Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1. INTRODUÇÃO Os filtros passa-tudo consistem em sistemas onde sinais de todas as frequências que entram no circuito, são transmitidos para a saída, porém com uma mudança de fase. Geralmente estes filtros são utilizados quando é necessário realizar alguma correção de fase. Se, por exemplo, um circuito possui vários estágios de amplificação de sinal, que acabam por causar mudanças de fase no sinal, pode-se colocar um filtro passa-tudo na saída, para realizar o ajuste de fase do sinal. FILTRO PASSA-TUDO DE PRIMEIRA ORDEM O livro Continous Signal and Systems, de Teaan AlAli e Mohammad A. Karim, apresenta uma topologia para um filtro All-pass, onde é aplicado apenas um elemento armazenador de energia, em associação com resistores. A topologia sugerida no livro é apresentada abaixo. Figura 1: Passa-Tudo com atenuação. Fonte: Continous Signal and Systems. 2.1 Função de Transferência Para obtermos a função de transferência do filtro, vamos partir do circuito equivalente da figura 2 e determinar Vo(s)/Vi(s), onde Vo(s) = V1 – V2. Figura 2: Passa-Tudo. Fonte: Autor. Passando para o domínio das frequências complexas, temos que: Considerando R1 = R2 = R3 = R, a tensão V1 fica: Já para V2, o capacitor fica representado por 1/(sC) e temos a seguinte equação: Equacionando V1 – V2, a tensão Vo(s) pode ser obtida: Dividindo tudo por CR: Com a função de transferência determinada, é possível determinar os polos e zeros: Zero: Polo: Concluímos que o módulo do zero obtido é igual ao módulo do polo obtido. Resultando no diagrama de polos e zeros que pode ser visto na figura 3. Figura 3: Polo e zero do circuito passa-tudo de peimeira ordem. Agora precisamos arbitrar algumas condições do circuito. Vamos determinar que a mudança de fase deve ocorrer na frequência de 1kHz. Em radianos por segundo, w0 = 1000 x 2 x 𝛑 = 6283 rad/s. Ficaremos então com duas variáveis, sendo elas o valor do capacitor e do resistor. Vamos considerar então o resistor com o valor de 1,0 ohm. Podemos assim, calcular o valor do capacitor: Assim, com os valores dos componentes definidos, a função de transferência do circuito fica assim: A partir da função de transferência, é possível realizar os cálculos para determinar o ganho do circuito: Como o polo e o zero tem mesmo módulo, para todas as frequências a magnitude será de: 20xlog(0,5) bB, ou seja -6,02dB. Também podemos fazer uma análise matemática em relação à resposta em frequência da fase do sinal de saída em relação ao sinal de entrada. Substituindo Z e P temos: Dessa forma, é possível calcular a fase em um range de frequências e construir uma tabela da resposta de fase do circuito. Tabela 1: Fase para diferentes frequências. Frequência [Hz] Frequência [rad/s] Fase [°] 10 62,83 -1,15 100 628,3 -11,42 500 3142 -53,13 1000 6283 -90 5000 31415 -157,4 100k 628300 -178,9 10M 62,83x106 -180 A figura 4 mostra o circuito com os valores definidos, para w0 = 1000 hertz. Figura 4: Circuito defasador para frequência de 1kHz. Diagrama de Bode Nas figuras 5 e 6 podem ser vistos os gráficos de Ganho[dB] x Frequência[Hz] e de Fase[°] x Frequência[Hz] da resposta em frequência do circuito proposto. Figura 5: Diagrama de Bode do Ganho x Frequência. Como esperado a partir da equação da magnitude, o Ganho do circuito apresenta uma atenuação constante de 6dB, para todas as frequências. Isso ocorre devido ao divisor resistivo do circuito. Figura 6: Diagrama de Bode da Fase x Frequência. No diagrama de Bode da Fase x Frequência, é possível verificar que a defasagem da saída em relação à entrada, muda de acordo com a frequência do sinal. Como era esperado, em 1kHz a defasagem é de 90°. Simulação no Matlab Para verificação da resposta do circuito, também foi feito o experimento através do Matlab, a partir da função de transferência obtida anteriormente. O código implementado foi o seguinte: % Início s=tf('s'); % Atribuição de valores R = 1; C = 159.15E-6; % Função de Transferência H = (-s+1/(C*R))/(2*(s+(1/(C*R)))); grid on; % Plotar Diagrama de Bode bode(H) % Fim Figura 7: Resposta obtida no Matlab. Simulação no LTSpice Figura 8: Circuito simulado no LTSpice. Figura 9: Resposta em frequência do circuito passa-tudo com atenuação. A simulação realizada no LTSpice para um range de frequência entre 1Hz e 10MHz, é compatível com os resultados obtidos anteriormente. É possível visualizar a atenuação constante de 6dB e também o comportamento da fase, onde a defasagem de 90° ocorre em 1kHz, como era esperado. Simulação no Multisim Através do Multisim, foram realizadas simulações com diferentes frequências para o sinal de entrada a fim de se observar o comportamento da defasagem entre os sinais de entrada e de saída. Figura 10: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 10Hz. Figura 11: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 200Hz. Figura 12: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 1kHz. Figura 13: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 5kHz. Figura 14: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 100kHz. Figura 15: Sinais de entrada e saída. Frequência de entrada de 100MHz. Com a simulação realizada no Multisim, fica muito fácil observar o comportamento da amplitude entre os sinais de entrada e saída. Para todas as frequências, o sinal de saída fica com a metade da amplitude do sinal de entrada. Igualmente, o comportamento da diferença de fase entre os sinais também é facilmente observada. Em frequências muito abaixo de 1kHz, a defasagem é próxima a zero. A medida que a frequência do sinal de entrada é aumentada, a defasagem também aumenta, atingindo 90° para a frequência de 1kHz. A defasagem continua aumentando com o aumento da frequência, até chegar-se a uma diferença de fase de 180° entre o sinal de saída e o sinal de entrada.
Compartilhar