Introdução à Álgebra Linear

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<p>05/12/2022</p><p>Métodos</p><p>Matemáticos</p><p>Introdução à Álgebra Linear</p><p>Mariana Silva Ribeiro de Oliveira</p><p>• Unidade de Ensino: 1</p><p>• Competência da Unidade: Conhecer os elementos básicos de matrizes,</p><p>sistemas de equações lineares e espaço vetorial.</p><p>• Resumo: Entender o conceito de matrizes e determinantes por meio de</p><p>exemplos práticos e das definições dadas pela matemática em si.</p><p>• Palavras-chave: Matriz, sistemas e espaço vetorial.</p><p>• Título da Teleaula: Introdução à Álgebra Linear</p><p>• Teleaula nº: 1</p><p>Contextualização</p><p>• Uso do GPS (Sistema de Posicionamento Global)</p><p>• Construção de malhas computacionais</p><p>Matriz</p><p>Elementos de uma matriz</p><p>O par de números 𝒎 e 𝒏 é chamado de tamanho, tipo ou</p><p>ordem da matriz.</p><p>Exemplo de representação de uma matriz</p><p>Matriz 𝐴 = (𝑎 ) , em que 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗.</p><p>𝑎 = 2 1 + 1 = 3</p><p>𝑎 = 2 1 + 2 = 4</p><p>𝑎 = 2 1 + 3 = 5</p><p>𝑎 = 2 2 + 1 = 5</p><p>𝑎 = 2 2 + 2 = 6</p><p>𝑎 = 2 2 + 3 = 7</p><p>Matriz do tipo 2 x 3</p><p>𝑎 𝑎 𝑎</p><p>𝑎 𝑎 𝑎</p><p>𝐴 =</p><p>3 4 5</p><p>5 6 7</p><p>05/12/2022</p><p>Tipos de matrizes</p><p>• Matriz linha</p><p>𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎</p><p>• Matriz coluna</p><p>𝑎</p><p>𝑎</p><p>⋮</p><p>𝑎</p><p>• Matriz nula: todos os elementos são nulos</p><p>0 0 0 0</p><p>Tipos de matrizes</p><p>• Matriz Diagonal: os elementos localizados acima e abaixo</p><p>da diagonal principal são iguais a zero</p><p>• Matriz triangular: os elementos localizados acima ou</p><p>abaixo da diagonal principal são iguais a zero.</p><p>Imagine que você foi convocado e nomeado para realizar</p><p>uma verificação do último relatório bimestral de uma</p><p>empresa de construção civil no ano de 2020 em relação às</p><p>vendas de cimento e cal.</p><p>Qual produto e em qual mês foi vendido menos sacos?</p><p>Qual a maior diferença de vendas entre os produtos nos</p><p>meses correspondentes?</p><p>Situação-problema Resolvendo</p><p>O menor número de sacos vendidos, basta olhar qual é a</p><p>menor entrada da matriz.</p><p>Resolvendo</p><p>𝑉 =</p><p>𝑎 𝑎</p><p>𝑎 𝑎</p><p>𝐷 = 𝑎 − 𝑎</p><p>𝐷 = 1375 − 1510</p><p>𝐷 = −135</p><p>Foram vendidos 135 sacos de cimento a mais que sacos de cal.</p><p>Operações com matrizes</p><p>05/12/2022</p><p>Adição e Subtração de Matrizes</p><p>Dadas as matrizes abaixo, determine a matriz 𝑋 tal que:</p><p>𝑋 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐶.</p><p>Multiplicação de matrizes</p><p>Considere as matrizes:</p><p>𝐴𝑚 × 𝑝 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑒 𝐵𝑝 × 𝑛 = [𝑏𝑖𝑗]</p><p>coluna linha</p><p>Exemplo</p><p>𝐴 =</p><p>8 6</p><p>2 5</p><p>⋅</p><p>5</p><p>2</p><p>𝐴 =</p><p>8.5 + 6.2</p><p>2.5 + 5.2</p><p>𝐴 =</p><p>40 + 12</p><p>10 + 10</p><p>Determinante ordem 2</p><p>𝐵 =</p><p>1 5</p><p>−3 2</p><p>det 𝐵 =</p><p>1 5</p><p>−3 2</p><p>det 𝐵 = 1.2 − −3.5</p><p>det 𝐵 = 2 − (−15)</p><p>det 𝐵 = 2 + 15</p><p>det 𝐵 = 17</p><p>Determinante ordem 3</p><p>𝐶 =</p><p>2 1 1</p><p>0 5 −2</p><p>1 −3 4</p><p>det 𝐶 =</p><p>2 1 1</p><p>0 5 −2</p><p>1 −3 4</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>5</p><p>−3</p><p>det 𝐶 = 2.5.4 + 1. −2 . 1 + 1.0. −3 − 1.5.1 + −3 . −2 . 2 + 4.0.1</p><p>det 𝐶 = 40 − 2 + 0 − 5 + 12 + 0</p><p>det 𝐶 = 38 − 17</p><p>det 𝐶 = 21</p><p>Sistema de equações</p><p>lineares</p><p>05/12/2022</p><p>Sistemas de equações lineares</p><p>Um sistema de equações lineares com m equações e n</p><p>incógnitas é um conjunto de equações do tipo:</p><p>𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟏</p><p>𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟐</p><p>𝒂𝟑𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟑𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟑𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟑</p><p>⋮</p><p>𝒂𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝒎</p><p>Solução</p><p>2𝑥 − 5𝑦 = 11</p><p>3𝑥 + 4𝑦 = 5</p><p>x = 3 e y = -1</p><p>2𝑥 − 5𝑦 = 11</p><p>2. (3) − 5. (−1) = 11</p><p>6 + 5 = 11</p><p>3𝑥 + 4𝑦 = 5</p><p>3. (3) + 4. (−1) = 5</p><p>9 − 4 = 5</p><p>Solução de um sistema</p><p>(SPD) – Sistema possível e determinado: O sistema</p><p>possui uma única solução.</p><p>(SPI) – Sistema possível e indeterminado: O sistema</p><p>possui infinitas soluções.</p><p>(SI) – Sistema impossível: O sistema não tem solução.</p><p>Geometricamente</p><p>SPD SPI</p><p>SI</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑦</p><p>𝑦</p><p>𝑦</p><p>𝑦</p><p>𝑦𝑦</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑦</p><p>Método da adição</p><p>3𝑥 + 𝑦 = 9</p><p>2𝑥 + 3𝑦 = 13</p><p>Multiplica por (-3)</p><p>−3 . 3𝑥 + −3 . 𝑦 = −3 . 9</p><p>2𝑥 + 3𝑦 = 13</p><p>−9𝑥 − 3𝑦 = −27</p><p>2𝑥 + 3𝑦 = 13</p><p>Soma as duas equações</p><p>−7𝑥 = −14</p><p>𝑥 =</p><p>−14</p><p>−7</p><p>= 2</p><p>Método da adição</p><p>3𝑥 + 𝑦 = 9</p><p>2𝑥 + 3𝑦 = 13</p><p>Substituir x = 2 em alguma das</p><p>duas equações</p><p>3𝑥 + 𝑦 = 9</p><p>3. (2) + 𝑦 = 9</p><p>6 + 𝑦 = 9</p><p>𝑦 = 9 − 6</p><p>𝑦 = 3</p><p>𝑥 = 2</p><p>Sistema Possível e Determinado</p><p>05/12/2022</p><p>Sistema escalonado</p><p>• Existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação;</p><p>• O número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente</p><p>não nulo, aumenta de equação para equação.</p><p>• Por exemplo:</p><p>Situação-problema</p><p>O sistema a seguir é usado para determinar as</p><p>coordenadas do receptor em função do tempo.</p><p>Qual valor dessas coordenadas?</p><p>Resolvendo</p><p>Espaço Vetorial</p><p>Espaço vetorial</p><p>Seja 𝑉 um conjunto não vazio e 𝐾 um corpo. Defina a operação +: 𝑉 ×</p><p>𝑉 → 𝑉 , chamada adição, tal que, dados 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉, as seguintes</p><p>propriedades sejam válidas:</p><p> Associatividade: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)</p><p> Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢</p><p> Elemento neutro: Existe 0𝑣 ∈ 𝑉, tal que 𝑣 + 0𝑣 = 𝑣</p><p> Elemento oposto: Para cada 𝑢 em 𝑉, existe um vetor em</p><p>𝑉denotado por −𝑢 tal que 𝑢 + (−𝑢) = 0.</p><p>05/12/2022</p><p>Espaço vetorial</p><p>Defina a operação ∶ 𝑉 × 𝑉 → 𝑉, chamada multiplicação por escalar, tal</p><p>que, dados α, 𝛽 ∈ 𝐾 e u, 𝑣 ∈ 𝑉, as seguintes propriedades sejam válidas:</p><p> Associatividade: α 𝛽 𝑣 = (α 𝛽) 𝑣</p><p> Elemento neutro: Existe 1𝑣 ∈ 𝑉, tal que +1𝑣 𝑣 = 𝑣 para todo 𝑣 ∈ 𝑉.</p><p> Distributiva: α + 𝛽 𝑣 = α 𝑣 + 𝛽 𝑣</p><p> Distributiva: α 𝑣 + 𝑢 = α 𝑣 +α 𝑢</p><p>Transformação linear</p><p>Se 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 for uma função de um espaço vetorial</p><p>𝑉 num espaço vetorial 𝑊 , então 𝑇 é denominada</p><p>transformação linear de 𝑉 em 𝑊 se as duas propriedades</p><p>seguintes forem válidas com quaisquer vetores 𝑢 e 𝑣 em 𝑉</p><p>e qualquer escalar 𝑘.</p><p>• Homogeneidade: 𝑇 𝑘𝑣 = 𝑘𝑇(𝑣)</p><p>• Aditividade: 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣)</p><p>No caso especial em que 𝑉 = 𝑊, a transformação linear é</p><p>denominada operador linear do espaço vetorial 𝑉.</p><p>Exemplo</p><p>Considere a transformação linear T: R³ em R³ tal que T(x, y,</p><p>z) = ( 2x, -3y, -x+ 2z) e os vetores u = (– 1, 2, 2) e v = (-1,</p><p>1, -3) do espaço tridimensional a imagem de u + v,</p><p>corresponde a:</p><p>u = (– 1, 2, 2) e v = (-1, 1, -3)</p><p>u + v = (-2, 3, -1)</p><p>T(x, y, z) = ( 2x, -3y, -x+ 2z)</p><p>T(-2, 3, -1) = ( -4, -9, 0)</p><p>Atividade</p><p>Dada a transformação T : R² em R² tal que T(x, y)= ( 2x, -</p><p>3y), os vetores u = (– 1, 2) e v = (1, -3) a imagem de u +</p><p>v, correspondem respectivamente a:</p><p>Resolvendo</p><p>Dada a transformação T : R² em R² tal que T(x, y)= ( 2x, -</p><p>3y), os vetores u = (– 1, 2) e v = (1, -3) a imagem de u +</p><p>v, correspondem respectivamente a:</p><p>u = (– 1, 2) e v = (-1, -3)</p><p>u + v = (0, -1)</p><p>T(x, y) = (2x, -3y)</p><p>T(0, -1) = (0, 3)</p><p>Recapitulando</p><p>05/12/2022</p><p> Matrizes</p><p> Operações com matrizes</p><p> Sistemas de equações</p><p> Métodos de resolução de sistemas</p><p> Espaço Vetorial</p><p> Combinação Linear Fonte: Google Imagens. Disponível em encurtador.com.br/psGNX</p><p>Acesso em: 01 fev. 2021.</p>