Integrais definidas e aplicações

Prévia do material em texto

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
 
 
CÂMPUS PATO BRANCO 
Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral 1 – Profa Dayse Batistus, Dra. Eng. 
Acadêmico (a): __________________________________________________ Curso: Engenharia ___________ 
 
1) Calcule as seguintes integrais definidas 
(a) 
  dxx
30
2
 Resposta: - 4 
(b) 
 9
7
3 dx
 Resposta: 36 
(c) 
  dxx
53
16
 Resposta: 728 
(d) 
  dxxx )35(
23
0
 Resposta: 
2
81
 
(e) 
  dxxx )85(
32
1
 Resposta: 
4
51

 
(f) 
 cos20 dxx
 Resposta: 1 
 
(g) 
 dxxs en 20
 Resposta: 1 
(h) 
 dxxc os0

 Resposta: 0 
(i) 
 en 0 dxxs

 Resposta: 2 
(j) 
 dxe
x1
0
 Resposta: e - 1 
(k) 
  dxe
x1
1
 Resposta: 
e
e
1

 
2) Represente geometricamente e interprete o resultado das seguintes integrais: 
(i) 
  
21
1 dxx
 Resposta: 
3
2
 (ii) 
  
31
1 dxx
 Resposta: 0 
 
3) Represente graficamente e determine a área A sob o gráfico de f(x) para a  x  b, ou seja, 
calcular a integral 
dxxf
b
a )(
. 
(a) f(x) = 4x 0  x  7 Resposta: A = 98 
(b) f(x) = 3x2 0  x  4 Resposta: A = 64 
(d)f(x) = x3 0  x  3 Resposta: A = 
4
81
 
4) Represente graficamente e calcule a área da região sob o gráfico de f(x) = x2 + 2x + 5 entre x = 0 e 
x = 2. Resposta: 
3
50
 
5) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x2 – 4x e o eixo x no 
intervalo [0 ; 4]. Resposta: 
3
32
 
6) Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y = 3x e y = x2. 
Resposta: 
2
9
 
7) Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y = 4x–x2 e y = 2x2–8x. 
Resposta: 32 
8) Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = x3 – 6x2 + 8x, pelo 
eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 4. Resposta: 
4
23
 
 
9) Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = - x2 + 8x - 7, pelo 
eixo dos x e pelas retas x = 5 e x = 8. Resposta: 
3
38
 
 
10) Determinar a área das seguintes regiões, utilizando integral definida, representadas nos gráficos a 
seguir: 
a) 
 
b) 
 
Resposta: 
35
 Resposta: 15 
 
 
11) Represente graficamente e calcule a área sob o gráfico de f(x) = 100 - x2 no intervalo [0 , 10]. 
 Resposta: 
3
2000
 
12) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x2 – 4x +3 e o eixo x 
no intervalo [0 , 5]. 
 Resposta: 
3
28
, pois: A1 = 
3
4
, A2 = 
3
4
 e A3 = 
3
20
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Represente geometricamente e calcule a área A sob o gráfico da função 
3x
3
1
)x(f 
 entre x = -1 e 
x = 2. 
 
 
Solução: 
Um traçado do gráfico de f (figura ao lado) mostra 
que ela está abaixo do eixo x no intervalo [-1, 0]. 
Não podemos calcular A simplesmente calculando 
dxx
2
1
3 
3
1
, já que a área abaixo do eixo de x 
proporciona uma contribuição negativa para esta 
integral. Entretanto, dividindo o intervalo [-1, 2] 
em dois subintervalos, podemos facilmente 
calcularmos a sua área: 
dxxdxxA   
2
0
3
0
1
3 
3
1
 
3
1
 
14) Represente graficamente e calcule o volume V do sólido obtido pela rotação do gráfico de f(x), 
a  x  b, em torno do eixo x, em cada caso, ou seja, calcular a integral, 
 
b
a
2dx)]x(f[V
. 
(a) 
 1)x(0 )(  xxf
 Resposta: 
2

V
 
(b) 
2)x(0 3)(  xxf
 Resposta: 
24V
 
(c) 
2)x(0 4)( 2  xxf
 Resposta: 
3
16
V
 Dica: equação reduzida da circunferência: 
r2=x2+y2, logo, o gráfico é: 
 
15) Represente geometricamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de 
xy 3
 em torno do eixo x, no intervalo
2)x(0 
. Resposta: 
24
 
16) Represente geometricamente e calcule o volume do tronco de cone obtido pela rotação do 
gráfico de 
3)x(0 7x)x(f 
 em torno do eixo x. Resposta: 
π219
 
17) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de 
2)( xxf 
em torno do eixo x, entre x = 0 e x = 3. Resposta: 
5
243.
 
18) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de 
2x9)x(f 
em torno do eixo x, x  [-3 , 3]. Faça uma figura e interprete o número resultante. 
Resposta: 
36
 
 
19) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de 
2x9)x(f 
em torno do eixo x, para x entre 0 e 2. Faça uma figura e interprete o número 
resultante. Resposta: 
3
46.
 
20) Represente graficamente e calcule o volume da esfera de raio 1. Resposta: 
3
 4
 
21) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio r. 
Resposta: 
3
r π 4 3
. Sugestão: A equação reduzida de uma circunferência é dada por: 
22
c
2
c r)yy( )xx( 
, onde: (xc , yc) representa o centro da circunferência e r o raio da 
mesma. Considere um circulo com centro na origem (0,0) e raio r qualquer. 
22) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume de um cone circular 
reto com raio da base r = 3 e altura h = 5. 
 Resposta: 
π15
 
23) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio R = 5. 
 Resposta: 
3
π500
 
Obs: na Figura acima, temos apenas ½ esfera. Deveríamos ter ela inteira. 
24) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela 
parábola 
)13(
4
1 2xy 
 e pela reta 
)5(
2
1
 xy
. Resposta: aproximadamente 24,05 u.v. 
25) A região R, limitada pelas curvas 
xy 
 e 
2xy 
, é girada em torno do eixo x. Encontre o volume 
do sólido resultante. Resposta: 
15
2
 u.v. 
26) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região do exercício anterior em torno da reta 
2y
. Resposta: 
15
8
 u.v. 
 
27) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região do exercício 34 em torno da reta 
1y
. Resposta: 
2

 u.v. Dica: veja livro de Cálculo 1, James Stewart. 
28) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pela 
curva 
8
3x
y 
 e pela reta 
xy 2
. Resposta: aproximadamente 107,2 u.v. 
29) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função 
12  xy
 no intervalo [0, 2]. 
Resposta: aproximadamente 4,6468 u.c. 
30) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função 
xy 
 no intervalo [0, 4]. Resposta: 
aproximadamente 4,6468 u.c. 
31) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função 
3
3
2
xy 
 no intervalo [0, 1]. 
Resposta: aproximadamente 1,2190 u.c. 
32) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função 
)(cosln xy 
 no intervalo [0, /3]. 
Resposta: aproximadamente 1,3170 u.c.