cálculo iv

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Exemplo: Calcule a integral de linha 
C
(xy + 3x) ds, sendo C o segmento que une o 
ponto A(-1, 0) ao ponto B(2, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
1o Passo: Definir a equação cartesiana da curva y – 0 = 
12
03


(x + 1) 

 y = x + 1 (reta) 
2o Passo: Parametrizar a curva  Utilizaremos a parametrização natural 
(t) = (t, t + 1), portanto teremos o intervalo t

[-1, 2]. 
3o Passo: Encontrar o '(t)  (t)’(t) = (1, 1) 

 | ’(t) | = 
11
 = 
2
 
4o Passo: Aplicar na integral  
C
(xy + 3x) ds = 

2
1
[x(t) y(t) + 3x(t)] | ’(t) | dt = 

2
1
[t(t + 1) + 3t] 
2
 dt = = 
2

2
1
(t2 + 4t) dt = 
2
2
1
2
3
2
3







 t
t = 2 (8/3 + 8 + 1/3 
- 2) = 9
2
 
 
Exemplo: Calcular a integral , onde C consiste no menor arco da 
circunferência x2+ y2 = 1 de (1,0) a (0,1) e o segmento de reta de (0,1) a (4,3). 
 
1o Passo: Desenhar a curva C 
 
 
 
 
 
 
(-1,0) 
(2,3) 
x 
y 
 
 
 
 2 
2o Passo: Parametrizar a curva C 
Observe que C será a união de duas curvas C1 e C2. Portanto temos que determinar as 
duas curvas e parametrizá-las. 
 
Determinar a curva C1: O problema nos fornece que C1 é x
2+ y2 = 1 de (1,0) a (0,1). 
Portanto precisamos apenas parametrizá-la. 1(t) = ( cos t , sen t) com 0 ≤ t ≤ /2. 
Determinar a curva C2: A reta passa pelos pontos A = (0,1) e B = (4, 3). A equação da 
reta será y - 1 = (1/2) ( x-0) portanto y = (1/2) x + 1 e sua primeira ideia seria a 
parametrização será 2(t) = (t , (t/2) + 1) com 0 ≤ t ≤ 4. 
 
Será que esta correta? Vamos verificar. 
 
Como 0 ≤ t ≤ 4 pois x = t. Quando substituímos t= 0 na parametrização encontramos o 
ponto (0,1) e quando substituímos o t = 4 encontramos o ponto (4,3). Como encontramos 
os pontos da reta descrito no enunciado, então estamos com a parametrização correta. 
 
É importante sempre testar para que não trabalhar com a parametrização errada. 
 
3o Passo: Aplicar na integral. Teremos duas integrais, uma para curva C1 e outra para 
curva C2. 
 
Para C1 teremos: onde 
. Portanto, a integral será: 
 essa integral é simples de resolver e termos como resultado 2. 
 
Para C2 teremos: onde . 
Portanto, a integral será: . A constante pode sair da integral e a 
esta é simples de resolver e termos como resultado . 
 
 
 
 
 3 
O resultado da integral em C será: + = 2 + . 
 
Você poderá fazer como exercício a mesma integral com a parametrização (4t, 1 + 2t) e 
observar que chegará ao mesmo resultado, com isto deverá lembrar que a 
parametrização não é única mas levará sempre ao mesmo resultado. 
 
Exemplo: Um arame tem a forma da curva obtida como interseção da semiesfera 
x2+y2+z2 = 4, y ≥ 0 com o plano x + z = 2. 
 
Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame é dada por f(x, y, z) = xy, calcule 
a massa total do arame. 
 
1o Passo: Desenhar a curva C 
 
 
 
 
 
 
 
 
2o Passo: Parametrizar a curva C. Agora estamos trabalhando com (x,y,z)  C. 
Parametrizaremos x2+y2+z2 = 4, com y ≥ 0 com o plano x + z = 2. Trabalhando com x + z 
= 2 concluímos que z = 2 - x e x2+y2+( 2 -x)2 = 4 com y ≥ 0, ou se preferir, pode 
reescrever como 2 x2 - 4 x + y 2 = 0 com y ≥ 0 ou 2(x − 1)2 + y2 = 2, y ≥ 0 ou (x − 1)2 + 
(y2/2) = 1, y ≥ 0. 
 
A região D (projeção da curva C no plano xy) será (x − 1)2 + (y2/2) = 1, y ≥ 0 (semielípse) 
e sua parametrização será dada por: 
 
 
Como y ≥ 0, então ≥ 0, portanto 0 ≤ t ≤ . 
 
 
 
 
 4 
 
3o Passo: Aplicar na integral onde 
 
 
Portanto, a integral será: . 
Resolvendo esta integral teremos . 
 
Observação: O primeiro passo, desenhar a curva, é apenas para facilitar visualização. 
Você pode resolver sem ter que desenhar.