Aula_04_CNum

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 4 – Solução de equações transcendentes e polinomiais 
(continuação) 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA 
 Métodos numéricos para resolução de 
equações: 
 Método do ponto fixo (MPF); 
 Método de Newton Raphson. 
 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DO PONTO FIXO OU MÉTODO ITERATIVO LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Deseja-se resolver a equação f(x) = 0 que apresenta 
dificuldades para a procura das raízes; 
• Reescrevemos a função f(x) como sendo x = F(x); 
• Se garantirmos que a solução da equação x = F (x) também 
é solução de f(x) = 0, podemos resolver esta em lugar da 
primeira; 
• O valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação. 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DO PONTO FIXO – ANÁLISE GRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x1 x0 x2 
raiz 
y = F(x) 
y = x 
x 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO F (x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 - Seja a função f(x) = x2 + x - 6. Determinar 
possíveis funções para F (x). 
 
SOLUÇÃO: 
Devemos ter que x = F (x); 
x2 + x - 6 = 0  x = 6 - x2 
x2 + x - 6 = 0  x2 = 6 – x  x = 6/x2 – 1/x 
x2 + x - 6 = 0  x2 +x = 6  x.(x+1) = 6  x = 6/(x+1) 
 
 
 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO F (x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 - Seja a função f(x) = x3 - x - 1. Determinar 
possíveis funções para F (x). 
SOLUÇÃO: 
Devemos ter que x = F (x); 
x3 - x - 1 = 0  x = x3 – 1 
x3 - x - 1 = 0  x3 = x + 1  x = (x+1)/ x2 
x3 - x - 1 = 0  x3 = x + 1  x = (x+1)1/3 
x3 - x - 1 = 0  x3 - x = 1  x.(x2 - 1) = 1  x = 1/(x2 - 1) 
 
 
 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine uma raiz real da equação x3 - x – 1 = 0 
SOLUÇÃO: 
F (x) : x = (x+1)1/3 e xinicial = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = 2 (2+1) 1/3 1,44225 - 
x = 1,44225 (1,442252+1) 1/3 1,34668 0,09557 
x = 1,34668 (1,34668+1) 1/3 1,32888 0,17800 
x = 1,32888 (1,32888+1) 1/3 1,32551 0,00337 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (DAS TANGENTES) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A estimativa do zero da função y=f(x) é feita a partir da 
reta tangente à função; 
• A partir de uma valor inicial estimado de “x”, determina-
se a equação da reta tangente neste ponto; 
• Determina-se o “x” correspondente da interseção desta 
reta tangente com o eixo das abscissas; 
• Este novo valor de “x” é utilizado para repetir o processo 
iterativo. 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON – ANÁLISE GRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x0 
f(x0) 
f(x2) 
raiz 
x1 
f(x1) 
x2 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON – FÓRMULA DE RECORRÊNCIA 
• Determinação do coeficiente angular m da reta tangente: 
m = f´(x0) 
• Equação da reta tangente: 
y – y0 = m.(x – x0)  y – f(x0)= f´(x0).(x – x0) 
• Determinação do “x” da interseção da reta tangente com 
o eixo das abscissas: 
0 – f(x0)= f´(x0).(x – x0) 
 
 
 
)´(
)(
1
1
1


 
k
k
kk
xf
xf
xx
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a função f(x) = ex – 3x. Determinar a raiz positiva com 
tolerância de 0,01. 
 
SOLUÇÃO: 
• Função derivada: f´(x) = ex – 3 
• Valor inicial x = 0,5 
• x1 = 0,5 – (e
0,5 – 3.(0,5))/(e0,5 – 3) = 0,61006 
• x2 = 0,61006 – (e
0,61006 – 3.(0,61006))/(e0,61006 – 3) = 0,619 
• x3 = 0,619 – (e
0,619 – 3.(0,619))/(e0,619 – 3) = 0,619 
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Início (ALGORITMO NEWTON RAPHSON) 
 x x0 
 
 Enquanto f(xe) <  faça 
 i i +1 
 
 
 
 Fim enquanto 
Fim 

 )()(
)´( 000
xfxf
xf



 )()(
)´( iii
xfxf
xf


)´(
)(
1
1
1


 
i
i
ii
xf
xf
xx
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 
CÁLCULO NUMÉRICO 
RESUMINDO 
Nesta aula vocês estudaram: 
 Mais dois métodos numéricos para resolução de 
equações: 
 Método do ponto fixo; 
 Método de Newton Raphson. 
 Algoritmo dos método de Newton Raphson.