Fundamentos da Análise Aula 3 Os Números Racionais

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Fundamentos de Análise
Aula 3 - Os Números Racionais e Limitações e
Propriedade de Ordem
INTRODUÇÃO
Nesta aula, trataremos das de�nições de números pares e ímpares, trabalhando alguns resultados. Além disso,
introduziremos a noção de números racionais e irracionais, demonstrando que raiz de dois não é número racional.
Reconheceremos, também, o conjunto dos números reais como um corpo ordenado, bem como estabeleceremos e
demonstraremos as propriedades básicas da relação de ordem e teoremas decorrentes.
OBJETIVOS
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Reconhecer resultados envolvendo números pares e ímpares;
Reconhecer que raiz de 2 não é racional e que raiz quadrada de um número primo não é racional;
Identi�car alguns números irracionais;
Reconhecer o conjunto dos números reais como um corpo ordenado;
Reconhecer e demonstrar as propriedades das relações de ordem em R e os principais teoremas envolvendo noção de
ordem.
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NÚMEROS PARES E ÍMPARES
Um inteiro p é par se é da forma 2n, n ∈ Z.
O inteiro que não é par é dito ímpar e tem a forma 2n+1, onde n ∈ Z.
NÚMEROS RACIONAIS
Números Racionais são aqueles que podem ser escritos sob a forma , sendo p, q ∈ Z e q ≠ 0.
O conjunto dos Números Racionais Q será então:
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: UM CORPO
O conjunto dos números racionais Q possui a estrutura de Corpo.
De fato:
Q = 0 possui duas operações internas em Q: + : Q → Q e . : Q → Q
<Q, +, .> possui estrutura de corpo, já que:
1) a operação + tem estrutura de grupo abeliano, valem as propriedades Associativas, Elemento Neutro, Elemento
Inverso e Comutativo (ANIC).
2) A operação ∙ possui estrutura de grupo; valem as propriedades associativa, elemento neutro e elemento inverso.
3) Vale a propriedade distributiva, à direita/esquerda, da operação ∙ em relação à operação +.
GEOMETRICAMENTE
Todo número racional pode estar representado em uma reta.
Consideremos uma reta. Vamos escolher agora dois pontos distintos dessa reta. Essas duas posições serão 0 e 1.
Consideremos ainda a distância entre esses dois pontos como a unidade.
Tomemos o ponto 0 à esquerda do ponto 1. O ponto 0 será a origem, de modo que os números à direita dessa origem
serão associados aos números positivos e os números à esquerda da origem serão associados aos números
negativos.
Cada ponto dessa reta será associado a um número, sendo esse número a distância desse ponto à origem.
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LIMITAÇÕES DO CONJUNTO Q
Mas será que existem pontos dessa reta que não representam números racionais?
Na verdade, nem sempre a distância entre dois pontos do plano pode ser expressa por um número racional.
O comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 não é um número racional, ou ainda, se considerarmos um
triângulo retângulo de base e altura iguais a 1u., temos que a hipotenusa é , que não é racional.
Fonte da Imagem:
Os elementos reais que não são racionais são ditos irracionais.
ALGUNS NÚMEROS IRRACIONAIS IMPORTANTES E INTERESSANTES:
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Fonte da Imagem:
O número π
O π é um número irracional muito conhecido e utilizado na Geometria. Podemos representar π na reta utilizando o fato
de que, π é a divisão do comprimento de uma circunferência pelo diâmetro da mesma.
π = 3,141592653589793238462...
Podemos ainda pensar em uma semicircunferência de raio 1. Se reti�carmos essa semicircunferência, obteremos um
segmento de comprimento π.
O número de ouro
O número de ouro ou divina proporção é considerado também um número irracional.
O número de ouro surge a partir da relação existente na sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...).
A sequência de Fibonacci é construída somando-se o termo atual com o anterior para descobrir o próximo.
A construção da Sequência de Fibonacci:
1
1+1=2
2+1=3
3+2=5
5+3=8
8+5=13
13+8=21
21+13=34
34+21=55
E, assim por diante.
Calculando o valor aproximado do número de ouro:
1:1=1
2:1=2
3:2=1,5
5:3=1,66666...
8:5=1,6
13:8=1,625
21:13=1,615...
34:21=1,619...
55:34=1,617...
A partir da divisão de 5 : 3, percebemos que o resultado começa a �car próximo de 1,6.
O número Neper
O número de Neper “e” foi descoberto por John Neper e também é considerado um número irracional.
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Neper foi um Matemático que aprofundou os estudos sobre logaritmos.
CORPOS ORDENADOS
Um corpo ordenado K é um corpo no qual temos um subconjunto P ⊂ K, dito conjuntos dos elementos positivos de K.
(P1) A soma e o produto de elementos positivos são também positivos.
Se x, y ∈ P, então x + y ∈ P e x . y ∈ P
(P2) Dado x pertencente a K, exatamente uma das três a�rmativas ocorre.
x = 0, ou x ∈ P, ou -x ∈ P
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS POSITIVOS E NEGATIVOS
Chamamos de conjunto dos números reais estritamente positivos o conjunto P ⊂ ℜ, P = ∅. Tal conjunto satisfaz as
propriedades:
Se a, b ∈ P então a + b ∈ P
Se a, b ∈ P então a . b ∈ P
Propriedade da Tricotomia. Se a ∈ ℜ então, somente uma das seguintes relações se veri�ca:
a ∈ P ou a = 0 ou -a ∈ P
Dizemos que o conjunto N = {-a, a ∈ P} é o conjunto dos números estritamente negativos.
N não tem elementos em comum com P.
O conjunto dos números reais ℜ é a união dos 3 conjuntos disjuntos P,N e {0}
AS PROPRIEDADES DE ORDEM
Propriedades de Ordem - Para a, b, c ∈ ℜ
(O1) TRANSITIVIDADE
Se a > b e b > c então a > c.
Prova:
Se a > b temos que a - b ∈ P
Se b > c temos que b - c ∈ P
Pela de�nição de P, (a - b) + (b - c) ∈ P.
Isto é, (a - c) ∈ P
Ou ainda: a > c
(O2) TRICOTOMIA
Somente uma das relações se veri�ca
a > b ou a = b ou a < b
Prova:
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Pela Propriedade da Tricotomia,
x ∈ P ou x = 0 ou -x ∈ P
fazendo x = a - b
a - b ∈ P ou a - b = 0 ou -(a - b) ∈ P
isso signi�ca
a > b ou a = b ou a < b
(O3) SE A ≥ B E B ≥ A ENTÃO A = B
Prova:
Supondo a ≥ b e b ≥ a
Supondo, por absurdo, a ≠ b.
Por (O2) Como a ≠ b, precisamos ter a > b ou b > a.
Isso signi�ca
a - b ∈ P ou b - a ∈ P
o que é um absurdo. Assim, a = b.
ATIVIDADES
Vamos agora resolver alguns exercícios de �xação do conteúdo.
Exercício 1. Mostre que a soma de dois números ímpares é par.
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Exercício 2. Mostre que se a é racional e b é irracional então a + b é irracional.
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Exercício 3. Mostre que é um número irracional.
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Exercício 4. Dados a, b, c ∈ ℜ, c > 0, vale a equivalência a < b ⇔ ac < bc
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Exercício 5. Dados a, b, c ∈ ℜ vale a equivalência a < b ⇔ a + c < b + c
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Glossário
EXERCÍCIO 1
EXERCÍCIO 2
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EXERCÍCIO 3
EXERCÍCIO 4
EXERCÍCIO 5
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