Resolução lista 7 IPE

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BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 07 v2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 29/03/13 – pág. 1/10 
1. 
a) 
b) 
 j
 i
1 2 3 4 5 6
0
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒-𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟 𝑛𝑜 𝑔𝑟á𝑓 𝑐𝑜, 𝑝𝑋(𝑥)𝑝𝑌(𝑦) 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥, 𝑦. 
 𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑒 𝑠ã𝑜 𝑣𝑎𝑟 á𝑣𝑒 𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟 𝑎𝑠 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔. 
 
d) 
 ( , 3) ( ) ( 3) 
 ∑𝑝( , )
𝑗
∑𝑝( , 3)
𝑖
 0 
 
 
 0 
 ( ) ∑𝑝( , )
𝑗
 
 
 
 
 ( < ) ( 0) + ( ) 
 
 
+
 
 
 
 ( > − , < 5) ( < 5) − ( ≥ 5) − [ ( 5) + ( )]
 − (
 
 
+
 
 
) 
4
 
 
 
3
 
 ( 0, > 0) ( 0) 
 
 
 
 
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2. 
a) 
 X
 Y
1 2 3
0 0,1 0,1 0,1 0,3
1 0,2 0 0,3 0,5
2 0 0,1 0,1 0,2
0,3 0,2 0,5
 
 
 
 
b) 
𝐸[ ] ∑𝑥𝑝(𝑥)
3
𝑥=1
 0,3 + 0, + 3 0,5 , 
𝑉𝐴𝑅[ ] 𝐸[ 2] − (𝐸[ ])2 ( 2 0,3 + 2 0, + 32 0,5) − , 2 0,7 
𝐸[ ] ∑𝑦𝑝(𝑦)
2
𝑦=0
 0 0,3 + 0,5 + 0, 0,9 
𝑉𝐴𝑅[ ] 𝐸[ 2] − (𝐸[ ])2 (02 0,3 + 2 0,5 + 2 0, ) − 0,92 0,49 
 
c) 𝐶𝑜𝑚𝑜 ( , ) 0 ≠ ( ) ( ) 0, 0,5 0, , 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑒 
𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟 á𝑣𝑒 𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟 𝑎𝑠 𝑒 𝑠ã𝑜 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔. 
 
d) 
 ( | 0) 
 ( , 0)
 ( 0)
 
0, 
0,3
 
 
3
 
 ( | 3) 
 ( , 3)
 ( 3)
 
0, 
0,5
 
 
5
 
 
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3. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 P(X| 
 Y) 
0 1 2 3 
0 5/28 15/28 15/56 1/56 
1 5/14 15/28 3/28 0 
2 5/8 3/8 0 0 
3 1 0 0 0 
4 0 0 0 0 
 
 
 X) 
 P(Y| 
0 1 2 3 
0 5/42 5/18 5/9 1 
1 10/21 5/9 4/9 0 
2 5/14 1/6 0 0 
3 1/21 0 0 0 
4 0 0 0 0 
 
 X
 Y
0 1 2 3
0 1/22 3/22 3/44 1/220 14/55
1 2/11 3/11 3/55 28/55
2 3/22 9/110 12/55
3 1/55 1/55
4 0
21/55 27/55 27/220 1/220 
5
3
 
3
 
 
4
 
5
 
 
3
 
4
 
5
 
 
3
 
0
3
 
4
 
 
3
 
3
 
4
 
 
3
 
3
3
 
3
 
4
3
 
3
 
3
 
5
 
 
3
 
0
0
0
0
0
0
0 0
0
3
 
5
 
 
3
 
3
 
4
 
5
 
 
3
 
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4. 
a) ( , ) 9/ 0 
b) ( ) 7/55 
c) ( ) /55 
 𝑒 𝑠ã𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 → ( , 3) 0 ≠ ( ) ( 3) 
 7
55
 
 
55
 
 
 
 
d) ({ , } ∪ { , }) ( , ) + ( , ) 3/ 
e) ( ∪ ) ( ) + ( ) − ( , ) 9/ 0 
f) ( | ) 3/8 
g) ( | ) / 
h) 𝐸[ ] 0 /55 + 7/55 + 7/ 0 + 3 / 0 3/4 0,75 
i) 𝐸[ ] 0 4/55 + 8/55 + /55 + 3 /55 + 4 0 
j) 𝐸[ | ] 0 ( 0| ) + ( | ) 3/8 
k) 𝐸[ | ] 0 ( 0| ) + ( | ) + ( | ) 
 8/9 
l) 𝐸[𝑆] 𝐸[ + ] 0 / + 7/ + /44 + 3 7/44 7/4 ,75 
m) 𝐸[ ] 𝐸[ ] 0 
13
22
+ 
3
11
+ 
3
22
+ 3 0 + 4 0 + 0 + 9 0 
6
11
 
 0, 54̅̅̅̅ 
n) 
S P(S) 
0 1/22 
1 7/22 
2 21/44 
3 7/44 
 
 
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o) 
P P(P) 
0 13/22 
1 3/11 
2 3/22 
3 0 
4 0 
6 0 
9 0 
 
p) 𝐸[ ] + 𝐸[ ] 0,75 + ,75 𝐸[𝑆] ∎ 
q) 𝐸[ ]𝐸[ ] 0,75 0,75 ≠ 0, 54̅̅̅̅ 𝐸[ ] ∎ 
𝐼𝑠𝑠𝑜 á 𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜 𝑠 𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟 á𝑣𝑒 𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟 𝑎𝑠 𝑒 𝑠ã𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
r) 𝜌𝑋,𝑌 𝑐𝑜𝑟𝑟[ , ] 
𝐸[𝑋𝑌]−𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]
𝐷𝑃[𝑋]𝐷𝑃[𝑌]
 
𝐸[𝑃]−𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]
𝐷𝑃[𝑋]𝐷𝑃[𝑌]
 
 
 
 − 0,75 
√02 
 
55 + 
2 
 7
55 + 
2 
 7
 0 + 3
2 
 
 0 − 0,75
2 √02 
 4
55 + 
2 
 8
55 + 
2 
 
55 + 3
2 
 
55 + 4
2 0 − 2
 
≈ −0,4 
 𝑒𝑙𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑡ã𝑜 𝑝𝑟ó𝑥 𝑚𝑜 𝑑𝑒 , 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑 𝑧𝑒𝑟 
𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟 á𝑣𝑒 𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟 𝑎𝑠 𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑ê𝑛𝑐 𝑎 𝑙 𝑛𝑒𝑎𝑟. 
 
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5. 
 X
 Y
1 2 3
1 0,1 0,1 0 0,2
2 0,1 0,2 0,3 0,6
3 0,1 0,1 0 0,2
0,3 0,4 0,3
 
 
 
 
a) 𝐸[𝑆] 0, + 3 0, + 4 0,3 + 5 0,4 + 0 4 
𝐸[𝑆] 𝐸[ + ] 𝐸[ ] + 𝐸[ ]
 ( 0,3 + 0,4 + 3 0,3) + ( 0, + 0, + 3 0, ) + 
 4 
S P(S) 
2 0,1 
3 0,2 
4 0,3 
5 0,4 
6 0 
 
b) 𝐸[ ] 0, + 0, + 3 0, + 4 0, + 0,4 + 9 0 4 
P P(P) 
1 0,1 
2 0,2 
3 0,1 
4 0,2 
6 0,4 
9 0 
 
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c) 𝐸[ ] 𝐸[ ] 𝐸[ ]𝐸[ ] 
𝑁𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
 ( 3, 3) 0 ≠ ( 3) ( 3) 0,3 0, 0,0 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑒 𝑛ã𝑜 𝑠ã𝑜 𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠,𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐸[ ] 𝐸[ ]𝐸[ ]. 
 
d) 
e) 
 X 
 Y 
1 2 3 4 5 6 P(Y) 
1 1/36 0 0 0 0 0 1/36 
2 1/36 1/18 0 0 0 0 1/12 
3 1/36 1/36 1/12 0 0 0 5/36 
4 1/36 1/36 1/36 1/9 0 0 7/36 
5 1/36 1/36 1/36 1/36 5/36 0 1/4 
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 11/36 
P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
f) 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ( , ) 0 ≠ ( ) ( ) 
1
6
 
1
36
 
1
216
 , 
𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟 á𝑣𝑒 𝑠 𝑒 𝑠ã𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
g) 𝑐𝑜𝑟𝑟[ , ] 
𝐸[𝑋𝑌]−𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]
𝐷𝑃[𝑋]𝐷𝑃[𝑌]
 
 
𝐸[ ] ( + + 3 + 4 + 5 + ) 
 
 
 
 
 
 3,5 
𝐸[ ] ( + + 3 + 4 + 5 + ) 
 
 
 
 
 
 3,5 
𝐷 [ ] √𝑉𝐴𝑅[ ] √𝐸[ 2] − (𝐸[ ])2
 √( 2 + 2 + 32 + 42 + 52 + 2) 
 
 
− 3,52 ≈ ,708 
𝐸[ ] 
 
3 
+ 
 
 
+ 3 
5
3 
+ 4 
7
3 
+ 5 
 
4
+ 
 
3 
 4,47 ̅ 
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𝐷 [ ] √𝑉𝐴𝑅[ ] √𝐸[ 2] − (𝐸[ ])2
 2 
 
3 
+ 2 
 
 
+ 32 
5
3 
+ 42 
7
3 
+ 52 
 
4
+ 2 
 
3 
− 4,47 ̅2
≈ ,404 
𝐸[ ] 𝐸[ ] 
 
3 
+ 
 
3 
+ 3 
 
3 
+ 4 
 
 
+ 5 
 
3 
+ 
 
 8+8 
 
3 
+ 9 
 
 
+ 0 
 
3 
+ 
 
 8
+ 5 
 
3 
+ 
 
9
 
 + 8 
 
3 
+ 0 
 
3 
+ 4 
 
3 
+ 5 
5
3 
+ 30 
 
3 
+ 3 
 
 
 
 7, ̅ 
P P(P) P P(P) P P(P) 
1 1/36 8 1/18 18 7/36 
2 1/36 9 5/36 20 1/9 
3 1/36 10 5/36 24 1/9 
4 1/12 12 1/12 25 1/4 
5 1/12 15 1/12 30 5/36 
6 1/18 16 7/36 36 11/36 
 
𝑐𝑜𝑟𝑟[ , ] 
𝐸[ ] − 𝐸[ ]𝐸[ ]
𝐷 [ ]𝐷 [ ]
 
 
 7, ̅ − 3,5 4,47 ̅
 ,708 ,404
 
 ≈ 0, 
 𝑒𝑙𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑡 𝑑𝑜, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑 𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟 á𝑣𝑒 𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑙 𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠 𝑡 𝑣𝑎. 
 
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6. 
 X
 Y
-1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8 3/8
0 1/8 0 1/8 1/4
1 1/8 1/8 1/8 3/8
3/8 1/4 3/8
 
 
 
a) 
𝐸[ ] − 
3
8
+ 0 
 
4
+ 
3
8
 0 
𝐸[ ] − 
3
8
+ 0 
 
4
+ 
3
8
 0 
𝐸[ ]𝐸[ ] 0 0 0 
𝐸[ ] 𝐸[ ] − 
 
4
+ 0 
 
 
+ 
 
4
 0 
∴ 𝐸[ ] 𝐸[ ]𝐸[ ] 
𝑐𝑜𝑟𝑟[ , ] 
𝐸[ ] − 𝐸[ ]𝐸[ ]
𝐷 [ ]𝐷 [ ]
 
𝐸[ ] − 𝐸[ ]
𝐷 [ ]𝐷 [ ]
 0 ∎ 
P P(P) 
-1 1/4 
0 1/2 
1 1/4 
 
b) 𝑒 𝑠ã𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜 𝑠 ( , 0, 0) 0 ≠ ( 0) ( 0) 
1
4
1
4
 
1
16
. 
 
7. 
 
 
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8. 
 
 
9. 
 
 
10. 
 
 
11. 
 
 
12.