Autovalores e Autovetores - Algebra Linear

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MMóódduulloo 1100 –– AAuuttoovvaalloorreess ee AAuuttoovveettoorreess 
 
11 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
MÓDULO 10 – AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
 Até o presente momento, o grande assunto do curso tem sido a solução de 
Ax b
 e suas 
interpretações como um sistema linear ou como uma transformação linear. Agora, investiga-se o 
novo problema 
Ax x
, restrito às matrizes quadradas de ordem n. Esta expressão leva à obtenção 
dos autovalores e autovetores – definidos formalmente em momento oportuno – da matriz A (ou, 
equivalentemente, do operador linear T tal que 
 T A
). A etapa básica de solução do problema 
Ax x
 não mais será a aplicação de uma operação elementar (eliminação gaussiana) de linhas em 
A, pois isto altera seus autovalores. 
 Os determinantes fornecem uma transição de 
Ax b
 para 
Ax x
. Em ambos os casos, o 
determinante leva a uma solução formal: a Regra de Cramer para 
1x A b
 e ao polinômio 
 det A I
, cujas raízes serão os autovalores de A. Em termos numéricos e computacionais, o 
determinante é empregado quando 
2n 
 ou 3. Para 
3n 
, o cálculo dos autovalores 

 é muito mais 
complexo e difícil do que a solução de 
Ax b
. 
 A primeira etapa deste estudo consiste em compreender como os autovalores são úteis. Uma 
de suas aplicações é a solução de equações diferenciais ordinárias. Como um exemplo, seja o sistema 
de equações lineares: 
 
 
 
4 5 0 8
2 3 0 5
dv
v w, v
dt
S
dw
v w, w
dt

  

   

 
 
A solução do sistema 
 S
 é um típico problema de valor inicial. As incógnitas são 
especificadas no tempo inicial (neste caso, 
0t 
) e o problema é determinar 
 v t
 e 
 w t
 para 
0t 
. 
É simples apresentar 
 S
 em forma matricial: 
 
 
 
 
 
8 4 5
0
5 2 3
v t du
u t , u , A Au
w t dt
     
             
, com 
 0u u
 para 
0t 
. 
 
 A equação diferencial (matricial) é de primeira ordem – não há derivadas de ordem superior 
– é linear nas incógnitas e possui coeficientes constantes, ou seja, a matriz A é independente do 
tempo. Então, como determinar a solução 
 u t
? 
 
 
Se houvesse apenas uma incógnita, o problema apresentaria fácil solução. De fato, a equação 
seria escalar, e não vetorial. Ou seja, 
 
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du
au
dt

 com 
 0u u
 para 
0t 
, 
de solução 
   0atu t e u
. Deve-se notar que para 
0t 
 obtém-se 
 0u u
 e que a derivada de 
ate
 
possui o fator necessário a de modo que 
du/dt au
. Assim, a condição inicial e a equação são 
igualmente satisfeitas. Outro ponto importante é o comportamento da solução 
 u t
. Se 
0a 
 a 
solução é dita neutramente estável; se 
0a 
, a solução é instável (pois 
ate 
 à medida que o tempo 
passa); finalmente, se 
0a 
, a solução é estável (pois 
0ate 
 com a passagem do tempo). 
 O sistema 
 S
 admite soluções com a mesma dependência exponencial encontrada no caso 
escalar, ou seja: 
 
  tv t e y
 e 
  tw t e z
, ou, em notação vetorial, 
  tu t e x
. 
 
Esta é a chave para solucionar equações diferenciais do tipo 
du/dt Au
. Substituindo as 
expressões acima nas equações de 
 S
, obtém-se: 
 
4 5
2 3
t t t
t t t
e y e y e z
e z e y e z
  
  


  

 
 
 
O fator 
te
 é comum a todos os termos e, portanto, pode ser removido. Este cancelamento é 
na verdade o motivo pelo qual se assume o mesmo expoente 

 para ambas as incógnitas. Assim: 
 
 
4 5
Problema dos autovalores
2 3
y z y
y z z


 

 
 
 
A expressão anterior é a equação dos autovalores. Em forma matricial, tem-se 
Ax x
. Esta 
última expressão também é encontrada quando se utiliza 
tu e x
. Substituindo-se em 
du/dt Au
 
é possível notar que 
t te x Ae x  
. O cancelamento de 
te
 produz: 
 
 Equação de autovalores Ax x 
 
Esta é a expressão fundamental deste material de apoio. Ela envolve duas incógnitas: 

 e x. 
Trata-se de um problema de álgebra e, portanto, as equações diferenciais podem ser deixadas de 
lado. O número 

 é um autovalor da matriz A e o vetor x é o autovetor associado. 
A seguir é apresentada a definição formal do conceito de autovalores e autovetores. 
 
Definição 01: Seja A uma matriz 
n n
. Então, um vetor não nulo 
nx
 é chamado autovetor de A 
se o produto 
Ax
 é um múltiplo escalar de x, ou seja, se 
Ax x
 para algum escalar 

. O escalar 

 
é chamado um autovalor de A e diz-se que x é um autovetor associado a 

. 
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 Mas como é possível solucionar 
Ax x
? Em primeiro lugar, trata-se de uma equação não 
linear, pois existe o produto de incógnitas. No entanto, caso seja possível determinar 

, a equação 
para o vetor x é linear. Esta estratégia leva a: 
 
 0 0 0 0Ax x , x Ax x Ax Ix A I x             . 
 
A chave do problema consiste no fato de que 
 x N A I 
 e o escalar 

 deve ser escolhido 
de forma que 
 nul 0A I 
. É preciso notar que o interesse está focado nos valores particulares de 

 para os quais haja um autovetor não nulo x. Em outras palavras, 
 A I
 deve ser singular. 
 
Definição 02: O escalar 

 é um autovalor de A se, e somente se, 
 A I
 for uma matriz singular, 
ou seja, 
 det 0A I 
. Esta é a chamada equação característica de A e 
   detp A I  
 é o 
polinômio característico de A. Todo autovalor 

 é associado à autovetores x tais que 
  0A I x 
 
ou 
Ax x
. 
 
 No exemplo da equação diferencial matricial 
du/dt Au
, tem-se: 
 
 
4 5
2 3
A I
 
  
     
 e 
      2det 4 3 10 2A I p              . 
 
 As raízes de 
 p 
 são os autovalores de A. Assim, os autovalores são 
1  
 e 
2 
. Estes 
valores levam à solução de 
Ax x
 ou 
  0A I x 
. Uma matriz com determinante nulo é 
singular, de modo que deve haver vetores não nulos x em seu espaço nulo. Logo: 
 
Para 
1 1  
: 
 
     
        
     
5 5 0
2 2 0
y
A I x
z
Autovetores associados: 
1 1
1
1
v x 
 
   
 
. 
 
Para 
2 2 
: 
 
2 5 0
2
2 5 0
y
A I x
z
     
             
Autovetores associados: 
2 2
5
2
v x 
 
   
 
. 
 
Observações: É possível notar que as colunas de 
 1A I
 resultam em 
2x
 e as colunas de 
 2A I
 
são múltiplas de 
1x
. Este é um fato específico (e útil) para matrizes quadradas de ordem 2. Além 
disso, é simples notar que se x é um autovetor, então qualquer múltiplo kx também o será. Todos os 
vetores de 
 N A I
, denominado autoespaço associado a x, satisfazem 
Ax x
. 
 
Na equação diferencial adotada como exemplo, os autoespaços associados a 
1x
 e 
2x
 geram 
soluções especiais 
tu e x
, denominadas soluções exponenciais puras para 
du/dt Au. Assim: 
 
 
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  1 1
1
1
t tu t e x e 
 
   
 
 e 
  2 22
5
2
t tu t e x e
 
   
 
. 
 
Essas duas soluções especiais fornecem a solução completa. De fato, qualquer combinação 
linear delas é também solução de 
du/dt Au
. Assim, a solução completa é da forma: 
 
  1 21 1 2 2
t tu t c e x c e x  
 (princípio da superposição ou sobreposição). 
 
Os parâmetros livres 
1c
 e 
2c
 devem ser escolhidos para satisfazer a condição inicial 
 0u u
 
em 
0t 
: 
 1 1 2 2 0c x c x u 
 ou 
1
2
1 5 8
1 2 5
c
c
     
     
     
 
 
 Assim, 
1 3c 
 e 
2 1c 
. A solução para a equação original é 
 
  2
1 5
3
1 2
t tu t e e
   
    
   
 ou  
 
2
2
3 5
3 2
t t
t t
v t e e
w t e e


  

 
 
 
Exemplo 01: Determinar os autovalores e autovetores de 
3 2
2 3
A
 
   
. 
 
O primeiro passo é construir 
 A I
. Neste caso: 
 
3 2
2 3
A I



  
     
. 
 
A seguir, é preciso calcular o polinômio característico 
   detp A I  
. Então: 
 
  2
3 2
det 6 5
2 3
A I
  
 
    
 
. 
 
As raízes de 
 p 
, ou seja, os autovalores de A, são 
1 1 
 e 
2 5 
. Os autoespaços 
associados a cada um desses autovalores, denotados por 
 iS 
, são: 
 
Para 
1 1 
: 
 
     
        
     
2 2 0
2 2 0
x
A I x
y
Autoespaço associado: 
    1 ger 1 1 TS  
. 
 
Para 
2 5 
: 
 
2 2 0
5
2 2 0
x
A I x
y
      
              
 Autoespaço associado: 
    2 ger 1 1 TS   
. 
 
 
 
Exemplo 02: Seja 
2 2T : 
 o operador linear tal que 
   T x Ax T x 
, em que 
 A T
 é a 
matriz estudada no Exemplo 01. O fato de que A possui dois autoespaços unidimensionais a ela 
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associados implica em que o operador T possui duas direções especiais de aplicação. Quando 
transformados por T, qualquer vetor presente nos autoespaços 
 1S 
 e 
 2S 
 dá origem a uma 
versão em escala de si próprio. Em outras palavras, a direção dos vetores dos autoespaços é 
conservada pela aplicação do operador T. Esta é a interpretação geométrica do conceito de 
autovalores e autovetores. A figura a seguir mostra o operador aplicado ao triângulo 
OPQ
. 
 x
y
OP
Q
 
T(x)
 
x
y
O
R
S
 
No triângulo OPQ, tem-se: 
 
   21 1
T
u OP P O S       
   12 2
T
v OQ Q O S      
 1 3
T
w PQ Q P   
 
 
A aplicação do operador linear T leva a: 
 
   
3 2 1 5
5
2 3 1 5
T OP T u u OR
     
                 
 ; 
   
3 2 2 2
2 3 2 2
T OQ T v v OS
     
               
 
 
   
3 2 1 3
2 3 3 7
T PQ T w
      
             
 
 
Nota-se que 
 5OP OR OR OP 
 e 
 OQ OS OQ OS
, o que comprova o fato de que 
 2OP S 
 e 
 1OQ S 
 (ou seja, são autovetores do operador T). O mesmo não ocorre para o vetor 
w
. De fato, 
 T w w
. Em outras palavras, T não conserva a direção do vetor 
w
. 
Outro fato interessante relaciona-se às áreas dos triângulos OPQ e ORS. A área do triângulo 
OPQ vale 2, enquanto que a área do triângulo ORS vale 
 10 2 5 detOPQA A   
. Por que isso 
acontece? 
 
 
A seguir são apresentados diversos teoremas relacionados aos conceitos de autovalores e 
autovetores. Não são fornecidas provas, uma vez que o foco deste estudo é a aplicação direta dos 
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conceitos envolvidos. Demonstrações formais são encontradas na bibliografia recomendada 
(verifique o Plano de Ensino da disciplina). 
 
Teorema 01: Se A é uma matriz 
n n
 triangular (superior, inferior ou diagonal), então os 
autovalores de A são as entradas presentes na diagonal principal de A. 
 
Teorema 02: Se A é uma matriz 
n n
, a soma de seus n autovalores é igual à soma dos n elementos 
presentes em sua diagonal principal, ou seja: 
 
 1 2 11 22
1 1
tr
n n
i n nn i
i i
a a a a A   
 
          
. 
 
Teorema 03: Se A é uma matriz 
n n
, o produto de seus n autovalores é igual ao seu determinante, 
ou seja, 
 1 2 detn A   
. 
 
Teorema 04: Se k é um inteiro positivo, 

 é um autovalor de uma matriz A e x é um autovetor 
associado, então 
k
 é um autovalor de kA e x é um autovetor associado. 
 
Teorema 05: Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, 
0 
 não é um autovalor de A. 
 
Teorema 06: Afirmações equivalentes – Se A é uma matriz 
n n
 e se 
n n
AT : 
 é a multiplicação 
por A, então as seguintes afirmações são equivalentes: 
 
a) A é inversível. 
b) 
0Ax 
 admite somente a solução trivial. 
c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é 
nI
. 
d) A pode ser escrita como um produto de matrizes elementares. 
e) 
Ax b
 é consistente para cada vetor b (
1n
). 
f) 
Ax b
 tem exatamente uma solução para cada vetor b (
1n
). 
g) 
 det 0A 
. 
h) 
 Im nT 
. 
i) 
AT
 é injetora. 
j) Os vetores-coluna de A são linearmente independentes. 
k) Os vetores-linha de A são linearmente independentes. 
l) Os vetores-coluna de A geram o n . 
m) Os vetores-linha de A geram o n . 
n) Os vetores-coluna de A formam uma base do n . 
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o) Os vetores-linha de A formam uma base do n . 
p) 
 pos A n
. 
q) 
 nul 0A 
. 
r) 
   nN A


. 
s) 
    0C A


. 
t) TA A é inversível. 
u) 
0 
 não é um autovalor de A. 
 
Exercícios propostos: 
 
E1. Determine os autovalores e as respectivas bases dos autoespaços das matrizes: 
 
 
 a)
 
3 0
8 1
 
 
 
 b)
 
10 9
4 2
 
 
 
 c)
 
0 3
4 0
 
 
 
 d)
 
4 0 1
2 1 0
2 0 1
 
 
 
  
 e)
 
3 0 0
2 7 0
4 8 1
 
 
 
  
 
Resposta: 
a) 
 1 3
 e 
  2 1
;

   
   
   
1
1
1
2
T
B
 e
   2 0 1
T
B
 
b) 
  1 2 4
 
    1 2 3 2
T
B
 
c) 
 1 2 3
 e 
  2 2 3
;
     1 3 2 3
T
B
 e
     2 3 2 3
T
B
 
d) 
 1 1
, 
 2 2
 e 
 3 3
;
   1 0 1 0
T
B
, 
    2 1 2 2
T
B
e 
    3 1 1 1
T
B
 
e) 
 1 1
, 
 2 7
 e 
 3 3
;
   1 0 0 1
T
B
, 
   2 0 3 4
T
B
e 
   3 2 1 8
T
B
 
 
E2. Encontre os autovalores de 
3 4 2
0 1 2
00 0
A
 
 
  
   
e 
0 0 2
0 2 0
2 0 0
B
 
 
  
  
. 
 
Verifique que 
1 2 3   
 é igual ao traço e 
1 2 3   
 é igual ao determinante. 
Resposta: 
 1 3
, 
 2 1
 e 
 3 0
 para a matriz A e 
    1 2 3 2
 para a matriz B. 
 
E3. Calcule os autovalores e bases dos autoespaços de A e 2A se 1 3
2 0
A
 
  
 
. 
Resposta: 
 1 2
 e 
  2 3
 para a matriz A e 
 1 4
 e 
 2 9
 para a matriz 2A . As bases dos 
autoespaços de A e 2A são
   1 1 1
T
B
e 
    2 3 2
T
B
. 
 
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E4. Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de 20A se 
1 2 2
1 2 1
1 1 0
A
   
 
  
   
. 
Resposta: 
    1 2 3 1
 para a matriz 20A . As bases dos autoespaços de 20A 
são
             1 2 3 2 1 1 , 1 1 0 , 1 0 1
T T T
B
. 
E5. Calcule os autovalores e bases dos autoespaços de A e 
A I
se 
1 4
2 3
A
 
  
 
. 
Compare os autovalores e autovetores das matrizes A e 
A I
. Veja exercício E7. 
 
Resposta: 
  1 1
 e 
 2 5
 para a matriz A e 
 1 0
 e 
 2 6
 para a matriz 
A I
. As bases dos 
autoespaços de A e 
A I
 são
    1 2 1
T
B
e 
   2 1 1
T
B
. 
 
E6. Os vetores 
 1 1,1u 
 e 
 2 2, 1u  
 são autovetores de um operador 
2 2:T 
 associados aos 
autovalores 
1 5 
 e 
2 1  
, respectivamente. Determine 
 4,1T
. 
 
Resposta: 
   4,1 8,11T
. 
 
Desafio: Prove: 
a) Se a, b, c e d são números inteiros tais que 
a b c d  
, então 
a b
A
c d
 
  
 
 
tem autovalores inteiros: 
1 a b  
 e 
2 a c  
. 
 
b) Se
 
 

 é um autovalor de A com autovetor associado x, então 
1 
 é um autovalor de 1A com 
autovetor associado x. 
 
c) Se
 
 

 é um autovalor de A com autovetor associado x e se s é um escalar, então 
s 
 é um 
autovalor de 
A s I
 com autovetor associado x. 
 
d) Se
 
 

 é um autovalor de A com autovetor associado x, então 
1 
 é um autovalor de 
A I
 
com autovetor associado x.