Inequações, exercícios resolvidos

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GUIDG.COM 1 
 
19/6/2012 – Inequações, exercícios resolvidos. 
TAGS: Exercícios resolvidos, Inequações, passo à passo, soluções, cálculo 1, desigualdades, matemática básica. 
 
*Calculo A – Funções, limite, derivação, noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada). 
 Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves 
 
 
 
(Exercícios iniciais) Determine o conjunto solução das inequações. 
 
i) x 2 + 1< 2x 2@ 3 ≤@ 5x : 
 
Solução: 
 
Resolvendo em partes: 
 
y1) 
 
x 2 + 1 < 2x 2@ 3
@ x 2 + 4 < 0
x 2@ 4 > 0
x =F 4pwwwwwwwwwwwwwwwwwww=F 2
 
 
 
 
y2) 
 
2x 2@ 3 ≤@ 5x
2x 2 + 5x @ 3 ≤ 0
x =
@ 5F 25@ 4 2` a @ 3` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
4
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
x =
@ 5F 49pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
@ 5F 7
4
ffffffffffffffffffffffff
x i =
1
2
fff
e x ii =@ 3
 
 
 
Logo o conjunto solução é a interseção de y1 e y2 , então montamos o diagrama: 
 
 
 
S = x 2R |@ 3 ≤ x <@ 2R S ou por intervalos S = @ 3,@ 2B c 
 
 
Exercício para o leitor: 
 
ii) @ 5 < x 2@ 3 < 1 
 
S = x 2R |@ 2 < x <2R S ou por intervalos S = @ 2, 2b c 
GUIDG.COM 2 
 
*(Números reais, pg. 15) - 1.6 Exercícios. (Inequações) 
 
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. 
 Fazer a representação gráfica. 
 
a
a3@ x < 5 + 3x 
 
b a2x@ 5 < 13ffff+ 3x4ffffffff+ 1@ x3ffffffffffffffff 
 
c
a
2 >@ 3@ 3x ≥@ 7 
 
 
 
e
a
x2 ≤ 9 
 
f a x2@ 3x + 2 > 0 
 
g
a
1@ x@ 2x2 ≥ 0 
 
h a x + 12@ xfffffffffffffffff< x3 + xffffffffffffffff 
 
i a x3 + 1 > x2 + x 
 
j a x2@ 1b c x + 4` a≤ 0 
 
k a 2
x@ 2
fffffffffffffffff≤ x + 2
x@ 2
fffffffffffffffff≤ 1 
l a x4 ≥ x2 
 
m
a x
x @ 3
fffffffffffffffff< 4 
 
n
a 12fffffx@ 3
4 + x
ffffffffffffffffffffffff> 1 
 
o
a 3
x@ 5
fffffffffffffffff≤ 2 
 
 
p
a
x3@ x2@ x@ 2 > 0 
 
q
a
x3@ 3x + 2 ≤ 0 
 
r
a 1
x + 1
fffffffffffffffff≥ 3
x@ 2
fffffffffffffffff
 
 
s
a8x3@ 4x2@ 2x + 1 < 0 
 
t
a
12x3@ 20x2 ≥@ 11x + 2 
 
 
 
 
Soluções: 
a
a3@ x < 5 + 3x 
 
Por tratar-se de uma desigualdade simples, podemos resolver da seguinte maneira: 
 
 
3@ x < 5 + 3x
3@ x @ 5@ 3x < 0
@ 4x @ 2 < 0
4x + 2 > 0
4x>@ 2
x >@
2
4
ffff
x >@
1
2
fff
S = @ 12
fff
, +1
f g
 
d a 5
x
ffff< 34ffff
GUIDG.COM 3 
 
b a2x@ 5 < 13ffff+ 3x4ffffffff+ 1@ x3ffffffffffffffff
Solução:
2x
1
fffffff
@
5
1
fff< 13fff+ 3x4fffffff+ 1@ x3ffffffffffffffff
m Am A c 1,3,4
b c
= 12
24x @ 60 < 4 + 9x + 4@ 4x
12
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
24x @ 60@ 4@ 9x @ 4 + 4x < 0
19x @ 68 < 0
x <
68
19
fffffff
S = @1 , 6819
ffffffff g
 
c
a
2 >@ 3@ 3x ≥@ 7
Solução:
2 >@ 3@ 3x ≥@ 7
5 >@ 3x ≥@ 4
@ 5 < 3x ≤ 4
@
5
3
fff< x ≤ 43ffff
S = @ 53
fff
,
4
3
fffff G
 
 
 
d a 5
x
ffff< 34ffff
Solução:
5
x
ffff
@
3
4
ffff< 0
20@ 3x
x4
ffffffffffffffffffffffff< 0 ou @ 3x + 204xfffffffffffffffffffffffffffffff< 0 inequação quociente
b c
 
 
Análise do comportamento de sinais das funções. Pela última desigualdade queremos a parte menor que 
zero (negativa): 
 
y1
a
@ 3x + 20 < 0
@ 3x + 20 = 0
@ 3x =@ 20
x =
20
3
fffffff
 
 
y2
a
4x< 0
x = 0
 
 
 
 
Então montamos o diagrama de sinais: 
 
 
 
Logo, vemos que os valores que tornam a desigualdade verdadeira é a união de dois intervalos: 
 
S = @1 ,0
b cS 203fffffff, +1
f g
 
GUIDG.COM 4 
 
e
a
x2 ≤ 9
x 2@ 9 ≤ 0
x 2@32 ≤ 0 produto notavel, diferença de quadrados
b c
x + 3
` a
A x @ 3
` a
≤ 0 inequação produto
b c
 
 
Análise do comportamento de sinais das funções: 
 
y1
a
x + 3 ≤ 0
x + 3 = 0[ x =@ 3
 
 
 
 
 
y2
a
x @ 3 ≤ 0
x @ 3 = 0[ x = 3
 
 
 
 
E assim montamos o diagrama de sinais: 
 
 
 
Portanto encontramos os valores que tornam esta inequação verdadeira: 
 
S = x 2R |@ 3 ≤ x ≤ 3R Sou por intervalos S = @ 3,3B C 
GUIDG.COM 5 
 
f a x2@ 3x + 2 > 0 
 
x2@ 3x + 2 = 0 
 
Para resolver, precisamos comparar com a equação do segundo grau: ax² + bx + c = 0 , assim 
identificamos os valores de a = 1, b = -3, c = 2 . Isso se repetirá sempre, é importante saber! 
 
x =
@ bF b2@ 4 A a A cqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2a
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
Agora substituímos nessa fórmula, que é conhecida como fórmula de Bhaskara, daqui pra frente será 
muito útil, portanto você deve memorizar! Substituindo os valores na fórmula temos: 
 
x =
@ @ 3
` a
F @ 3
` a2
@ 4 A 1
` a
A 2
` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2 1
` affffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 3F 9@ 8pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww2fffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 3F 1
pwwwwwwwwwwwwwww
2
ffffffffffffffffffffffff
=
3F 1
2
ffffffffffffffff
 
 
Resolvendo, encontramos os valores de x : S = { 1, 2 } 
 
Mas o exercícios não quer os valores de x , e sim os valores de x para os quais a função é maior que 
zero (símbolo >), então fazemos o gráfico para melhor visualizar: 
 
 
O software Geogebra gera esse gráfico 
facilmente, mas você também deve aprender a 
fazer o gráfico sem a ajuda do computador, veja 
que só precisamos dos valores de x e do sinal de 
a , que identifica se a parábola esta para cima 
(positivo) ou para baixo (negativo). 
 
Agora podemos responder a pergunta. Para que valores a função é maior que zero? 
A resposta é a parte cinza do gráfico, ou 
S = @1 ,1
b cS 2, +1b c ou ainda S = x 2R | x 26 1 < x < 2R S 
 
 
g
a
1@ x@ 2x2 ≥ 0 
 
Este fica como exercício para o leitor. O processo de resolução é o mesmo, mas veja que o sinal de a é 
negativo, então a parábola esta para baixo. 
 
 
 
S = x 2ℜ |@ 1 ≤ x ≤ 12
fffV W
ou por intervalos: @ 1, 12
fffF G
 
GUIDG.COM 6 
 
h a x + 12@ xfffffffffffffffff< x3 + xffffffffffffffff 
 
Solução: 
 
Veja que x ≠ 2 e x ≠@ 3 (veja que o denominador não pode ser zero) ... então: 
 
x + 1
` a 3 + x` a< x 2@ x` a
2@ x
` a 3 + x` affffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
2x 2 + 2x + 3
@ x 2@ x + 6
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff< 0
 
 
Inequação quociente, resolvendo o numerador: 
 
y1
a
2x 2 + 2x + 3< 0
2x 2 + 2x + 3 = 0
x =
@ 2F 4@ 4 2
` a
3
` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
@ 2F @ 20pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
4
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
Como vemos deu raiz negativa e isso implica que não existem raízes Reais tais que tornem a equação 
verdadeira, isto é, as raízes são números complexos. Logo a função é positiva paratodo x pertencente aos 
reais. 
 
Resolvendo o denominador: 
 
y2
a
@ x 2@ x + 6 < 0
@ x 2@ x + 6 = 0
x =
1F 1@ 4 @ 1
` a 6` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
@ 2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
1F 5
@ 2
ffffffffffffffff
x i =@ 3 e x ii = 2
 
 
Logo, temos os valores que satisfazem a inequação e podemos ver neste esboço. 
(em vermelho os valores de x): 
 
 
 
A solução é dada após montarmos o diagrama de sinais: 
 
 
 
Então os valores que tornam a inequação verdadeira é o conjunto: 
S = x 2ℜ | x<@ 3 e x>2R S ou por intervalos S = @1 ,@ 3b cS 2, +1b c 
GUIDG.COM 7 
 
i a x3 + 1 > x2 + x 
 
Solução: 
x 3 + 1@ x 2@ x > 0
x 2 x @ 1
` a
@ 1 x @ 1
` a
> 0
x 2@ 1
b c
x @ 1
` a
> 0
 
 
y1
a
x 2@ 1> 0
x 2@ 1 = 0
x =F 1pwwwwwwwwwwwwwww=F 1
 
 
 
y2
a
x @ 1 > 0
x @ 1 = 0
x = 1
 
 
 
Montamos o diagrama de sinais de y1 com y2 : 
 
 
 
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação: 
 
S = x 2R |@ 1 < x < 1 e x >1R Sou por intervalos S = @ 1,1b cS 1, +1b c 
 
 
j a x2@ 1b c x + 4` a≤ 0 
 
Inequação produto, resolvendo: 
 
y1
a
x 2@ 1 ≤ 0
x 2@ 1 = 0
 
 
 
 
y2
a
x + 4 ≤ 0
x + 4 = 0
x =@ 4
 
 
 
 
Montando o diagrama de sinais temos: 
 
 
 
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação: 
S = x 2R | x ≤@ 4 e @ 1 ≤ x ≤ 1R S ou @1 ,@ 4b CS @ 1,1B C 
 
GUIDG.COM 8 
 
k a 2
x@ 2
fffffffffffffffff≤ x + 2
x@ 2
fffffffffffffffff≤ 1 
 
Solução: 
 
Resolvendo cada inequação separadamente, com x ≠ 2 : 
 
2
x @ 2
fffffffffffffffff≤ x + 2
x @ 2
fffffffffffffffff
2@ x @ 2
x @ 2
fffffffffffffffffffffffffffff≤ 0 passando ao lado esquerdo e simplificandob c
@ x
` az~ |~xy1
x @ 2
` a{~~~ }~~~y
y2
ffffffffffffffffffffffffffffffff≤ 0 ineq A prod Ab c
 
 
Pelo gráfico das funções podemos concluir, visualizando o digrama de sinais: 
 
 
 
Logo S1 = @1 ,0
b C
U 2, +1
b c
 
 
 
Agora, resolvendo o lado direito: 
 
 
x + 2
x @ 2
fffffffffffffffff≤ 1
x + 2
x @ 2
fffffffffffffffff
@ 1 ≤ 0 mmc e simplificação
b c
4
x @ 2
fffffffffffffffff≤ 0
 
 
Pelo gráfico da função do denominador, concluímos: 
 
 
 
S 2 = @1 ,2
b c
 
GUIDG.COM 9 
 
Comparado as soluções: 
 
S1 = @1 ,0
b C
U 2, +1
b c
 
S 2 = @1 ,2
b c
 
 
Visualizando por intervalos, lembrando que x ≠ 2 para não zerar no denominador: 
 
 
 
A única solução (ou o domínio) que satisfaz simultaneamente as duas inequações é a interseção das 
soluções: 
 
 S = x 2R | x ≤ 0R S ou S = @1 , 0b C 
 
 
l a x4 ≥ x2 
 
Solução 
 
 
x 4 ≥ x 2
x 4@ x 2 ≥ 0
x 2 + x
b c
x 2@ x
b c
≥ 0
 
 
y1
a
x 2 + x ≥ 0
x 2 + x = 0
x =
@ 1F 12@ 4 A 1 A 0qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
@ 1F 1
2
ffffffffffffffffffffffff
x i = 0 x ii =@ 1
 
 
 
y2
a
x 2@ x ≥ 0
x 2@ x = 0
x =
1F @ 1
` a2
@ 4 A 1 A 0qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
1F 1
2
ffffffffffffffff
x i = 1 e x ii = 0
 
 
 
 
 
Montando o diagrama de sinais: 
 
 
 
E assim: 
 
S = @1 ,@ 1
b CS 1, +1B cS 0P Q 
GUIDG.COM 10 
 
m
a x
x @ 3
fffffffffffffffff< 4 
 
Fica como exercício para o leitor. 
 S = @1 ,3
b c
U 4, +1
b c
 
 
 
n
a 12fffffx@ 3
4 + x
fffffffffffffffffffffff> 1 
 
 
1
2
ffffx @ 3
4 + x
fffffffffffffffffffffff
=
1
2
ffffx @ 62ffff
4 + x
fffffffffffffffffffffff
@ 1>0
x@6
2
ffffffffffffffffff
4 + x
ffffffffffffffff
@ 1>0
x @ 6
2
fffffffffffffffff
A
1
4 + x
ffffffffffffffff
@ 1>0
x @ 6
8 + 2x
ffffffffffffffffffff
@ 1>0
x @ 6
8 + 2x
ffffffffffffffffffff
@
8 + 2x
8 + 2x
ffffffffffffffffffff>0
x @ 6@ 8@ 2x
8 + 2x
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff>0
@ x @ 14
8 + 2x
ffffffffffffffffffffffffffff>0
 
 
Da última desigualdade temos: 
 
y1) -x-14 > 0 
 -x -14 = 0 
 -x = 14 
 x = -14 
 
 
 
y2) 8+2x > 0 
 2x +8 = 0 
 x = -8/2 = -4 
 
 
 
 
 
 
Logo, os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira é o intervalo aberto: S = @ 14,@ 4
b c
 . Isto 
é, a inequação é verdadeira para todo x pertencente a este intervalo, exceto as bordas x = -14 e x = -4 . 
GUIDG.COM 11 
 
o
a 3
x@ 5
fffffffffffffffff≤ 2 Fica como exercício para o leitor. S = @1 ,@ 5b cU 132fffffff, +1F
g
 
 
p
a
x3@ x2@ x@ 2 > 0
x 3@ x 2@ x @ 2 = 0
 
 
O método para encontrar as raízes de polinômios como este se chama Pesquisa de raízes , e é assim: 
 
(-2) é o coeficiente d, e 1 é o coeficiente a da função polinomial. 
As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na fração d/a . 
 
Divisores de d(-2): {±1, ±2} 
 
Divisores de a(1): {±1} 
 
Possíveis raízes: d
a
ffff
: F 1,F 2
P Q
 
 
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a 
primeira que reduza o grau: 
 
 1 -1 -1 -2 
1 1 0 -1 -3 F 
-1 1 -2 1 -3 F 
2 1 1 1 0 V 
 
 
E re-escrevemos a função polinomial como: x 2 + x + 1
b c
A x @ 2
` a
= 0 
Mas estamos procurando por valores tais que: x 2 + x + 1
b c
A x @ 2
` a
> 0 
 
y1
a
x @ 2 > 0
x @ 2 = 0[ x = 2
 
 
 
 
y2
a
x 2 + x + 1>0
x 2 + x + 1 = 0
x =
@ 1F 1@ 4 A 1 A 1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
logo 9+ x 2R as raízes são números complexosb c
 
 
 
 
Como y2 é maior que zero para todo x pertencente aos Reais, temos que: S = 2, +1
b c
 
GUIDG.COM 12 
 
q
a
x3@ 3x + 2 ≤ 0 
 
Neste caso a soma dos coeficientes resulta num valor igual a zero: 
a = 1 , b = -3 , c = 2 
 
a+b+c = 0 
 
Conclui-se que 1 é raiz da equação, para mais informações consulte o exercício “t”. 
Prosseguimos realizando a divisão de polinômios. 
 
Divisão de polinômios, método da chave: 
 
x³ - 3x + 2 x - 1 
-x³ + x² x² + x - 2 
= 0 + x² -3x + 2 
 -x² + x 
= 0-2x + 2 
+2x - 2 
= 0+0 Então 1 é raiz. 
 
 
Logo podemos escrever: 
 
x³ -3x + 2 = (x -1)(x² + x -2) ≤ 0 
 
y1) x-1 ≤ 0 
 x -1 = 0 
 x = 1 
 
 
 
y2) x² + x -2 ≤ 0 
 x² + x – 2 = 0 
 
 
x =
@ 1F 12@ 4.1 A @ 2
` aqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
@ 1F 3
2
ffffffffffffffffffffffff
x i = 1 e x ii =@ 2
 
 
 
 
 
 
Portanto o intervalo que satisfaz a inequação é: S = @1 ,@ 2
b C
U 1
P Q
 
 
GUIDG.COM 13 
 
r
a 1
x + 1
fffffffffffffffff≥ 3
x@ 2
fffffffffffffffffSolução: 
 
 Verificando o denominador vemos que: x ≠ -1 e x ≠ 2 . 
 
 
1
x + 1
ffffffffffffffff
@
3
x @ 2
fffffffffffffffff≥ 0
x @ 2
` a
@ 3 x + 1` a
x + 1
` a
x @ 2
` afffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff≥ 0
x @ 2@ 3x @ 3
x 2@ 2x + x @ 2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff≥ 0
@ 2x @ 5
x 2@ x @ 2
ffffffffffffffffffffffffffffffff≥ 0
 
 
Resolvendo a última desigualdade: 
 
y1) -2x -5 ≥ 0 
 -2x -5 = 0 
 -2x = 5 
 2x = -5 
 x = -5/2 
 
 
y2) x² -x -2 ≥ 0 
 x² -x -2 = 0 
 
Vamos resolver esta equação de segundo grau usando 
Soma e Produto, isto é dois números somados que são 
iguais à S, e dois números multiplicados que são iguais 
à P: 
 
S =@ b
a
ffff
=@
@ 1
1
ffffffffff
= 1
P = c
a
ffff
=@
2
1
fff
=@ 2
x i =@ 1 e x ii = 2
Pois S: @ 1 + 2 = 1 e P: 1 A @ 2
` a
=@ 2
 
 
Logo, as raízes são x i =@ 1 e x ii = 2 
 
 
 
Com isso montamos o diagrama: 
 
 
Logo os valores de x que satisfazem a inequação é o intervalo S = @1 ,@ 52
ffff GS @ 1,2b c . 
 
 
GUIDG.COM 14 
 
s
a8x3@ 4x2@ 2x + 1 < 0 
 
Uma das formas de resolver este exercício é fatorando o polinômio: 
 
 
8x 3@ 4x 2@ 2x + 1 = 4x 2 2x @ 1` a@ 2x @ 1` a<0
2x @ 1
` a
4x 2@ 1
b c
<0
 
 
Resolvendo a última desigualdade: 
 
y1) 2x-1< 0 
 2x-1= 0 
 2x= 1 
 x=1/2 
 
 
 
y2) 4x² -1 < 0 
 4x²-1 = 0 
 4x² = 1 
 x² = ¼ 
 
x = ±
1
4
ffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=F
1
2
fff
 
 
então: x i =@
1
2
fff
e x ii =
1
2
fff
 
 
 
 
 
Então montamos o diagrama: 
 
 
 
Logo, os valores que tornam a desigualdade verdadeira é o intervalo: 
 
S = (-∞ , -1/2) 
GUIDG.COM 15 
 
t
a
12x3@ 20x2 ≥@ 11x + 2 
 
O procedimento já foi visto na resolução do exercício ( p ) , chama-se Pesquisa de raízes, infelizmente 
são poucos os alunos que tenham estudado este assunto no ensino médio, portanto se você não entender 
deverá estudar Polinômios e equações polinomiais. 
 
Solução: 
 
12x3@ 20x 2 + 11x @ 2 ≥ 0
12x 3@ 20x 2 + 11x @ 2 = 0
 
 
Agora devemos fatorar o polinômio e precisamos das raízes. O procedimento é um pouco longo, mas 
funciona. 
 
Pesquisa de raízes: 
 
(-2) é o coeficiente d , e 12 é o coeficiente a da função polinomial. 
As possíveis raízes são os divisores inteiros de d , e de a , na fração d/a . 
 
Divisores de d(-2): {±1, ±2} 
 
Divisores de a(12): {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} 
 
Possíveis Raízes: d
a
ffff
: F 1,F 12
fff
,F
1
3
fff
,F
1
4
ffff
,F
1
6
fff
,F
1
12
fffffff
,F 2,F 22
fff
,F
2
3
fff
,F
2
4
ffff
,F
2
6
fff
,F
2
12
fffffffV W
 
 
Percebemos que algumas são equivalentes, e resumimos o conjunto em: 
 
d
a
ffff
: F 1,F 12
fff
,F
1
3
fff
,F
1
4
ffff
,F
1
6
fff
,F
1
12
fffffff
,F 2,F 23
fffV W
 
 
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a 
primeira que reduza o grau: 
 
 12 -20 11 -2 
1 12 -8 3 1 F 
-1 12 -32 43 -45 F 
1/2 12 -14 4 0 V 
 
 
Logo podemos re-escrever a função polinomial como um produto: 
 
12x 2@ 14x + 4
b c
A x @
1
2
ffff g
= 0 
 
Mas estamos procurando por valores tais que: 
 
12x 2@ 14x + 4
b c
A x @
1
2
ffff g≥ 0 
GUIDG.COM 16 
 
12x 2@ 14x + 4
b c
A x @
1
2
ffff g≥ 0 
 
Resolvendo a última desigualdade: 
 
y1
a
x @
1
2
fff≥ 0
x @
1
2
fff
= 0
x =
1
2
fff
 
 
 
 
 
 
y2
a
12x 2@ 14x + 4 ≥ 0
12x 2@ 14x + 4 = 0
6x 2@ 7x + 2 = 0
x =
7F 49@ 4 A 6 A 2pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
12
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
7F 1
12
fffffffffffffffff
x i =
8
12
fffffff
=
2
3
fff
e x ii =
6
12
fffffff
=
1
2
fff
 
 
 
 
Então, montamos o diagrama: 
 
 
 
Logo, os valores de x que tornam a inequação verdadeira é o intervalo: 
 
S = {1/2} U [2/3 , +∞ ) 
 
 
 
 
 
 
 
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