CÁLCULO VETORIAL LISTA DE EXERCÍCIOS 07

Prévia do material em texto

Cálculo Vetorial
 7ª Lista de Exercícios - Prof. Caitano Cintra
Pense no que disse o grande matemático húngaro George Polya (1887 – 1985): 
”... A Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser apreciada e 
aprendida sem a participação ativa do aluno... E a primeiríssima coisa, quando se 
trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais...”
1) Considere a transformação no plano dada por T ( x , y)=(u , v)=(x+ y , x− y )
a) Represente no plano uv as retas u=2 , u=4 , v=1 e v=5
b) Desenhe as curvas no plano xy correspondentes às retas dadas no item anterior;
c) Determine a transformação G do plano que é a inversa da transformação T dada;
d) Esboce no plano xy a região R que é limitada pelos gráficos de x+ y=1 e x+ y=2 e 
no plano uv o gráfico de T (R)
2) Considere a transformação no plano dada por T (u , v)=(x , y) , em que x=u e y=u2+v2
a) Trace no plano uv os gráficos de u=1 e v=1
b) Desenhe a imagem do gráfico dado no item anterior
3) Calcule o jacobiano das seguintes transformações:
a) T (u , v)=(x , y)=(u+v , u−v )
b) T (r ,θ)=(x , y)=(rcosθ , rsenθ)
c) T (θ , r ,ϕ)=(x , y , z) , em que x=rsenϕcosθ , y=rsenϕ senθ e z=rcosϕ
d) T (u , v ,w)=(x , y , z )=(2u+3v−w , v−5w , u+4w)
e) T (u , v ,w)=(u2+vw , 2v+u2w , uvw)
f) T (θ , r , z )=(rcosθ , senθ , z)
4) Considere a região no primeiro quadrante do plano Oxy , limitada por x+ y=2 e x+ y=1 . 
Esboce no plano uv a região dada por u=x− y e v= x+ y
5) Seja R a região do plano Oxy limitada por x+ y=6 ; x− y=2 e y=0 .
 a) Por meio da mudança x=u+v e y=u−v , esboce o gráfico da região S no plano uv
 b) Calcule ∬
R
dR diretamente e por meio da mudança de coordenadas dadas.
6) Calcule ∬
R
x− y
x+ y
dxdy , sendo R a região limitada por 1≤x+ y≤2 ; x≥0 e y≥0
7) Calcule ∬
R
√x2+ y2dxdy , sendo R o triângulo de vértices nos pontos A (0,0) ; B (1,0) e
C (1,1)
8) Calcule ∬
R
ex
2+ y2dR , em que R é a região 1≤x2+ y2≤4