Prova_1_1-2012

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UFJF - Instituto de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
1
a Prova de Ca´lculo III – 04/04/2012 – Turma
NOME: MATRI´CULA:
Atenc¸a˜o: Justifique todas as suas respostas de maneira leg´ıvel. A prova esta´ valendo
90 pontos que, juntamente com os 10 pontos da lista, somara˜o os 100 pontos referentes a`
primeira avaliac¸a˜o do curso.
1. (10 pts) Nota da lista.
2. (20 pts) Calcule a integral
∫∫
R
ex+y dx dy, onde R = {(x, y) : |x|+ |y| ≤ 1}.
(Sugesta˜o: Fac¸a uma mudanc¸a linear de varia´veis.)
3. (25 pts) Seja R a regia˜o no plano xy delimitada pelas circunfereˆncias x2 + y2 = 2x e
x2 + y2 = 4x e pelas retas y = x e y = −x.
(a) (5 pts) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o R no plano xy.
(b) (10 pts) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o R em coordenadas polares.
(c) (10 pts) Calcule a a´rea da regia˜o R.
4. (25 pts) Considere a integral I =
∫ a
0
∫ √a2−x2
0
∫ √a2−x2−y2
0
e(x
2+y2+z2)
3
2
dz dy dx.
(a) (8 pts) Descreva a regia˜o de integrac¸a˜o utilizando as coordenadas cil´ındricas.
(b) (8 pts) Descreva a regia˜o de integrac¸a˜o utilizando as coordenadas esfe´ricas.
(c) (9 pts) Calcule a integral I.
5. (20 pts) Calcule o volume da regia˜o limitada pelos cilindros x2+z2 = a2 e y2+z2 = a2.
Boa Prova!