares
1. Considere o seguinte algoritmo:
1: Fac¸a �← 1
2: Para k = 1, 2, . . . fac¸a
3: �← �/2
4: Se 1 + � > 1 enta˜o
5: Volte ao passo 3
6: Caso contra´rio
7: Imprima k e o valor de �.
Explique por queˆ o algoritmo para.
2. A subtrac¸a˜o de dois nu´meros muito pro´ximos ou a soma de um nu´mero muito grande
com um nu´mero muito pequeno podem gerar erros quando estes ca´lculos sa˜o realizados
em um computador.
a) Efetue a operac¸a˜o 37654 + 25.874 - 37679 supondo uma ma´quina que trabalha
com somente 5 d´ıgitos significativos. Compare o valor obtido com o valor exato
da operac¸a˜o.
b) Suponha a equac¸a˜o x2 + bx+ c = 0 e as fo´rmulas para o ca´lculo das raizes:
x1 =
−b+√b2 − 4c
2
e x2 =
−b−√b2 − 4c
2
.
Supondo que b2 � 4c, responda: que tipo de erros nume´ricos podem aparecer
se estas fo´rmulas forem implementadas em uma ma´quina que opera com precisa˜o
finita? E´ poss´ıvel calcular as raizes da equac¸a˜o evitando estes erros? Justifique.
3. Seja f ∈ C[a, b] uma func¸a˜o com primeira derivada bem definida em (a, b). Suponha
que f seja conhecida em x0 ∈ (a, b), mas este valor foi calculado com erro por um
programa de computador, isto e´,
(valor exato) f(x0) ≈ f˜(x0) = f(x0 + ∆) (valor com erro),
onde ∆ > 0 e´ um erro.
a) Supondo f(x0) 6= 0, use o Teorema do Valor Me´dio (visto no Ca´lculo 1) para
estimar os erros absoluto |f(x0)− f˜(x0)| e relativo |f(x0)− f˜(x0)|/|f(x0)|.
1
b) Se ∆ = 5× 10−6 e x0 = 1, encontre limitantes superiores para os erros absoluto e
relativo nos casos em que f(x) = ex e f(x) = sen(x).
4. Localize graficamente as ra´ızes das equac¸o˜es a seguir:
a) x− tg(x) = 0
b) 1− x ln(x) = 0
c) 2x − 3x = 0
d) x− 2−x = 0
e) x+ 1− 2 sen(pix) = 0
f)
√
x− cos(x) = 0
Dica: Confira suas respostas usando a ferramenta para construc¸a˜o de gra´ficos online
Desmos : https://www.desmos.com/calculator.
5. Fac¸a treˆs iterac¸o˜es do me´todo da bissecc¸a˜o para estimar a soluc¸a˜o x∗ da equac¸a˜o
x3 + x− 4 = 0
no intervalo [1, 4]. Determine o nu´mero de iterac¸o˜es necessa´rias para que o me´todo
obtenha uma aproximac¸a˜o para x∗ com precisa˜o de 10−6.
6. Seja f(x) = x2 − 4x+ 4− ln(x).
a) Localize graficamente as ra´ızes da equac¸a˜o f(x) = 0.
b) Fornec¸a um intervalo inicial adequado e fac¸a treˆs iterac¸o˜es do me´todo da bissecc¸a˜o
para encontrar uma aproximac¸a˜o para a menor ra´ız positiva de f(x) = 0.
7. Seja g(x) = pi + 0.5 sen(x/2).
a) Mostre que g(x) possui um u´nico ponto fixo em [0, 2pi].
b) Aplique treˆs iterac¸o˜es de ponto fixo para estimar x∗ tal que g(x∗) = x∗.
8. Existe uma modificac¸a˜o do me´todo de Newton na qual o processo iterativo e´ dado por
xk+1 = xk − f(xk)
f ′(x0)
,
onde x0 e´ uma aproximac¸a˜o inicial tal que f
′(x0) 6= 0.
a) Interprete este processo iterativo graficamente.
b) Cite algumas situac¸o˜es em que e´ conveniente usar esta modificac¸a˜o ao inve´s do
me´todo de Newton original.
2
9. Use um me´todo nume´rico para aproximar, com precisa˜o de 10−3, o ponto sobre a curva
y = 1/x que esta´ mais pro´ximo de (2, 1).
10. A raiz quadrada de um nu´mero positivo A pode ser calculada resolvendo a equac¸a˜o
f(x) = x2 − A = 0.
a) Mostre que as iterac¸o˜es do me´todo de Newton para este problema sa˜o dadas por
xk+1 =
1
2
(
xk +
A
xk
)
.
b) Mostre que as iterac¸o˜es do me´todo da secante para este problema sa˜o dadas por
xk+1 =
A+ xkxk−1
xk−1 + xk
.
c) Utilizando o processo iterativo do item a) determine uma aproximac¸a˜o para a raiz
quadrada de 3 com quatro algarismos significativos e � = 10−3. Escolha um ponto
inicial conveniente para comec¸ar o me´todo.
11. Considere a func¸a˜o f(x) = x− 4 lnx.
a) Mostre que a equac¸a˜o f(x) = 0 possui apenas uma raiz no intervalo [1, e].
b) Obtenha, pelo me´todo de Newton, uma aproximac¸a˜o para esta raiz. Considere
x0 = 1.3 e � = 10
−2.
12. Seja x∗ uma raiz da equac¸a˜o f(x) = 0 em [a, b] e considere xˆ ∈ [a, b]. Supondo que
|f ′(x)| ≥ m > 0 para todo x em [a, b], mostre que
|xˆ− x∗| ≤ |f(xˆ)|/m.
Analise este resultado sob o ponto de vista de crite´rios de parada dos me´todos para
equac¸o˜es na˜o lineares. (Dica: use o teorema do valor me´dio.)
13. Suponha que g(x), g′(x) sa˜o cont´ınuas em (a, b) e que existe uma constante α tal que
|g′(x)| < α. Suponha tambe´m que x0, x1, x2 ∈ (a, b) e que x1 = g(x0), x2 = g(x1).
a) Prove que |x2 − x1| < α|x1 − x0|.
b) Suponha agora que x˜ e´ ponto fixo de g em (a, b) e |g′(x)| > 1 neste intervalo.
Mostre que |x˜ − x1| > |x˜ − x0|. O que se pode afirmar sobre a convergeˆncia do
me´todo do ponto fixo em uma vizinhanc¸a de x0? (Dica: use o teorema do valor
me´dio em ambos os itens.)
3
� Nos exerc´ıcios abaixo utilize a ferramenta Desmos (https://www.desmos.
com/calculator) para construir os gra´ficos das func¸o˜es envolvidas nos pro-
blemas e localizar as raizes desejadas.
14. (ECI/EHD/EME) A figura abaixo ilustra uma viga uniforme sujeita a uma carga
distribu´ıda de forma linearmente crescente. A equac¸a˜o para a curva de deflexa˜o resul-
tante e´
y =
w0
120EIL
(−x5 + 2L2x3 − L4x).
a) Fornec¸a uma equac¸a˜o que deve ser resolvida para determinar o ponto de deflexa˜o
ma´xima da viga.
b) Considerando L = 600 cm, E = 50000 kN/cm2, I = 30000 cm4 e w0 = 2.5 kN/cm,
empregue o me´todo da bissecc¸a˜o para resolver a equac¸a˜o do item a) e deter-
minar o ponto de deflexa˜o ma´xima. Utilize como crite´rio de parada a toleraˆncia
� = 10−5.
15. (ECA/EEL) Uma carga total q esta´ uniformemente distribu´ıda ao redor de um con-
dutor circular de raio a. Uma carga p esta´ localizada a uma distaˆncia z do centro do
anel conforme ilustra a figura abaixo. A forc¸a exercida na carga p pelo anel e´ dada por
F =
1
4pie0
pqz
(z2 + a2)3/2
,
onde e0 = 8.85 × 10−12 C2/(Nm2). Utilize o me´todo de Newton para encontrar a
distaˆncia z onde a forc¸a e´ 1.25 N se q e p sa˜o 2× 10−5 C para um anel de raio 0.9 m.
4
16. (EPR/MBA/MLI) Um anu´ncio de jornal oferece o financiamento de um carro de
R$ 21990, 00 em 42 prestac¸o˜es de R$ 932, 00. Qual o juro mensal embutido neste
financiamento?
a) Deduza a equac¸a˜o que representa o juro da seguinte forma: no ato da compra,
e´ paga a 1a. parcela (P ). Se F e´ o valor do financiamento, enta˜o o restante da
d´ıvida passa a ser F − P . Ao final do primeiro meˆs, acrescentamos a esta d´ıvida
o juro (j), e do total subtra´ımos o valor da 2a. parcela, de modo que o novo
montante sera´ (F −P )(1 + j)−P . Repetindo este racioc´ınio, ao final do 2o. meˆs
o montante sera´ de ((F−P )(1+j)−P )(1+j)−P = (F−P )(1+j)2−P (1+j)−P .
Da´ı, podemos deduzir a fo´rmula para o final de um meˆs qualquer n, zerando o
montante quando a u´ltima parcela for paga.
b) Utilize rotinas prontas de um pacote computacional (Scilab ou MATLAB ou
Mathematica) para encontrar j. Descreva os detalhes da rotina empregada.
c) Encontre a taxa anual de juros.
5