CÁLCULO VETORIAL LISTA DE EXERCÍCIOS 05

Prévia do material em texto

Cálculo Vetorial
5ª Lista de Exercícios - Prof. Caitano Cintra
 Pense no que disse o grande matemático húngaro George Polya (1887 – 1985): 
 ”... A Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser apreciada e 
 aprendida sem a participação ativa do aluno... E a primeiríssima coisa, quando se 
 trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais...”
1) Calcule as integrais abaixo, (i) diretamente e (ii) usando o teorema de Green:
 a) ∫
C
2xydx+(x2+ y2)dy , sendo C a elipse 4x2+9y2=36
 b) ∫
C
5xydx+x3dy , em que C é a fronteira da região limitada por y=x2 e
y=2 x
 c) ∫
C
(x− y )dx+(x+5 y )dy , sendo C a circunferência x2+ y2=1
 d) ∫
C
e2x y2dx+(x2− y2)dy , sendo C a fronteira do retângulo de vértices
A (1, 2) , B(5, 2) , C(5, 4) e D(1, 4)
2) Seja a integral de linha ∫
C
(x4− y3)dx+(x3+ y5)dy , sendo C( t)=(cos t , sen t) ,
0≤t≤2π . Calcule essa integral como uma integral dupla por meio do teorema de 
Green.
3) Sejam F(x , y)=4 x3 y3 i⃗ +(3x4 y2+5 x) j⃗ e γ a fronteira do quadrado de vértices 
nos pontos A (−1,0) ; B (0,−1) ; C(1,0) e D(0,1) orientada no sentido anti 
horário . Calcule ∫
γ
F⃗⋅d γ
4) Calcule a integral ∫
C
(2 y+√1+x2)dx+(5x− y2)dy , sendo C a circunferência
x2+ y2=4 , orientada no sentido horário.
5) Sejam R uma região compatível com o teorema de Green, que tem área A e 
fronteira C . Calcule ∫
C
− ydx+xdy . 
6) Calcule a área da região limitada pela elipse x
2
a2
+ y
2
b2
=1 (Sugestão: utilize o resultado
do exercício 5)
7) Considere a região do plano limitada pelos gráficos das equações: y=x ,
x+ y=4 e y=0
 a) Faça um esboço do gráfico dessa região;
 b) Oriente a fronteira C dessa região nas condições de se aplicar o Teorema de 
 Green;
 c) Usando o Teorema de Green, escreva a integral ∫
C
xdx+(xy− y )dy como uma 
 integral dupla sobre a região dada;
 d) Calcule o valor da integral dada, como achar mais conveniente, isto é, pela integral
 de linha ou pela integral dupla.