Estrutura da Materia Aula 07 SBC Fanny

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Estrutura da Matéria 
Prof. Fanny Nascimento Costa 
(fanny.costa@ufabc.edu.br) 
Aula 07 
• Revisão da última aula 
• Orbitais 
• Números quânticos 
• O átomo de hidrogênio 
 
• Todas as ondas têm um comprimento de onda característico, λ, e uma 
amplitude, A 
 
• A frequência, ν, de uma onda é o número de ciclos que passam por um 
ponto em um segundo 
 
• A velocidade de uma onda, v, é dada por sua frequência multiplicada 
pelo seu comprimento de onda 
 
• Para a luz, velocidade = c 
Natureza ondulatória da luz 
 
• A teoria atômica moderna surgiu a partir de estudos sobre a 
interação da radiação com a matéria 
 
• A radiação eletromagnética se movimenta através do vácuo com uma 
velocidade de 3,00 × 108 m/s 
 
• As ondas eletromagnéticas têm características ondulatórias 
semelhantes às ondas que se movem na água 
 
• Por exemplo: a radiação visível tem comprimentos de onda entre 400 
nm (violeta) e 750 nm (vermelho). 
Natureza ondulatória da luz 
 
• Planck: a energia só pode ser liberada (ou absorvida) por átomos em 
certos pedaços de tamanhos mínimos, chamados quantum 
 
• A relação entre a energia e a frequência é E = hv 
 onde h é a constante de Planck (6,626 × 10-34 J s) 
 
• Para entender a quantização, considere a subida em uma rampa versus 
a subida em uma escada: 
 
• Para a rampa, há uma alteração constante na altura, enquanto na 
escada há uma alteração gradual e quantizada na altura 
Energia quantizada e fótons 
O efeito fotoelétrico e fótons 
 
• O efeito fotoelétrico fornece evidências para a natureza de partícula 
da luz - “quantização” 
 
• Se a luz brilha na superfície de um metal, há um ponto no qual os 
elétrons são expelidos dele 
 
• Os elétrons somente serão expelidos se a frequência mínima é 
alcançada 
 
• Abaixo da frequência mínima, nenhum elétron é expelido 
 
• Acima da frequência mínima, o número de elétrons expelidos depende 
da intensidade da luz 
Energia quantizada e fótons 
O efeito fotoelétrico e os fótons 
 
• Einstein supôs que a luz trafega em pacotes de 
energia denominados fótons 
 
• A energia de um fóton: 
  hE
Energia quantizada e fótons 
O modelo de Bohr 
 
• Rutherford supôs que os elétrons orbitavam o núcleo da mesma 
forma que os planetas orbitam em torno do sol 
 
• Entretanto, uma partícula carregada movendo em uma trajetória 
circular deve perder energia 
 
• Isso significa que o átomo deve ser instável de acordo com a teoria 
de Rutherford 
 
• Bohr observou o espectro de linhas de determinados elementos e 
admitiu que os elétrons estavam confinados em estados específicos 
de energia. Esses foram denominados órbitas 
Espectro de linhas e o modelo de Bohr 
O modelo de Bohr 
 
• Já que os estados de energia são quantizados, a luz emitida por 
átomos excitados deve ser quantizada e aparecer como espectro de 
linhas 
 
• Após muita matemática, Bohr mostrou que 
 
 
 
 onde n é o número quântico principal (por exemplo, n = 1, 2, 3, … e 
nada mais) 
  





 
2
18 1
J 1018.2
n
E
Espectro de linhas e o modelo de Bohr 
 
A primeira órbita no modelo de Bohr tem n = 
1, é a mais próxima do núcleo e convencionou-
se que ela tem energia negativa 
 
A órbita mais distante no modelo de Bohr 
tem n próximo ao infinito e corresponde à 
energia zero 
 
Os elétrons no modelo de Bohr podem se 
mover apenas entre órbitas através da 
absorção e da emissão de energia em 
quantum (hν) 
 
Espectro de linhas e o modelo de Bohr 
O modelo de Bohr 
O modelo de Bohr 
 
• Podemos mostrar que: 
 
 
 
 
• Quando ni > nf, a energia é emitida 
 
• Quando nf > ni, a energia é absorvida 
 








 
22
18 11J 1018.2
if nn
hc
hE 
Espectro de linhas e o modelo de Bohr 
Limitações do modelo de Bohr 
 
• Pode explicar adequadamente apenas o espectro de linhas do átomo 
de hidrogênio 
 
• Os elétrons não são completamente descritos como partículas 
pequenas 
Espectro de linhas e o modelo de Bohr 
Comportamento ondulatório da matéria 
Após o desenvolvimento de Bohr para o átomo de hidrogênio, a 
natureza dual da energia radiante tornou-se um conceito familiar 
Louis De Broglie (1892-1987) 
Se a energia radiante pudesse se comportar, sob condições 
apropriadas, como um feixe de partículas, a matéria, sob condições 
apropriadas, poderia possivelmente se comportar como uma onda? 
 
Para De Broglie 
 
Elétron se comportava como uma onda estacionária 
+ 
- 
Comportamento ondulatório da matéria 
+ 
- 
 
• Sabendo-se que a luz tem uma natureza de partícula, parece razoável 
perguntar se a matéria tem natureza ondulatória 
 
• Utilizando as equações de Einstein e de Planck, De Broglie mostrou: 
 
 
 
 
• O momento, mv, é uma propriedade de partícula, enquanto o 
comprimento de onda, λ, é uma propriedade ondulatória 
 
• de Broglie resumiu os conceitos de ondas e partículas, 
com efeitos notáveis se os objetos são pequenos 
h h
mv p
  
Comprimento de onda de de Broglie 
ondas estacionárias preenchendo órbitas circulares 
comprimento da 
circunferência deve ser 
um número inteiro n de 
comprimentos de onda 
 e 
 
E hc
p E h
c
h h
p mv



  
 
comprimento de onda de 
de Broglie 
De Broglie postulou que, em virtude dos fótons terem 
características ondulatórias e corpusculares, talvez 
todas as formas de matéria tivessem propriedades 
ondulatórias e também corpusculares 
E
h
 
Onda estacionária 
Não se propagam ao longo da corda 
2

l



2
2l
2
3
l
2
7

l
Louis De Broglie (1892-1987) 
 
Argumenta que, se o elétron realmente se comporta como uma onda 
estacionária, no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda deve se 
ajustar exatamente à circunferência da órbita. Caso contrário, a 
própria onda se cancelaria parcialmente em cada órbita sucessiva (no 
final, a amplitude da onda seria reduzida a zero e a onda deixaria de 
existir) 
+ 
- 
 nr 2
r 
 
n, número inteiro (1,2,3,…) 
Comportamento ondulatório da matéria 
+ 
- 
r 
 mv
h

velocidade da partícula 
massa da partícula 
p
h

ou 
Comportamento ondulatório da matéria 
Louis De Broglie (1892-1987) 
 
Argumenta que, se o elétron realmente se comporta como uma onda 
estacionária, no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda deve se 
ajustar exatamente à circunferência da órbita. Caso contrário, a 
própria onda se cancelaria parcialmente em cada órbita sucessiva (no 
final, a amplitude da onda seria reduzida a zero e a onda deixaria de 
existir) 
 
 
Estudo do comportamento e das leis do 
movimento para partículas microscópicas 
ANTECEDENTES: 
 • Teoria da quantização da energia (Max Planck): E = h. 
 • Dualidade onda-partícula (L.de Broglie):  = h / p = h / mv 
 • Princípio de incerteza (Heisenberg): 
 • Energia de Bohr: 


.4
h
Δx.Δp
Mecânica Quântica 
2 2
2
0 0
2
18
0 0
1,2,3,
42
1 hartree = 1 unidade atômica de energia = 4,3598 10
4
 
n
Z e
E n
an
e
J
a



   
 
Mecânica Quântica 
A descoberta das propriedades ondulatórias da matéria levantou 
algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica 
 
 
Considerando uma bola descendo uma rampa. Usando a física clássica, 
podemos calcular sua posição, direção do movimento e velocidade a 
qualquer momento, com grande exatidão 
 
 
Podemos fazer o mesmo para o elétron??? 
 
 
A descobertadas propriedades ondulatórias da matéria levantou 
algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica 
 
 
Considerando uma bola descendo uma rampa. Usando a física clássica, 
podemos calcular sua posição, direção do movimento e velocidade a 
qualquer momento, com grande exatidão 
 
 
Podemos fazer o mesmo para o elétron??? 
 
 
Não se pode definir a localização precisa de uma onda porque ela se 
estende no espaço 
Mecânica Quântica 
Princípio de Incerteza de Heisenberg 
Quando experimentos são realizados, o experimentador 
sempre se depara com incertezas experimentais nas 
medidas 
 
A Mecânica Clássica permite que sejam realizados 
experimentos com incertezas experimentais arbitrárias 
muito pequenas. 
 
Por outro lado, a Mecânica Quântica prediz que a 
barreira para medidas com incertezas desprezíveis não 
existe 
 
Em 1927, Heisenberg introduziu o Princípio da 
Incerteza: 
Se uma medida da posição de uma partícula for realizada com precisão 
Δx e uma medida simultânea do momento linear é feita com precisão Δp, 
então o produto das duas incertezas não pode nunca ser menor que h/4 
Matematicamente… 
2
2
2






pz
py
px
Quanto maior a vida média de um 
estado de energia, menor é a largura 
de seu estado 
2
 tE
É fisicamente impossível medir 
simultaneamente a posição exata e 
o momento linear exato de uma 
partícula 
Princípio da Complementaridade 
As naturezas ondulatória e corpuscular do elétron não 
podem ser simultaneamente determinadas 
Considerações / Mecânica Quântica 
Como a Mecânica Quântica não é determinista a função de onda do sistema não 
pode especificar com exatidão a posição e o momento do sistema (princípio da 
incerteza) 
 
Max Born, com uma interpretação estatística para a função de onda introduziu o 
quadrado da função de onda, e chamou de densidade de probabilidade |Ψ|2 
Erwin Schrödinger (1887-1961) 
Uma função de onda (Ψ) descreve a 
densidade de probabilidade (Ψ2) de uma 
partícula no espaço 
Mecânica quântica 
Para descrever um estado estacionário é necessário conhecer sua função 
de onda espacial ψ(x,y,z) e sua energia E 
 
O quadrado do módulo da função de onda [ψ(x,y,z,t)]2dV de uma 
partícula se deslocando em três dimensões representa a probabilidade 
de encontrar a partícula num tempo t dentro de um volume dV em torno 
do ponto (x,y,z) considerado 
 
[ψ(x,y,z,t)]2 é normalmente chamada de função de distribuição (ou 
densidade) de probabilidade, pois descreve como a probabilidade de 
encontrar a partícula em diferentes locais está distribuída 
 
Exemplo:A probabilidade de encontrar uma partícula na direção x, entre 
as posições x e x+dx é dada por:|Ψ|2dx. 
 
• Schrödinger propôs uma equação que contém os termos onda e 
partícula 
 
• A resolução da equação leva às funções de onda 
 
• A função de onda fornece o contorno do orbital eletrônico 
 
• O quadrado da função de onda fornece a probabilidade de se 
encontrar o elétron, isto é, dá a densidade eletrônica para o átomo 
 
 
Mecânica quântica 
Postulados da Mecânica Quântica 
Erwin Schrödinger, em 1927, propõe uma equação diferencial, conhecida 
atualmente como equação de onda de Schrödinger, que incorpora tanto o 
comportamento ondulatório como o de partícula do elétron, e que permite, em 
princípio, encontrar a função de onda de qualquer estado físico 
• A energia do átomo está quantizada. Só alguns estados energéticos são 
permitidos (descritos por números quânticos) 
• Mudança entre estados: E = h. 
• Aproximação estatística à posição do e-: Orbital 
• Descrição de estado e movimento do e- mediante uma função de onda: 
n,l,m =  (x,y,z) 
A mecânica quântica possui caráter estatístico 
equação fundamental da quântica
operador Hamiltoniano
 autovalores
 
 
 
i i i
i
H E
H
E
   


2
2
2
2 2
2 2
8. .
.( ). 0
(1 dimensão)
8
 
m
E V
h
h d
V E
m dx
 

   
 
   
Leva em consideração o comportamento corpuscular, em 
termos de massa (m) e o comportamento ondulatório, em 
termo da função de onda () 
 
 Não tem significado físico 
 
2 Densidade de probabilidade de encontrar um 
elétron, chamada de densidade de probabilidade 
Equação de Schrödinger 
2
2
2
2 2
2 2
8. .
.( ). 0
(1 dimensão)
8
 
m
E V
h
h d
V E
m dx
 

   
 
   
Equação de Schrödinger 
2 2 2
2
2 2 2
Operador Laplaciano 
f f f
f
x y z
  
   
  
Resolver a equação de Schrödinger é encontrar os autovalores e 
autofunções do operador hamiltoniano do sistema (exemplo: H = T + V 
= energia cinética + energia potencial) 
 
Os autovalores de um dado operador representam as grandezas físicas 
observáveis permitidas 
 
Operador é uma regra matemática que transforma uma função numa 
outra função 
Equação de Schrödinger 
 
2
,
2
p
E V x t
m
 
Podemos reescrever a equação de Schrödinger de uma forma um pouco 
diferente: 
 
 
 
Note que, como esta equação deve ser válida para qualquer solução 
ψ(x,t), ela é equivalente à operação entre operadores diferenciais: 
 
 
 
 
Podemos comparar esta relação com a relação clássica: 
     
2 2
2
, , ,
2
i x t V x t x t
t m x
   
          
 
2 2
2
,
2
i V x t
t m x
 
  
 
Operadores quânticos para momento e energia , p i E i
x t
 
 
 
A Equação de Schrödinger descreve a evolução de um 
estado quântico. A partir da Equação de Schrödinger 
não é possível determinar a trajetória do elétron em 
torno do núcleo, mas, a uma dada energia do sistema, 
obtém-se a região mais provável de encontrá-lo. 
Equação de Schrödinger 
Erwin Schrödinger desenvolveu um formalismo que se 
propunha a descrever a característica ondulatória da 
matéria, ele procurou estabelecer uma equação 
diferencial que expressasse o comportamento das ondas 
de matéria; e que se sabe que na Mecânica Quântica 
partículas podem ter aspectos ondulatórios e 
ondas podem ter aspectos corpusculares. 
Modelo quântico 
Schrödinger estudou o movimento do elétron ao redor do núcleo por 
meio de equações matemáticas (funções de onda) 
Números quânticos 
 
Da resolução da equação de Schrödinger para o elétron num 
átomo, obtemos os chamados números quânticos 
 
A partir das soluções que satisfazem as condições de contorno 
das funções de onda obtém-se os níveis de energias permitidos En 
 
A caracterização de cada elétron no átomo é feita por meio de 4 
números quânticos: principal, azimutal, magnético e magnético 
de spin 
 
No mesmo átomo, não existem 2 elétrons com os mesmos 4 
números quânticos 
A solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio produz um 
conjunto de funções de onda e energias correspondentes 
 
 
 Essas funções de onda são chamadas orbitais 
 
 
 
 
 
 
O modelo da mecânica quântica não se refere a órbitas porque o 
movimento do elétron em um átomo não pode ser medido ou localizado 
com precisão (princípio da incerteza de Heisenberg) 
 
 
 
Órbita ou camada 
(modelo de Bohr) 
Orbital (modelo da mecânica 
quântica) = 
Órbita ou camada 
(modelo de Bohr) 
Introduz um único número quântico (n) 
Orbitais e números quânticos 
O modelo da mecânica quântica usa 4 números quânticos, n, l, ml, ms, 
para descrever um orbital 
 
Número quântico principal (n): valores positivos e inteiros. À medida 
que n aumenta, o orbital torna-se maior, e o elétron passa mais tempo 
distante do núcleo 
 
Número quântico azimutal (l): pode tervalores inteiros de 0 a n-1 para 
cada valor de n. Esse número quântico define o formato do orbital 
 
Valores de l: 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f) 
 
Número quântico magnético (ml): pode ter valores inteiros entre l e –l, 
inclusive zero. Esse número quântico descreve a orientação do orbital 
no espaço 
 
Número quântico magnético de spin (ms): os elétrons se comportam 
como um imã em função da sua rotação no sentido horário ou anti-
horário 
Orbitais e números quânticos 
Número quântico principal (n): indica o nível de energia do elétron 
 
n = 1, 2, 3, ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
À medida que n aumenta, o orbital torna-se maior, e o elétron passa 
mais tempo distante do núcleo 
Número quântico principal (n) 
Número quântico azimutal (l): está relacionado com o subnível de 
energia do elétron. Esse número quântico define o formato do orbital 
 
 
 
 
 
 
 
As soluções que satisfazem as condições de contorno na equação de 
Schrödinger também apresentam valores quantizados para o momento 
angular orbital 
Número quântico azimutal ou orbital (l) 
 1 (módulo do momento angular orbital)
( 0,1,2,3, , 1)
 L l l
l n
 
 
Subnível s p d f 
No quântico azimutal (l) 0 1 2 3 
Número quântico magnético (ml): indica a orientação do orbital no espaço 
 
O momento magnético é determinado pelo valor de ml que aparece devido 
aos componentes do vetor momento angular orbital do elétron 
 
O número quântico magnético assume valores inteiros entre -l e +l 
 
Existem 2l + 1 valores de ml 
Número quântico magnético (m ou ml) 
(componente z do momento angular orbital)
( 0, 1, 2, , )
. : 1 -1,0, 1
 
 
z l
l
l
l
L m
m l
m l
Ex l m


   
   
Número quântico magnético de spin (ms): Os elétrons se comportam 
como um imã em função da sua rotação no sentido horário ou anti-
horário 
 
 
 
 
Para descrever completamente um estado 
eletrônico é necessário introduzir mais dois 
números quânticos relativos ao spin eletrônico 
 
Estes números são s e ms 
Número quântico magnético de spin (ms) 
ss m
1 1ou 
2 2
 sm   
Spin do elétron 
Orbitais e números quânticos 
Números quânticos para os elétron no átomo 
Nome Símbolo Valores Especifica Indica 
Principal n 1, 2, . . . Camada Tamanho 
Azimutal ou Orbital l 0, 1, . . ., n-1 
Subcamada 
l= 0, 1, 2, 3, 4, . . . 
s, p, d, f, g, . . . 
Forma 
Magnético ml l, l-1, . . ., -l 
Orbitais da 
subcamada 
Orientação 
Magnético de spin ms +
1
2
, −
1
2
 Estado do spin Direção do spin 
Orbitais e números quânticos 
Densidade de probabilidade 
de se encontrar o elétron 
Orbitais e números quânticos 
 
Orbitais e números quânticos 
Arranjos 
n l m Função Orbital 
1 0 0 1,0,0 1s 
2 
0 0 2,0,0 2s 
1 
-1 
 0 
+1 
2,1,-1 
2,1,0 
2,1,1 
2p 
(2px, 2py, 2pz) 
3 
0 0 3,0,0 3s 
1 
-1 
 0 
+1 
3,1,-1 
3,1,0 
3,1,1 
3p 
(3px, 3py, 3pz) 
2 
-2 
-1 
 0 
+1 
+2 
3,2,-2 
3,2,-1 
3,2,0 
3,2,1 
3,2,2 
 
3d 
(3d, 3dxy, 3dyz, 3dxz, 3d) 
Soluções para o átomo de hidrogênio 
, , ( ) ( , )
( ) parte radial; ( , ) parte angular 
n l m R r Y
R r Y
 
 
  
 
Orbitais atômicos para o hidrogênio 
Átomo de H no estado fundamental 
Quantos conjuntos de números quânticos são possíveis para o átomo de 
hidrogênio no seu estado fundamental? 
 
Função de onda = ψ1,0,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = 1 , logo l = 0 , ml = 0, ms = +1/2 ou -1/2 
 
Resposta: O átomo de hidrogênio no estado fundamental tem 2 conjuntos de 
números quânticos de mesma energia 
 
(dizemos que este o nível fundamental do átomo de hidrogênio é duplamente 
degenerado) 
0
0
3
2
1,0,0 (1 )
0
2
22
(1 )
0
1
1
Zr a
s
Zr a
s
Z
e
a
Z
e
a




 
     
 
 
   
 
• Todos os orbitais s são esféricos 
 
• À medida que n aumenta, os orbitais s ficam maiores 
 
• À medida que n aumenta, aumenta o número de nós 
 
• Um nó é uma região no espaço onde a probabilidade de se 
encontrar um elétron é zero 
 
• Em um nó, ψ2 = 0 
 
• Para um orbital s, o número de nós é n - 1 
Representações dos orbitais 
Orbitais s 
Representações dos orbitais 
Orbitais s 
Representações dos orbitais 
Representações dos orbitais 
Orbitais s 
• Existem três orbitais p, px, py, e pz 
 
• Os três orbitais p localizam-se ao longo dos eixos x, y e z de um 
sistema cartesiano 
 
• As letras correspondem aos valores permitidos de ml, -1, 0, e +1. 
 
• Os orbitais têm a forma de halteres 
 
• À medida que n aumenta, os orbitais p ficam maiores 
 
• Todos os orbitais p têm um nó no núcleo 
 
Representações dos orbitais 
Orbitais p 
Orbitais p 
 
Representações dos orbitais 
Orbitais p 
Representações dos orbitais 
 
• Existem cinco orbitais d e sete orbitais f 
 
• Três dos orbitais d encontram-se em um plano bissecante aos eixos 
x, y e z 
 
• Dois dos orbitais d se encontram em um plano alinhado ao longo dos 
eixos x, y e z 
 
• Quatro dos orbitais d têm quatro lóbulos cada 
 
• Um orbital d tem dois lóbulos e um anel 
Representações dos orbitais 
Orbitais d e f 
Orbitais d 
Orbitais e números quânticos 
Orbitais f 
Orbitais e números quânticos 
Orbitais no nível 4 
Exercícios (fortemente) Recomendados 
1. Explique o conceito de orbital atômico e faça um esboço representando os 
orbitais s e p. 
 
2. Identifique os valores do número quântico principal e do número quântico 
angular para os seguintes subníveis: (a) 2p; (b) 5f; (c) 3s; (d) 4d. 
 
3. Quantos orbitais há no nível n = 5 ? 
 
 
 
 
 
4. O raio de uma órbita de Bohr é descrita 
pela equação 𝑟 =
𝑛2
𝑍
𝑎0. Calcule os raios 
das órbitas dos elétrons com 𝑛 = 1, 2 𝑒 3 
no átomo de hidrogênio. Compare estes 
resultados com as distâncias de máxima 
probabilidade de densidade radial destes 
orbitais, mostrados na figura ao lado. No 
caso do elétron 1s, o máximo ocorre 
exatamente num raio equivalente ao raio 
de Bohr. 
5. Um sistema quântico pode existir em uma combinação de múltiplos 
estados, cada um com características físicas bem definidas 
(simultaneamente), a chamada superposição de estados. Para ressaltar o 
que significaria a superposição de estados para objetos macroscópicos e 
o absurdo a que isso mal interpretado levaria, Schrödinger em 1935 
formulou o seu famoso paradoxo. O paradoxo do gato de Schrödinger. 
Pesquise, descreva e explique quais as consequências desse paradoxo. 
RESPOSTAS: 
 
2. 25 
 
3. a) n = 2; l = 1 b) n = 5; l = 3 c) n = 3; l = 0 b) n = 4; l = 2 
 
4. 0,529 . 10-10 m, 2,12 . 10-10 m, 2,76 . 10-10 m. 
Exercícios (fortemente) Recomendados 
Leituras Sugeridas 
1. Mahan & Myers, Química um curso universitário, p. 279-290. 
 
 O Princípio da Incerteza; 
 A formulação da mecânica quântica; 
 A equação de Schröndinger; 
 A partícula na caixa; 
 O átomo de Hidrogênio. 
 
2. James Brady & Gerard Humiston, 2ª ed., p. 87-95 e p. 102-104. 
 
 Mecânica ondulatória; 
 O spin do elétron e o princípio de exclusão de Pauli; 
 A distribuição espacial dos elétrons 
 
Bibliografia 
 - Young e Freedman, Física IV : Ótica e Física Moderna, Editora Pearson 
Education do Brasil, São Paulo, 2009. 
 
 - Brown, T., Química a Ciência Central, Pearson Education, 9ª Edição, 2005. 
 
- Atkins P., Jones L., Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o 
MeioAmbiente, 3a. Ed., 2006, Bookman. 
 
 
- Eisberg, R., Resnick, R., Física Quântica, Editora Campus, 1ª Edição, 1979. 
 
- Halliday, D., Resnick, R., Walker, J., Fundamentos de Física IV, LTC Livros 
Técnicos e Científicos, 8ª. ed., 2009. 
 
-Tipler, P.A., Física Moderna, Guanabara Dois, 1981. 
 
- Nussenzveig, M. H., Curso de Física Básica 4, Edgard Blücher, 4ª ed., 1998.