Simetrias em Mecânica Clássica

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA
FRANKLIN FAUSTINO RIBEIRO DA COSTA
SIMETRIAS EM MECÂNICA CLÁSSICA
FORTALEZA – CEARÁ
2017
FRANKLIN FAUSTINO RIBEIRO DA COSTA
SIMETRIAS EM MECÂNICA CLÁSSICA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Licenciatura Plena em Física do Cen-
tro de Ciências e Tecnologia da Universidade
Estadual do Ceará, como requisito parcial para à
obtenção do grau de licenciado em Física.
Orientador: Prof. Me. Wendel Macedo
Mendes
FORTALEZA – CEARÁ
2017
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação
 Universidade Estadual do Ceará
 Sistema de Bibliotecas
Costa, Franklin Faustino Ribeiro da . 
 Simetrias em mecânica clássica [recurso eletrônico]
/ Franklin Faustino Ribeiro da Costa. - 2017.
 1 CD-ROM: il.; 4 ¾ pol. 
 CD-ROM contendo o arquivo no formato PDF do
trabalho acadêmico com 62 folhas, acondicionado em
caixa de DVD Slim (19 x 14 cm x 7 mm).
 Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) -
Universidade Estadual do Ceará, Centro de Ciências e
Tecnologia, Graduação em Física, Fortaleza, 2017.
 Orientação: Prof. Me. Wendel Macedo Mendes.
 1. Simetrias . 2. Leis de Conservação. 3. Mecânica
Clássica. I. Título.
Dedico à Minha familia.
AGRADECIMENTOS
A Deus, o autor da vida, por ter me dado saúde e capacidade de prosseguir nos meus estudos.
Ao meu pai José Faustino e à minha mãe Maria Marlene por estarem sempre ao meu lado
dando-me total apoio, vocês são a minha fonte de inspiração.
Às minhas irmãs Leila e Leiliane que nos momentos difíceis sempre estiveram dispostas a me
ajudar, trazendo-me sempre uma palavra de ânimo.
Ao professor Wendel Macedo Mendes por ter me orientado, dado total incentivo e direcionamento
durante boa parte de minha graduação.
À professora Gislânia Mendes pelas suas excelentes aulas de Mecânica Teórica I e, seu apoio
durante o curso.
Aos meus amigos do curso de graduação em Física da Universidade Estadual do Ceará (UECE),
em especial a Matheus Rodrigues, Natanael Monteiro, Manuel Neto e Marvin Souza.
"Seja forte e corajoso. Não fique desanimado,
nem tenha medo, porque eu, o Senhor, seu Deus,
estarei com você em qualquer lugar para onde
você for."
(Josué 1:9)
RESUMO
Neste trabalho mostrou-se que as leis de conservação do momento linear, energia e momento
angular podem ser obtidas a partir de propriedades de simetria existentes no sistema físico.
O objetivo deste trabalho é definir os tipos de simetria encontradas na Mecânica Clássica,
especialmente no referencial de Galileu, usando a mecânica newtonia para mostrar as leis de
conservação, valendo-se do fato do espaço ser homogêneo e isotrópico. Em seguida, usa-se
o formalismo lagrangeano para generalizar essas propriedades de simetria com o teorema de
Noether.
Palavras-chave: Simetrias. Leis de conservação. Mecânica Clássica
ABSTRACT
In this work, it was shown that the laws of conservation of linear momentum, energy and angular
momentum can be obtained from properties of symmetry existing in the physical system. Some
types of symmetry are essential for the study of physical greatnesses. The objective of this
work is to define the types of symmetry found in classical mechanics, especially in the Galileo
referential, using Newtonian mechanics to show the conservation laws, using the fact that space
is homogeneous and isotropic. Then, lagrangian formalism is used to generalize these properties
of symmetry with Noether’s theorem.
Keywords: Symmetries.Conservation Laws. Classic Mechanics
LISTA DE SÍMBOLOS
δS Variação da lagrangeana
δ jk Delta de Kronecker
E Energia mecânica
εabc Simbolo de Levi-Civita
GL(R,n) Grupo linear real
GL(C,n) Grupo linear complexo
τ Subgrupo de translação espacial
ς Subgrupo das translações puras de Galileu
I Matriz identidade
J Gerador de rotação
L Lagrangeana
N Vetor torque
ω Subgrupo de rotação
R2 Espaço real bidimensional
R3 Espaço real tridimensional
R Matriz de rotação
S A ação de um sistema
SO(n) Grupo especial ortogonal
SL(n) Grupo especial linear
SU(n) Grupo especial complexo
SO(2) Grupo especial ortogonal do espaço real bidimensional
SO(3) Grupo especial ortogonal do espaço real tridimensional
T Energia potencial
U(n) Grupo unitário
U Matriz unitária
U−1 Matriz inversa
U† Matriz transposta conjugada
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 CONCEPÇÃO HISTÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 TEORIA DE GRUPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Definições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Grupo Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Alguns Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 GRUPO SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Invariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Geradores do grupo SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 GRUPO SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Transformações ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1.1 Cossenos Diretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1.2 Notação Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1.3 Rotações Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Os Ângulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3 Geradores do Grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.4 Fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.5 Álgebra dos Geradores de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 O GRUPO DE GALILEU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1 Relatividade Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 SIMETRIAS EM FÍSICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1 Importância dos Princípios de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.2 Invariância e Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 MECÂNICA NEWTONIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7.1 Formalismo Newtoniano das Leis de Conservação . . . . . . . . . . . . . 39
2.7.2 Uniformidade Temporal e Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . 41
2.7.3 Homogeneidade Espacial e Conservação do Momento Linear . . . . . . 42
2.7.4 Isotropia Espacial e Conservação do Momento Angular . . . . . . . . . 42
2.8 FORMALISMO LAGRANGEANO DAS LEIS DE CONSERVAÇÃO . . . 44
2.8.1 Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8.2 Princípio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8.3 A Lagrangeana para a partícula livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8.4 Constantes de Movimento e Coordenadas Ignoráveis . . . . . . . . . . . 50
2.8.5 Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8.6 Momento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8.7 Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9 TEOREMA DE NOETHER E SIMETRIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9.1 Casos Particulares do Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9.1.1 A Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
2.9.1.2 O Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.1.3 O Momento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
12
1 INTRODUÇÃO
O conceito de simetria é uma ferramenta fundamental no desenvolvimento atual da
física teórica. Este conceito pode ser encontrado atualmente em diversas áreas da física como
eletrodinâmica, mecânica quântica, relatividade e a própria mecânica clássica. Sem este conceito
não seria possível tantos avanços no desenvolvimento da ciência de modo geral (ARFKEN;
WEBER, 2005).
Uma característica fundamental na Física é que se pode reproduzir seus experimentos
em qualquer lugar e em qualquer época da história. O fato de um experimento ser realizado
em locais distintos, ou realiza-lo em dias diferentes, partindo das mesmas condições iniciais,
reproduzindo os mesmos resultados, sugere que esses mesmos resultados independem do tempo
ou do lugar e, que as leis físicas podem ser testadas e comparadas. Esses resultados só são
possíveis devido ao fato do espaço possuir leis de simetrias que tornam as teorias físicas viáveis
(FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008).
A simetria existente em um sistema é uma das condições verificadas que tornam a
física realizável, em que o próprio conceito de inércia esta ligado a simetria do espaço físico.
Um sistema é dito simétrico quando dada uma transformação qualquer no sistema e, ao final
desta transformação certas características são preservadas. Para a mecânica clássica o sistema
que torna as leis do movimento possíveis possui três tipos particulares de simetria, que são: a
simetria devido a uma transformação do tipo translação no tempo; translação no espaço e; rotação
espacial. O sistema que obedece essas três propriedades é chamado de sistema de referência de
Galileu (URBANO, 2007). No referencial de Galileu, dado um sistema de partículas livres, onde
não há forças externas atuando, as suas propriedades de simetria levam às leis de conservação da
energia, momento linear e angular bem conhecidas da mecânica clássica (LANDAU; LIFCHITZ,
2004).
Na seção 2.2 é dada a definição formal de grupos e, em 2.3 e 2.4 é construido os
grupos SO(2) e SO(3) que dizem respeito ao espaço real. Com isso, na seção 2.5 é feita a
construção do grupo de Galileu da Mecânica Clássica. Em 2.6, discute-se os conceitos de
simetria e sua importância no estudo de quantidades conservadas. Com os conceitos de simetria,
na seção 2.7 e 2.8 usando o formalismo newtoniano e lagrangeano da Mecânica, as leis de
conservação da energia, momento linear e momento angular são obtidas. Por fim, na seção
2.9, valendo-se do teorema de Noether, generaliza-se os príncipios de simetria e suas leis de
conservação associadas.
13
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONCEPÇÃO HISTÓRICA
As pesquisas realizadas na área de simetrias em física são constantes e, seu desen-
volvimento é fundamental para a evolução da física atual, tanto em física teórica como também
em física aplicada. No caso da física teórica, tem-se constantes pesquisas em mecânica quântica
e em eletrodinâmica. Por exemplo, na física aplicada, tem-se a cristalografia que usa modelos da
álgebra abstrata para descrever sua simetria encontrada (ARFKEN; WEBER, 2005) .
O ramo da matemática explorado nesses problemas é a teoria de grupos, o desenvolvi-
mento desta teoria teve início com o problema de resolver as equações polinomiais, estudado pelo
matemático francês Évariste Galois (1811-1832). Posteriormente, a teoria teve a contribuição
de outros cientistas, como o físico e matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), e o físico,
matemático e astrônomo alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) entre outros. Atualmente,
esta teoria está dividida em diversas subáreas e com interesses diversos. Inumeráveis problemas
têm sido atacados e solucionados, destacando o nome de muitos outros matemáticos e físicos
(BARATA, 2015).
No ano de 1832, Galois escreveu uma carta ao seu amigo Auguste Chevalier (1873-
1956), na carta ele esboçou o seu trabalho sobre solubilidade por radicais, introduzindo o
conceito de grupo solúvel. O problema consistia em mostrar que uma equação polinomial admite
solução por radicais se seu grupo for solúvel. Esse trabalho foi apresentado após a morte de
seu autor, assim como os outros trabalhos de sua autoria. As pesquisas em teoria de grupos
foram desenvolvidas por Augustin-Louis Cauchy(1789-1857) e por outros posteriormente. Das
pesquisas desenvolvidas surgiu a definição moderna, que é dada atualmente do conceito de
grupo que foi enunciada por Arthur Cayley (1821-1885) em 1854. Após a moderna definição
do conceito de grupo a teoria se desenvolveu rapidamente, e foi tão influente que sua teoria foi
além dos conceitos da álgebra, aparecendo em diversas áreas da matemática e são usados nas
ciências em geral para determinar a simetria interna de uma estrutura na forma de automorfismos
de grupo (BARATA, 2015).
A simetria está associada com alguma propriedade invariante e o conjunto de trans-
formações que preserva este invariante forma um grupo. Na física os grupos mais utilizados são
os grupos de Lie e sua álgebra, que descreve princípios de simetria em fenômenos naturais, o
interesse maior está na representação desses grupos de Lie que podem descrever as simetrias nas
14
quais as leis físicas devem obedecer em certos sistemas (ROCHA B.F.RIZZUTI, 2013). Esta
teoria abstrata tem uma íntima relação com a mecânica clássica, que tem associado a ela o grupo
de Galileu. Ao longo do tempo a simetria tomou uma forma mais abstrata, com a vinda de
Sophus Lie e Galois. A simetria estudada por Galois está relacionada com a teoria de grupos da
matemática que ele mesmo desenvolveu. Posteriormente, foi observado por outros matemáticos
que essa teoria tem relação direta com simetrias, ou seja, a teoria de grupos descreve aspectos de
simetrias encontrados em problemas matemáticos e também em problemas de natureza física
(ROCHA B.F.RIZZUTI, 2013).
No âmbito físico, a respeito das simetrias pode-se discutir a teoria da relatividade
clássica, ou a teoria da relatividade de Galileu. O princípio da relatividade Galileana está ligado
ao fato de que as leis físicas em referênciais, nos quais se movem um em relação ao outro com
velocidades constantes, podem ser relacionados por uma transformação. Esses princípios não
foram enunciados por Galileu de uma forma concreta, foram apenas desenvolvidos de forma
experimental. Essas transformações descrevem uma simetria das leis físicas e, consequentemente,
foram associadas ao grupo de Galileu. Elas obedecem às propriedades de um grupo, que são
os axiomas; fechamento, associatividade, elemento neutro e elemento inverso. Desta forma
pode-se descrever as relações de simetrias encontradas na mecânica clássica (JOSINEY, 2012).
No sistema de referência de Galileu, as leis são invariantes por transformação, devido ao fato
da simetria encontrada no espaço, ou seja, no caso clássico em que os sistemas de referência
são ditos inerciais, as leis da mecânica possuem a mesma forma nos dois sistemas em questão.
Deste modo pode-se chegar na própria definição de simetria, que se relaciona a transformações e
a invariância (NUSSENZVEIG, 1981).
É adequado citar como exemplo o princípio fundamental da dinâmica, lei da Mecâ-
nica Clássica que de acordo com a transformação de Galileu preserva a sua forma. Nesse caso
diz-se que essa equação é a invariante de Galileu, que existe uma simetria que preserva a forma.
Do ponto de vista clássico uma grandeza física é conservada quando a sua derivada temporal
é igual a zero, ou seja, propriedadessão mantidas quando é feito uma variação no parâmetro
temporal da grandeza física. A simetria de um sistema possui relação direta com as leis de
conservação conhecidas da mecânica. No caso de uma translação no tempo, a lei de conservação
encontrada é a energia do sistema, que pode ser visualizada diretamente no teorema Noether,
fazendo uma variação no tempo e mantendo as coordenadas espaciais. Já uma translação no
espaço levaria a conservação do momento linear de um sistema. Quando dada uma rotação em
torno de um eixo, tem-se a conservação do momento angular do sistema. Esses princípios de
15
conservação se estendem ao Eletromagnetismo com as transformações de Calibre (MARTINS,
1998).
Na formulação lagrangeana da Mecânica há um importante teorema conhecido como
o teorema de Noether que expressa de forma bem geral todas as possíveis leis de conservações
internas ao sistema físico de um sistema de partículas. Escolhendo de forma correta o movimento
do sistema e explorando a simetria existente neles, essas leis já conhecidas, são mostradas de
forma direta (LEMOS, 2007).
2.2 TEORIA DE GRUPOS
Nesta seção foi feito um estudo a respeito da teoria de grupos, uma teoria da
matemática abstrata, que possui grande relação com transformações e simetrias. Apresenta-se os
principais grupos existentes e os tipos de transformações associadas a cada um deles.
2.2.1 Definições Gerais
Um grupo é um conjunto G não vazio, dotado de uma operação binária, que leva
pares de elementos do conjunto no proprio conjunto. Pode-se associar uma função f : R2→ R,
e ao tomar dois elementos quaisquer a e b em G, terá f (a,b)≡ a∗b em G. No entanto, esse não
é um produto ordinário, como o de dois números reais, mas sim uma função (BARATA, 2015).
A respeito de conter tal operação, os seus elementos devem satisfazer os seguintes axiomas:
1. (Associatividade) Para todos a e b pertencente a G, tem-se: (a∗b)∗ c= a∗ (b∗ c)
2. (Elemento neutro) Existe um único elemento e pertencente a G, denotado de elemento
neutro, tal que: a∗ e= e∗a= a, para todo a ∈ G.
Demonstração:
Para todo a pertencente a G, existe um único elemento e que satisfaz a seguinte relação,
a∗ e= e∗a= a. (2.1)
Supôs-se a existência de dois elementos neutros e′ e e,
a∗ e′ = e′ ∗a= a ,a∗ e= e∗a= a, (2.2)
feito o produto dos dois e ∗ e′ = e, uma vez que e é neutro. Porém, e′ também é . Dai,
16
e′e= e. Mas, como a ordem do elemento neutro não importa, tem-se
e′ ∗ e= e∗ e′ = e′ = e. (2.3)
3. (Existência de um único elemento inverso)
Para todo a em G, existe um único elemento a−1 tal que a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e, este
elemento é denominado de elemento inverso de a.
Demonstração:
Considerado a existência de um h, tal que
a∗h= h∗a= e. (2.4)
Por outro lado, sabe-se que
a−1 = a−1 ∗ e= a−1 ∗ (a∗h) , (2.5)
valendo-se da propriedade de associatividade,
a−1 =
(
a−1 ∗a)∗h= e∗h→ a−1 = h. (2.6)
Um grupo é definido como um conjunto de elementos que satisfaz a propriedade do
fechamento e os três axiomas mostrados acima (BARATA, 2015).
2.2.2 Grupo Abeliano
Um grupo é dito abeliano quando além das propriedades de associatividade, elemento
neutro e elemento inverso ou simetrico, tem-se a comutatividade (BASSALO, 2008). Ou seja,
para a e b pertencentes a um grupo G tem-se
a∗b= b∗a,em G. (2.7)
2.2.3 Alguns Grupos
• Conjunto Z: O conjunto dos inteiros positivos e negativos forma um grupo abeliano em
relação a operação de adição, pois:
1. Para dois elementos a e b queisquer em Z, é valida a comutatividade a+b= b+a.
Mostrando que é um grupo abeliano, com relaçao a operação de adição.
17
2. Assim como a associatividade. Se possui a,b e c em Z, tem-se (a+b) + c =
a+(b+ c).
3. No conjunto dos inteiros em relação a operação de adição, o elemento neutro é
definido como e ≡ 0. Que em relação a soma para um elemento a qualquer em Z
satisfaz a relação e+a= a.
4. Escolhendo um elemento a qualquer em Z, temos a ele associado um elemento
inverso. Definido como a−1 ≡ −a. Tal que, satisfaz a relação a+(−a) = e, com
e= 0.
• Vetores no R3: O conjunto de vetores no espaço tridimensional forma um grupo Abeliano
em relação à adição, pois:
1. A soma vetorial entre os dois vetores a e b do espaço tridimensional R3, gera como
resultado um vetor c pertencente ao R3.
2. Com relação soma vetorial entre os vetores a, b e c do R3 tem-se a propriedade
associativa, tal que (a+b)+ c = a+(b+ c).
3. Os vetores com relação a operação de adição vetorial, tem por definição o elemento
neutro como sendo o vetor nulo e≡ 0. Tal que, a+0 = 0.
4. Para um vetor a do R3 tem a ele associado um vetor −a. Definido como elemento
inverso a−1 ≡−a. Tal que, a+(−a) = 0.
• Matrizes de determinante não nulo:
1. GL(R,n) = {A ∈Mat(R,n);detA 6= 0}.
É o grupo das matrizes lineares n×n com seus elementos pertencente aos reais, e
com determinante diferente de zero. Este grupo é não Abeliano, pois o produto de
matrizes não é comutativo. O elemento neutro é a propria identidade.
2. GL(C,n) = {A ∈Mat(C,n);detA 6= 0}, grupo das matrizes também lineares n×n
com seus elementos pertencente aos complexos, e com determinante diferente de
zero. O elemento neutro é a propria identidade.
3. Grupo ortogonal e unitário O(n) , U(n):
O(n) =
{
R ∈Mat(R,n);RTR= In
}
. Grupo das matrizes ortogonais n×n com ele-
mentos pertencente aos reais.
U(n) =
{
U ∈Mat(C,n);U†U = In
}
; do mesmo modo as matrizes unitárias n× n
formam um grupo com elementos pertencentes aos complexos.
4. Grupo Especial:
SO(n) =
{
R ∈Mat(R,n),RTR= In,detR= 1
}
. Grupo das matrizes ortogonais com
18
determinante +1.
SU(n) =
{
U ∈Mat(C,n),U†U = In,detU = 1
}
. Grupo das matrizes unitárias com
determinante +1.
2.3 GRUPO SO(2)
Grupo das matrizes 2×2 ortogonais, especiais, com determiante +1. Tal grupo repre-
senta uma rotação emR2 (BARATA, 2015). Definido por: SO(2)=
{
R ∈Mat(R,2),detR= 1,R−1 = RT}.
Considera-se inicialmente uma matriz R do grupo SO(2), analisando-se a condição
R−1 = RT , seus elemntos são dados por
R=
a b
c d
 , (2.8)
da álgebra linear sabe-se que sua inversa é dada por
R−1 =
 d −b
−c a
 (2.9)
e sua transposta é
RT =
a c
b d
. (2.10)
A matriz R é elemento de SO(2) (Grupo das matrizes especiais ortogonais), na qual tem a
condição R−1 = RT . Logo, igualando a equação (2.10) com a equação (2.9), tem-se
 d −b
−c a
=
a c
b d
 . (2.11)
Desta igualdade segue-se
 d = ac=−b , (2.12)
que da relação (2.12) pode-se reescrever a matriz R ∈ SO(2) na forma:
R=
 a b
−b a
 . (2.13)
19
Do grupo SO(2) tem-se também a condição que o determinante de seus elementos é
+1. Analisando está condição, com o determinante da equação (2.13), evidencia-se
detR= a2+b2 = 1. (2.14)
A partir do resultado do determinante da matriz R, pode-se concluir que seus elemen-
tos pertencem a um círculo de raio unitário. Com isso, pode-se parametrizar os elementos em
termos de uma variável θ . Da relação a2+b2 = 1, em termos de um dado angulo θ , segue-seb=−senθa= cosθ ; θ ∈ [−pi,pi] . (2.15)
Desta forma a matriz R em termos do parâmetro θ fica escrita como
R(θ) =
cosθ −senθ
senθ cosθ
 , (2.16)
tal parametrização na matriz R representa uma rotação no sentido anti-horário de seu raio unitário.
No caso de um vetor, essa matriz representaria uma rotação ativa do vetor em questão. Portanto,
aqui a rotação é feita pelo vetor e o sistema de coordenadas é mantido fixo. Observe que R(0) = I,
com I sendo a matriz indentidade, o que representa manter o vetor não rotacionado (BARATA,
2015).
2.3.1 Invariância
Uma rotação em um dado vetor no plano tem a característica de ter sua norma
invariante sob tal transformação (ARFKEN; WEBER, 2005). Seja X um vetor escrito na forma
matricial, dadopor
X =
x1
x2
 . (2.17)
Dado o produto da equção (2.16) com (2.17):
RX =
cosθ −senθ
senθ cosθ
x1
x2
 , (2.18)
20
em que RX é uma rotação no vetor X , tal que RX = X ′. Pode-se assim, verificar a invariância de
sua norma xixi = x′ix′i tal que i= 1,2.
Para X : Seja,
XTX =
(
x1 x2
)x1
x2
= x21+ x22. (2.19)
Agora para X ′:
X ′ =
cosθ −senθ
senθ cosθ
x1
x2
 , (2.20)
do produto de matrizes, decorre que x′1 = x1cosθ + x2senθx′2 =−x1senθ + x2cosθ . (2.21)
Ter-se-á que X ′X ′,
x′21 + x
′2
2 = x
2
1cos
2θ +2x1x2cosθsenθ + x22sen
2θ + x21sen
2θ + x22cos
2θ −2x1x2cosθsenθ .
(2.22)
Pode-se reescrever o lado direito da igualdade da seguinte forma:
x′21 + x
′2
2 =
(
x21+ x
2
2
)[
cos2θ + sen2θ
]
. (2.23)
Da identidade trigonometrica cos2θ + sen2θ = 1, resulta
x′21 + x
′2
2 = x
2
1+ x
2
2, (2.24)
logo, conclui-se que uma rotação ativa em um vetor qualquer no plano, preserva a sua norma.
2.3.2 Geradores do grupo SO(2)
Considerando-se os elementos da matriz R dados em função do parâmetro θ :
 a= cosθb=−senθ . (2.25)
Pode-se expandir cada elementos em uma série de Taylor:cosθ ≈ 1− 12!θ 2+ 14!θ 4− 16!θ 6+ ...senθ ≈ θ − 13!θ 3+ 15!θ 5− 17!θ 7+ ... (2.26)
21
com isso, é possível escrever a matriz R(θ) na forma:
R(θ) =
1− 12!θ 2+ 14!θ 4− 16!θ 6+ ... −(θ − 13!θ 3+ 15!θ 5− 17!θ 7+ ...)
θ − 13!θ 3+ 15!θ 5− 17!θ 7+ ... 1− 12!θ 2+ 14!θ 4− 16!θ 6+ ...
 . (2.27)
Agora reescrevendo a matriz R(θ) como uma soma, tal que
R(θ) =
1 0
0 1
+θ
0 −1
1 0
+ 1
2!
θ 2
−1 0
0 −1
+ 1
3
θ 3
 0 1
−1 0
+ ..., (2.28)
que desta forma, pode-se observar que o primeiro elemento é a identidade e que as outras
matrizes podem ser definidas da forma como segue:
Defina,
J =
 0 i
−i 0
 . (2.29)
Tome J2,
J2 =
 0 i
−i 0
 0 i
−i 0
=
1 0
0 1
 .
Para J3,
J3 = J2J =
1 0
0 1
 0 i
−i 0
=
 0 i
−i 0
 .
Em seguida para J4,
J4 = J3J =
 0 i
−i o
 0 i
−i 0
=
1 0
0 1
 .
22
De forma geral, tem-se
Jn =

1 0
0 1
 ,para n par
 0 i
−i 0
 ,para n ímpar
, (2.30)
com isso, a partir da definição de J tem-se que a equação (2.28) fica escrita na forma
R(θ) = I+ iθJ+
1
2!
i2θ 2J2+
1
3!
i3θ 3J3+ ..., (2.31)
desta maneira, os elementos de R(θ) podem ser escritos como uma serie de taylor de uma
exponencial, tal que
eiθJ =
∞
∑
n=0
1
n!
(iθ)n jn. (2.32)
Para n= 0, tem-se como primeiro elemento da série a matriz identidade I. J é definido como o
gerador do grupo. No qual o mesmo tem a propriedade de que todo elemento de SO(2) podem
ser escrito na forma:
R(θ) = eiθJ. (2.33)
O gerador de SO(2) pode ser calculado diretamente a partir da matriz de rotação
R(θ), tomando a derivada em relação a θ de cada elemento, e em seguida fazendo θ = 0:
J =−idR(θ)
dθ
. (2.34)
J é um gerador de rotação infinitesimal do grupo SO(2). θJ é a primeira correção para uma
rotação infinitesimal (BARATA, 2015). Considerando apenas os dois primeiros termos da
equação (2.31):
R(θ) = I+θJ, (2.35)
23
que neste caso para θ = 0, que implica em R(0) = I, significa que não houve uma rotação no
sistema (BARATA, 2015).
2.4 GRUPO SO(3)
É o grupo das matrizes 3×3, ortogonais com determinante igual a +1 (BARATA,
2015). Definido: SO(3) =
{
R ∈Mat(R,3);RT = R−1,detR = 1.
}
. Assim como o grupo SO(2)
representa uma rotação no espaço R2, o grupo SO(3) representa também uma rotação, neste
caso no R3. Sendo assim, este grupo tem a caracteristica de que toda matriz R 6= I de SO(3),
representa uma rotação por algum ângulo em torno de um eixo que passa pela origem de um
sistema no espaço tridimensional. Para dar inicio ao estudo do grupo SO(3), é necessário
introduzir o conceito de transformações lineares em matrizes.
2.4.1 Transformações ortogonais
Um corpo rígido é definido como um tipo de sistema em que a distância entre
quaisquer dois pontos nele é sempre constante. Em geral ele possui seis graus de liberdade em
R. Onde três graus correspondem a uma translação do corpo. Os outros três dizem respeito as
rotações que o mesmo pode obter. Pode-se especificar a orientação deste corpo estabelecendo
um sistema de coordenadas cartesiano atrelado ao corpo, e assim considerar os ângulos que seus
eixos fazem com um outro sistema cartesiano fixo no espaço (LEMOS, 2007).
2.4.1.1 Cossenos Diretores
Considerando-se inicialmente um sistema S cartesiano com eixos (x1,x2,x3), com
componentes unitárias dados por (e1,e2,e3), fixos no espaço e, um outro sistema S′ também
cartesiano de eixos (x1′,x2′,x3′) e, base (e1′,e2′,e3′). Um vetor nesse espaço pode ser escrito
em termos dos dois sistemas
Seja um vetor u arbitrário, tal vetor pode ser escrito na base S como também na base
S′:
u = u je ju = u′je′j , (2.36)
é possível buscar uma relação das compomentes deste vetor em relação ao sistema S e S′,
24
tomando o produto escalar de u com o seu o seu vetor de base, tal que:
ui′ = u · e′i = u je j · e′i. (2.37)
Definido o produto escalar entre os vetores da base S e S′ como os cossenos diretores:
e′i · e j ≡ ai j,
desta forma a equação (2.37) fica escrita na forma
ui′ = ai ju j. (2.38)
O termo ai j possui nove quantidades. No entanto, essas quantidades não podem ser
independentes entre si, pois existem três quantidades para que possamos definir a orientação do
sistema S′, que está no corpo, com relação ao sistema S. Portanto, pode-se dizer que existem
seis equações de vínculos que relacionam os nove elementos de ai j. Essas relações são obtidas a
partir do fato de que um módulo de um vetor qualquer deverá possuir o mesmo valor em qualquer
sistema de coordenadas (LEMOS, 2007). Então, considerando o produto escalar de um vetor u
arbitrário:
u ·u = u′iu′i = uiui. (2.39)
Pode-se escrever a (2.39), levando em conta a equação (2.37), da seguinte forma
u′iu
′
i =
(
ai ju j
)
(aikuk)
= (ai jaik)u juk. (2.40)
No entanto, podendo-se usar o símbolo delta de Kronecker e, assim, reescrever a equação (2.39),
na forma
u′iu
′
i = uiui = δ jku juk. (2.41)
Substituindo a relação (2.41) em (2.40):
δ jku juk = (ai jaik)u juk, (2.42)
25
com u arbitrário, pode-se deduzir que
ai jaik = δ jk, (2.43)
com i, j,k = 1,2,3.
Logo, δ jk são as condições dos cossenos diretores. A relação encontrada é chamada
de condição de ortogonalidade, mostrando que nem todos os cossenos diretores são indepen-
dentes, se for dado valores para j e k , devido a propriedade da delta quando troca-se j por k
os termos serão identicos. Reduzindo de nove para seis equações, com isso há três quantidades
independentes (LEMOS, 2007).
2.4.1.2 Notação Matricial
A equação (2.38) pode ser escrita de forma explicita:
ui′ = ai ju j

u′1 = a11u1+a12u2+a13u3
u′2 = a21u1+a22u2+a23u3
u′3 = a31u1+a32u2+a33u3
,
que pode ser escrita como 
u1′
u2′
u3′
=

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


u1
u2
u3
 . (2.44)
Considerar-se-á a relação:
3
∑
i=1
ai jaik = δ jk⇒∑
i
(
AT
)
ji (A)ik = δ jk,
levando em conta as regras do produto matricial, pode-se escrever
(
ATA
)
jk = (I) jk ,
portanto, ATA= I. Tem-se como consequência, valendo-se da álgebra matricial:
A−1 = AT ⇒ AAT = I. (2.45)
O conjunto de matrizes que obedecem essa condição são chamadas de matrizes ortogonais
(ARFKEN; WEBER, 2005).
26
2.4.1.3 Rotações Sucessivas
Um sistema de coordenadas ortogonal pode sofrer transformações de um modo geral.
No caso em que a transformação é uma rotação, há dois casos: rotação ativa, e rotação passiva(BARATA, 2015). No momento será explicado o caso das rotaçoes ditas passivas. Nesta rotação
tem-se o sistema de coordenadas girado com relação a sua origem, sendo uma rotação pura.
Pode-se definir duas rotações sucessivas de um dado sistema S, associando a elas duas matrizes
de transformação (LEMOS, 2007). Em notação tem-se u′′ = A(Bu) =Cu. Na qual: C = AB,
logo, a partir do produto de matrizes pode-se encontrar uma transformação direta. Que estabelece
uma configuração final, a partir do produto matricial.
Teorema: Se A e B são ortogonais, então AB é também ortogonal. Demonstração:
Considere o produto
(AB)TAB= (B)T (A)TAB= I. (2.46)
Usando o fato de o produto de matrizes ser associativo e as matrizes ortogonais. Sendo AB=C,
logo, C é ortogonal. Neste ponto de vista, pode-se notar que existe uma associatividade de
rotaões sucessivas, ou seja, sendo as rotações representadas por matrizes de transformação e
sendo o produto matricial associativo, isso implica em dizer que A(BC) = (AB)C = ABC.
2.4.2 Os Ângulos de Euler
O conjunto de tais matrizes ortogonais 3×3, em relação a operação de multiplicação
usual das matrizes, constituiu um grupo chamado de O(3). Porém, o determinante de uma matriz
ortogonal só pode assumir certos valores restritos. O produto do determinante de uma matriz A
ortogonal, com o determinante de sua transposta é
detAdetAT = 1⇒ (detA)2 = 1 ∴ detA=±1. (2.47)
O conjunto de matrizes ortogonais 3×3, com determonante igual a +1, é demominado de grupo
especial ortogonal. Definido como, SO(3) =
{
R ∈Mat(R,3);RT = R−1,detR = 1
}
. Então,
toda matriz de SO(3) com R 6= I, representa uma rotação por algum ângulo em torno de um eixo
que passa pela origem.
27
Em uma formulação Lagrangeana da dinâmica de um corpo rígido, os nove cossenos
diretores ai j não constituem às coordenadas mais convenientes para descrever a orientação
instantânea de um corpo rígido, por não serem independentes entre si. Uma forma simples
de parametrizar a matriz de rotação é medindo os ângulos de Euler. Considerando-se uma
transformação de um dado sistema cartesiano S(x,y,z) para o sistema S′(x′,y′,z′), sendo realizado
em três fases sucessivas, na qual cada um define um angulo de Euler (LEMOS, 2007).
No primeiro momento faz-se uma rotação dos eixos (x,y,z) em torno do eixo x por
um ângulo θ . Nesta situação o eixo x coincide com o eixo ξ ,

ξ = x
η = ycos(θ)+ zsen(θ)
β =−ysen(θ)+ zcos(θ)
, (2.48)
desta relação, escrevendo em notação matricial, pode-se tirar a matriz R1 de rotação:

ξ
η
β
=

1 0 0
cosθ senθ 0
−senθ cosθ 0


x
y
z
 ∴ R1 =

1 0 0
cosθ senθ 0
−senθ cosθ 0
 . (2.49)
Agora faz-se uma rotação dos eixos (ξ ,η ,β ) em torno de η pelo mesmo ângulo:

ξ ′ = ξcosθ −β senθ
η ′ = η
β ′ = ξ senθ +βcosθ
. (2.50)
Escrevendo como um produto de matrizes é possível tirar a matriz R2 de transformação:

ξ ′
η ′
β ′
=

cosθ 0 −senθ
0 1 0
senθ 0 cosθ


ξ
η
β
 ∴ R2 =

cosθ 0 −senθ
0 1 0
senθ 0 cosθ
 . (2.51)
Por fim, é efetuado uma terceira rotação dos eixos (ξ ′,η ′,β ′) em torno de β ′:

x′ = ξ ′cosθ +η ′senθ
y′ =−ξ ′senθ +η ′cosθ
z′ = β ′
. (2.52)
28
Pode-se novamente escrever em notação matricial, e encontrar para este caso a matriz de rotação
R3, 
x′
y′
z′
=

cosθ senθ 0
−senθ cosθ 0
0 0 1


ξ ′
η ′
β ′
 ∴ R3 =

cosθ senθ 0
−senθ cosθ 0
0 0 1
 , (2.53)
logo, as três rotações sucessivas de um sistema de coordenadas podem ser efetuadas a partir
de três matrizes de rotação. Para cada transformação dada, temos um parâmetro associado. A
configuração final pode ser dada a partir do produto das matrizes R1, R2 e R3 obedecendo o
produto de matrizes. A rotação (x,y,z)→ (x′,y′,z′) é dada pela matriz:
R(θ) = R3R2R1.
No caso de uma transformação inversa (x′,y′,z′)→ (x,y,z), tem-se a matriz R−1 =
RT , ou seja, R−1 = (R3R2R1)T .
2.4.3 Geradores do Grupo SO(3)
Na seção anterior foi construído os ângulos de Euler a partir de rotações sucessivas
e, foi possível achar as três matrizes de rotação R1, R2 e R3 que correspondem as três rotações
sucessivas por um ângulo θ no sentido anti-horário em torno dos eixos canônicos do espaço
Euclidiano. Dada as matrizes de SO(2) pode-se, assim como em SO(3), tirar seus geradores de
rotação.
Tomando a série de Taylor dos primeiros elementos de R1, em seguida, escrevendo
os elementos como uma soma de matrizes, evidencia-se que
R1(θ)=

1 0 0
0 1 0
0 0 1
+θ

0 0 0
0 0 −1
0 1 0
+ θ 22!

0 0 0
0 −1 0
0 0−1
+ θ 33!

0 0 0
0 0 1
0 −1 0
+ θ 44!

0 0 0
0 1 0
0 0 1
+...
Desta série é possível defir uma matriz complexa J1 do tipo
J1 =

0 0 0
0 0 i
0 −i 0
 , (2.54)
29
tal que
J21 =

0 0 0
0 1 0
0 0 1
⇒ J31 =

0 0 0
0 0 i
0 −i 0
= J1. (2.55)
De forma geral:
Jn =


0 0 0
0 1 0
0 0 1
 ,para n par
J1,para n ímpar
(2.56)
Desta forma a série da matriz R1(θ) pode ser escrita na forma
R1(θ) = I+ iθJ1+ i2
θ 2
2!
J21 + i
3θ 3
3!
J+i4
θ 4
4!
J41 + ...
O resultado encontrado é conhecido como a série de Taylor de uma função exponencial, que
pode ser escrita como
R1(θ) = eiθJ1 , (2.57)
tal que J1 é o seu gerador de rotação infinitesinal.
Para as matrizes de rotação R2(θ) e R3, pode-se partir do mesmo principio feito em
R1. Assim, encontra-se:
J2 =

0 0 −i
0 0 0
i 0 0
 , (2.58)
que é o gerador de rotação infinitesimal de R2. Com isso, tem-se
R2(θ) = eiθJ2 . (2.59)
30
Para a matriz R3, tem-se
J3 =

0 i 0
−i 0 0
0 0 0
 (2.60)
sendo seu gerador de rotação infinitesimal. E sua matriz de transformação pode ser escrita em
termos de seu gerador como
R3(θ) = eiθJ3 . (2.61)
De forma geral pode-se escrever as matrizes de rotação de uma forma compacta
Ra(θ) = eiθJa , (2.62)
com a= 1,2,3.
2.4.4 Fórmula de Rodrigues
Uma outra forma de escrever essas matrizes de rotação é conhecida como fórmula
de Rodriguês. Tomando a equação (2.62), e fazendo uma expansão em série de Taylor de seus
elementos:
Ra(θ) =
n
∑
1
1
n!
inθ nJna = I+ iθJa+ i2θ 2J2a + i3θ 3J3a + i4θ 4J4a + ... (2.63)
Tem-se, por outro lado, da definição já feita:
(Ja)n =

(Ja)2,para n par;
Ja,para n ímpar
,
deste modo é concebível reescrever a serie na forma
Ra(θ) = I+
(
θ 2
2!
− θ
4
4!
+
θ 6
6!
− ...
)
J2a + i
(
θ − θ
3
3!
+
θ 5
5!
+ ...
)
Ja. (2.64)
31
Pode-se a apartir da definição de séries, que os termos entre parenteses são:

sen(θ) =
(
θ − θ33! + θ
5
5! + ...
)
1− cos(θ) = 1−
(
1− θ22! + θ
4
4! − θ
6
6! + ...
) , (2.65)
logo, as matrizes de rotação do grupo SO(3) ficam na forma:
Ra(θ) = I+(1− cosθ)J2a + isenθJa. (2.66)
2.4.5 Álgebra dos Geradores de SO(3)
A cada rotação tem-se a ela associada uma matriz dita como gerador de rotação. Os
elementos dessas matrizes podem ser dados por
Ja(θ) =−iεabc,
onde εabc , a,b,c= 1,2,3, é o simbolo de Levi-Civita. Definido:
εabc =

1,para uma permutação par de abc;
−1, para uma permutação ímpar de abc;
0, qualquer dois índices iguais.
(2.67)
Essas matrizes satisfazem a relação de comutação
[Ja,Jb] = JaJb− JbJa,
com a,b= 1,2,3. Calcula-se o comutador entre [J1,J2],[J2,J3] e [J3,J1]:
[J1,J2] = i

0 −i 0
i 0 0
0 0 0
= iJ3. (2.68)
32
Para as outras matrizes,de forma análoga:
[J2,J3] = iJ1,
[J3,J1] = iJ2.
Partindo-se do mesmo princípio, calcula-se [J2,J1]:
[J2,J1] =−iJ3. (2.69)
Para os outros termos de forma análoga, tem-se que
[J1,J3] =−iJ2,
[J3,J2] =−iJ1,
e o fato de que [J1,J1] = [J2,J2] = [J3,J3] = 0. Então, de forma geral, pode-se definir:
[Ja,Jb] = iεabcJc, (2.70)
com εabc simbolo de Levi-Civita definido na equação (2.67).
2.5 O GRUPO DE GALILEU
Nesta seção mostra-se como a teoria de grupos está relacionada com o princípio da
relatividade. Em que a representação do grupo de Galileu no espaço-tempo não relativistico,
leva as transformações de Galileu entre referenciais inerciais.
2.5.1 Relatividade Clássica
A descoberta feita por Sophus Lie (1842-1899) sobre a estrutura de grupos contínuos
associados às equações diferenciais, em que as equações de movimento são um caso particular,
envolvendo as coordenadas espaço-temporal teve como resultado importante, o estudo das
simetrias subjacentes a uma dada equação diferencial permitindo que sejam encontradas as
33
classes de suas soluções. Assim, a física do século XX apoiou-se sobre o conceito de simetria
descrita matematicamente a partir da teoria de grupos. O estudo das equações de movimento, no
que diz respeito às simetrias, deu origem aos chamados grupos cinemáticos, ou os grupos de
simetria do espaço-tempo. Para os casos não relativísticos, essas simetrias formam o grupo de
Galileu (URBANO, 2007).
O conceito de equivalência entre referenciais inerciais faz parte do que é chamado
atualmente como o princípio da Relatividade. A Relatividade galileana postula que as leis da
mecânica devem ser as mesmas em todos os referenciais inerciais. Assim pode-se concluir que a
orientação, a posição e o estado de movimento de um observador em questão não são relevantes
para a dinâmica de um sistema mecânico (NUSSENZVEIG, 1981).
Sistemas de coordenadas podem ser ligados por transformações de translação espa-
cial e rotações. Para um sistema S relacionado por um outro sistema S′ transladados com relação
as suas origens, tem-se a transformação
Xi→ Xi′ = Xi+ai, (2.71)
nas quais, X1 = x, X2 = y, X3 = z e a1 = ax, a2 = y, a3 = z. Para sistemas ligados por rotação
espacial no R3, a transformação que relaciona ambos é
X ′i =
3
∑
i=1
Ri jX j, (2.72)
em que Ri j é um elemento do grupo SO(3).
Os referenciais inerciais além de relacionarem-se por transformações do tipo transla-
ção e rotação, dada pelas equações anteriores, também relacionam-se por meio das chamadas
transformações de Galileu. No caso em que um sistema S′ move-se em relação a um outro
sistema S com movimento retilíneo uniforme em uma direção arbitrária do espaço. Nestas
condições, conforme a Figura 1, dado um ponto P no espaço R3, o vetor posição que localiza
o ponto no sistema S é dado por r e, o vetor posição relativo ao sistema S′, que move-se com
velocidade uniforme em relação ao sistema S, é r′. Logo, feita uma soma vetorial:
Vt+ r′ = r⇒
r′ = r−Vtt ′ = t , (2.73)
34
em que considera-se inicialmente os eixos paralelos e suas origens coincidentes no instante de
tempo inicial t = 0, a transformação no instante de tempo t é uma translação espacial de Vt,
sendo V o vetor velocidade relativa do sistema (ROCHA B.F.RIZZUTI, 2013).
Figura 1 – Transformação de Galileu
Fonte – Curso de Física Básica, Vol 1, p.466
As transformações de translação, rotação e a transformação de Galileu pura podem
ser expressas em forma matricial

X0′
X1′
X2′
X3′
1

=

1 0 0 0 b0
−v1 R11 R12 R13 a1
−v2 R21 R22 R23 a2
−v3 R31 R32 R33 a3
0 0 0 0 1


X0
X1
X2
X3
1

, (2.74)
igualando-se cada termo, tem-se

X0′ = X0+b0
X1′ =−V1X0+R11X1+R12X2+R13X3+a1
X2′ =−V2X0+R21X1+R22X2+R23X3+a2
X3′ =−V3X0+R31X1+R32X2+R33X3+a3
. (2.75)
De forma compacta, pode-se escrever a equação acima na forma indicial. Como segue-se
 X0′ = X0+b0Xi′ =−ViX0+R jiXia+ai , (2.76)
35
onde Xi são as coordenadas espaciais no espaço Eucidiano; X0 a coordenada temporal; os
elementos Ri j descrevem uma rotação no espaço; Vi prescreve uma mudança no sistema de
referência, é uma transformação pura de Galielu; b0 uma translação temporal e ai uma translação
espacial (LUCIANO M. ABREU; ADEMOR, 2009). Com i, j = 1,2,3. Logo, é possível definir
G≡

1 0 0 0 b0
−v1 R11 R12 R13 a1
−v2 R21 R22 R23 a2
−v3 R31 R32 R33 a3
0 0 0 0 1

, (2.77)
como a matriz de transformação de Galileu, com G=(b0,a,V,R) (LUCIANO M. ABREU; ADE-
MOR, 2009).
Tomado duas transformações G1 = (b1,a1,V1,R1) e G2 = (b2,a2,V2,R2), a aplica-
ção sucessiva das duas, resulta em uma lei de composição em que duas translações temporais
sucessivas tem como resultado a adição das quantidades b1 e b2 que geram uma nova translação
temporal. O segundo termo diz respeito a uma translação no espaço dado pelas componente de a2
e, adicionado a uma rotação dos eixos de a1 composto por uma transformação do tipo translação
b1V2. No outro, tem-se a soma do vetor V2 com a rotação das componentes de V1 dada pela
matriz R2. Por fim, o termo R2R1 representa duas rotações sucessivas no espaço Euclidiano.
Logo, tem-se
G2G1 = (b2+b1,a2+R2a1+b1V2,V2+R2V1,R2R1) , (2.78)
que leva a uma nova transformação de Galileu, G= G2G1, onde G é dado por
G= (b,a,V,R) , (2.79)
com a transformação identidade do tipo
I= (0,0,0,1) , (2.80)
e o elemento inverso é dado como
G−1 =
(−b,−R−1(a−bV),−R−1V,R−1) , (2.81)
36
em que −b representa uma inversão temporal. O segundo parâmetro é uma transformação de
Galileu inversa seguida de uma rotação dada pela matriz R−1. O terceiro parâmetro é uma
inversão no sentido da velocidade V, seguido de uma rotação inversa de suas componentes. Por
fim, R−1 descreve uma rotação inversa dada pelos ângulos de Euler.
A associatividade é válida para o produto de matrizes, logo, o conjunto de elementos
de G dado pela equação (2.79) formam um grupo (DOUGHTY, 1990). Este é o grupo de simetria
da física não-relativistica. Em que é caracterizado por dez parâmetros: Sendo que três deles
descrevem rotações, os ângulos de Euler, dada pela matriz R; Três definem a transformação pura
de Galileu, dado por V; outros três descrevem uma translação espacial, no caso a; e um parâmetro
temporal b que descreve uma translação no tempo (LUCIANO M. ABREU; ADEMOR, 2009).
De uma forma imediata é possível obter alguns dos subgrupos de G:
1. τ = {(b,0,0,0,1)}, o subgrupo das translações temporais;
2. ς = {(0,a,0,1)}, subgrupo das transformações espaciais;
3. υ = {(0,0,V,1)}, o subgrupo das transformações puras de Galileu;
4. ω = {(0,0,0,R)}, subgrupo das rotações.
2.6 SIMETRIAS EM FÍSICA
Uma transformação de simetria é caracterizada por uma mudança de ponto de vista
que, neste caso, não altera as leis teóricas do comportamento de um sistema físico, e nem seus
resultados experimentais. Há duas formas gerais de transformação, podendo ser do tipo que
incide sobre um sistema observado. O outro, é sobre o referencial e seus meios de observação.
No primeiro tipo, trata-se de uma transformação ativa; no segundo, é uma transformação passiva
(FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008).
Certas transformações de simetria só podem ser realizadas passivamente. No caso
de uma transformação de inversão do tempo, não há forma de realizar essa transformação de
maneira ativa, podendo ser realizado somente ao nível matemático, em que se inverte o sentido
do tempo. Uma outra transformação deste tipo é a rotação dos eixos coordenados, ou mesmo
uma inversão no sentido dos eixos. Há transformações ativas que podem ser descritas de forma
passiva, como exemplo: tem-se uma transformação ativa sobre um sistema quesai inicialmente
do repouso e passa para um movimento com velocidade uniforme V, uma forma de escrever essa
transformação de forma passiva é fazer com que o sistema de coordenadas realize um movimento
uniforme com velocidade de mesmo módulo, direção e sentido contrário −V (MARTINS, 1998).
37
2.6.1 Importância dos Princípios de Simetria
Uma teoria física é uma representação matemática da natureza e só é válida a
partir de sua experimentação, considerando o método científico. A Física tem como objetivo
estabelecer relação entre as quantidades obtidas nas observações através de equações que
podem dar previsões a respeito de resultados experimentais ou fenômenos naturais. A validade
das teorias físicas é medida pela assertiva de suas previsões e da sua aplicação em diversos
fenômenos. Na presença de uma falha em uma teoria, existem casos em que alterando sua
estrutura matemática resolve-se o problema. Em outros casos, teorias são totalmente descartadas
e dão origem ao surgimento de novas teorias que terão como objetivo descrever o mesmo
fenômeno proposto pela primeira (URBANO, 2007).
O desenvolvimento de conceitos e teorias físicas só é possível graças a certas condi-
ções verificadas no mundo e no universo inteiro em questão. Dentre essas condições, tem-se: O
fato de poder separar o universo em partes, chamadas de sistemas físicos, sem essa possibilidade
teria que se analisar o universo no seu todo, o que tornaria a sua análise impossível. Uma outra,
é a possibilidade de escolher para cada sistema físico um conjunto de condições iniciais. Sem
esta possibilidade as teorias formuladas seriam inúteis, pois haveria uma ambiguidade em suas
previsões (URBANO, 2007). Tem-se também o fato de que as características do movimento
dado as condições iniciais, são independentes da localização e do instante de tempo em que
são realizadas essas condições. Esta última trata-se do princípio da homogeneidade e do tempo
(FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008).
2.6.2 Invariância e Conservação
A homogeneidade do espaço e do tempo representa matematicamente a covariância
das equações que diz respeito às leis físicas. As duas representam um deslocamento da origem
dos eixos coordenados e eixo do tempo. Para uma dada transformação que representa um
deslocamento espacial, temporal e uma rotação, respectivamente:

xi→ xi′ = xi+ai
t→ t ′ = t+ τ
xi′ = Ri jx j
, (2.82)
com i= 1,2,3.
38
No primeiro conjunto de equações, o vetor (a1,a2,a3) representa um deslocamento
da origem dos eixos de coordenadas com respeito à posição inicial. Na segunda transformação τ
é um real qualquer que representa o tempo decorrido no relógio, é um deslocmento temporal.
O ultimo conjunto de equações, que esta relacionado com a isotropia do espaço, representa
uma rotação dos eixos coordenados. Sendo R=
[
Ri j
]
uma matriz de rotação, ou seja, R é um
elemento de SO(3) (LUCIANO M. ABREU; ADEMOR, 2009).
Em mecânica, três tipos de simetria são mais exploradas, quando diz respeito a leis
de conservação. Segundo (NUSSENZVEIG, 1981):
1. Homogeineidade Temporal: Neste caso, o sistema será simétrico para uma translação tem-
poral. Transladar o sistema, como um todo no tempo, equivale a reproduzir a experiência
em outro horário, tomando as mesmas condições iniciais em instantes diferentes.
2. Homogeneidade Espacial: Transladar o sistema todo no espaço, tem como caracteristica
manter as suas propriedades físicas ao final desta transformação.
3. Isotropia Espacial: A isotropia significa que as propriedades mecânicas de um sistema
fechado não se alteram quando é feita uma rotação no espaço do sistema no conjunto.
Os dois princípios, homogeneidade do espaço e do tempo, são exemplos de princípios que tornam
a física possível, ou seja, a física necessita de tais princípios para existir. No entanto, o espaço
também poderá ser isotópico. No caso de um sistema físico descrito pela sua orientação no
espaço, dada suas condições iniciais. Para o seu comportamento, uma mudança na sua orientação
será irrelevante (URBANO, 2007).
2.7 MECÂNICA NEWTONIANA
Nesta seção é usado o formalismo Newtoniano da mecânica clássica com o objetivo
de obter as leis de conservação da energia, momento linear e momento angular. Partindo do fato
do espaço possuir características de homogeneidade, isotropia e o tempo ser uniforme.
2.7.1 Formalismo Newtoniano das Leis de Conservação
As leis físicas do movimento, em geral, não têm a mesma forma em sistemas de
referência diferentes. Se caso for adotado um sistema qualquer de referência, é possível que
leis de fenômenos considerados simples assumam formas extremamente complexas. Sendo
assim, é mais conveniente escolher um sistema em que as leis da mecânica sejam mais simples.
Entretanto, pode-se sempre encontrar um sistema em que o espaço seja homogêneo e isotrópico,
39
e o tempo uniforme. Para este caso tem-se um sistema dito de Galileu. Uma característica
peculiar a este sistema é que um corpo livre de forças externas e em repouso num dado instante,
permanecerá em repouso por tempo indeterminado. Que é exatamente o conceito de inércia
(LANDAU; LIFCHITZ, 2004).
As leis de conservação (energia, momento linear e momento angular) são obtidas
para alguns tipos de sistemas físicos, mas por outro lado tem validade muito mais geral: estende-
se a toda a física, inclusive aos sistemas microscópicos, descritos pela Mecânica Quântica. Para
o seguinte estudo, inicialmente, considerou-se um sistema de N partículas ao qual foi associado
a ele uma energia potencialU . Essa energia está associada a forças externas e forças de interação
entre as partículas. Podendo depender dos vetores posição das partículas, como também pode
depender explicitamente do tempo, para o caso em que o sistema está sujeito a forças externas
variáveis com o tempo (NUSSENZVEIG, 1981).
Pode-se assim, escrever a variação da energia potencial U quando as partículas se
deslocam para as posições r1+δr1, ...,rn+δrn no instante de tempo t+δ t, nas quais δ ri tem
componentes δxi, δyi, δ zi, com todas as variações infinitesimais. Com a energia potencial dada
por
U =U(r1,r2, ...,rn, t). (2.83)
Toma-se a diferencial da função energia potencial U , analógo ao caso de funções de várias
variáveis. Tem-se
dU =U(r+δr+, t+δ t)−U(r, t) =
n
∑
i=1
∂U
∂xi
dxi+
∂U
∂ t
dt, (2.84)
que é possível reescrever, como
dU =U(r+δr, t+δ t)−U(r, t) =
n
∑
i=1
OiU ·dri+ ∂U∂ t dt. (2.85)
Para a força total que atua sobre i-ésima partícula, tem-se
Fi =−OiU, (2.86)
em que feita uma substituição da relação (2.86) na equação (2.85). Obtém-se como resultado
para o caso geral de N partículas a relação
dU =−
n
∑
i=1
Fi ·dri+ ∂U∂ t dt. (2.87)
40
Este resultado encontrado é util para relacionar simetrias com as leis de conservação
(NUSSENZVEIG, 1981).
2.7.2 Uniformidade Temporal e Conservação da Energia
Supõe-se que a energia potencial de um dado sistema não dependa explicitamente
do tempo, ou seja, que não há forças externas dependentes do tempo atuando sobre o sistema
(NUSSENZVEIG, 1981). Desta condição, resulta:
∂U
∂ t
= 0, (2.88)
nessa situação, o sistema é dito ser simétrico dada uma translação temporal. Ou seja, ao transladar
o sistema completo, no tempo, é equivalente a repetir o experimento em outro instante de tempo,
tomando as mesmas condições iniciais (NUSSENZVEIG, 1981). Considerando-se a equação
(2.88), pode-se escrever
dU
dt
= lim
∆t→0
∆U
∆t
=− lim
∆t→0
[
n
∑
i=1
Fi · ∆ri∆t
]
. (2.89)
Quando faz-se o limite de t→ 0 , tem-se vi = dridt que é a velocidade da partícula i.
Multiplicando escalarmente a segunda lei de Newton por v, obtem-se
Fi ·vi = midvidx ·vi =
d
dt
(
1
2
miv2i
)
=
d
dt
(Ti) , (2.90)
em queTi é a energia cinética da i-ésima partícula (NUSSENZVEIG, 1981). Para um sistema de
partículas, resulta
− d
dt
n
∑
i=1
miv2i
2
=−dT
dt
, (2.91)
na qual, T é a energia cinética do sistema de partículas (LANDAU; LIFCHITZ, 2004).
A equação (2.89) fica escrita, usando a (2.91), como
dU
dt
+
dT
dt
=
d
dt
(U+T ) =
dE
dt
= 0. (2.92)
Onde E =U+T é a energia mecânica do sistema. Com isso, mostra-se a lei de conservação da
energia, explorando adequadamente a simetria do problema. A conservação da energia total é
41
obtida como consequência da simetria por translação temporal do sistema (NUSSENZVEIG,
1981).
2.7.3 Homogeneidade Espacial e Conservação do Momento Linear
Supõe-se um sistema que seja invariante sob uma translação espacial. Esta situa-
ção significa que as características do sistema não se alteram dada uma translação no espaço
(FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008). Dada uma variação na energia potencial do sistema,
dU =U (r1+dr1, ...,rn+drn)−U (r1, ...,rn) =−dr ·
n
∑
k=1
Fk = 0. (2.93)
Para um deslocamento dr arbitrário, resulta
F =
n
∑
i=1
Fi =
n
∑
i=1
dPi
dt
= 0, (2.94)
por outro lado, explorando a propriedade de somatório
n
∑
i=1
dPi
dt
=
d
dt
(
n
∑
i=1
Pi
)
= 0. (2.95)
Difinindo:
n
∑
i=1
pi = p, (2.96)
como o momento linear total do sistema (NUSSENZVEIG, 1981). Da equação acima resulta que
dp
dt
= 0. (2.97)
Esta é a lei de conservação do momento linear, que aqui foi obtida como uma
consequência da simetria por translação espacial do sistema. Tal transformação é feita com um
deslocamento virtual do sistema, em que todas as partículas se movem com a mesma velocidade
(LANDAU; LIFCHITZ, 2004).
2.7.4 Isotropia Espacial e Conservação do Momento Angular
Para uma conservação do momento angular, iremos propôr que o sistema seja
invariante sob rotações espaciais, ou seja, caracteristicas físicas do sistema são preservadas, feito
42
uma rotação em torno de um eixo qualquer(LANDAU; LIFCHITZ, 2004). Considerando-se um
deslocamento infinitesimal de uma i-ésima partícula dado por dri, com a partícula na posição ri.
Para uma rotação infinitesimal dθ , o vetor deslocamento é dado pelo produto vetorial:
dri = dθ × ri, (2.98)
assim, considerado uma rotação qualquer, a energia potencial associada ao sistema é invariante
quando feito essa transformação. Dessa condição, decorre que
dU =−
n
∑
i=1
Fi ·dri = 0, (2.99)
em sequida feita uma substituição da relação (2.98) na equação (2.99) :
−
n
∑
i=1
Fi · (dθ × ri) = 0. (2.100)
A equação acima é um produto misto, que é possível fazer uma permutação de seus elementos e
encontrar
−dθ ·
(
n
∑
i=1
ri×Fi
)
= 0. (2.101)
Definido:
N≡
n
∑
i=1
ri×Fi, (2.102)
no qual, N é definido como sendo o torque resultante sobre o sistema.
Para um dθ arbitrário, a equação (2.102) resulta
N = 0. (2.103)
O torque N de um sistema de particulas pode ser escrito como a derivada com respeito ao tempo
do produto vetorial do vetor posição com o vetor momento angular
43
N =
n
∑
1
ri×mid
2ri
dt2
(2.104)
=
d
dt
(
n
∑
1
ri×midridt
)
. (2.105)
O produto vetorial entre parênteses é definido como sendo o momento angular do
sistema de partículas,
L≡
n
∑
1
ri×midridt . (2.106)
Feita uma substituição da condição (2.103) na equação (2.105), tem-se
N =
dL
dt
= 0 (2.107)
que é a lei de conservação do momento angular, que aqui foi obtida a partir da simetria por
rotação espacial de um sistema, ou seja, se um sistema conter uma simetria de rotação, o seu
momento angular é conservado (NUSSENZVEIG, 1981). Para um sistema considerado isolado,
em que só existem forças atuando internamente, decorre de imediato, sendo o tempo e o espaço
uniformes e o espaço isotrópico que o sistema desfruta das três propriedades de simetria, que leva
a conservação da energia, momento linear e momento angular (LANDAU; LIFCHITZ, 2004).
2.8 FORMALISMO LAGRANGEANO DAS LEIS DE CONSERVAÇÃO
O formalismo newtoniano da mecânica clássica oferece equações que tratam o
movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas. Este formalismo, no entanto,
quando está tratando de um sistema com um número de partículas muito grande, que em física é
definido como ensemble, as equações obtidas são difíceis de se trabalhar(CHERMAN, 2004).
Joseph Lois Lagrange (1736-1813) empregou argumentos geométricos e físicos para
simplificar o problema, ele introduziu o conceito de vínculos entre as partículas do ensemble e,
assim, conseguiu reduzir o número de equações necessárias para descrever o sistema. Além deste
conceito, ele utilizou-se de um sistema de coordenadas não convencional, até então, que chamou
de coordenadas generalizadas, simplificando ainda mais o tratamento envolvido. Introduziu as
equações de Euler-Lagrange que permitiu obter as equações de movimento da mesma forma
proposta por Newton, mas de modo mais simples em alguns casos. O espaço formado pelas
44
coordenadas generalizadas é o espaço das configurações e, as derivadas de primeira ordem das
coordenadas, com respeito ao tempo, são as velocidades generalizadas. A equação de Euler-
Lagrange é até os dias atuais construída a partir do princípio de Hamilton ou princípio da ação
mínima (CHERMAN, 2004).
2.8.1 Coordenadas Generalizadas
Em sistemas que possuem uma grande quantidade de partículas, como em um sistema
de coordenadas cartesiano, pode-se encontrar um conjunto de equações. Porém, em muitos casos
este tipo de sistema de coordenadas não é o mais conveniente para descrever o movimento de tal
sistema. Para simplificar as equações nesta situação é usado outros sistemas de coordenadas,
sendo os mais conhecidos o sistema polar, esférico e cilíndrico. Em cada mudança de sistema,
terá que o número de coordenadas introduzido para simplificar a problemática, é igual ao número
de coordenadas cartesiana de todas as partículas que constituem o sistema (LEMOS, 2007).
Portanto, quando se fala de um sistema físico descrito por um sistema de coordenadas
não especificados, diz-se que possui um sistema de coordenadas generalizadas. Nas quais, cada
coordenada é escrita pela letra q com um índice. Então, Para um conjunto de N coordenadas,
temos (q1, ...,qn) (SYMON, 1982).
2.8.2 Princípio de Hamilton
Seja um sistema constituido por N partículas, a sua configuração é dada em função
das N coordenadas generalizadas e das N velocidades generalizdas em um dado instante de tempo
inicial t1. O sistema evolui conforme o tempo decorre, logo, sua configuração irá mudar. Em um
instante de tempo t1+δ t = t2, a sua configuração será outra. O sistema poderá ser caracterizado
por uma função escalar L, que depende das N coordenadas e velocidades generlizadas e podendo
também depender explicitamente do tempo (GOLDSTEIN; POOLE; SAFKO, 2014). Tal que
L= L(qi, q˙i, t), (2.108)
com i= 1, ...,n. Essa função é denominada de função lagrangeana do sistema (LEMOS, 2007).
A integral
S=
∫ t2
t1
L(qi, q˙i, t)dt, (2.109)
é denominada ação (LEMOS, 2007).
45
O princípio de Hamilton diz que, entre todos os caminhos possíveis ao longo do
qual um sistema dinâmico pode se mover em um intervalo de tempo específico, o caminho real
seguido é aquele que minimiza a integral de tempo da diferença entre as energias cinéticas e
potenciais (THORNTON; MARION, 2011). Assim, o princípio de Hamilton resulta em:
δ
∫ t2
t1
L(qi, q˙i, t)dt = 0, (2.110)
ou seja, a evolução do sistema de uma dada configuração inicial 1, para uma configuração
2, é de tal modo que a ação é um mínimo (LANDAU; LIFCHITZ, 2004). Dada a variação
explicitamente
δS= δ
∫ t2
t1
L(qi, q˙i, t)dt =
∫ t2
t1
(
∂L
∂qi
δqi+
∂L
∂ q˙iδ q˙i
)
dt, (2.111)
por outro lado, usando a regra do produto de derivdas, tem-se
∂L
∂ q˙i
δ q˙i =
d
dt
(
∂L
∂ q˙i
δqi
)
− d
dt
(
∂L
∂ q˙i
)
δqi. (2.112)
Substituindo-se a equação (2.112) em (2.111):
δS=
∫ t2
t1
[
∂L
∂qi
δqi+
d
dt
(
∂L
∂ q˙i
δqi
)
− d
dt
(
∂L
∂ q˙i
)
δqi
]
dt. (2.113)
Das condições impostas, δqi(t1) = δqi(t2) = 0, resulta
δS=
∫ t2
t1
[
∂L
∂qi
− d
dt
(
∂L
∂ q˙i
)]
δqidt = 0. (2.114)
Sendo os δqi(t) funções arbitrárias de t, logo, a condição de mínimo δS= 0, é satisfeita se tiver
[
∂L
∂qi
− d
dt
(
∂L
∂ q˙i
)]
δqi = 0. (2.115)
Para os casos em que os termos qi não possuem vínculos entre si, desta forma, os δqi são
independentes. Para este caso, tem-se
∂L
∂qi
− d
dt
(
∂L
∂ q˙i
)
= 0, (2.116)
46
com i= 1, ...,N.
A equação encontrada é chamada de equação de Euler-Lagrange. Esta equação dá
a evolução temporal de um dado sistema e representa na formulação lagrangeana a segunda
lei de Newton do formalismo newtoniano. Em outras palavras, esta equação levará as mesmas
equações de movimento obtidas usando a segunda lei de Newton (LEMOS, 2007). A função
lagrangeana L é definida como sendo a diferença entre a energia cinética e potencial do sistema,
L= T −V (CHERMAN, 2004).
Escrevendo de forma correta as energias do sistema em termos das coordenadas
generalizadas, as equações reproduzem as equações de movimento conhecidas do formalismo
newtoniano. A energia é uma quantidade escalar, portanto, a função L é uma função dita escalar
(NETO, 2004). Porém, tem-se que a função L= L(qi, q˙i, t) , sendo escrita em termos das energias
e coordenadas é
L= T (qi, q˙i, t)−V (qi, t), (2.117)
em que o potencial poderá ser função apenas da posição ou da posição e do tempo. Segundo
(CHERMAN, 2004) as equações de Euler-Lagrenge são validas segundo as duas condições
impostas:
1. As forças que agem no sistema (menos qualquer outra de restrição) devem ser deriváveis
de um potencial.
2. As equações de restrição devem ser relações que conectam as coordenadas das partrículas
e também podem ser função do tempo.
2.8.3 A Lagrangeana para a partícula livre
O princípio de Hamilton expressa realmente uma lei física, logo, ele deverá ser o
mesmo para todos os observadores inerciais. Um princípio físico fundamental, o princípio da
Relatividade de Galileu deverá ser válido nesse sentido. Para estes sistemas ditos inerciais ou
sistema de referência de Galileu, pode-se tirar algumas conclusões com respeito a forma da
lagrangeana para um ponto material que se move livremente nesse sistema. Nessa situação,
em particular, o espaço é dito ser homogêneo e isotrópico, deste modo, a função lagrangeana
não deverá depender de onde é escolhido a origem do sistema de coordenadas e nem de sua
orientação (NETO, 2004).
47
Pode-se, concluir que a lagrangeana L não poderá conter explicitamente o raio vetor
posição e nem o tempo e, consequentemente será função apenas de v2. Para esse dado sistema a
equação de Lagrange para uma i-ésima particula é
d
dx
(
∂L
∂qi
)
− ∂L
∂qi
= 0. (2.118)
O espaço sendo Homogêneo, a função L não depende da posição:
∂L
∂qi
= 0,
como consequência tem-se
d
dx
(
∂L
∂qi
)
= 0→ ∂L
∂qi
=Cte. (2.119)
A lagrangeana depende apenas da velocidade, então, q˙i =Cte. Assim, conclui-se
que em um sistema de Galileu, todo movimento livre se dá com uma velocidade constante
em módulo e direção, que é a conhecida lei da inércia. Se for considerado um sistema S de
Galileu e se fizer intervir um segundo sistema S′, no qual, desloca-se em relação ao primeiro
com velocidade constante, as leis do movimento nos dois referenciais deverão ser as mesmas,
portanto, um movimento livre também terá uma velocidade constante (LANDAU; LIFCHITZ,
2004).
Viu-se que a função lagrangeana de um sistema de particulas livres possui uma
dependência de v2,
L= L(v2). (2.120)
Neste caso, pode-se dizer que a lagrangeana é função de v2.
Para um segundo sistema de referência dito inercial S′, tem-se
L= L(v′2). (2.121)
Pois, L é uma função escalar e, assim sua dependência funcional não mudará (NETO, 2004).
48
Uma relação entre os dois sistemas de coordenadas inerciais pode ser dado a partir
de uma transformação de Galileu do tipo
r′ = r−vtt ′ = t (2.122)
Substituindo a (2.122) em (2.121), tem-se
L(v′2) = L(v2−2v ·V+V 2). (2.123)
Realizada uma expansão em série de Taylor no entorno de v2,
L(v′2) = L(v2)+L(V 2−2v ·V) dL
dv2
+
(
V 2−2v ·V)2
2!
d2L
d(v2)2
+
(
V 2−2v ·V)3
3!
d3L
d(v2)3
+ ...
(2.124)
Desprezando os termos de ordem maior. O segundo termo do segundo membro desta igualdade
será uma derivada total em relação ao tempo se ele for função linear da velocidade v. Um teorema
que relaciona duas funções lagrangeanas L e L′ diz que: Duas lagrangeanas L e L′ são ditas
equivalentes se elas diferem pela derivada total com relação ao tempo de uma função arbitrária
do tipo f (q, t) (LEMOS, 2007).
L′(q, q˙, t) = L(q, q˙, t)+
d
dt
f (q, t). (2.125)
No caso em que tem-se lagrangeanas equivalentes, ambas deverão oferecer as mesmas equações
de movimento.
Demonstração: Considere a ação S′,
S′ =
∫ t2
t1
L′(q, q˙, t)dt =
∫ t2
t1
L(q, q˙, t)dt+
∫ t2
t1
d
dx
f (q, t)dt, (2.126)
no entanto, a variação da ação mantém os extremos q(t1) e q(t2) fixos. Logo, δS= δS′. Assim,
as funções L e L′ produzem as mesmas equações de movimento. Daí,
δ
∫ t2
t1
d
dx
f (q, t)dt = δ f (q(t2), t2)−δ f ((q1(t1), t1) = 0. (2.127)
49
Pela invariância galileana, sabe-se que as duas lagrangeanas devem satisfazer o princípio de
Hamilton. Destas condições, tem-se que a lagrangeana deverá ser proporcional a velocidade, ou
seja
L= αv2. (2.128)
Logo, dada uma transformação de Galileu, resulta
L′ = L+
d
dt
[
α(V 2t−2r ·V)] . (2.129)
O segundo termo é uma derivada com respeito ao tempo e poderá ser omitida. A constante α
deverá ser escolhida de tal forma que as equações obtidas para a função lagrangeana ofereça
as mesma encontradas no formalismo newtoniano da mecânica. Uma escolha adequada para a
constante é m2 (LANDAU; LIFCHITZ, 2004). Assim a função lagrangeana fica escrita como
L=
m
2
v2. (2.130)
Na qual m é a massa do ponto material. Assim, relacionando-se com o formalismo newtoniano,
já conhecido, a lagrangeana para uma particula livre para o campo de atuação da mecânica é
exatamente a energia mecânica (NETO, 2004). Para o caso de um sistema de partículas livres, a
lagrangeana toma a forma
L=
n
∑
i=1
mi
2
v2i , (2.131)
pois, cada partícula pode ser considerada como um sistema isolado e, não havendo interação
entre elas, a função L é uma quantidade aditiva.
2.8.4 Constantes de Movimento e Coordenadas Ignoráveis
De acordo com (LEMOS, 2007), constantes de movimento são grandezas físicas
conservadas, isto é, quantidades asssociadas a sistemas mecânicos que não mudam de valor
durante a evolução dinâmica do sistema. Em termos matemáticos, uma constante de movimento
50
é uma função f de suas coordenadas e das velocidades generalizdas e, possivelmente do tempo
que pernamece constante durante o movimento do sistema
f (q1, ...,qn, q˙1, ..., q˙n) = cte, (2.132)
sua derivada total em relação ao tempo é zero:
d
dt
(qi, q˙i, t) = 0. (2.133)
Um caso decorrente em que tais constantes podem ser encontradas é aquele em que
o sistema dinâmico é caracterizado por uma função lagrangeana, onde não há uma dependência
explícita das cordenadas qk conhecida também como coordenada cíclica (SYMON, 1982). Logo,
a equação de Lagrange torna-se:
d
dt
(
∂L
∂ q˙k
)
= 0. (2.134)
Esta equação tem uma integração imediata:
(
∂L
∂ q˙k
)= pk = constante. (2.135)
Portanto, quando a lagrangeana não é função explicita das coordenadas qk, o mo-
mento pk correspondente será uma constante de movimento e, considera-se a coordenada qk
como ignorável (SYMON, 1982).
2.8.5 Energia Mecânica
A conservação da energia mecânica decorre da uniformidade do tempo. Devido
à uniformidade temporal do sistema, a função Lagrangeana não dependerá explicitamente do
tempo (LANDAU; LIFCHITZ, 2004). Com isso, tomando a derivada da função L com relação a
variável t:
∂L
∂ t
=
∂L
∂qi
q˙+
∂L
∂ q˙
q¨, (2.136)
51
com i= 1,2, ...,n. Por outro lado, a equação de Euler-Lagrange é dada por
d
dt
(
∂L
∂ q˙i
)
=
∂L
∂qi
. (2.137)
Feita uma substituição da equação (2.137) no primeiro termo da equação (2.136), tem-se
dL
dt
=
d
dt
(
∂L
∂ q˙i
)
q˙i+
∂L
∂ q˙i
q¨i. (2.138)
Reescrevendo a equação acima, transpondo o lado esquerdo para o lado direito e, evidenciando a
derivada temporal
d
dt
(
∂L
∂ q˙i
q˙i−L
)
= 0. (2.139)
O termo entre parêntese é constante no tempo, que pode ser definido como:
E ≡ ∂L
∂ q˙i
q˙i−L. (2.140)
E é chamada, no caso em que a derivada em relação ao tempo é zero, de energia total do sistema
(NETO, 2004). A conservação da energia E é valida, não somente para sistemas fechados, como
também para sistemas sob a ação de um campo constante, em que tal compo não é função
explicita do tempo (LANDAU; LIFCHITZ, 2004).
Para a seguinte análise, foi considera a função lagrangeana para um sistema fechado,
em que não há atuação de forças resultantes sobre o mesmo ou sob a ação de um campo constante.
A função Lagrangeano do sistema, neste caso, é da forma:
L= T (qi, q˙i)−U (qi) . (2.141)
Há um teorema que relacionado funções homogêneas, conhecido como Teorema de
Euler para funções homogêneas. Enunciado da seguinte forma:
Uma fução f = f (x1, ...,xn) de varias variáveis é dita homogênea se, ∀λ ∈ R tem-se
f (λx1, ...,λxn) = λ pf (x1, ...,xn), (2.142)
52
em que p é o grau da função (LEMOS, 2007). De acordo com o teorema de Euler a função f
pode ser escrita na forma:
f (x1, ...,xn) =
∂ f
∂x1
x1+
∂ f
∂x2
x2+ ...+
∂ f
∂xn
xn. (2.143)
Aplicando o teorema de Euler para funções homogêneas na equação (2.141):
∂L
∂qi
qi+
∂L
∂ q˙i
q˙i =
∂
∂qi
(T −U)qi+ ∂T∂ q˙i q˙i (2.144)
q˙i
∂L
∂ q˙i
= q˙i
∂T
∂ q˙i
= 2T. (2.145)
Feita uma substituição da equação (2.145) em (2.140) e, escrevendo a função lagrangeana como
a energia cinética menos a energia potencial L= T −U :
E = 2T − (T −U) (2.146)
= T (qi, q˙i)+U(qi), (2.147)
chegou-se na lei conhecida da mecânica newtoniana, a da conservação da energia mecânica.
Em que a energia de um sistema é representada pela soma de duas parcelas, uma é a energia
cinética e a outra a energia potencial. Usando o fato do tempo possuir simetria de translação,
a homogeneidade do tempo dar lugar a conservação de energia total do sistema (LANDAU;
LIFCHITZ, 2004).
2.8.6 Momento Linear
A conservação do momento linear decorre do fato do espaço ser homogêneo. O
sistema possui, assim, uma simetria de translação. Devido a esta simetria , as propriedades
mecânicas de um sistema fechado não se alteram dado um deslocamento infinitesimal ε e,
supondo constantes as velocidades das partículas (LANDAU; LIFSHITZ, 2000). Neste sentido,
feito um deslocamento virtual no sistema ra→ ra+ ε . Logo, uma variação na função L:
δL=∑
a
∂L
∂ ra
δ ra = ε∑
a
∂L
∂ ra
. (2.148)
53
Uma vez que ε é arbitrário, dado o princípio de Hamilton δL= 0. Obtem-se
∑
a
∂L
∂ ra
= 0. (2.149)
Dada a condição acima, a equação de Euler-Lagrange fica escrita na forma:
d
dt
(
∑
a
∂L
∂va
)
= 0. (2.150)
O termo ∑a ∂L∂va é, por definição, uma constante de movimento. Define-se
P≡∑
a
∂L
∂va
, (2.151)
uma vez que a função lagrangeana para um sistema, isolado, de Galielu é da forma:
L=∑
a
mav2a
2
. (2.152)
Assim, é possível substituir a equação (2.152) em (2.151):
P =
∂
∂va
(
∑
a
mav2a
2
)
(2.153)
= ∑
a
mava (2.154)
A constante P é por definição o momento linear do sistema de particulas. Na qual
aqui, sua lei de conservação foi encontrada usandano o fato do espaço ser homogênio. Uma
simetria espacial de translação de um dado sistema, leva à lei de consrvação do momento linear
(LANDAU; LIFCHITZ, 2004).
2.8.7 Momento Angular
A conservação do momento angular decorre do fato do espaço ser isotrópico, em
que dada uma rotação arbitrária em torno de um eixo qualquer as propriedades de um sistema
fechado não se alteram quando feito essa transformação. O sistema, neste sentido, possui uma
simetria de rotação (NUSSENZVEIG, 1981).
Considerando-se, inicialmente, um deslocamento infinitesimal δri de uma i-ésima
partícula, localizada na posição ri, com uma rotação infinitamente pequena δϕ do sistema. O
deslocamento da partícula pode ser dado pelo produto vetorial:
δri = δϕ× ri. (2.155)
54
A direção de δϕ×ri é perpendicular ao plano definido pelas direções de δϕ e ri, com magnitude
dada por |δri| = |δϕ| |ri|senθ . A rotação não modifica somente a direção do raio vetor, mas
também a velocidade da partícula. Neste caso o acréscimo da velocidade com respeito ao sistema
imóvel é dada por:
δvi = δϕ×vi. (2.156)
Para um sistema de n partículas, dada uma variação na função Lagrangeana, levando em conta o
princípio de Hamilton δL= 0:
δL=
n
∑
i=1
(
∂L
∂ ri
δ ri+
∂L
∂vi
δvi
)
= 0. (2.157)
Para um sistema de coordenadas generalizadas, em que a derivada da função L com respeito as
velocidades generalizadas, tem-se, por definição, o momento generalizado
∂L
∂ q˙i
≡ Pi. (2.158)
Para um sistema de coordenadas generalizada os termos das derivadas da função Lagrangeana
com relação as coordenadas generalizadas, é definido como forças generalizadas
∂L
∂qi
≡ Fi. (2.159)
Pode-se, assim, ser escrita na forma P˙i = Fi.
Feita uma substituição das relações (2.158) e (2.159) na equação (2.157), com a
condição de invariância da função Lagrangeana:
n
∑
i=1
(p˙i ·δϕ× ri+pi ·δϕ×vi) = 0. (2.160)
Permutando os elementos na equação acima, chega-se na relação
δϕ
n
∑
i=1
(ri× p˙i+vi×pi) = 0. (2.161)
O produto vetorial obedece a regra de Leibniz para derivadas, logo, a equação acima pode ser
escrita como
δϕ ·
n
∑
i=1
d
dt
(ri×pi) = 0. (2.162)
55
Para um δϕ arbitrário, o termo entre parentêses derivado com respeito ao tempo é, por definição,
uma constante de movimento. No caso, um vetor constante no tempo. Definido por:
n
∑
i=1
ri×pi ≡ L. (2.163)
No caso de um sistema isolado, a grandeza vetorial conservada é, partindo dos
conceitos conhecidos da mecânica newtoniana, o momento angular do sistema de partículas.
Que aqui foi encontrado partindo do fato do sistema possuir uma simetria de rotação. A
homogeneidade do espaço leva a lei de conservação do momento angular para um sistema
isolado, em que não há forças externas atuando.
2.9 TEOREMA DE NOETHER E SIMETRIAS
No formalismo lagrangeano da Mecânica Clássica a conexão geral entre propriedades
de simetria e quantidades conservadas é estabelecido pelo teorema de autoria de Emmy Noether
(1882-1935). Este teorema possui como resultados particulares os casos discutidos anteriormente
(LEMOS, 2007).
Considere X e ψ funções de (n+1) variáveis reais e seja ε um parâmetro infinitesi-
mal qualquer, seja a transformação infinitesimal
 t→ t ′ = t+ εX(q(t), t)qi(t)→ q′(t ′) = qi(t)+ εψi(q(t), t) (2.164)
A integral da ação permanece invariante sob esta transformação se
∆S=
∫ t2′
t1′
L(q′(t ′), q˙′(t ′), t ′)dt ′−
∫ t2
t1
L(q(t), q˙(t), t)dt = 0. (2.165)
O teorema de Noether afirma que, dado um sistema mecânico com n graus de