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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 3 – Solução de equações transcendentes e polinomiais 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA 
 Métodos numéricos para resolução de 
equações: 
 Método do intervalo (bissecção); 
 Método da falsa posição. 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 
• Métodos numéricos para resolução de equações da 
forma f(x) = 0; 
• Resolver a equação f(x) = 0 consiste em determinar a 
solução (ou soluções) c tal que f( c ) = 0; 
• Métodos iterativos são desenvolvidos para determinar 
aproximadamente essa solução real c; 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
RAÍZES REAIS- GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo, ou 
seja, a interseção do gráfico com o eixo x. 
x 
y 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO ITERATIVO NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada a função contínua, f(x) num intervalo I determinar uma 
raiz α ∈ I da equação f(x)=0 com precisão escolhida. A partir 
de um valor inicial ou de um intervalo, iterações sucessivas 
são realizadas até que a diferença entre duas “candidatas” a 
raiz tenha diferença menor que a precisão determinada. 
 
• Equação f(x) = 0 
• Valor inicial xo e tolerância e; 
• Fórmula de recorrência que gera x1, x2,..xk; 
• Critério de parada (xi+1- xi  e); 
• f(xk)  0. 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
TEOREMA DE BOLZANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere um intervalo (a,b) do domínio da função f(x). 
• Se f(a).f(b) > 0, existe um número par de raízes reais no 
intervalo (a,b); 
• Se f(a).f(b) < 0, existe um número ímpar de raízes reais no 
intervalo (a,b). 
 
 
 
 
 x 
y 
a 
b 
f(a) 
f(b) 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Método da Bisseção determina uma raiz x de uma função 
f(x) num intervalo [xa,xb]  R onde f(xa)*f(xb)<0. A ideia é 
diminuir o intervalo através de repetidas divisões ao meio do 
intervalo [xa,xb] , de tal forma que o valor de xa tenda ao 
valor de xb, ou seja, que a raiz c  xa  xb e que f(c) seja 
aproximadamente nula dentro de uma certa tolerância e. 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DA BISSECÇÃO – ANÁLISE GRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
xa xb 
f(xa) 
f(xb) 
xm1 
xm2 xm3 
c 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO CONHECIMENTO – EX. 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com 
tolerância de 0,1. 
 
SOLUÇÃO: 
• Equação: x2 – 3 = 0; 
• f(0) = -3 e f( 2) = 1. Existe uma raiz real em [0,2]; 
• Xm = (0+2)/2 = 1 
• f(1) = -2 
• f(1).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,2] 
• Xm = (1+2)/2 = 1,5 (1,5 – 1 = 0,5 > 0,1) 
 
 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• f(1,5) = -0,75 
• f(1,5).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;2] 
• Xm = (1,5+2)/2 = 1,75 (1,75 – 1,5 = 0,25>0,1); 
• f(1,75) = 0,0625 
• f(1,5).f(1,75)< 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;1,75] 
• Xm = (1,5+1,75)/2 = 1,625 (1,75 – 1,625 = 0,125>0,1); 
• f(1,625) = -0,360 
• f(1,625).f(1,75)< 0. Raiz está no intervalo [1,625;1,75] 
• Xm = (1,625+1,75)/2 = 1,6875 (1,75 – 1,625 = 0,125>0,01); 
 
 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO CONHECIMENTO – EX. 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• f(1,6875) = -0,1523 
• f(1,69).f(1,75) < 0. Então a raiz está no intervalo 
[1,69;1,75] 
• Xm = (1,69+1,75)/2 = 1,72 (1,72 – 1,69 = 0,03 < 0,1); 
 
 Raiz aproximada é 1,72. 
Determine a raiz da função f(x) = ex – 3x localizada no 
intervalo [0; 1], com erro de 0,01 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• f(0) = 1 e f(1) = -0,28172. Assim, f(0). f(1) < 0 
• Xm = (0 + 1)/2 = 0,5 
• f(0,5) = 0,14872 
• f(0,5).f(1) < 0. Então a raiz está no intervalo [0,5;1] 
• Xm = (0,5+1)/2 = 0,75 (0,75 – 0,5 = 0,25 > 0,01); 
• f(0,75) = - 0,13300 
• f(0,5).f(0,75) < 0. Então a raiz está no intervalo [0,5;0,75] 
• Xm = (0,5+0,75)/2 = 0,625 (0,75 – 0,625 = 0,125 > 0,01); 
• f(0,625) = -0,00675. 
• f(0,5).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,5;0,625] 
 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• xm = (0,5 + 0,625)/2 = 0,5625 (0,625 – 0,5625 = 0,0625 
>0,01) 
• f(0,5625) = 0,06755 
• f(0,5625).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo 
[0,5625;0,625] 
• xm = (0,5625+0,625)/2 = 0,59375 (0,59375 – 0,5625 = 
0,03125 > 0,01); 
• f(0,59375) = 0,02952 
• f(0,59375).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo 
[0,59375;0,625] 
• Xm = (0,59375+0,625)/2 = 0,61 (0,61 – 0,60 = 0,01) 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Início (ALGORITMO BISSEÇÃO) 
 Faça 
 xm = (xa + xb)/2 
 Se f(xa).f(xm) < 0 então 
 xb xm 
 Senão 
 xa xm 
 Fim se 
 Até que f(xm) < tolerância 
Fim 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO (DAS CORDAS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A estimativa do zero da função Y=f(X) é feita a partir da 
reta secante que une os pares extremos (a,f(a)) e (b,f(b)) 
do intervalo analisado; 
• O ponto em que essa reta secante intercepta o eixo das 
abscissas corresponde à estimativa do zero da função; 
• Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida 
para o problema redefine-se o intervalo de estudo, 
repetindo-se a estratégia até que a tolerância seja 
verificada. 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO – ANÁLISE GRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
a 
b 
f(a) 
f(b) 
raiz 
estimativa 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
FÓRMULA DE RECORRÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Equação da reta: 
 
 
•Na interseção y = 0 
 
 
).(
)()(
)( bx
ab
afbf
bfy 



)()(
)(.)(.
).(
)()(
)(0
afbf
afbbfa
x
bx
ab
afbf
bf







SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com 
tolerância de 0,1. 
 
SOLUÇÃO: 
• Equação: x2 – 3 = 0; 
• a = 0; b = 2; f(a=0) = -3 e f(b= 2) = 1; 
• X = (0.1 – 2.(-3))/(1-(-3)) = 1,5 
• f(1,5) =-0,75 
• f(1,5).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;2] 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• X = (1,5.1 – 2.(-0,75)/(1-(-0,75)) = 1,714 (1,714 – 1,5 = 
0,214 > 0,1) 
• f(1,714) = -0,0622 
• f(1,714).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,714;2] 
• X = (1,714.1 – 2.(-0,0622)/(1-(-0,0622)) = 1,730 (1,730 - 
1,714 = 0,016 < 0,1) 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Início (ALGORITMO FALSA POSIÇÃO) 
 Faça 
 
 Se f(a).f(xe) < 0 então 
 b xe 
 Senão 
 a xe 
 Fim se 
 Até que f(xe) < tolerância 
Fim 
)()(
)(.)(.
afbf
afbbfa
xe



SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
RESUMINDO 
Nesta aula vocês estudaram: 
 Dois métodos numéricos para resolução 
de equações: 
 Método do intervalo (bissecção); 
 Método da falsa posição. 
 Algoritmos dos métodos.