Questão resolvida - O teorema de Fubini nos diz que se f(x,y) é contínua no retângulo [a,b]x[c,d]. Então a integral dupla na região R é calculada por meio das integrais ... - Cálculo II - UNIASSELVI

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• O teorema de Fubini nos diz que: se é contínua no retângulo . f x, y( ) a, b × c, d[ ] [ ]
Então a integral dupla na região R é calculada por meio das integrais iteradas
 
f x, y dA = f x, y dy dx = f x, y dx dy∫
R
∫ ( )
b
a
∫
d
c
∫ ( )
d
c
∫
b
a
∫ ( )
 Sabendo disso, determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide 
elíptico e os planos e os três planos coordenados.x + 2y + z = 162 2 x = 1, y = 3
 Comprove o teorema de Fubini para este exercício, fazendo o cálculo da integral 
dupla a partir das duas ordens de integração possíveis.
 Não se esqueça de demonstrar todos os cálculos.
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos colocar a expressão em forma de uma função do tipo ;f x, y( )
 
x + 2y + z = 16 z = 16 - x - 2y f x, y = 16 - x - 2y2 2 → 2 2 → ( ) 2 2
 
A integral dupla sobre a região é dada por;
 
16 - x - 2y dA∫
R
∫ 2 2
A região de integração R é um quadrado no plano xy, como a região é limitada pelos planos 
coordenados e , esse quadrado vai da origem até 3 em x e, também, da x = 1 e y = 3
origem até no eixo y.
 A função é contínua no retângulo já que se trata de função polinomial (sendo aqui um caso 
partícular de retângulo, ou seja, um quadrado).
 
 
 
x
y
3
3
 
Assim, os limites de integração vão de 0 a 3 em x e em y; como o enunciado pede que se 
prove o teorema de Fubini, devemos provar que a igualdade abaixo é verdadeira;
 
16 - x - 2y dx dy = 16 - x - 2y dydx
3
0
∫
3
0
∫ 2 2
3
0
∫
3
0
∫ 2 2
 
Vamos, então, resolver as integrais iteradas, começando com;
 
16 - x - 2y dx dy = 16x - - 2y x dxdy
3
0
∫
3
0
∫ 2 2
3
0
∫ x
3
3
2
3
0
 
= 16 ⋅ 3 - - 2y ⋅ 3 - 16 ⋅ 0 - - 2y ⋅ 0 dy = 48 - 9 - 6y dy
3
0
∫ 3
3
( )3
2
0
3
( )3
2
3
0
∫ 2
 
= 39 - 6y dy = 39y - = 39 ⋅ 3 - 2 ⋅ 3 = 117 - 54 = 63
3
0
∫ 2 6y
3
3 3
0
( )3
 
Agora, fazemos a integração mudando a ordem, desta vez integrando, primeiro, em relação a
y e , em seguida, em relação a x e devemos ter o mesmo resultado, ou seja;
 
16 - x - 2y dydx = 63 16y - x y - 2 dx = 63
3
0
∫
3
0
∫ 2 2 →
3
0
∫ 2 y
3
3 3
0
 
16 ⋅ 3 - x ⋅ 3 - 2 - 16 ⋅ 0 - x ⋅ 0 - 2 dx = 48 - 3x - 2 ⋅ 9 dx→
3
0
∫ 2 3
3
( )3
2
0
3
( )3 3
0
∫ 2
 
= 30 - 3x dx = 30x - 3 = 30x - x = 30 ⋅ 3 - 3 - 30 ⋅ 0 - 0
3
0
∫ 2 x
3
3 3
0
3
3
0
( )3 ( )3
 
= 90 - 27 = 63( )
 Os valores deram iguais, provando-se verdadeira o teorema de Fubini;
 
16 - x - 2y dx dy = 16 - x - 2y dydx = 63
3
0
∫
3
0
∫ 2 2
3
0
∫
3
0
∫ 2 2
 
 
(Resposta )