Mudança de Base (L.I., L.D) - Geometria Analítica

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Centro Universita´rio do Instituto Maua´ de Tecnologia
Escola de Engenharia Maua´
EFB102 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Mo´dulo 02
Bases e Mudanc¸a de Base
Prof. Vitor Alex Oliveira Alves
Profa. Eloiza Gomes
28 de fevereiro de 2014
Suma´rio
1 Dependeˆncia e independeˆncia linear 2
1.1 Tratamento alge´brico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Exerc´ıcios propostos 9
3 Bases 11
3.1 Propriedade fundamental das bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usando coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Mudanc¸a de Base 16
5 Exerc´ıcios propostos 19
6 Refereˆncias 21
1
1 Dependeˆncia e independeˆncia linear
No estudo da Geometria em espac¸os tridimensionais, frequentemente ocorrem situac¸o˜es de paralelismo (en-
tre retas, planos ou entre retas e planos) e coplanaridade (entre retas ou entre retas e planos). O conceito
de dependeˆncia linear e´ ferramenta importante para o tratamento alge´brico de tais situac¸o˜es.
De fato, a quase totalidade dos livros que tratam do Ca´lculo Vetorial empregam a dependeˆncia linear e
seu conceito complementar, a independeˆncia linear. Neste material, estes conceitos sera˜o abordados sob dois
pontos de vista. O primeiro deles, estritamente alge´brico, estabelece as definic¸o˜es formais de dependeˆncia e
independeˆncia linear, apresentando resultados importantes para a compreensa˜o dos problemas que sera˜o tra-
tados durante o curso de Geometria Anal´ıtica. O segundo ponto de vista traz as interpretac¸o˜es geome´tricas
associadas a` dependeˆncia e independeˆncia linear.
E´ importante notar que as noc¸o˜es de dependeˆncia e independeˆncia linear sa˜o aplica´veis a conjuntos,
sequeˆncias ou n-uplas de vetores do tipo {~u1, ~u2, · · · , ~un}.
1.1 Tratamento alge´brico
Sejam o conjunto S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} e os escalares λ1, λ2 · · ·λn ∈ R.
Definic¸a˜o 1. O conjunto S e´ linearmente independente - ou, de forma abreviada, l.i. - se, e somente se, a
u´nica combinac¸a˜o linear dos vetores de S que gera o vetor nulo ~0 e´ sua combinac¸a˜o linear trivial.
A definic¸a˜o 1 implica em que S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} e´ l.i. se, e somente se,
λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un = ~0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0. (1)
Definic¸a˜o 2. O conjunto S e´ linearmente dependente - ou l.d. - se, e somente se, S na˜o e´ linearmente
independente. Ou seja, S e´ l.d. se, e somente se, ale´m da combinac¸a˜o linear trivial dos vetores de S, existe
uma outra combinac¸a˜o linear que tambe´m gera o vetor nulo ~0.
Equivalentemente, a definic¸a˜o 2 pode ser retratada na forma:
S e´ l.d. ⇔ ∃λ1, λ2, · · · , λn na˜o todos nulos tais queλ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un = ~0. (2)
A equac¸a˜o 2 pode ser reescrita como
S e´ l.d. ⇔ λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un = ~0 com λ21 + λ22 + · · ·+ λ2n 6= 0. (3)
Exemplo 1. Seja S = {~0, ~u1, ~u2, · · · , ~un}. Uma vez que 1 ·~0 = ~0 e 0 · ~u1 + 0 · ~u2 + · · ·+ 0 · ~un = ~0, e´ poss´ıvel
escrever
1 ·~0 + ~u1 + 0 · ~u2 + · · ·+ 0 · ~un = ~0. (4)
A partir de (4), conclui-se que S e´ um conjunto l.d..
2
�
O exemplo 1 revela que:
Todo conjunto de vetores que inclua o vetor nulo e´, necessariamente, um conjunto linearmente dependente.
Exemplo 2. Considere ~u = 3~v.
a) Escreva treˆs expresso˜es diferentes do vetor nulo ~0 como combinac¸a˜o linear de ~u e ~v.
b) Repita o item anterior supondo que {~u,~v} e´ um conjunto l.i..
Para a al´ınea a, uma primeira expresa˜o va´lida e´ a combinac¸a˜o linear trivial: 0 · ~u + 0 · ~v = ~0. De
~u = 3~v, pode-se escrever 1~u + (−3)~v = ~u + (−~u) = ~0. Finalmente, multiplicando os dois membros da
igualdade anterior por um escalar k arbitra´rio, obte´m-se infinitas novas expresso˜es do tipo k~u + (−3k)~v =
k~u+ (−k~u) = ~0. E´ imposs´ıvel solucionar b. De acordo com a definic¸a˜o 1, so´ ha´ uma expressa˜o do vetor nulo
como combinac¸a˜o linear de ~u e ~v: a combinac¸a˜o linear trivial 0 · ~u+ 0 · ~v = ~0.
�
Exemplo 3. Seja 2~u − √3~v = ~0. O conjunto S = {~u,~v} e´ l.d.. Considere o conjunto T = {~u,~v, ~w, ~z,~t}.
Mostre que T e´ l.d. para quaisquer vetores ~w, ~z e ~t ∈ R3.
De fato, e´ poss´ıvel escrever 2~u−√3~v + 0 · ~w+ 0 · ~z + 0 ·~t = ~0 e, portanto, T e´ um conjunto linearmente
dependente, ∀ ~w, ~z e ~t ∈ R3.
�
O resultado do exemplo 3 pode ser generalizado, como visto a seguir.
Teorema 3. Seja S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} ⊂ T um conjunto linearmente dependente. Enta˜o, o conjunto
T = {~u1, ~u2, · · · , ~un, ~un+1, ~un+2, · · · , ~un+m} e´ tambe´m linearmente dependente.
Demonstrac¸a˜o. Por hipo´tese, existem escalares λ1, λ2, · · · , λn na˜o todos nulos e tais que λ1~u1 +λ2~u2 + · · ·+
λn~un = ~0. Enta˜o, para estes mesmos λ1, λ2, · · · , λn tem-se:
λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un + 0 · ~un+1 + 0 · ~un+2 + · · ·+ 0 · ~un+m = ~0,
o que conclui a demonstrac¸a˜o.
O teorema 3 pode ser enunciado de outra maneira:
Seja S um subconjunto l.d. de um conjunto T. Enta˜o T e´, necessariamente, l.d..
Ale´m disso, o teorema 3 traz como consequeˆncia:
Corola´rio 4. Seja T = {~u1, ~u2, · · · , ~up} um conjunto l.i.. Enta˜o, qualquer subconjunto (na˜o vazio) de T e´,
necessariamente, l.i..
3
Exemplo 4. Suponha que:
2~u− 3~v + 0 · ~w − ~z = ~0. (5)
A equac¸a˜o (5) mostra que o conjunto {~u,~v, ~w, ~z} e´ l.d.. A partir de (5), pode-se escrever os vetores ~u, ~v
e ~z como combinac¸o˜es lineares dos demais vetores:
~u = 32~v + 0 · ~w + 12~z ; ~v = 23~u+ 0 · ~w − 13~z ; ~z = 2~u+ 0 · ~w − 3~v.
No entanto, (5) na˜o permite escrever o vetor ~w como combinac¸a˜o linear de ~u, ~v e ~z.
�
Exemplo 5. Prove que S = {~u,~v, ~w, ~z} e´ um conjunto l.d. se, e somente se, ao menos um de seus vetores
e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
Demonstrac¸a˜o. Supondo S l.d., existem λ1, λ2, λ3 e λ4 na˜o todos nulos e tais que λ1~u+λ2~v+λ3 ~w+λ4~z = ~0.
A partir desta relac¸a˜o, pode-se admitir (sem perda de generalidade) que λ3 6= 0. Enta˜o:
~w =
(
−λ1
λ3
)
~u+
(
−λ2
λ3
)
~v +
(
−λ4
λ3
)
~z = λ′1~u+ λ′2~v + λ′4~z.
Reciprocamente, se por hipo´tese ~w = α~u+ β~v + γ~z, e´ poss´ıvel escrever ~0 = α~u+ β~v + γ~z + (−1)~w. Isto
revela que S = {~u,~v, ~w, ~z} e´ um conjunto l.d..
�
Os conceitos envolvidos nos exemplos 4 e 5 podem ser generalizados, como mostrado a seguir.
Teorema 5. Seja n > 2. O conjunto S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} e´ linearmente dependente se, e somente se, ao
menos um dentre ~u1, ~u2, · · · , ~un e´ combinac¸a˜o linear dos outros n− 1.
Demonstrac¸a˜o. O racioc´ınio e´ dividido em dois passos:
(⇒) Por hipo´tese, λ1~u1 + λ2~u2 + · · · + λj~uj + · · · + λn~un = ~0, em que existe ao menos um λj 6= 0,
j ∈ {1, 2, · · · , n}. Logo, −λj~uj = λ1~u1 + · · · + λj−1~uj−1 + λj+1~uj+1 + · · · + λn~un. E, uma vez que λj 6= 0,
resulta
~uj =
(
−λ1
λj
)
~u1 + · · ·+
(
−λj−1
λj
)
~uj−1 +
(
−λj+1
λj
)
~uj+1 + · · ·+
(
−λn
λj
)
~un ⇒
⇒ ~uj = λ′1~u1 + · · ·+ λ′j−1~uj−1 + λ′j+1~uj+1 + · · ·+ λ′n~un.
(⇐) Reciprocamente, se ~uj = λ′1~u1 + · · ·+ λ′j−1~uj−1 + λ′j+1~uj+1 + · · ·+ λ′n~un, tem-se:
λ′1~u1 + · · ·+ λ′j−1~uj−1 + (−1)~uj + λ′j+1~uj+1 + · · ·+ λ′n~un = ~0.
E, como λ′j = −1 6= 0, a demonstrac¸a˜o esta´ completa.
O teorema 5 tem uma consequeˆncia direta.
4
Corola´rio 6. Seja n > 2. O conjunto S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} e´ linearmente independente se, e somente se,
nenhum de seus vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
O teorema a seguir tem grande importaˆncia no estabelecimento do conceito de bases, assunto a ser
tratado em um pro´ximo cap´ıtulo.
Teorema 7. Se S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} ⊂ T e´ um conjunto l.i. e T = {~u1, ~u2, · · · , ~un, ~v} e´ umconjunto l.d.,
enta˜o ~v = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un, com α1, α2, · · · , αn u´nicos para cada ~v.
Demonstrac¸a˜o. Por hipo´tese, existem λ1, λ2, · · · , λn, λn+1 na˜o todos nulos e tais que λ1~u1 + λ2~u2 + · · · +
λn~un + λn+1~v = ~0. Nesta u´ltima relac¸a˜o, tem-se necessariamente λn+1 6= 0, pois do contra´rio o conjunto T
seria l.i.. Enta˜o, pode-se escrever:
−λn+1~v = λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un ⇒ ~v =
(
− λ1
λn+1
)
~u1 +
(
− λ2
λn+1
)
~u2 + · · ·+
(
− λn
λn+1
)
~un
e ~v = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un, em que αj = − λj
λn+1
, j = 1, 2, · · · , n.
Resta demonstrar a unicidade dos coeficientes αj . Para tanto, admite-se ~v = α
′
1~u1 + α
′
2~u2 + · · ·+ α′n~un.
Por simples diferenc¸a, tem-se ~0 = ~v − ~v = (α1 − α′1)~u1 + (α2 − α′2)~u2 + · · · + (αn − α′n)~un. Uma vez que
S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} e´ um conjunto l.i., resulta αj − α′j = 0 ⇔ αj = α′j , com j = 1, 2, · · · , n.
Observac¸a˜o 1. Conforme as definic¸o˜es 1 e 2, a dependeˆncia e independeˆncia linear sa˜o qualidades inerentes
a um conjunto (ou sequeˆncia) de vetores, e na˜o aos pro´prios vetores. No entanto, no linguajar do dia
a dia, e´ comum dizer “os vetores ~u e ~v sa˜o l.i.”e “os vetores ~u, ~v e ~w sa˜o l.d.”, ao inve´s de dizer,
corretamente, “o conjunto {~u,~v} e´ l.i.”e “o conjunto {~u,~v, ~w} e´ l.d.”. Deve-se evitar, no entanto, que
esse abuso de linguagem cause, por exemplo, o erro de concluir que “se ~u e´ l.i. e ~v e´ l.i., enta˜o os
vetores ~u e ~v sa˜o l.i.”. De fato, isto nem sempre e´ verdade...
Observac¸a˜o 2. Existe uma sutil diferenc¸a entre os teoremas 5 e 7. Por um lado, o teorema 5 garante que,
se S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} e´ l.d., enta˜o ao menos um dos vetores de S e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
No entanto, na˜o especifica qual, nem quantos. A seguir sa˜o listados alguns casos:
• Seja S1 = {~u,~v} um conjunto l.i. e ~w ‖ ~v. Neste caso, S2 = {~u,~v, ~w} e´ l.d.. Tem-se enta˜o: ~w e´
combinac¸a˜o linear de ~u e ~v; ~v e´ combinac¸a˜o linear de ~v e ~w; mas ~u na˜o e´ combinac¸a˜o linear de ~v
e ~w.
• Seja ~w = ~0 e S1 = {~u,~v} um conjunto l.i.. Enta˜o S2 = {~u,~v, ~w} e´ l.d., ~w e´ combinac¸a˜o linear de ~u
e ~v, mas ~u na˜o pode ser escrito como combinac¸a˜o de ~v e ~w. Finalmente, ~v na˜o e´ uma combinac¸a˜o
de ~u e ~w.
• Sejam ~u, ~v e ~w dois a dois l.i. e S2 = {~u,~v, ~w} e´ l.d.. Enta˜o, qualquer um dos treˆs vetores e´
combinac¸a˜o linear dos outros dois 1.
1Apo´s estudar a sec¸a˜o 1.2, procure representar geometricamente as treˆs situac¸o˜es aqui descritas.
5
Por outro lado, o teorema 7 - que aborda o caso particular em que S = {~u1, ~u2, · · · , ~un} e´ um con-
junto l.i. - permite escrever ~v ∈ T = {~u1, ~u2, · · · , ~un, ~v} (conjunto l.d.) como combinac¸a˜o linear de
~u1, ~u2, · · · , ~un. Isto na˜o impede, entretanto, que ~u1 seja combinac¸a˜o dos demais, por exemplo.
Exemplo 6. Sejam ~a = ~u+ ~w, ~b = 2~u+~v− ~w e ~c = ~v− 2~w. Prove que S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.i. ⇔ S2 = {~a,~b,~c}
e´ l.i..
Demonstrac¸a˜o. (⇒) Admite-se que S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.i. e prova-se que S2 = {~a,~b,~c} e´ l.i.. Para tanto, e´
preciso mostrar que a u´nica combinac¸a˜o linear destes vetores capaz de gerar o vetor nulo e´ a combinac¸a˜o
trivial, ou seja, α~a+ β~b+ γ~c = ~0 ⇔ α = β = γ = 0. A partir das expresso˜es fornecidas, tem-se:
α~a+ β~b+ γ~c = α(~u+ ~w) + β(2~u+ ~v − ~w) + γ(~v − 2~w) = ~0. (6)
Rearranjando os termos de (6):
(α+ 2β)~u+ (β + γ)~v + (α− β − 2γ)~w = ~0. (7)
Uma vez que, por hipo´tese, S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.i., (7) implica em que:
α+ 2β = 0
β + γ = 0
α− β − 2γ = 0
(8)
O sistema linear homogeˆneo (8) so´ admite a soluc¸a˜o α = β = γ = 0 e, portanto, S2 = {~a,~b,~c} e´ um
conjunto l.i..
(⇐) Reciprocamente, admite-se que S2 = {~a,~b,~c} e´ l.i. e prova-se que S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.i. Para tanto,
seja o sistema linear vetorial expresso em (9):
~a = ~u+ ~w
~b = 2~u+ ~v − ~w
~c = ~v − 2~w
(9)
A partir de (9), obte´m-se
~u = −~a+~b− ~c , ~v = 4~a− 2~b+ 3~c , ~w = 2~a−~b+ ~c. (10)
Com base em (10), repete-se o procedimento aplicado em (⇒). A susbtituic¸a˜o de ~u, ~v e ~w por suas
expresso˜es e agrupamento dos termos semelhantes leva a`
α~u+ β~v + γ ~w = ~0 ⇒ (−α+ 4β + 2γ)~a+ (α− 2β − γ)~b+ (−α+ 3β + γ)~c = ~0. (11)
Uma vez que S2 = {~a,~b,~c} e´ l.i., (11) implica em que:
−α+ 4β + 2γ = 0
α− 2β − γ = 0
−α+ 3β + γ = 0
(12)
A u´nica soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo (12) e´ a soluc¸a˜o trivial α = β = γ = 0. Logo, S1 = {~u,~v, ~w}
e´ l.i..
�
6
1.2 Interpretac¸a˜o geome´trica
As definic¸o˜es 1 e 2 e os teoremas delas derivados acarretam as seguintes interpretac¸o˜es geome´tricas:
i. S = {~v} e´ l.d. se ~v = ~0 e l.i. se ~v 6= ~0.
ii. S = {~u,~v} e´ l.d. se ~u ‖ ~v. Caso contra´rio, S = {~u,~v} e´ l.i..
iii. S = {~u,~v, ~w} e´ l.d. se ~u, ~v e ~w sa˜o coplanares. Caso contra´rio, S = {~u,~v, ~w} e´ l.i..
iv. Se n > 4, qualquer conjunto de vetores {~u1, ~u2, · · · , ~un} e´ l.d..
Exemplo 7. Na figura 1, os vetores esta˜o representados nas arestas ou nas faces de um paralelep´ıpedo.
a
bc
x y
Figura 1: Vetores em um paralelep´ıpedo
Verifique se os seguintes conjuntos de vetores sa˜o l.i.
ou l.d. e justifique sua resposta.
a) S1 = {~b,~c, ~y}.
b) S2 = {~b, ~x, ~y}.
c) S3 = {~a,~b, ~x, ~y}.
d) S4 = {~a, ~w}, com ~w = ~x− ~a+~b.
O conjunto S1 = {~b,~c, ~y} da al´ınea a e´ l.d., uma vez que os vetores ~b, ~c e ~y sa˜o coplanares (ou,
equivalentemente, paralelos a um mesmo plano). Por outro lado, na al´ınea b, o conjunto S2 = {~b, ~x, ~y}
e´ l.i.. De fato, os vetores ~b, ~x e ~y teˆm representantes em faces na˜o-paralelas do paralelep´ıpedo, ou seja, sa˜o
na˜o coplanares. O conjunto S3 = {~a,~b, ~x, ~y} da al´ınea c e´ l.d., pois quatro vetores do espac¸o geome´trico
tridimensional sa˜o sempre linearmente dependentes (vide al´ınea iv - interpretac¸o˜es geome´tricas). Finalmente,
a inspec¸a˜o da figura 1 permite verificar que ~w = ~x − ~a + ~b = ~0. Desta forma, na al´ınea d, tem-se S4 =
{~a, ~w} = {~a,~0}. Assim, S4 e´ um conjunto l.d., pois conte´m o vetor nulo ~0 (vide exemplo 1).
�
Exemplo 8. No tetraedro OABC da figura 2, determine m para que X = O + m(13
−→
OA − −−→OB + 12
−−→
OC)
pertenc¸a ao plano ABC.
A
B
C
O
X
Figura 2: Tetraedro OABC
Afirmar que X pertence ao plano ABC equivale a dizer que
{−−→AX,−−→AB,−→AC} e´ l.d., ou seja, que a equac¸a˜o vetorial
α
−−→
AX + β
−−→
AB + γ
−→
AC = ~0 (13)
admite soluc¸a˜o na˜o trivial. A estrate´gia de soluc¸a˜o consiste em
exprimir os vetores em (13) como combinac¸o˜es lineares dos veto-
res l.i.
−→
OA,
−−→
OB e
−−→
OC. Assim:
7
−−→
AX =
−→
AO +
−−→
OX
−−→
AX = −−→OA+m(13
−→
OA−−−→OB + 12
−−→
OC) =
−−→
AX = (13m− 1)
−→
OA−m−−→OB + 12m
−−→
OC.
(14)
Tambe´m e´ poss´ıvel escrever:
−−→
AB =
−→
AO +
−−→
OB = −−→OA+−−→OB, (15)
−→
AC =
−→
AO +
−−→
OC = −−→OA+−−→OC. (16)
Substituindo (14), (15) e (16) em (13), obte´m-se:[(
1
3
m− 1
)
α− β − γ
]−→
OA+ (−mα+ β)−−→OB +
(
1
2
mα+ γ
)−−→
OC = ~0. (17)
Uma vez que os vetores
−→
OA,
−−→
OB e
−−→
OC sa˜o l.i., (17) equivale ao sistema linear
(
1
3m− 1
)
α− β − γ = 0
−mα+ β = 0
1
2mα+ γ = 0
(18)
Toda soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares (18) e´, portanto, soluc¸a˜o de (13) e vice-versa. Desta
maneira, afirmar que X pertence ao plano ABC equivale a dizer que (18) admite soluc¸a˜o na˜o nula. Existem,
diversas maneiras de se verificar se tal fato e´ verdadeiro. Por, exemplo, aplicando a Teorema de Cramer,
(18) admite soluc¸a˜o na˜o nula se, e somente se:∣∣∣∣∣∣∣
1
3m− 1 −1 −1
−m 1 0
1
2m 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (19)
Solucinando (19), tem-se m = −6.
�
A seguir, sa˜o abordados casos particulares do teorema 7 (de interesse imediato ao curso).
Proposic¸a˜o8. Se S = {~u,~v} e´ um conjunto l.i. de vetores do R2, enta˜o qualquer vetor ~x ∈ R2 e´ uma
combinac¸a˜o linear u´nica de ~u e ~v.
8
Demonstrac¸a˜o. Sejam P , A e B pontos tais que ~u =
−→
PA, ~v =
−−→
PB e ~x =
−−→
PC, como ilustra a figura 3.
P
DA
u
vE x
B
C
Figura 3: O vetor ~x = α~u+ β~v
As retas por C paralelas a PA e a PB determinam, respectiva-
mente, os pontos D e E nas retas PA e PB. Uma vez que
−→
PA e−−→
PD sa˜o paralelos e
−→
PA e´ um vetor na˜o nulo, tem-se
−−→
PD = α~u.
De forma ana´loga,
−−→
PE = β~v.
Assim, ~x =
−−→
PC =
−−→
PD+
−−→
PE = α~u+β~v. Os argumentos descritos
nesta demonstrac¸a˜o sa˜o tambe´m va´lidos para os casos em que C
pertence a uma das retas PA e PB.
Proposic¸a˜o 9. Se S = {~u,~v, ~w} e´ um conjunto l.i. de vetores do R3, enta˜o qualquer vetor ~x ∈ R3 e´ uma
combinac¸a˜o linear u´nica de ~u, ~v e ~w.
Demonstrac¸a˜o. Sejam P , A, B, C e D pontos tais que ~u =
−→
PA, ~v =
−−→
PB, ~w =
−−→
PC e ~x =
−−→
PD, como visto
na figura 4.
P ANu
vBQ
wC
R Dx
M
Figura 4: O vetor ~x = α~u+ β~v + γ ~w
• A reta paralela a PC por D determina o ponto
M no plano PAB.
• As retas por M paralelas a PA e a PB deter-
minam, respectivamente, os pontos Q e N nas
retas PB e PA.
• O plano porD paralelo ao plano PAB determina
o ponto R na reta PC.
Como
−→
PA e
−−→
PN sa˜o paralelos e
−→
PA na˜o e´ nulo, pode-
se escrever
−−→
PN = α~u.
Analogamente,
−−→
PQ = β~v e
−→
PR = γ ~w. Portanto, ~x =
−−→
PD =
−−→
PN +
−−→
PQ +
−→
PR = α~u + β~v + γ ~w. Os
argumentos utilizados sa˜o tambe´m va´lidos para os casos em que D pertence a uma das retas PA, PB, PC
ou a um dos planos PAB, PAC, PBC (evidentemente, a figura 4 seria alterada).
2 Exerc´ıcios propostos
E1. Seja o espac¸o geome´trico R3. O conjunto S = {~u,~v, ~w} e´ l.d.. Verifique se as afirmac¸o˜es a seguir sa˜o
verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
a) Necessariamente, um dos vetores de S e´ nulo.
b) Se ~u 6= ~0, enta˜o ~v ‖ ~w.
9
c) Se ~u, ~v e ~w sa˜o na˜o nulos, enta˜o dois deles sa˜o paralelos.
d) Existem treˆs planos paralelos e distintos, o primeiro contendo a origem e extremidade de um repre-
sentante de ~u, o segundo contendo a origem e extremidade de um representante de ~v e o terceiro
contendo a origem e extremidade de um representante de ~w.
Respostas: a) F – basta que ~u, ~v e ~w sejam coplanares; b) F – novamente, basta que ~u, ~v e ~w sejam
coplanares (a afirmac¸a˜o e´ verdadeira para o espac¸o geome´trico R2); c) F – novamente, coplanaridade
de ~u, ~v e ~w (a afirmac¸a˜o e´ verdadeira para o espac¸o geome´trico R2); d) V.
E2. Seja o espac¸o geome´trico R3. Julgue cada uma das afirmac¸o˜es a seguir como verdadeiras ou falsas.
Justifique suas respostas.
a) S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.d. ⇒ S2 = {~u,~v} e´ l.d..
b) S1 = {~u,~v} e´ l.i. ⇒ S2 = {~u,~v, ~w} e´ l.i..
c) Se ~u, ~v e ~w sa˜o na˜o nulos, enta˜o S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.d. ⇒ S2 = {2~u,−~v} e´ l.d..
d) S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.i. ⇒ S2 = {~u,~v} e´ l.d..
e) Se S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.d., enta˜o S2 = {~u,~v} tanto pode ser l.d. como l.i..
f) Se S1 = {~u,~v} e´ l.i., enta˜o S2 = {~u,~v, ~w} tanto pode ser l.d. como l.i..
Respostas: a) F – S2 na˜o e´, necessariamente, l.d.; b) F – se ~w for combinac¸a˜o linear de ~u e ~v, enta˜o S2
seria l.d.; c) F – S2 na˜o e´, necessariamente, l.d.; d) F – S2 na˜o e´, necessariamente, l.d.; e) V; f) V.
E3. Sejam ~a = 2~u+ 4~v + ~w, ~b = −~u+ 12~v + 34 ~w e ~c = ~v + 12 ~w. Prove que S = {~a,~b,~c} e´ l.d., quaisquer que
sejam os vetores ~u, ~v e ~w.
E4. Prove que S1 = {~u,~v, ~w} e´ l.i ⇔ S2 = {~u+ ~v, ~u+ ~w, ~v + ~w} e´ l.i..
E5. Determine o valor dos paraˆmetros a e b, sabendo-se que {~u,~v} e´ l.i. e que (a−1)~u+ b~v = b~u− (a+ b)~v.
Respostas: a = 23 e b = −13 .
E6. Em cada caso exposto a seguir e´ descrita uma alterac¸a˜o efetuada na tripla l.i. {~u,~v, ~w}. A sequeˆncia
obtida apo´s a alterac¸a˜o e´ tambe´m l.i.? Justifique sua resposta.
a) Multiplica-se cada um dos treˆs vetores por um escalar α.
b) Substitui-se cada um dos treˆs vetores pela soma dos outros dois.
c) Soma-se a cada um dos treˆs vetores um mesmo vetor ~t.
Respostas: a) Caso α 6= 0, a tripla permanece l.i., pois cada vetor da nova sequeˆncia e´ um mu´ltiplo dos
vetores originais, na˜o alterando a condic¸a˜o de na˜o coplanaridade; Caso α = 0, a tripla sera´ claramente
l.d.; b) A tripla permanece l.i. (fac¸a um esboc¸o da situac¸a˜o geome´trica). c) A tripla permanece l.i.
caso α+ β + γ + 1 6= 1, sendo ~t = α~u+ β~v + γ ~w.
E7. Sejam ~u, ~v, ~w e ~z vetores do espac¸o geome´trico R3. Construa esboc¸os de situac¸o˜es geome´tricas que
ilustrem as seguintes situac¸o˜es:
10
a) {~u,~v, ~w} e´ um conjunto l.d., mas ~u, ~v e ~w sa˜o dois a dois l.i..
b) ~u, ~v e ~w sa˜o coplanares, mas ~w na˜o e´ combinac¸a˜o linear de ~u e ~v.
c) {~u,~v, ~w, ~z} e´ um conjunto l.d., mas ~u, ~v, ~w e ~z sa˜o treˆs a treˆs l.i..
d) ~z na˜o e´ combinac¸a˜o linear de ~u, ~v e ~w.
e) E´ poss´ıvel escrever ~z por duas (ou mais) combinac¸o˜es lineares distintas de ~u, ~v e ~w.
f) Dentre os ternos escolhidos a partir de ~u, ~v, ~w e ~z, somente o terno {~u,~v, ~w} e´ um conjunto l.d..
E8. Usando apenas a definic¸a˜o de dependeˆncia linear, prove que se {~u,~v} e´ um conjunto l.d., enta˜o {~u,~v, ~w}
e´ l.d., independentemente da escolha do vetor ~w. Interprete o resultado geometricamente.
E9. Usando apenas a definic¸a˜o de dependeˆncia linear, mostre que se {~u,~v, ~w} e´ l.d., enta˜o {~u,~v, ~w, ~z} e´ um
conjunto l.d.. Do ponto de vista geome´trico, isto implica que ~u, ~v, ~w e ~z sejam coplanares? Implica
tambe´m que ~z seja combinac¸a˜o linear de ~u, ~v e ~w?
3 Bases
Nesta sec¸a˜o sa˜o discutidos os conceitos de base e de coordenadas de um vetor em relac¸a˜o a uma base
especificada. Tambe´m sa˜o abordadas a utilizac¸a˜o de coordenadas na soma de vetores, na multiplicac¸a˜o de
escalares por vetor e na ana´lise da dependeˆncia linear de um conjunto de vetores.
Definic¸a˜o 10. Uma dupla ordenada l.i. B = {~u1, ~u2} (ou seja, uma dupla de vetores na˜o paralelos) e´ dita
uma base para o espac¸o geome´trico bidimensional R2. Os vetores ~u1 e ~u2 sa˜o o primeiro e o segundo vetores
de B = {~u1, ~u2}.
 au v  b
p q
Figura 5: (a) B1 = {~u,~v} e´ base do R2; (b) B2 = {~p, ~q}
na˜o e´ base do R2
A figura 5 ilustra o conceito de bases para espac¸os
geome´tricos bidimensionais: em (a), os vetores na˜o
paralelos (l.i.) ~u e ~v constituem uma base para o R2;
em (b), os vetores paralelos (l.d.) ~p e ~q na˜o podem ser
empregados como vetores de bases para o espac¸o R2.
Definic¸a˜o 11. Uma tripla ordenada l.i. B = {~u1, ~u2, ~u3} (ou seja, uma tripla de vetores na˜o coplanares) e´
dita uma base para o espac¸o geome´trico tridimensional R3. Os vetores ~u1, ~u2 e ~u3 sa˜o o primeiro, o segundo
e o terceiro vetores de B = {~u1, ~u2, ~u3}.
A figura 6 ilustra o conceito de bases para espac¸os geome´tricos tridimensionais. Nela, as retas s1, s2 e
s3 sa˜o constru´ıdas com o intuito de evidenciar a coplanaridade dos vetores envolvidos. Em (a), os vetores
na˜o coplanares (l.i.) ~u, ~v e ~w constituem uma base para o R3. Por outro lado, em (b), os vetores coplanares
(l.d.) ~p, ~q e ~r na˜o podem ser empregados como vetores de bases para o R3.
11
 b au
v
w
pqr 1s  2
s 
3s 1s 
2s 
3s 
Figura 6: (a) B1 = {~u,~v, ~w} e´ base do R3; (b) B2 = {~p, ~q, ~r} na˜o e´ base do R3
3.1 Propriedade fundamental das bases
A seguir, sera´ discutida a propriedade fundamental das bases associadas aos espac¸os geome´tricos bidimen-
sional R2 e tridimensional R3.
Espac¸o geome´trico R2: Se B = {~u1, ~u2} e´ uma base do R2, enta˜o todo ~x ∈ R2 e´ expresso por uma e uma
so´ combinac¸a˜o linear de ~u1 e ~u2. Desta maneira, existeme sa˜o u´nicos os nu´meros reais α e β tais que
~x = α~u1 + β~u2. Esta argumentac¸a˜o foi demonstrado anteriormente na proposic¸a˜o 8.
Cada um dos escalares da dupla [α β]T e´ chamado coordenada de ~x em relac¸a˜o a` base B (ou, na base
B). Assim, pre´-fixada uma base, a cada vetor do R2 fica associada univocamente uma dupla ordenada de
escalares, chamada dupla de coordenadas de ~x em relac¸a˜o a` base B.
Uma vez que se trata de uma dupla ordenada, a ordem dos escalares e´ de extrema importaˆncia. Desta
maneira, quando se diz que α e β sa˜o as coordenadas de ~x na base B, fica subentendido que vale a igualdade
~x = α~u1 + β~u2 na qual α e´ o coeficiente do primeiro vetor da base B e β e´ o coeficiente do segundo.
Fundamentando-se nessas considerac¸o˜es, adota-se a notac¸a˜o
~x = α~u1 + β~u2 =
[
α
β
]
B
= [α β]TB. (20)
Exemplo 9. Na figura 7(a), ABEF e BCDE sa˜o quadrados congruentes no R2. Seja B = {~u,~v} uma base
do R2 em que ~u =
−→
AE e ~v =
−→
AF . Deseja-se determinar as coordenadas dos vetores ~a =
−−→
AB, ~b =
−−→
AD e
~c =
−−→
EC – figura 7(b) – na base B.
Escrever ~a, ~b e ~c com relac¸a˜o a` base B significa representar estes vetores como combinac¸o˜es lineares de
~u e ~v e, posteriormente, associar os coeficientes de tais combinac¸o˜es a`s coordenadas dos respectivos vetores.
Assim:
~a =
−−→
AB =
−→
AE +
−−→
EB = ~u− ~v = [1 − 1]TB;
~b =
−−→
AD =
−→
AC +
−−→
CD = 2
−−→
AB +
−−→
CD = 2~a+ ~v = 2(~u− ~v) + ~v = 2~u− ~v = [2 − 1]TB;
~c =
−−→
EC =
−−→
FB =
−→
FA+
−−→
AB = −~v + ~a = −~v + ~u− ~v = ~u− 2~v = [1 − 2]TB.
12
A AB BC C
D DE EF F
uv a
b c
 a  b
Figura 7: (a) Os vetores da base B = {~u,~v}; (b) Os vetores ~a, ~b e ~c
�
Espac¸o geome´trico R3: Se B = {~u1, ~u2, ~u3} e´ uma base do R3, enta˜o cada ~x ∈ R3 e´ expresso por uma e
uma so´ combinac¸a˜o linear de ~u1, ~u2 e ~u3. Em outras palavras, existem e sa˜o u´nicos os nu´meros reais α, β e
γ tais que ~x = α~u1 + β~u2 + γ~u3. Este fato foi demonstrado anteriormente na proposic¸a˜o 9.
Cada escalar da tripla [α β γ]T e´ chamado coordenada de ~x em relac¸a˜o a` base B (ou, na base B).
Portanto, escolhida uma base, a cada vetor fica associada univocamente uma tripla ordenada de escalares,
chamada tripla de coordenadas de ~x em relac¸a˜o a` base B. Como se trata de uma tripla ordenada, a ordem
e´ de extrema importaˆncia. Assim, quando se diz que α, β e γ sa˜o as coordenadas de ~x na base B, fica
subentendido que vale a igualdade ~x = α~u1 + β~u2 + γ~u3 na qual α e´ o coeficiente do primeiro vetor da base
B, β e´ o coeficiente do segundo e γ e´ o coeficente do terceiro. A partir dessas considerac¸o˜es, adota-se a
notac¸a˜o
~x = α~u1 + β~u2 + γ~u3 =
αβ
γ

B
= [α β γ]TB. (21)
Exemplo 10. Na figura 8(a), ABCD e´ um tetraedro. Seja B = {~a,~b,~c} uma base do R3 em que ~a = −−→AB,
~b =
−−→
AD e ~c =
−→
AC. Deseja-se determinar as coordenadas dos vetores ~x =
−−→
BC, ~y =
−−→
DC e ~z =
−→
AE (em que
E e´ o ponto me´dio do segmento DC) na base B – vide figura 8(b).
A AB B
D D
C C
E
 a  ba b
c x
y
z
Figura 8: (a) Os vetores da base B = {~a,~b,~c}; (b) Os vetores ~x, ~y e ~z
13
Como ja´ mencionado anteriormente, escrever ~x, ~y e ~z com relac¸a˜o a` base B significa representar estes
vetores como combinac¸o˜es lineares de ~a, ~b e ~c. Posteriormente, associa-se os coeficientes de tais combinac¸o˜es
a`s coordenadas dos respectivos vetores. Desta forma:
~x =
−−→
BC =
−−→
BA+
−→
AC = −~a+ ~c = [−1 0 1]TB;
~y =
−−→
DC =
−−→
DA+
−→
AC = −~b+ ~c = [0 − 1 1]TB;
~z =
−→
AE =
−−→
AD +
−−→
DE = ~b+ 12
−−→
DC = ~b+ 12~y =
~b+ 12(−~b+ ~c) = 12~b+ 12~c = [0 12 12 ]TB.
�
Observac¸a˜o 1. Anteriormente, quando se estudou a descric¸a˜o de um vetor relativa a um sistema de coor-
dendas cartesiano, afirmou-se que as coordenadas de um vetor sa˜o numericamente iguais a`s coordena-
das do ponto extremidade deste vetor, desde que seu ponto origem esteja localizado na origem O do
sistema de coordenadas. Esta definic¸a˜o e´ consistente com o conceito de base. Para justificar este fato,
seja C2 = {~e1, ~e2} – com ~e1 = [1 0]T e ~e2 = [0 1]T – a base canoˆnica do espac¸o geome´trico R2. Assim,
se ~x =
−→
OA = [α β]T , tem-se A = (α, β) e, consequentemente,
~x = [α 0]T + [0 β]T+ = α~e1 + β~e2 = [α β]
T
C2
.
Analogamente, seja C3 = {~e1, ~e2, ~e3} – com ~e1 = [1 0 0]T , ~e2 = [0 1 0]T e ~e3 = [0 0 1]T – a base
canoˆnica do espac¸o geome´trico R3. Desta forma, se ~x =
−→
OA = [α β γ]T , tem-se A = (α, β, γ) e,
consequentemente,
~x = [α 0 0]T + [0 β 0]T + [0 0 γ]T = α~e1 + β~e2 + γ~e3 = [α β γ]
T
C3
.
Em suma, ate´ o momento todos os vetores descritos neste curso possuem coordenadas referidas a`s
bases canoˆnicas do R2 e R3.
Observac¸a˜o 2. Em situac¸o˜es envolvendo va´rios vetores, a omissa˜o do ı´ndice que indica a base adotada
pressupo˜e que todos estes vetores se referem a` mesma base. Ale´m disso, a na˜o ser quando houver
menc¸a˜o em contra´rio, a base adotada para representac¸a˜o dos vetores sera´ a base canoˆnica do espac¸o
geome´trico considerado.
3.2 Adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usando coordenadas
Sejam B = {~u1, ~u2, ~u3} uma base do R3, λ ∈ R e os vetores ~x1 = [α1 β1 γ1]TB e ~x2 = [α2 β2 γ2]TB. E´ va´lida a
proposic¸a˜o a seguir.
Proposic¸a˜o 12. A adic¸a˜o de vetores e a multiplicac¸a˜o de vetores por escalar, quando se empregam coorde-
nadas relativas a` base B, se da˜o segundo:
a) ~x1 + ~x2 = [α1 β1 γ1]
T
B + [α2 β2 γ2]
T
B = [α1 + α2 β1 + β2 γ1 + γ2]
T
B;
b) λ~x1 = λ · [α1 β1 γ1]TB = [λα1 λβ1 λγ1]TB.
Demonstrac¸a˜o. Se B = {~u1, ~u2, ~u3} e´ uma base do R3, enta˜o:
14
a) E´ poss´ıvel escrever2
~x1 + ~x2 = [α1 β1 γ1]
T
B + [α2 β2 γ2]
T
B = α1~u1 + β1~u2 + γ1~u3 + α2~u1 + β2~u2 + γ2~u3 =
= (α1 + α2)~u1 + (β1 + β2)~u2 + (γ1 + γ2)~u3 =
= [α1 + α2 β1 + β2 γ1 + γ2]
T
B.
b) Analogamente,
λ~x1 = λ[α1 β1 γ1]
T
B = λ(α1~u1 + β1~u2 + γ1~u3) =
= (λα1)~u1 + (λβ1)~u2 + (λγ1)~u3 =
= [λα1 λβ1 λγ1]
T
B.
4 Mudanc¸a de Base
Na sec¸a˜o anterior foi demonstrado que qualquer dupla de vetores (na˜o nulos) na˜o paralelos constitui uma
base para o espac¸o geome´trico R2. Como uma extensa˜o natural deste conceito, tem-se que qualquer tripla
de vetores (na˜o nulos) na˜o coplanares constitui uma base para o espac¸o geome´trico R3.
Em outras palavras, existem infinitas bases para um mesmo espac¸o geome´trico. Logo, uma vez que a
descric¸a˜o das coordenadas de um vetor e´ u´nica para uma base escolhida, conclui-se que um mesmo vetor
possui infinitas descric¸o˜es, uma para cada base poss´ıvel.
Em diversas situac¸o˜es, torna-se vantajoso escrever os vetores envolvidos em determinado problema
geome´trico em uma base diferente da base canoˆnica. O procedimento que converte as coordenadas de
um vetor referidas a uma base original para outra base e´ conhecido mudanc¸a de base. No jarga˜o da A´lgebra
Linear, a mudanc¸a de base e´ uma transformac¸a˜o linear, objeto de estudo posterior. Neste momento, este
material se limita a apresentar o conceito de mudanc¸a de base por meio de alguns exemplos.
Exemplo 11. Os vetores ~u, ~v e ~w ilustrados na figura 6(a) da˜o origem a` infinitas bases para o espac¸o R3.
Como exemplo, sejam as bases
B1 = {~w, ~u,~v}, B2 = {2~v, 3~u,−~w} e B3 = {12~u,~v, 2~w}.
Assim, cada vetor ~x = α~u+ β~v + γ ~w pode ser escrito (de forma u´nica em cada base) como:
~x = [α β γ]TB = α~u+ β~v + γ ~w = γ ~w + α~u+ β~v = [γ α β]
T
B1
;
~x = [α β γ]TB = α~u+ β~v + γ ~w =
β
2 (2~v) +
α
3 (3~u)− γ(−~w) =
[
β
2
α
3 − γ
]T
B2
;
~x = [α β γ]TB = α~u+ β~v + γ ~w = 2α(
1
2~u) + β~v +
γ
2 (2~w) =
[
2α β γ2
]T
B3
.
�
2Nesta demonstrac¸a˜o,e´ essencial que as coordenadas dos vetores envolvidos se refiram a` mesma base B.
15
Exemplo 12. Sejam C2 = {~i,~j} e B = {~u,~v} bases do espac¸o geome´trico R2 em que ~u = [−1 2]T e
~v = [3 1]T (coordenadas referidas a` base canoˆnica C2)3. Deseja-se expressar as coordenadas dos vetores
~a = [4 6]TC2 e
~b = [−4 1]TC2 na base B. A figura 9 ilustra os vetores envolvidos.
x
y
A BOD
C
u v
a
b
Figura 9: Os vetores da base B em conjunto com ~a e ~b – os vetores da
base canoˆnica C2 sa˜o omitidos em prol da clareza da figura
A estrate´gia de mudanc¸a de base consiste
em escrever os vetores ~a e ~b como com-
binac¸o˜es lineares dos vetores da base B.
Analiticamente:
~a =
[
4
6
]
C2
= 4~i+ 6~j = α~u+ β~v. (22)
Em (22), substituem-se as coordenadas de
~u e ~v na base canoˆnica para escrever:
~a =
[
4
6
]
C2
= α
[
−1
2
]
C2
+ β
[
3
1
]
C2
(23)
A relac¸a˜o (23) implica no sistema linear{
−α+ 3β = 4
2α+ β = 6
=⇒
[
−1 3
2 1
]
·
[
α
β
]
B
=
[
4
6
]
C2
(em notac¸a˜o matricial). (24)
A soluc¸a˜o de (24) revela que α = 2 e β = 2. Assim, tem-se ~a = [4 6]TC2 = 4
~i + 6~j = 2~u + 2~v = [2 2]TB.
De forma ana´loga, escreve-se[
−4
1
]
C2
= −4~i+~j = γ~u+ δ~v = γ
[
−1
2
]
C2
+ δ
[
3
1
]
C2
=
[
γ
δ
]
B
. (25)
A relac¸a˜o (25) implica no sistema linear{
−γ + 3δ = −4
2γ + δ = 1
=⇒
[
−1 3
2 1
]
·
[
γ
δ
]
B
=
[
−4
1
]
C2
(em notac¸a˜o matricial). (26)
A soluc¸a˜o de (26) mostra que γ = 1 e δ = −1. Logo, ~b = [−4 1]TC2 = −4~i +~j = −~u + ~v = [−1 1]TB. A
figura 10 ilustra as construc¸o˜es geome´tricas que corroboram os resultados anal´ıticos aqui obtidos.
3De fato, se as coordenadas de ~u e ~v estivessem referidas a` base B, suas descric¸o˜es seriam ~u = [1 0]TB e ~v = [0 1]
T
B .
16
x
y
A BO
C
u v
a
x
y
A BOD
C
u v
a
b
uv
v
E F
 a  bDb v
Figura 10: (a) As coordenadas de ~a na base B; (b) As coordenadas de ~b na base B
�
Exemplo 13. Na figura 11, os pontos M e N sa˜o os pontos me´dios dos lados DD′ e AB do paralelep´ıpedo
ABCDA′B′C ′D′. Os pontos R e S sa˜o pontos de trissecc¸a˜o dos lados D′C ′ e BB′. Com base nesta figura,
tem-se:
−−→
DM = 12~v ;
−−→
AN = 12~u ;
−−→
D′R = 13
−−−→
D′C ′ = 13~u ;
−→
BS = 13
−−→
BB′ = 13~v
Pedem-se:
a) Expressar ~n =
−−→
MN , ~b =
−−→
MB, ~s =
−−→
MS, ~r =
−−→
MR e ~z =
−→
RS na base B = {~u,~v, ~w}.
b) Mostrar, com argumentos geome´tricos, que B1 = {~n,~b, ~s} tambe´m e´ uma base do R3.
c) Expressar ~r =
−−→
MR e ~z =
−→
RS na nova base B1.
uv
w
A N B
D
n
M
D
A b
s
r z
R
SB

C
C
Figura 11: O paralelep´ıpedo ABCDA′B′C ′D′
A inspec¸a˜o da figura 11 permite expressar os vetores ~n =
−−→
MN , ~b =
−−→
MB, ~s =
−−→
MS, ~r =
−−→
MR e ~z =
−→
RS
na base B – al´ınea a:
17
~n =
−−→
MN =
−−→
MD +
−−→
DA+
−−→
AN = −12~v − ~w + 12~u = 12~u− 12~v − ~w =
[
1
2 − 12 − 1
]T
B
~b =
−−→
MB = ~n+
−−→
NB = 12~u− 12~v − ~w + 12~u = ~u− 12~v − ~w =
[
1 − 12 − 1
]T
B
~s =
−−→
MS = ~b+ 13~v = ~u− 12~v − ~w + 13~v = ~u− 16~v − ~w =
[
1 − 16 − 1
]T
B
~r =
−−→
MR =
−−−→
MD′ +
−−→
D′R = 12~v +
1
3~u =
1
3~u+
1
2~v + 0~w =
[
1
3
1
2 0
]T
B
~z =
−→
RS = −~r + ~s = − [13 12 0]TB + [1 − 16 − 1]TB = [23 − 23 − 1]TB
ou ainda, ~z =
−→
RS =
−−→
RC ′ +
−−→
C ′B′ +
−−→
B′S = 23~u− ~w − 23~v = 23~u− 23~v − ~w =
[
2
3 − 23 − 1
]T
B
Com relac¸a˜o a al´ınea b, o conjunto B1 = {~n,~b, ~s} pode ser considerada como uma outra base do R3
porque os vetores ~n, ~b e ~s na˜o sa˜o coplanares. De fato, tais vetores esta˜o sobre arestas do tetraedro MNBS.
Para a al´ınea c, deseja-se determinar escalares α, β e γ tais que ~z = (α, β, γ)B1 = α~n + β
~b + γ~s. O
procedimento de mudanc¸a de base exige que todos os vetores envolvidos estejam escritos na base B =
{~u,~v, ~w}. Assim:[
2
3
− 2
3
− 1
]T
B
= α
[
1
2
− 1
2
− 1
]T
B
+ β
[
1 − 1
2
− 1
]T
B
+ γ
[
1 − 1
6
− 1
]T
B
(27)
A equac¸a˜o (27) implica na construc¸a˜o do sistema linear:
α
2 + β + γ =
2
3
−α2 − β2 − γ6 = −23
−α− β − γ = −1
(28)
A soluc¸a˜o de (28) e´ α = 23 , β =
5
6 e γ = −12 . Logo, tem-se ~z = [23 − 23 − 1]TB = [23 56 − 12 ]TB.
�
5 Exerc´ıcios propostos
E1. Determinar os valores de k para os quais S = {~u = [k 0 1]T , ~v = [k 1 1]T , ~w = [k2 1 1]T } torna-se uma
base para o espac¸o geome´trico R3.
Respostas: k 6= 0 e k 6= 1.
E2. Verificar, caso a caso, se Xi e´ uma base para os respectivos espac¸os geome´tricos. Justifique suas
respostas.
a) X1 = {[1 0 0]T , [0 1 0]T , [0 0 1]T } ∈ R3
b) X2 = {[1 1 1]T , [1 1 0]T , [1 0 0]T } ∈ R3
c) X3 = {[1 0 0]T , [0 1 0]T , [0 0 1]T , [1 1 1]T } ∈ R3
d) X4 = {[1 0]T , [0 1]T , [−2 1]T } ∈ R2
e) X5 = {[−1 2]T , [0 1]T } ∈ R2
f) X6 = {[1 − 4]T , [−3 12]T } ∈ R2
Respostas: X1, X2 e X5 sa˜o bases.
18
E3. Seja B = {~u1 = [1 0 1]T , ~u2 = [1 − 1 0]T , ~u3 = [0 1 − 2]T } uma base do R3. Expresse cada um dos
vetores ~e1 = [1 0 0]
T , ~e2 = [0 1 0]
T e ~e3 = [0 0 1]
T da base canoˆnica C = {~e1, ~e2, ~e3} do R3 na base B.
Respostas: ~e1 =
1
3 [2 1 1]
T
B, ~e2 =
1
3 [2 − 2 1]TB e ~e3 = 13 [1 − 1 − 1]TB.
E4. Dados ~u = [2 − 1 3]T , ~v = [1 − 1 2]T , ~w = [1 2 1]T , ~x = [1 4 − 3]T , ~y = [2 3 − 1]T , ~z = [0 − 1 2]T
e ~t = [3 4 − 1]T .
a) Mostre que B = {~u,~v, ~w} e´ uma base do R3.
b) Determine quais os vetores dentre ~u, ~v, ~z e ~t que podem substituir ~w na base B originando uma
nova base B′ do R3.
Resposta: O vetor ~z deve substituir ~w para que B′ = {~u,~v, ~z} seja base do R3.
E5. Seja o paralelep´ıpedo ABCDA′B′C ′D′ – figura 12 – no qual Q, R, S e T sa˜o os pontos me´dios dos
lados em que se situam.
uv
w
A R B
D
r
QD
A
s t
B
C
CS
T
z
Figura 12: O paralelep´ıpedo ABCDA′B′C ′D′
Sendo ~u =
−−→
AB, ~v =
−−→
AA′, ~w =
−−→
AD, ~r =
−−→
QR, ~s =
−→
QS e ~t =
−→
QT :
a) Expresse os vetores ~r, ~s e ~t na base B1 = {~u,~v, ~w} do R3.
b) Mostre, algebricamente, que B2 = {~r,~s,~t} tambe´m e´ base do R3.
c) Expresse ~z =
−−→
QB′ nas bases B1 e B2.
Respostas: a) ~r = [12 − 12 − 1]TB1 , ~s = [12 − 12 0]TB1 , ~t = [12 12 0]TB1 ; c) ~z = [1 12 − 1]TB1 = [1 − 12 32 ]TB2 .
E6. Sejam os vetores ~z1 = 2~u−~v, ~z2 = ~u+~v e ~z3 = ~u−~v+ ~w, em que B = {~u,~v, ~w} e´ uma base do espac¸o
geome´trico R3.
a) Mostre que Z = {~z1, ~z2, ~z3} tambe´m e´ uma base do R3.
b) Determine as coordenadas de ~b = [1 2 3]TB na base Z .
c) Determine as coordenadas de ~z = [1 2 3]TZ na base B.
Respostas: b) ~b = [−73 83 3]TZ ; c) ~z = [7 − 2 3]TB.
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E7. Sejam B = {~u,~v, ~w} base do R3 e os vetores ~f1 = ~u− ~v + 2~w, ~f2 = 3~v − ~w e ~f3 = ~u+ ~w.
a) Mostre que F = {~f1, ~f2, ~f3} e´ tambe´m uma base do R3.
b) Expresse ~r = [3 2 1]TB na base F e ~s = [3 2 1]
T
F na base B.
Respostas: b) ~r = [−2 0 5]TF ; ~s = [4 3 5]TB.
E8. Sejam B = {~r,~s,~t} base do R3 e ~z = [1 − 2 3]TB. Pedem-se:
a) Mostrar que B1 = {~u,~v, ~w} = {2~s,−~t, 3~r} tambe´m e´ uma base do R3.
b) Expressar ~z na base B1.
Resposta: b) ~z = [−1 − 3 13 ]TB1 .
E9. Seja B = {~u,~v, ~w} uma base do R3.
a) Mostre que o terno ordenado F = {~u, α~u + ~v, α~v + ~w} tambe´m e´ base do R3, independentemente
do nu´mero real α escolhido.
b) Deˆ as coordenadas de ~w na base F , em func¸a˜o do para˜metro α.
Resposta: b) ~w = [α2 − α 1]T .
E10. Sejam B = {~a,~b,~c} uma base do R3 e ~v = [α β γ]TB. Determine a relac¸a˜o entre os nu´meros reais α,
β e γ para que B′ = {~a+ ~v,~b+ ~v,~c+ ~v} tambe´m seja base do R3.
Resposta: 1 + α+ β + γ 6= 0.6 Refereˆncias
• Camargo, I.; Boulos, P. Geometria Anal´ıtica - um tratamento vetorial, Sa˜o Paulo: Pearson - Prentice
Hall, 3. ed., 2005.
• Machado, T. C., Vetores e Geometria Anal´ıtica, Edic¸a˜o preliminar, 2005.
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